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1、用待定系数法求二次函数的解析式作课第1 页，本讲稿共26 页学习目标：1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法。2、能灵活地根据条件恰当地选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化。学习重点：用待定系数法求二次函数解析式。学习难点：灵活地根据条件恰当地选取解析式。第2 页，本讲稿共26 页回顾：用待定系数法求解析式已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k 0),因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），所以k+b=3-2k+b=-12解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为y=3x-6.设出
2、函数的解析式根据所给条件，将已知点坐标代入函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）解此方程或方程组，求待定系数将求出的待定系数还原到解析式中第3 页，本讲稿共26 页二次函数解析式有哪几种表达式？一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)第4 页，本讲稿共26 页求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。一般式y=ax2+bx+c（a,b,c 为常数，a0)思考：二次函数y=ax2
3、+bx+c的解析式中有几个待定系数？需要图象上的几个点才能求出来？第5 页，本讲稿共26 页例1 已知一个二次函数的图象过点（1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c（a0）由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：a=2,b=-3,c=5因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5变式1:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.设代解还原第6 页，本讲稿共26 页顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，a0).若已知抛物
4、线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.特别地，当抛物线的顶点为原点时，h=0,k=0,可设函数的解析式为 当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为 当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为思考：二次函数y=a(x-h)2+k的解析式中有几个待定系数？需要知道图象上的几个点才能求出来？如果知道图象上的顶点坐标为A(1,-1)和点B（2，1），两个点能求出它的解析式吗？y=ax2.y=ax2+k.y=a(x-h)2.第7 页，本讲稿共26 页例2：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求出对应的二次函数解析式变式
5、2：已知二次函数的图象经过点（4，3），并且当x=3时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k（a0）顶点是（1，2）y=a(x-1)2+2，y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式已知条件中的当x=3时有最大值4也就是抛物线的顶点坐标为（3,4），所以设为顶点式较方便y=-7(x-3)2+4即y=-7x2+42x-59第8 页，本讲稿共26 页解：设所求的二次函数为已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？y
6、=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式第9 页，本讲稿共26 页交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a0）当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，再把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。第10 页，本讲稿共26 页例3：已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3），求出对应的二次函数解析式。解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)
7、(x-x2)已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式（两根式）由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，y=a(x-1)(x-3),又过（0，-3），a(0-1)(0-3)=-3,a=-1 y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3练习：已知二次函数y ax2bx c 的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x 2，那么这个二次函数的解析式是_ _。分析：因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，又B(5，0)关于直线x2的对称点坐标为（-1,0），所以可以设为交点式，类似例3求解，当然也可以按一般式求解。y=(x-5)(x+1),即y=x2-4x-5第1
8、1 页，本讲稿共26 页课堂小结求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三组对应值，通常选择已知图象的顶点坐标或对称轴或最值 通常选择已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，或与X轴的一交点坐标与对称轴 通常选择yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，一般式y=ax2+bx+c;顶点式y=a(x-h)2+k，交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2)。第12 页，本讲稿共26 页1、求经过有三点A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函数的解析式.2、已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点C(2，5)，求其解析式。顶点式：交点式：
9、3、已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过点C(2，5)，求其解析式。一般式：反馈练习第13 页，本讲稿共26 页二次函数图象如图所示，(1)直接写出点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式2 22464 4824CAB第14 页，本讲稿共26 页 反馈练习4、已知抛物线对称轴为x=2，且经过点（1,4）和（5,0），求该二次函数解析式。第15 页，本讲稿共26 页5、已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与x 轴的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式。充分利用条件 合理选用以上三式第16 页，本讲稿共26 页6、抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0），且当x=
10、1时，函数有最大值为 4，求此函数解析式。7、抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0），对称轴为直线x=1，抛物线顶点到x轴的距离为4，求此函数解析式。*第17 页，本讲稿共26 页一、一般式 1.已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_。第18 页，本讲稿共26 页 2.已知一个二次函数的图象经过（1，8），（1，2），（2，5）三点。求这个函数的解析式第19 页，本讲稿共26 页二、顶点式 1.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。第20 页，本讲稿共26 页2、已知抛物线的顶点为（2，3），且
11、过点（1，4），求这个函数的解析式。第21 页，本讲稿共26 页应 用例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点 可得方程组 通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式过程较繁杂，评价第22 页，本讲稿共26 页设抛物线为y=a(x-20)216 解：根据题意可知 点(0，0)在抛物线上，通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活 评价 所求抛
12、物线解析式为 例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式 应 用第23 页，本讲稿共26 页设抛物线为y=ax(x-40）解：根据题意可知 点(20，16)在抛物线上，选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷 评价例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式 应 用第24 页，本讲稿共26 页课堂练习第25 页，本讲稿共26 页课堂小结求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三组对应值，通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标 通常选择顶点式 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标 通常选择交点式 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，第26 页，本讲稿共26 页