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1、第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析1/79章离散时间信号与系统的时域分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析2/79 本章首先介绍了离散时间信号的基本概念、常用序列和基本运算；其次介绍了序列的卷积和及其求解方法；然后着重讨论了线性移不变系统的特性和差分方程的时域解法；最后介绍了相关函数的基本概念，讨论了相关函数和线性卷积的关系。内容提要内容提要第第
2、1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析3/791.1离散时间信号序列 时间为离散变量的信号称为离散时间信号，它只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列，常用 表示。许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体x(n)。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。这里 既指序列的第 个数，又指整个序列。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析4/79 是由一个连续时间信号 的抽样样得到的。若 表示一个连续时间信号，以 采样间隔对其进行周期抽样得到离散时间信号 （取整数）。通常，为常量，所以 就记为 。第第1 1章章离散时间信号与系统的时
3、域分析离散时间信号与系统的时域分析5/79 其他表示方法：其他表示方法：数的集合数的集合 的形式的形式 例如：表达式表达式 例如：图形图形 例如：图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析6/791-2-1 0 1 2n1-2-1 0 1mn1.1.单位抽样序列单位抽样序列 (单位样值)1.1.1常用序列任意序列可以表示成单位采样序列的移位加权和任意序列可以表示成单位采样序列的移位加权和,即即第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析7/792.2.单位阶跃
4、序列单位阶跃序列第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析8/793.3.矩形序列矩形序列第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析9/794.4.正弦型序列正弦型序列其中，为数字频率。数字角频率模拟角频率抽样间隔频率第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析10/795.5.实指数序列实指数序列为实数，当第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析11/796.6.复指数序列复指数序列第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析12/797.7.周期序列周期
5、序列 如果存在一个最小的正整数正整数N，满足 则序列 为周期性序列，N为周期。下图为周期序列示意图第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析13/79讨论一般正弦序列的周期性讨论一般正弦序列的周期性第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析14/79第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析15/79讨论：讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔则抽样时间间隔Ts和连续正弦信号的周期和连续正弦信号的周期T0之之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然间应是什么
6、关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？是周期序列？设连续正弦信号：设连续正弦信号：抽样序列：抽样序列：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析16/79当当 为整数或有理数时，为整数或有理数时，x(n)为周期序列。为周期序列。令：令：，N，k为互为素数的正整数为互为素数的正整数即：即：，N个抽样间隔应等于个抽样间隔应等于k个连续正弦信号个连续正弦信号周期周期第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析17/79例：例：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析18/79 1.1.2 序列的基本运算1.1.移
7、位移位 设某一序列 ，当 为正时，指原序列 逐项依次延时 （右移）位；而 则指 逐项依次超前 （左移）位，当 =1时称为单位延时。这里 为整数。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析19/79例例第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析20/792.2.反褶反褶(反转反转)若有序列 ，用 置换 中的自变量 ，定义定义 为对为对 的反褶信号的反褶信号，此时 的波形相当于将 的波形以 为轴翻转得到。例例第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析21/793 3 序列的加减序列的加减 两序列的加、减指同序号 的
8、序列值逐项对应相加、减而构成一个新的序列，表示为4 4 乘积乘积 两序列的乘积指同序号 的序列值逐项对应相乘而构成一个新的序列，表示为第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析22/79例例 已知序列 求序列，第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析23/795.5.差分差分序列 的一阶前向差分 定义为一阶后向差分定义为 前向差分和后向差分运算可相互转换，即 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析24/79例例 已知序列 ，则 前向差分和后向差分如下图 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信
9、号与系统的时域分析25/796 6.累加累加 设某一序列为 ，则 的累加序列定义为 该定义表示序列 在 时刻的值等于 时刻 的值以及 时刻以前所有 值的累加和。序列的累加运算类似于连续信号的积分运算。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析26/79例 已知序列 ，则第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析27/797 7 时间尺度变换时间尺度变换 序列的尺度变换类似于连续时间信号的时域伸缩变换，包括抽取抽取和插值插值两类。抽取：抽取：令 ，M为正整数，称 是由 作M倍的抽取所产生的，即从 中每隔M-1点取1点。第第1 1章章离散时间
10、信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析28/79y(-1)=x(-13)y(0)=x(03)y(1)=x(13)解：如图所示如图所示，取取M=3,则则y(n)=？其分解过程见下例其分解过程见下例第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析29/79插值：插值：令 ，L为正整数，称 是由 作L倍的插值所产生的。分解过程如下：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析30/79例例 一序列的抽取和插值的过程。作抽取运算时，每2点（每隔1点）取1点；作插值运算时，每2点之间插入1点，插入值是0。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析
11、离散时间信号与系统的时域分析31/791.2 序列的卷积和1.2.1 卷积和的定义及计算 设序列 、它们的卷积和 定义为 卷积和计算分四步：卷积和计算分四步：反褶反褶(反转反转)、移位、相乘、相加。、移位、相乘、相加。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析32/79计算步骤计算步骤 1）变量置换 把离散信号 和 的变量 ，都用m置换，作出 的波形。2）反转 以 为对称轴，将 反转，得到 。3）移位 把 移位，变为 。，把 向右移位；，把 向左移位。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析33/794）累加 计算累加 第第1 1章章离
12、散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析34/79例例求：01231/213/2m012m1第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析35/79图解法图解法第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析36/79-1012345n1/23/235/23/2第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析37/79例例 已知 ，求 23145 36931215 2462810 123145列表法列表法第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析38/79例：已知序列例：已知序列x(n
13、)和和h(n)如下：如下：求其卷积。求其卷积。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析39/791.2.2 卷积和的性质1）交换律2）结合律3）分配律4）是离散卷积的单位元第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析40/795）是单位延迟器一般地有 6）是数字积分器7）是离散卷积的单位元第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析41/79例例 已知 ，试求信号 ，使它满足 。解解 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析42/79 如果两序列长度分别为 和 ，则它们的卷积长度为
14、结论结论第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析43/791.3 线性移不变系统 系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析44/79 若离散时间系统满足均匀性与叠加性，则称此系统为离散时间线性系统。1.3.1 线性系统线性系统 若输入序列为 与 ，输出序列分别为 与 ，即 ，假设输入 时，若系统的输出 满足下式则该系统就是线性系统。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析45/79例例 证明 所代表的系统不是线性系统。证明证明
15、因为所以但是 因而所以此系统不是线性系统。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析46/791.3.2 移不变系统移不变系统定义：定义：若系统的响应与激励施加于系统的时刻无关，则称该系统为移不变系统。若则用公式表述为：即 表明表明输入移动任意位，其输出也移动相同位数，而其幅值保持不变。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析47/79例例 判断 所代表的系统是否是移不变系统。证明 因为所以此系统是移不变系统。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析48/791.3.3 单位抽样响应与卷积和单位抽样响应与卷
16、积和 设系统输入序列为设系统输入序列为 ，输出序列为，输出序列为 。任一。任一序列序列 可写成可写成 的移位加权和，即的移位加权和，即则系统输出为则系统输出为第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析49/79结论：结论：系统在激励信号系统在激励信号 作用下的零状态响应为作用下的零状态响应为 与系统的单位抽样响应的线性卷积，即与系统的单位抽样响应的线性卷积，即一般用一般用h(n)代表系统，示意图如下代表系统，示意图如下第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析50/791.3.4 因果系统因果系统 因果系统就是指系统某时刻的输出只取决因果
17、系统就是指系统某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入，即于此时刻和此时刻以前时刻的输入，即 时时刻的输出刻的输出 只取决于只取决于 的输入的输入 。定义：定义：线线性移不性移不变变系系统统是因果系是因果系统统的充分且必要条件是：的充分且必要条件是：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析51/79 证证明：明：充分性充分性 若若nn0的的x(m)无关。无关。因此，因此，该该系系统为统为因果性系因果性系统统。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析52/79 必要性必要性 ：采用反采用反证证法。假定系法。假定系统为统为因果性因
18、果性 系系统统，但在，但在n0时时h(n)0，按卷按卷积积公式，公式，对对于任于任何何输输入入x(n)，n0时时刻的其刻的其输输出出y(n0)为为 这样这样，由于，由于n n0的的x(m)有有关，与系关，与系统统是因果性系是因果性系统统的假的假设设矛盾。因此必矛盾。因此必须须有有n0时时h(n)=0。证毕证毕。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析53/791.3.5 稳定系统稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出（稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBOBIBO）的系统。的系统。定义：定义：一个一个线线性移不性移不变变系系统统是是稳稳定系定系统统的充分且
19、必要条件是：的充分且必要条件是：即单位抽样响应绝对可和。即单位抽样响应绝对可和。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析54/79例例 设线性时不变系统的单位抽样响应 ，式中 是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：（1）讨论因果性由于 时，所以系统是因果系统。（2）讨论稳定性可见，只有当 时，才有因此系统稳定的条件是 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析55/791.4 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 连续时间系统用微分方程描述，而离散时间系统则用差分方程描述。一个离散时间系统无论是由连续时间系统离散化得到的，或者本身就是
20、离散的，其数学模型都可以用差分方程来描述。本节主要讨论线性移不变离散时间系统差分方程的描述形式和求解方法。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析56/791.4.1线性常系数差分方程的描述线性常系数差分方程的描述一个一个 阶线性常系数差分方程一般形式阶线性常系数差分方程一般形式为为或者或者式中，式中，、分分别别指系指系统统的的输输入和入和输输出。出。系数系数ai(i=1,N)，bi(i=1,M)均均为为常数常数 阶阶数指方程中数指方程中y(n-i)的最高的最高阶阶与最低与最低阶阶之差之差线线性指方程中性指方程中仅仅有有y(n-i)的一次的一次幂幂，不含它，不含它
21、们们的相乘的相乘项项。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析57/79例例1.4.11.4.1 图1.4.1所示电路为一阶 低通模拟滤波器。为输入信号、为输出信号。试由描述该电路的微分方程求出相应的差分方程。图1.4.1 低通滤波器 解解 很容易得到描述该系统的微分方程为第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析58/79若对 进行抽样，且抽样间隔 足够小，则有结合 得 取 为单位时间的情况下得到所求差分方程为第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析59/79例例1.4.21.4.2 求累加器 的差分方程
22、表示式。解解 依据已知 列出时刻的输出为则得到所求差分方程为第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析60/79例例1.4.31.4.3 滑动平均滤波器可以表示成的形式。例如，模板为3个点的平滑滤波器可以写成。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析61/791.4.2 线性常系数差分方程的求解线性常系数差分方程的求解求解差分方程的方法有：1、序列域（离散时间域）法 时域经典解法；迭代法；卷积求和法 2、变换域法（如 变换求解法）。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析62/79 当差分方程方程阶数较低的
23、时候，用迭代法求解差分方程比较简单。例例1.4.5 某系统可用差分方程 来描述，分别求解系统在下列初始条件下的单位抽样响应：1、；2、。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析63/79解解 依题意，输入序列 ，则 1、时，递推过程如下：（1）时由递推公式 得即，（2）时由递推公式 得综合得第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析64/792、时，递推过程如下：（1）时由 得（2）时由 得综合（1）、（2）得第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析65/79 一个一个常系数常系数线线性差分方程是否因果系性
24、差分方程是否因果系统统，由由边边界条件界条件（初始）所决定。（初始）所决定。即初始条件具有即初始条件具有y(n)=0(n0方向方向递递推，其解一般推，其解一般为为因果的，因果的，反之反之为为非因果。非因果。注：注：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析66/791.5 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样 抽样抽样就是利用周期抽样脉冲序列 ，对连续信号 进行抽取，得到一系列离散值，即离散时间信号 （抽样信号）。离散信号 的序列值再经量化编码后得到数字信号。抽样器可以等效成一个电子开关，如图所示。相乘抽样器原理第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号
25、与系统的时域分析67/79 开关每隔 秒闭合一次，从而实现对连续时间信号 的周期抽样，得到离散时间信号 。抽样过程可以看作是用 和 进行相乘的过程，即若 是冲激函数序列 ，则为理想抽样；若 是宽度为 的矩形脉冲序列，则为实际抽样。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析68/79第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析69/791.5.1 理想抽样理想抽样（1 1）抽样过程及抽样信号频谱）抽样过程及抽样信号频谱 周期冲激序列 理想抽样信号 理想抽样信号 的傅立叶变换 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分
26、析70/79理想抽样信号频谱理想抽样信号频谱 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析71/79 由图可见，是由 以 为间隔周期重复所构成的，即周期延拓。当 或 时，的各延拓分量就不会彼此重叠 可以采用一个截止频率为 ()的理想低通滤波器得到不失真的原信号频谱，从而将原信号从抽样信号中恢复出来。分析第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析72/79结论结论 为了避免产生混叠现象，能从抽样信号无失真地恢复出原信号，抽样频率必须大于等于信号频谱最高频率的两倍，即这就是奈奎斯特抽样定理。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号
27、与系统的时域分析73/79（2 2）由抽样信号恢复连续信号）由抽样信号恢复连续信号 若满足抽样定理，则抽样信号经一个适当低通滤波器滤波后，就可以恢复出原信号，即滤波器输出为 。理想低通滤波器频率响应函数为式中 为理想低通滤波器截止频率，经常选取 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析74/79 当理想低通滤波器的截止频率 时，其冲激响应为 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析75/79滤波器的输出 抽样内插公式 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析76/79称为内插函数 内插函数在抽样点上值为1
28、，而在其余抽样点上值为0。结合内插函数这一特点可知，低通滤波器的输出 等于各 与对应的内插函数乘积的叠加。也就是说该理想低通滤波器 在的冲激之间进行内插而形成连续时间信号 。图1.5.5 内插函数第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析77/79 滤波器恢复出的信号在各抽样时刻点上的值等于原信号的值，而各抽样时刻之间的值则由各加权内插函数波形的延伸叠加而成，如图1.5.6所示。因此，抽样时只要满足抽样定理，则原连续时间信号就可以用其抽样信号来表示，而不会丢掉任何信息。但是，由上面的讨论过程可以看出内插公式只限于带限信号。图1.5.6 抽样信号的内插恢复第第1 1章
29、章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析78/791.5.2 实际抽样实际抽样 矩形周期脉冲的宽度为 ，幅度为1，抽样间隔为 ，其傅立叶变换 为 分析抽样信号的幅度谱可以看出：抽样信号的频率分析抽样信号的幅度谱可以看出：抽样信号的频率是连续时间信号频谱的周期延拓。是连续时间信号频谱的周期延拓。抽样信号 的傅立叶变换 为第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析79/79 与理想抽样不同的是，其频率分量幅度的包洛线以 的规律变化，如图1.5.7所示。同样，抽样过程若满足奈奎斯特抽样定理，则不会产生频谱混叠现象。因此，抽样时只要满足奈奎斯特抽样定理，就
30、可以从抽样信号中无失真地恢复出原连续信号。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析80/79第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析81/791.5.3 带通信号的抽样带通信号的抽样 在实际中，应用较多的还有一类带限信号：信号的频谱分布在某一最低频率 和最高频率 之间，即 ，称这类带限信号为带通信号。带通信号的最高频率 一般都很高，但其带宽 与 相比要小得多。若仍然按前述介绍的奈奎斯特抽样定理对其离散化，即 ，则抽样频率、抽样数据量将会很大。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析82/79带通信号抽样定
31、理带通信号抽样定理 当用周期冲激序列 对频谱形带通信号的 以等间隔 抽样。得到 的周期是 ，如图1.5.5(b)所示。取图中标识 的一个周期进行分析。若要频谱不发生混叠，须有第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析83/79第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析84/79整理得 则需 即 ，定义 （即 不大于的 最大整数）。就是带通信号抽样定理。其中，。带通信号的抽样频率 的取值范围由 个互不重叠的频率区间组成，即 。UKklhskk02),1(2=W+WW表明第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析8
32、5/79 当对带通信号进行离散化时，可以依据带通信号抽样定理选取抽样定理 。显然，该抽样频率要比奈奎斯特频率 小得多。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析86/791.6 离散线性相关1.6.1 线性相关的定义 已知离散时间信号 和 ，定义 为信号 和 的互相关函数。同理可得 和 的互相关函数为第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析87/79它们之间的相关函数（又称为自相关函数）定义为当 时 它描述了同一个信号 在 时刻和 时刻的相似程度。若 、为复数信号，则 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析88/791.6.2 线性相关与线性卷积的关系和 的线性卷积 互相关函数现将上式中的 和 相对换，得比较可得线性相关和线性卷积的时域关系为 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析89/79同理，对自相关函数，有 尽管相关和卷积在计算式上有相似之处，但二者所表示的物理意义是截然不同的。线性卷积表示了线性移不变系统输入、输出和单位抽样响应之间的一个基本关系，而线性相关只是反映了两个信号之间的相关性，与系统无关。