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1、3.2立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（1）复习回顾 向量的定义 相等向量、共线向量 向量的运算（加减、数乘向量、数量积） 向量的坐标运算（模、夹角、数量积） 平面向量基本定理 空间直角坐标系1)1)两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义: :OABa a b b 新课引入新课引入2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注: :两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. . 规定规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.a b A1 1B1 1BA数量积的几何意义：数量积的几何意义：abBAObaa|abacos|b等于
2、等于的长度的长度与与在在的方向上的投影的方向上的投影的乘积。的乘积。, a b 记记|cosb B1(3)(3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质性质性质 是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据； 性质性质是求向量的长度（模）的依据；是求向量的长度（模）的依据； 性质性质是求向量夹角的依据是求向量夹角的依据. .cos,a ba ba b 注：注：(4)(4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律注意：注意： 数量积不满足结合律即数量积不满足结合律即)()a bcab c （(5)(5)空间向量基本定理空间向量基本定理特别地，特别地，若若 x+y+z=1
3、，则，则 P、A、B、C 四点共面四点共面.(6)(6)空间直角坐标系空间直角坐标系单位正交基底单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为直，且长度都为1，则这个基底叫做，则这个基底叫做单位正交基底单位正交基底，通常，通常用用i, j, k表示表示 单位向量单位向量三个基向量的长度都为三个基向量的长度都为1 1；正交向量正交向量三个基向量互相垂直三个基向量互相垂直 ijkO有序实数组有序实数组 叫做叫做a在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中的中的坐标，简记为坐标，简记为a ),(321aaa),(321aaa空间中相等的向量其坐标
4、是相同的空间中相等的向量其坐标是相同的 a i j k1a2a3a),(321aaa2.2.空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向给定一个空间直角坐标系和向量量a，且设，且设i、j、k为坐标向量为坐标向量，则由，则由空间向量基本定理空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组存在唯一的有序实数组 ，使，使(7)(7)向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算 向量的直角坐标运算：向量的直角坐标运算：设设a ，b ，则则),(321aaa),(321bbbab ； ),(332211bababaab ； ),(332211bababaa ； ),(321aaa)(R ab .33
5、2211bababa证明方法：证明方法：与平面向量一样，将与平面向量一样，将a i j k 和和 b i j k 代入即可代入即可 1a2a3a1b2b3b)(321kajaia)(321kbjbib.332211bababa证明证明(4):ba 2.2.类似于平面向量坐标运算可得类似于平面向量坐标运算可得：设设a ，b =则则),(321aaa),(321bbba/b ab 332211,bababa)(R ab ab=0 0332211bababa)(R232221aaa(3)|aa a1 1223 3222222123123aba ba baaabbb(4)cos,a ba ba b 利
6、用向量的长度公式，我们还可以得出利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中， 设设A ，B ，则，则),(111zyx),(222zyx|ABAB AB ABOBOA 222211212()()()xxyyzz 222211212|()()()ABdABxxyyzz 即即其中其中 表示表示A与与B 两点间的距离两点间的距离 ABd 这就是空间两点间的距离公式这就是空间两点间的距离公式.xxyy zz212121(,)222111(,)(,)xyzxy z分析：分析：要证明一条直线与一个平面要证明一条直线与一个平面垂直垂直,
7、 ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. .例例1.(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: . lll lmngm g m l lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.解解: 在在 内作不与内作不与m ,
8、n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x y例例1.已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .lll 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线
9、垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n n n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m l练习:1.已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC 求平面ABC的法向量.练习 2:在正方体1111ABCDA B C D 中，求证：1DB 是平面1
10、ACD的法向量 因为因为方向向量方向向量与与法向量法向量可以确定直线和平可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角平行、垂直、夹角等位置关系等位置关系.你能用直线的你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？它们二面角的大
11、小吗？lma b a u u v b a lmu a lu v 例 1.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E,F,M,N,G分别是 BB1, D1B1,AA1, CC1,CD 的中点.(1)求证:1EFDA；(2)求证：1/EFBD；(3)求证：1/EFDMN面；(4)求证：1DGADE面.DCBAD1C1B1A1FGHE例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分别是分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点的中点. 求证：求证： 平面平面AEH平面平面BDGFFEXYZ: ,.ABCD A B C DCC BDA FBDE例5 在正方体中
12、.E,F分别是的中点.求证：平面例3RDBCAA1QPNMD1C1B1例例4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分分别是别是A1B1和和BC上的动上的动点，且点，且A1P=BQ，M是是AB1的中点，的中点，N是是PQ的中点的中点. 求证：求证： MN平面平面AC.5.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,、MN分别是、ABPC的中点,并且PAAD ,求证:MN 平面PDCADBPCMNADCB求证：平面求证：平面MNC平面平面PBC；6.已知已知ABCD是矩形，是矩形，PD平面平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分别是分别是AD、PB的中点。的中点。a2PMN例例7 7：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CCCC1 1上的点，且上的点，且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。求证。求证: :面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzy课后作业课后作业1.教材教材P104练习题练习题1.22.习题习题3.2A组组2、3、4（1）