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1、 2.3 离散时间系统（数字滤波器）离散时间系统的例子累加器滑动平均滤波器指数加权的移动平均滤波器线性内插器中值滤波器离散时间系统的分类线性系统移不变系统因果系统稳定系统无源和无损系统冲激和阶跃响应2.3 离散系统及其普遍关系1.离散系统的定义离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为y(n)=Tx(n)通常将上式表示成图2-20所示的框图。离散时间系统的功能是对给定的输入序列进行处理得到输出序列，所以离散时间系统就表示对输入序列xn的运算，即yn=Txn，其结果也是一个序列yn。算子T表示将输入序列xn映射为单
2、一输出序列yn的变换。通常，离散时间系统处理的信号都是数字信号，产生的信号也是数字信号，因此，又称作数字滤波器。xn离散时间系统 Tx(n)yn输入序列输出序列2.3 离散系统及其普遍关系图图2-20 离散系统的模型离散系统的模型2.3.1 离散时间系统的例子1.累加器其输入输出关系定义如下2.3.1 离散时间系统的例子2.滑动平均滤波器在平均处理中，有对同组数据多次检测，再总体平均得到不受干扰的信号的例子，在很多情况下，不能对数据重复测量，所以，一般用滑动平均滤波的方法对信号进行估计(注意两者区别)2.3.1 离散时间系统的例子3.指数加权的移动平均滤波器思考：若1会出现什么情况？2.3.1
3、 离散时间系统的例子4.线性内插器 用于估计离散时间系统中相邻一对样本值之间的样本值大小xn上抽样（补零）xun线性内插用于图像放大过程等。2.3.1 离散时间系统的例子5.中值滤波器中值长度为2K+1的序列xn中，如果该序列中K个数据大于序列中的某个数据，剩下的K个数据小于该数据，则该数据称为中值，表示为medxn。常用于去除加性随机突发噪声。5.中值滤波举例x=2 80 6 3y1=Median2 2 80=2y2=Median2 80 6=Median2 6 80=6y3=Median80 6 3=Median3 6 80=6y4=Median6 3 3=Median3 3 6=32.3
4、.2 离散时间系统分类1.线性系统（满足叠加原理的系统）线性系统（满足叠加原理的系统）Tax1n+bx2n=aTx1n+bTx2n 2 系统的非移变特性系统的非移变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为Tx(nn0)=y(nn0)即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同。要证明一个系统是时不变的，必须解出要证明一个系统是时不变的，必须解出Txn-m和和 yn-m，看两者是否相等，看两者是否相等。注意：前者仅考虑输入，后者考虑所有变量影响。注意：前者仅考虑输入，后者考虑所有变量影响。线性时不变系统（Linear Time Invariant）既满足迭加原理又
5、具有时不变性的系统。图2-22 离散系统的非移变特性(2)线性非移变系统线性非移变系统就是既满足迭加原理 又具有非移变特性的系统，如图2-24所示。图2-23 线性非移变系统模型线性系统的例子线性系统的例子累加器累加器3.系统的稳定性与因果性(1)稳定性对于一个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为如果x(n)对于一切n则y(n)对于一切n因为其中假设x(n)M。1.稳定系统当且仅当每一个有界输入序列都产生一个有界的输出序列时，则称该系统在有界输入有界输出（BIBO,Bounded-Input-Bounded-Output）意义下稳定。也就是说，如果存在某
6、个固定的有限正数Bx，使得|xn|Bx，for all n则称输入xn有界。如果在输入xn有界条件下，存在固定的有限正数By，使得：|yn|By，for all n则称系统稳定。因果系统如果对每一个选取的n0，输出序列在n=n0的值仅仅取决于输入序列在n n0的值，则该系统就是因果的。也就是说，该序列是不可预知的不可预知的。在因果系统中，输出的变化不会先于输入的变化。（2）因果性一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前，则称它是因果的。这就是说对于因果系统，如果取n0,当n n0时，x1(n)=x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单
7、位取样响应等于零,即h(n)=0n0,yn相对xn右移 l 个样本 l0,yn相对xn左移 l 个样本下标xy表示x为参考序列，下标yx的互相关如下信号xn自相关自相关定义即互相关定义中，令yn=xn2.相关和卷积的关系让序列xn通过冲激响应为y-n的系统，得到的输出序列即为xn与yn的互相关。有限维 LTI离散时间系统的输入输出关系线性常系数差分方程线性常系数差分方程线性常系数差分方程 离散变量n的函数xn及其位移函数xn-m 线性叠加而构成的方程.一.表示法与解法 1.表示法 LTI系统x(n)y(n)*常系数：a0,a1,aN;b0,b1,bM 均是常数（不含n）.*阶数：max(N,M
8、)，系统和差分方程的阶数 *线性：yn-k,xn-m各项只有一次幂,不含它们的乘积项。2.解法 时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z变换法.二.用迭代法求解差分方程1.“松弛”系统的输出 起始状态为零的系统，这种系统 用的较多，其输出就是 。因此，已知hn就可求出yn，所以必须知道hn的求法.2.迭代法（以求hn为例）例:已知因果系统的常系数线性差分方程为yn-ayn-1=xn，试求单位冲激 响应hn.解：因果系统有hn=0,n0;方程可写 作:yn=ayn-1+xn注意：1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们讨论的系
9、统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。1.指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。2.差分方程可直接得到系统结构。例：yn=b0 xn-a1yn-1 用表示相加器；用 表示乘法器；用 表示一位延时单元。三.系统结构xn b0-a1yn-1yn-a1yn-1b0 xn-a1yn-1b0 xn例：差分方程yn=b0 xn-a1yn-1表示的系统结构为：LTI离散时间系统的分类按冲激响应长度分：FIR和IIR按输出计算过程分：递归和非递归按冲击相应系数分：实数和复数本章综述：离散信号的傅氏变换及离散系统1.变换关系对于连续信号xa(t)与其频谱Xa()之间存在着傅氏变换关系，如图2-28所示。前边已经讨论了连续信号xa(t)的离散化，即取样的问题，已经知道取样序列的频谱是原信号频谱在轴上的周期延拓，如图2-28(b)所示。图图2-28连续和离散信号的傅氏变换连续和离散信号的傅氏变换2.线性非移变系统结构的频率响应从2.3节的讨论得到线性非移变离散系统的输入输出关系为对上式两边同时进行傅氏变换得在频域对LTI系统进行分析：抽样、内插、奈奎斯特定理等习题后项写成前项的表达式前项写成后项的表达式不稳定稳定