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1、解答题双规范案例之概率与统计问题【重在重在“辨析辨析”】概率问题的求解关键是辨别它的概率模型概率问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找只要找到模型到模型,问题便迎刃而解问题便迎刃而解.而概率模型的提取往往需要而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,常常因题设条件理解不准常常因题设条件理解不准,某个概念认识不清而误入歧某个概念认识不清而误入歧途途.另外另外,还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验注意放回和不
2、放回试验的区别的区别,合理划分复合事件合理划分复合事件.【思维流程思维流程】【典例典例】(12(12分分)(2018)(2018全国卷全国卷)某工厂的某种产品某工厂的某种产品成箱包装成箱包装,每箱每箱200200件件,每一箱产品在交付用户之前要对每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验产品作检验,如检验出不合格品如检验出不合格品,则更换为合格品则更换为合格品.检验检验时时,先从这箱产品中任取先从这箱产品中任取2020件作检验件作检验,再根据检验结果再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合设每件产品为不合格品的概率都为格品的概率都为p ,p ,且
3、各件产品是否为不合格品且各件产品是否为不合格品相互独立相互独立.(1)(1)记记2020件产品中恰有件产品中恰有2 2件不合格品的概率为件不合格品的概率为f ,f ,求求f f 的最大值点的最大值点p p0 0.(2)(2)现对一箱产品检验了现对一箱产品检验了2020件件,结果恰有结果恰有2 2件不合格品件不合格品,以以(1)(1)中确定的中确定的p p0 0作为作为p p的值的值.已知每件产品的检验费用已知每件产品的检验费用为为2 2元元,若有不合格品进入用户手中若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不则工厂要对每件不合格品支付合格品支付2525元的赔偿费用元的赔偿费用.若不对该箱余下的产
4、品作检验若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为用与赔偿费用的和记为X,X,求求E(X);E(X);以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否是否该对这箱余下的所有产品作检验该对这箱余下的所有产品作检验?切入点切入点:利用独立重复试验求解利用独立重复试验求解.关键点关键点:对对f(p)f(p)进行求导进行求导,确定最大值点确定最大值点P P0 0【标准答案标准答案】【解析解析】(1)20(1)20件产品中恰有件产品中恰有2 2件不合格品的概率为件不合格品的概率为f(p)=pf(p)=p2 2(1-p)(1-
5、p)1818.2 2分分因此因此f(p)=2p(1-p)f(p)=2p(1-p)1818-18p-18p2 2(1-p)(1-p)1717=2 p(1-p)2 p(1-p)1717(1-10p)(0p1).(1-10p)(0p0;,f(p)0;当当p(0.1,1)p(0.1,1)时时,f(p)0.,f(p)400,E(X)400,故应该对余下的产品作检故应该对余下的产品作检验验.1212分分 【阅卷现场阅卷现场】第第(1)(1)问踩点得分问踩点得分写出式子写出式子f(p)=pf(p)=p2 2(1-p)(1-p)1818得得2 2分分.正确求导得正确求导得1 1分分.求出求出p=0.1p=0.1正确得正确得1 1分分,错误不得分错误不得分.分析判断分析判断p(0,0.1)p(0,0.1)时时,f(p)0;f(p)0;当当p(0.1,1)p(0.1,1)时时,f(p)0f(p)0得得1 1分分.确定确定p p0 0=0.1=0.1得得1 1分分.第第(2)(2)问踩点得分问踩点得分写出写出p=0.1p=0.1得得1 1分分.求出求出X=40+25YX=40+25Y得得2 2分分.求出期望值正确得求出期望值正确得1 1分分,错误不得分错误不得分.得出结论得出结论“应该对余下的产品作检验应该对余下的产品作检验”得得2 2分分,结论结论错误不得分错误不得分.