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1、第 5 章 离散信号与系统的时域分析 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.0 引引 言言5.1 离散时间基本信号离散时间基本信号 5.2 卷积和卷积和 5.3 离散系统的算子方程离散系统的算子方程 5.4 离散系统的零输入响应离散系统的零输入响应 5.5 离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应 5.6 系统差分方程的经典解法系统差分方程的经典解法 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.0 5.0 引引 言言 在前面几章的讨论中，所涉及的系统均属连续时间系统，这类系统用于传输和处理连 续时间信号。此外，还有一类用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散 时间系统，简称离散系统。数字计算
2、机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通信系统的核心组成部分也都是离散系统。鉴于离散系统在精度、可靠性、可集成化等方面，比连续系统具有更大的优越性，因此，近几十年来，离散 系统的理论研究发展迅速，应用范围也日益扩大。在实际工作中，人们根据需要往往把 连续系统与离散系统组合起来使用，这种系统称为混合系统。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.1 5.1 离散时间基本信号离散时间基本信号5.1.1 5.1.1 离散时间信号离散时间信号 连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续点外，对任一给定时刻都对应有确定的信号值。离散时间信
3、号，简称离散信号，它是离散时间变量tk(k=0,1,2,)的函数。信号仅在规定的离散时间点上有意义，而在其它时间则没有定义，如图 5.1-1(a)所 示。鉴于tk按一定顺序变化时，其相应的信号值组成一个数值序列，通常把离散时间信号定义为如下有序信号值的集合：fk=f(tk)k=0,1,2,(5.1-1)式中，k为整数，表示信号值在序列中出现的序号。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图 5.1 1 离散时间信号第 5 章 离散信号与系统的时域分析 式(5.1-1)中tk和tk-1之间的间隔(tk-tk-1)可以是常数，也可以随k变化。在实际应用中，一般取为常数。例如，对连续时间信号均匀取样后
4、得到的离散时间信号便是如此。对于这类离散时间信号，若令tk-tk-1=T，则信号仅在均匀时刻t=kT(k=0,1,2,)上取值。此时，式(5.1-1)中的f(tk)可以改写为f(kT)，信号图形如图 5.1-1(b)所示。为了简便，我们用序列值的通项f(kT)表示集合f(kT)，并将常数T省略，则式(5.1-1)可简写为fk=f(k)k=0,1,2,(5.1-2)工程应用中，常将定义在等间隔离散时刻点上的离散时间信号称为离散时间序列离散时间序列，简称序列序列。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.1.2 5.1.2 离散时间基本信号离散时间基本信号1.1.单位脉冲序列单位脉冲序列单位脉冲序
5、列定义为单位脉冲序列定义为图 5.1 2 单位脉冲序列第 5 章 离散信号与系统的时域分析 位移单位脉冲序列或第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图5.1-3 移位单位脉冲序列第 5 章 离散信号与系统的时域分析 2.2.正弦序列正弦序列正弦序列的一般形式为由于式中，m、N均为整数。式(5.1-5)表明，只有当 为整数，或者为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则为非周期序列。(5.1-6)第 5 章 离散信号与系统的时域分析 当正弦序列是通过抽取连续时间正弦信号的样本获得时，如果假设正弦信号 的周期为T0，取样间隔为Ts，那么，经过抽样得到的正弦序列可表示为式中，将它代入式(5.1-6)可
6、得第 5 章 离散信号与系统的时域分析 对于连续时间正弦信号 ,按几种不同间隔Ts抽样得到的正弦序列示于图 5.1-4 中。当 时，有此时，是一个周期为 16 的周期性正弦序列，其 图形如图 5.1-4(a)所示。当 ，可得到如图 5.1-4(b)所示的序列，其 ，是一个周期为23 的周期性正弦序列；当 ，序列图形如图5.1-4(c)所示，其 ，由于 ,是一无理数，故f(k)是一非周期正弦序列，值得注意的是此时它的包络函数f(t)仍具有周期性。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图 5.14 正弦序列第 5 章 离散信号与系统的时域分析 3.3.指数序列指数序列指数序列的一般形式为 (1)若
7、A和 均为实数，且设 则 为实指数序列。当1时，f(k)随k单调指数增长。当0a 1时，f(k)随k单调指数衰减；当-1时，f(k)的绝对值随k按指数规律增长。当-1a0时，f(k)绝对值随k按指数 规律衰减。且两者的序列值符号呈现正、负交替变化；当a=1时，f(k)为常数序列。当a=-1时，f(k)符号也呈现正、负交替变化。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图 5.1 5 实指数序列第 5 章 离散信号与系统的时域分析(2)若A=1，=j0，则 是虚指数序列。我们已经知道，连续时间虚指数信号e j0t是周期信号。然而，离散 时间虚指数序列ej0k则只有满足一定条件时才是周期的，否则是非周
8、 期的。根据欧拉公式，式(5.1-9)可写成 可见，e j0k的实部和虚部都是正弦序列，只有其实部和虚部同时为周 期序列时，才能保证ej0k是周期的。第 5 章 离散信号与系统的时域分析(3)若A和均为复数，则f(k)=Aek为一般形式的复指数序列。设复数A=|A|ej,=+j0，并记e=r，则有 可见，复指数序列f(k)的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图 5.1 6 复指数序列 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 4.Z序列序列Z序列的一般形式为 式中，z为复数。通常，称序列值为复值的序列为复序列复序列。显然，Z 序列是一复序列。若将z表
9、示为极坐标形式 根据欧拉公式，还可写成 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.2 卷卷 积积 和和5.2.1 卷积和的定义卷积和的定义 定义两个连续时间信号f1(t)和f2(t)的卷积运算为 同样地，我们定义 为序列f1(k)和f2(k)的卷积和运算，简称卷积和(Convolution Sum)。(5.2-2)第 5 章 离散信号与系统的时域分析 如果f1(k)为因果序列，由于k0时，f1(k)=0，故式(5.2-2)中求和下限可 改写为零，即 如果f2(k)为因果序列，而f1(k)不受限制，那么式(5.2-2)中，当(k-i)0，即ik时，f2(k-i)=0,因而和式的上限可改写为k，也
10、就是 如果f1(k)和f2(k)均为因果序列，则有(5.2-5)第 5 章 离散信号与系统的时域分析 考虑到f1(k)、f2(k)均为因果序列，根据式(5.2-5)，可将上式表示为 例例 5.2 1 设f1(k)=e-k(k)，f2(k)=(k),求f1(k)*f2(k)。解解 由卷积和定义式(5.2-2)得 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 显然，上式中k0，故应写为 与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的翻转、平移、相乘、求和等四个基本步骤。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.2 2 已知离散信号 求卷积和f1(k)*f2(k)。第 5 章 离散信号与系统
11、的时域分析 解解 记卷积和运算结果为f(k)，由式(5.2-2)得 第一步，画出f1(i)、f2(i)图形，分别如图 5.2-1(a)、(b)所示。第二步，将f2(i)图形以纵坐标为轴线翻转 180，得到f2(-i)图形，如图 5.2-1(c)所示。第三步，将f2(-i)图形沿i轴左移(k0)或右移(k0)|k|个时间单位，得到f2(k-i)图形。例如，当k=-1和k=1时，f2(k-i)图形分别如图 5.2-1(d)、(e)所示。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 第四步第四步，对任一给定值k，按式(5.2-6)进行相乘、求和运算，得到序号为k的卷 积 和序列值f(k)。若令k由-至变化，
12、f2(k-i)图形将从-处开始沿i轴自左向右移动，并由式(5.2-6)计算求得卷积和序列f(k)。对于本例中给定的f1(k)和f2(k)，具体计算过程如下：第 5 章 离散信号与系统的时域分析 于是，其卷积和为 对于两个有限长序列的卷积和计算，可以采用下面介绍的更为简便实用的方法计算。这种 方法不需要画出序列图形，只要把两个序列排成两行，按普通乘法运算进行相乘，但中 间结果不进位，最后将位于同一列的中间结果相加得到卷积和序列。例如，对于例5.2-2 中给定的f1(k)和f2(k)，为了方便，将f2(k)写在第一行，f1(k)写在第二行，经序列值相乘和中间结果相加运算后得到 第 5 章 离散信号
13、与系统的时域分析 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图5.2-1 卷积和计算第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.2.2 卷积和的性质卷积和的性质 性质性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即第 5 章 离散信号与系统的时域分析 性质性质 2 任一序列f(k)与单位脉冲序列(k)的卷 积和等于序列f(k)本身，即 性质性质 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，则 式中k1,k2均为整数。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.2-3 已知序列x(k)=(3)-k(k)，y(k)=1,-k,试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即 解解 先计算x(
14、k)*y(k)，考虑到x(k)是因果序列，根据式(5.2-3)，有 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 再计算y(k)*x(k)，同样考虑到x(k)是因果序列，可得 求解过程中对k没有限制，故上式可写为x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。所以 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.2-4 已知序列f1(k)=2-(k+1)(k+1)和f2(k)=(k-2)，试计算卷积和f1(k)*f2(k)。解解 用下面两种方法计算。方法一：方法一：图解法。将序列f1(k),f2(k)的自变量换为i，画出f 1(i)和f2(i)的图形如图 5
15、.2-2(a),(b)所示。将f2(i)图形翻转 180后，得f2(-i)，如图5.2-2(c)所示。当k1时，由图 5.2-2(d)可知，其乘积项f1(i)f2(k-i)为零，故f1(k)*f2(k)=0。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图 5.2-2 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 当k1时，按卷积和定义，参见图 5.2-2(e)，可得 于是故有第 5 章 离散信号与系统的时域分析 方法二方法二：应用卷积和性质 3。先计算 上式中k0，故有 再应用卷积和性质 3，求得 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.2.3 常用序列的卷积和公式常用序列的卷积和公式 表表 5.1 常用
16、序列的卷积和公式常用序列的卷积和公式 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.3 离散系统的算子方程离散系统的算子方程 5.3.1 LTI离散时间系统离散时间系统 图图 5.3-1 离散系统的输入输出模型离散系统的输入输出模型 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 离散时间系统的状态和状态变量。离散时间系统在k0时刻的状态是指 满足如下条件的数目最少的一组数据x1(k0),x2(k0),xn(k0)。这组 数据连同k0k上的输入f(k)就可以惟一地确定k时刻的输出y(k)，而不需具体知道k 0以前的输入情况。n称为离散系统的阶数。在实际工作过程中，系统的状态x1(k0),x2(k0),xn(
17、k0)随k0不同 而变化，我们把描述系统状态变化的变量称作状态变量，它是一组序 列信号，记为x1(k),x2(k),xn(k)。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 离散时间系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。设k0为初始观察 时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入信号或简称输入信号。我们将仅由k0时刻的初始状态或历史输入信号引起的响应称作零输入响应，记为yx(k)；仅由当前输入信号引起的响应称作零状态响应，记为yf(k)。而将零输入响应、零状态响应之和 称作系统的完全响应，记为y(k)。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 离
18、散时间系统的齐次性、叠加性和线性特性。设离散系统的输入输出关系为f(k)y(k)所谓齐次性是指对于任意常数a、输入f(k)和输出y(k)，恒有af(k)ay(k)(5.3-3)所谓叠加性叠加性是指对于输入f1(k)、f2(k)和输出y(k)，若设f1(k)y1(k)，f2(k)y2(k)，则恒有f1(k),f2(k)y1(k)+y2(k)(5.3-4)式中，f1(k),f2(k)表示f1(k)和f2(k)同时作为系统的输入。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 齐次性和叠加性统称为线性特性。对于任意常数a和b，输入f1(k)和 f2(k)共同作用时，系统的线性特性可表示为af1(k),bf2(
19、k)ay1(k)+by2(k)(5.3-5)它同时体现了式(5.3-3)的齐次性和式(5.3-4)的叠加性。线性离散时间系统和非线性离散时间系统。若离散时间系统的响应可 分 解为零输入响应和零状态响应两部分，且零输入响应与初始状态或历史输入信号、零状态 响应与当前输入信号之间分别满足齐次性和叠加性，则称该系统为线性离散时间 系统，否则称为非线性离散时间系统。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 时不变离散时间系统和时变离散时间系统。设离散时间系统的输入输出关系为 若对于任意整数k0，恒有 则称该系统为时不变离散时间系统时不变离散时间系统，否则称为时变离散时间时变离散时间系系 统。统。因果离散时
20、间系统和非因果离散时间系统。如果系统始终不会在 输入加入之前产生响应，这种系统称为因果系统因果系统，否则称为非因果系统。非因果系统。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例如，有三个系统的输入输出关系如下：系统 1 y(k)=kf(k)系统 2 y(k)=|f(k)|系统 3 y(k)=2f(k)+3f(k-1)根据定义容易验证：系统 1 是线性时变离散时间系统，系统 2 是非线性时不变离散时间 系统，而系统 3 是线性时不变离散时间系统。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 根据第 1 章讨论结果，一个n阶线性时不变离散时间系统，若其输入为f(k)，全响应为y(k)，那么，描述该系统输入输出
21、关系的数学模型是n阶线性常系数差分方程，它可以表 示为 式中，ai(i=0,1,n-1)，bj(j=0,1,m)均为常数。(5.3-7)第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.3.2 离散系统算子方程离散系统算子方程 在连续时间系统分析中，我们曾用微分算子p和积分算子p-1分别表示对函数的微分 和积分运算。与此类似，在离散系统分析中，我们引入E算子(超前算子)，表示将序列提前一个单位时间的运算；E-1算子(迟后算子)，表示将序列延迟一个单位时间的运算，即：应用中，统称E算子和E-1算子为差分算子。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 利用差分算子，可将差分方程式(5.3-7)写成下述形式：或
22、写成进一步写成式中：第 5 章 离散信号与系统的时域分析 若令 则式(5.3-9)可表示为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 此式称为离散时间系统的算子方程。式中的H(E)称为离散系统离散系统 的传输算子的传输算子。H(E)在离散系统分析中的作用与H(p)在连续系统分析中的作用相同，它完整地描述了离散系统的输入输出关，或者说集中反映了系统对输入序列的传输特 性。例如，设某离散系统的差分方程为 以单位延迟算子E-1作用于方程两边后，得到 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图 5.3-2 用H(E)表示离散系统 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 根据差分算子的定义，容易证明：可见，对于
23、同一序列而言，超前算子与迟后算子的作用可以互相抵消，或者说作用于同 一序列的差分算子公式中，分子分母中的算子公因子允许消去。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.3-1 设描述某离散时间系统的差分方程为 求其传输算子H(E),并画出系统的模拟框图和信号流图表示。解解 写出系统的算子方程为 所以，系统的传输算子 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 再将算子方程改写成 图 5.3-3 例 5.3-1图 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.3-2 某离散时间系统的输入输出算子 方程为 式中：试画出系统的模拟框图和信号流图。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 解解 如同连续系
24、统那样，选择中间变量x(k)，并令 则有 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图 5.3-4 例 5.3-2图 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.4 离散系统的零输入响应离散系统的零输入响应 根据线性系统定义，系统的完全响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。在连续时间系统的时域分析中，我们从描述系统的微分方程或传输算子H(p)出发，分别求 出系统的零输入响应和零状态响应，然后把它们叠加起来得到系统的完全响应。这种做法 同样适用于离散系统的时域分析。只是在离散时间系统分析中，我们讨论问题的出发点是 描述系统的差分方程或传输算子H(E)。此外，求解系统零状态响应时，与连续时间信号 的卷
25、积积分相对应，需要进行离散时间信号的卷积和计算。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 如前所述，一个描述n阶线性时不变离散时间系统的差分方程，若应用差分算子E，则可 表示为 或者写为 式中：第 5 章 离散信号与系统的时域分析 根据系统零输入响应的定义，如果假定初始观察时刻为k0，那么，离散系统的零 输入响应就是k0及k0以后的输入为零时，仅由k0以前的输入或k0时刻的状态引起 的响应，常记为yx(k)。由此可见，在系统差分方程式(5.4-1)中，只需 令输入信号f(k)为零，就可得到求解零输入响应yx(k)的方程，其一般形式为 或者简写为 具体地说，离散系统的零输入响应就是上面齐次差分方程满
26、足给定初始条件yx(0)，yx(1)，yx(n-1)时的解。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.4.1 简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应 如果离散系统传输算子H(E)仅含有单个极点r，这时式(5.4-6)可表示为 这是一个一阶齐次差分方程，将上式改写为 于是有 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 此式表明，序列yx(k)是一个以r为公比的几何级数，它具有以下形式：式中，c1是常数，由系统零输入响应的初始条件确定。上述结果与一阶齐次微分方程 解c1et的形式非常类似，因为当时间t按t=kT离散变化时，其解可改写成c1et=c1ekT=c1(eT)k，令eT=r时，就是差分方程式(
27、5.4-7)的解。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 因此，我们有如下结论：如果系统传输算子仅含有g个单极点r1,r2,rg，则相应齐次差分方程可写成 显然，满足以下方程 的解，必定也满足式(5.4-10)。仿照微分方程解结构定理的证明，可导得式(5.4-10)的解为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 式中,待定系数值c1,c2,cg由系统零输入响应的初始条件确定。于是，有结论 为了考察H(E)含有重极点的情况，我们假定对于一极小值，其系统齐次差分方程为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 且系统初始条件为 yx(k)表示为 代入初始条件，有 解得 第 5 章 离散信号与系统的时域分析
28、 现在，令0取极限，使得H(E)的两个极点相重合，于是有 或写成 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 式中：同样道理，如果传输算子H(E)仅含有r的d重极点，这时系统的齐次差分方程为 相应的零输入响应可表示为 式中，常数c0,c1,cd-1由系统零输入响应的初始条件确定。因此 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.4.2 一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应 设n阶离散时间系统的齐次差分方程为 其传输算子H(E)含有g个相异极点r1,r2,rg，对应的重数分别是d1,d2,dg。这里，(d1+d2+dg)=n。显然，若di(i=1,2,g)为 1 时，表示相应的极点ri是单极点。此时
29、式可表示为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 n阶LTI离散系统的零输入响应为 式中：式中，各待定系数由系统零输入响应yx(k)的初始条件确定。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 综上所述，由LTI离散系统传输算子H(E)求零输入响应yx(k)的具体步骤可归纳如下：第一步，第一步，求解方程A(E)=0，得到H(E)的相异极点r1,r2，,rg及相应的重数d1,d2,dg。将系统齐次差分方程表示为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 第二步第二步，求解方程得到各极点相应输入响应分量第 5 章 离散信号与系统的时域分析 第三步，第三步，写出系统的零输入响应 第四步第四步，由零输入响应初始条
30、件确定式（5.4-22）中的各个待定系数cij，并最后求出系统的零输入响应yx(k)。（5.4-22）第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.4-1 已知离散时间系统传输算子 及初始条件yx(0)=12，yx(1)=4.9，yx(2)=2.47，yx(3)=1.371。求该系统的零输入响应。解解 因为传输算子H(E)极点为r1=0.2，r2=0.3，r3=0.5(二重极点)。所以，可得 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 上式中令k=0,1,2,3,代入初始条件后得到 联立上述方程，求解得c10=5,c20=3,c30=4,c31=2。于是，系统的零输入响应为第 5 章 离散信号与系
31、统的时域分析 与连续系统中的H(p)一样，H(E)中若有复极点，则必定共轭成对。若设H(E)的共轭复极点为 式中：第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.4-2 设描述离散时间系统的差分方程 为 系统初始条件为yx(0)=2,yx(1)=3。试求k0时系统的零输入响应。解解 写出系统传输算子 其极点是一对共轭复极点：第 5 章 离散信号与系统的时域分析 由式(5.4-22)或式(5.4-23)，得 利用初始条件，得到即c1=2,c6=6于是得出系统的零输入响应第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.5 离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应 设系统的初始观察时间为k0，所谓离散时间
32、系统的零状态响应，是指该系统在k0时刻 的状态或者历史输入为零时，仅由kk0时加入的输入所引起的响应，通常记为yf(k)。在连续系统的时域法分析中，我们根据信号的分解特性和LTI系统的线性时不变特性，导出了系统零状态响应的计算公式。具体做法包括：(1)将一般信号分解为众多基本信号单元的线性组合；(2)求出基本信号激励下系统的零状态响应；(3)导出一般信号激励下系统零状态响应的计算公式。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.5.1 离散信号的时域分解离散信号的时域分解 根据单位脉冲序列定义和序列位移的概念，我们有 于是可得 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 因此，对于任意序列f(k)，可
33、写成 即(5.5-1)第 5 章 离散信号与系统的时域分析 图 5.5-1 离散信号的时域分解 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 可以将图 5.5-1 所示的序列分解表示为 显然，式(5.5-1)是与连续时间信号f(t)的时域分解公式:相对应的。在连续系统时域分析中，我们还给出了另一个分解公式 容易得到相应的分解公式为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.5.2 基本信号基本信号(k)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 设系统初始观察时刻k0=0，则离散系统对于单位脉冲序列(k)的零状态响应称为系统的 单位脉冲响应，或简称为单位响应，记作h(k)。LTI离散系统的单位响应可由系统的
34、传输算子H(E)求出。例例 5.5-1 单极点情况。若系统传输算子 具有单极点E=r，则相应的差分方程为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 令f(k)=(k)时，其yf(k)=h(k)，故有即 移项后有 根据系统的因果性，当k-1时，有h(k)=0。以此为初始条件，对式(5.5-6)进 行递推运算得出 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 因此有 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.5-2 重极点情况。设系统传输 算子 在E=r处有二阶重极点。写出系统的差分方程 同样，令f(k)=(k)，得到单位响应h(k)的求解方程为 将该方程改写为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 可
35、将上式方括号中的(E-r)h(k)表示为 或者写成 采用例 5.5-1 类似求解方法，可求得系统的单位响应 于是有 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 同理，可得 以及d阶重极点相应的单位响应 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 设LTI离散系 统的传输算子为 求单位响应h(k)的具体步骤是：第一步，将H(E)除以E得到 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 第二步，将 展开成部分分式和的形式；第三步，将上面得到的部分分式展开式两边乘以E，得到H(E)的部分分式展开式 第四步，由式(5.5-11)求得各Hi(E)对应的单位响应分量hi(k)；第五步，求出系统的单位响应 第 5 章 离散信号
36、与系统的时域分析 例例 5.5-3 求图 5.5-2 所示离 散系统的单位响应h(k)。图 5.5-2 例 5.5-3图 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 解解 或写为 相应的传输算子为将 进行部分分式展开，得第 5 章 离散信号与系统的时域分析 由于 所以，系统的单位响应 于是第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.5-4 如图 5.5-3 的离散 系统，求其单位响应h(k)。图 5.5-3 例 5.5-4图 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 解解(1)列算子方程。它可写为由右端加法器的输出端可列出方程系统的输入输出算子方程第 5 章 离散信号与系统的时域分析 (2)求单位响
37、应。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 将上面两个单位响应分量相减，即可得到系统的单位响应 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.5-5 设描述离散时间系统的差分 方程为 求系统的单位响应。解解 由已知差分方程得系统传输算子第 5 章 离散信号与系统的时域分析 将 进行部分分式展开，得即由式（5.5-11）得第 5 章 离散信号与系统的时域分析 因此，系统单位响应为第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.5.3 一般信号一般信号f(k)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 设离散时间系统的输入为f(k)，对应的零状态响应为yf(k)。由离散时间信号的时 域分解公式(5.5-1)知
38、道，可将任一输入序列f(k)分解表示成众多移位脉冲序列的 线性组合，即 根据LTI离散系统的特性，应用单位响应h(k)可以分别求出每个移位脉冲序列f(m)(k-m)作用于系统的零状态响应。然后，把它们叠加起来就可以得到系统对输 入f(k)的零状态响应yf(k)。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 单位响应定义 系统的时不变特 性 yf(k)的齐次性 yf(k)的叠加性 信号的分解公式和卷积和运算 定义 于是，得到系统在一般信号f(k)激励下的零状态响应为(5.5-18)第 5 章 离散信号与系统的时域分析 可将离散时间系统的完全响应表示为 这一结果表明：LTI离散时间系统的零状态响应等于输入
39、序列f(k)和单位响应h(k)的卷 积和。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.5-6 已知离散系统的输入序列f(k)和 单位响应h(k)如下：求系统的零状态响应yf(k)。解解 根据式(5.5-18)，有 由卷积和的分配律，将上式写成 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 查卷积和计算公式表 5.1，得 由系统的时不变特性，得 于是，系统的零状态响应为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.5-7 描述某离散系统的差分方程 为y(k)-0.7y(k-1)+0.12y(k-2)=2f(k)-f(k-1)若输入f(k)=(0.2)k(k)，零输入响应初始条件yx(0)=8,y
40、x(1)=3。试求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。解解 写出系统的算子方程 其传输算子为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 先求系统的零输入响应yx(k)。将初始条件代入上式，有 解得c1=2,c2=6。故有零输入响应 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 再求系统的零状态响应yf(k)。此时，需要求出系统的单位响应。为此，将 即 写出系统单位响应 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 按式(5.5-18)计算零状态响应 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 最后，将零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)相加，得到系统的完全响应 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 5.6 系
41、统差分方程的经典解法系统差分方程的经典解法 1.齐次解齐次解 设n阶LTI离散系统的传输算子H(E)为 相应的输入输出方程可用后向差分方程表示为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 式中，ai(i=0,1,n-1)、bj(j=0,1,m)均为常数。当式(5.6-2)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程 的解称为齐次解齐次解，记为yh(k)。通常，齐次解由形式为ck的序列组合而成，将ck代入式(5.6-3)，得到 消去常数c，并同乘n-k，得 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 表表 5.2 特征根及其对应的齐次解特征根及其对应的齐次解 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 2.特解特
42、解 表表 5.3 自由项及其对应的特解自由项及其对应的特解 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 如果一个n阶 差分方程，特征根1为r重根，其余特征根均为单根，那么，该差分方程的完全解可 表示为 式中的各系数ci,cj由差分方程的初始条件，即n个独立的y(k)值确定。第 5 章 离散信号与系统的时域分析 例例 5.6 1 某离散时间系统的输入输出方程 为 已知f(k)=cos(k)(k),y(0)=15,y(2)=4。试求k0时系统的完全响应y(k)。解解 系统特征方程为 其特征根1=1/2,2=-1/3。故差分方程的齐次解为 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 因输入 由表5.3可设特解为相应右移序列为代入原差分方程，得比较方程两边系数，求得P=2，于是有第 5 章 离散信号与系统的时域分析 方程的完全解 第 5 章 离散信号与系统的时域分析 与连续系统响应类似，也称差分方程的齐次解为系统的自由响应自由响应，称其特解为强迫响应强迫响应。本例中，特征根|1,2|1，其自由 响应随k的增大而逐渐衰减为零，故为系统的暂态暂态响应响应。而强迫响应为 有始正弦序列，是系统的稳态响应稳态响应。