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1、解答题双规范案例之坐标系与参数方程问题【重在重在“转化转化”】参数方程与极坐标方程问题参数方程与极坐标方程问题,首先转化为直角坐标首先转化为直角坐标问题问题,然后用解析几何的相关知识求解然后用解析几何的相关知识求解.【思维流程思维流程】【典例典例】(12(12分分)(2018)(2018全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中,曲线曲线C C1 1的方程为的方程为y=k +2.y=k +2.以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x,x轴正半轴正半轴为极轴建立极坐标系轴为极轴建立极坐标系,曲线曲线C C2 2的极坐标方程为的极坐标方程为2 2+2cos-3=0.+2cos-3=0.(1
2、)(1)求求C C2 2的直角坐标方程的直角坐标方程.(2)(2)若若C C1 1与与C C2 2有且仅有三个公共点有且仅有三个公共点,求求C C1 1的方程的方程.切入点切入点:极坐标方程转化为直角坐标方程极坐标方程转化为直角坐标方程关键点关键点:结合图形分析结合图形分析C C1 1与与C C2 2有且仅有三个公共点的不有且仅有三个公共点的不同情况同情况,分别求出斜率分别求出斜率.【标准答案标准答案】【解析解析】(1)(1)由由x=cos,y=sin,xx=cos,y=sin,x2 2+y+y2 2=2 2得得C C2 2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x+1)(x+1)2 2+y+y2
3、2=4.=4.4 4分分(2)(2)由由(1)(1)知知C C2 2是圆心为是圆心为A(-1,0),A(-1,0),半径为半径为2 2的圆的圆.由题设知由题设知,C,C1 1是过点是过点B(0,2)B(0,2)且关于且关于y y轴对称的两条射线轴对称的两条射线.记记y y轴右边的射线为轴右边的射线为l1 1,y,y轴左边的射线为轴左边的射线为l2 2.由于点由于点B B在在圆圆C C2 2的外面的外面,故故C C1 1与与C C2 2有且仅有三个公共点等价于有且仅有三个公共点等价于l1 1与与C C2 2只有一个公共点且只有一个公共点且l2 2与与C C2 2有两个公共点有两个公共点,或或l2
4、 2与与C C2 2只只有一个公共点且有一个公共点且l1 1与与C C2 2有两个公共点有两个公共点.6 6分分当当l1 1与与C C2 2只有一个公共点时只有一个公共点时,A,A到到l1 1所在直线的距离为所在直线的距离为2,2,所以所以 =2,=2,故故k=-k=-或或k=0.k=0.7 7分分经检验经检验,当当k=0k=0时时,l1 1与与C C2 2没有公共点没有公共点;当当k=-k=-时时,l1 1与与C C2 2只有一个公共点只有一个公共点,l2 2与与C C2 2有两个公共点有两个公共点.8 8分分当当l2 2与与C C2 2只有一个公共点时只有一个公共点时,A,A到到l2 2所
5、在直线的距离为所在直线的距离为2,2,所以所以 =2,=2,故故k=0k=0或或k=.k=.9 9分分经检验经检验,当当k=0k=0时时,l1 1与与C C2 2没有公共点没有公共点;当当k=k=时时,l2 2与与C C2 2没有公共点没有公共点.1010分分综上可得综上可得,k=-,k=-,所求所求C C1 1的方程为的方程为:y=-|x|+2.:y=-|x|+2.1212分分 【阅卷现场阅卷现场】正确写出正确写出C C2 2的直角坐标方程得的直角坐标方程得4 4分分.正确分析出正确分析出C C1 1与与C C2 2有且仅有三个公共点的两种情形有且仅有三个公共点的两种情形,每一种各得每一种各得1 1分分.分析第一种情况求出斜率得分析第一种情况求出斜率得1 1分分.分析分析k=-k=-或或k=0,k=0,并进行取舍并进行取舍,正确得正确得1 1分分.分析第二种情况求出斜率分析第二种情况求出斜率,正确得正确得1 1分分.进行取舍进行取舍,正确得正确得1 1分分,错误不得分错误不得分.得出结论得出结论,正确得正确得2 2分分,否则不得分否则不得分.