三角函数难题.doc.pdf

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1、一、选择题（题型注释）一、选择题（题型注释）1已知ABC外接圆O的半径为1，且OAOB 1C，从圆O内随机取一个32点M，若点M取自内的概率恰为3 3，判断ABC的形状（）4A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形【答案】B【解析】试题分析：依题意，1OA OB OA OB cosAOB cosAOB ，又22C，AOB，33在内易知AB 3，在ABC内由余弦定理得3 AC BC 2 AC BC cos2223，则3 AC BC AC BC AC BC22（当且仅当AC BC时，等号成立），又有几何概率可知SABC133 33 33 3，即SABC，SABCAC BC sin，AC

2、 BC 234444即AC BC 3，此时当且仅当AC BC 3，所以ABC为等边三角形.考点：正弦定理和余弦定理、基本不等式、几何概率.2若PQR的三个顶点坐标分别为P(cos A,sin A)，Q(cosB,sin B)，R(cosC,sinC)，其中A,B,C是ABC的三个内角且满足A B C，则PQR的形状是（）A锐角或直角三角形B钝角或直角三角形C锐角三角形D钝角三角形【答案】D【解析】解:因为PQR的三个顶点坐标分别为P(cos A,sin A)，Q(cosB,sin B)，R(cosC,sinC)，其中A,B,C是ABC的三个内角且满足A B C，则PQR的形状是则利用余弦定理可

3、知判定为钝角三角形选 D3函数f(x)Asin(x)b的图像如图，则f(x)的解析式与s f(0)f(1)f(2)+f(2010)的值分别为三角函数难题三角函数难题1sin2x1,s 2010211B.f(x)sinx1,s 201122211C.f(x)sinx1,s=20102221D.f(x)sinx1,s=201122A.f(x)【答案】B【解析】周期为 4,2011 除以 4 得商 502 余数 3.或 2010 除以 4 得商 502 余数 2，但应单独记 f(0).4图 1 是函数y sin x(0 x)的图像，A(x,y)是图像上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交其图像

4、于另一点 B（A,B 可重合）。设线段 AB 的长为 f(x),则函数 f(x)的图像是()【答案】A【解析】y Asin(x)(A 0,0,|2)MNOM ONA62676712【答案】C【解析】易知T，2，M(77,A)，N(,A)，A1212126已知函数f(x)cos xsin x(x R)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2),则x1 x2;f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间,上是增函数；443f(x)的图象关于直线x 对称；4 33 当x,时，f(x)的值域为,.6 344其中正确的命题为（）ABCD【答案】D【解析】略7已知长方形的四个项点 A（0，0），B（2，0），

5、C（2，1）和 D（0，1），一质点从 AB的中点 P0沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点P2、P3和 P4（入射解等于反射角），设 P4坐标为（x4,0),若1 x4 2,则tan的取值范围是（）（A）(,1)（B）(,)【答案】C【解析】考虑由 P0射到 BC 的中点上，这样依次反射最终回到 P0，此时容易求出 tan=条件知，1x42，则 tan131 23 3（C）(,)2 15 2（D）(,)2 25 31，由题设21，排除 A、B、D，故选 C.28ABC内接于单位圆，三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于A1、B

6、1、ABC BB1cosCC1cos222的值为（）C1。则sin Asin B sinCA2 B4 C6 D8【答案】A【解析】如图，AA1cos连BA1，则AA1 2sin(B ABCA B CBC)2sin()2cos().222222 AA1cosABCAA B CA C B 2cos()cos cos cos cos(C)cos(B)22222222BCA sin C sin B,同理 BB1cos sin A sin C,CC1cos sin A sin B,AA1cos BB1222BC2(sin A sin B sin C)cos CC1cos 2(sin A sin B si

7、n C),原式 2.选A.22sin A sin B sin C9设f1(x)2，f2(x)sinxcos 2x，f3(x)sinx cos2x，2f4(x)sin x2，上述函数中，周期函数的个数是（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B【解析】f1(x)2是以任何正实数为周期的周期函数；f2(x)不是周期函数。因为22为周期的周期函数,而T1sin x是以T1 2为周期的周期函数,cos2x是以T2与T2之比不是有理数，故f2(x)不是周期函数。f3(x)不是周期函数。因为sinx2是以T1 2 2为周期的周期函数,cos2x是以T2222为周期的周期函数,而T1 2，T2故f

8、3(x)是周期函数.f4(x)sin x不是周期函数.因此共有 2 个周期函数.选【B】10在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b1)，且x=logb(4x-4)的根，则ABC（）B是直角三角形，但不是等腰三角形 D不是等腰三角形，也不是直角三角形Csin B，都是方程 logAsin AbA是等腰三角形，但不是直角三角形C是等腰直角三角形【答案】B【解析】由 log2bx=logb(4x-4)得：x-4x+4=0，所以 x1=x2=2，故 C=2A，sinB=2sinA，因3A+B+C=180，所以 3A+B=180，因此 sinB=sin3A，3sinA-4sin A

9、=2sinA，sinA(1-4sin A)=0，又 sinA0，所以 sin A=A=30,B=90,C=60。故选 B。11已知,为锐角且2211，而 sinA0，sinA=。因此422,xR,f(x)(cosxcosx)()sinsin则下列说法正确的是()A.f(x)在定义域上为递增函数B.f(x)在定义域上为递减函数C.f(x)在,0上为增函数,在(0,)上为减函数D.f(x)在,0上为减函数,在(0,)上为增函数【答案】C【解析】coscos cos cos()sin1,同理:122sinsin时，下面四个函数中最大的是（）412当x0,A.sin(cos x)B.sin(sin x

10、)C.cos(sin x)D.cos(cos x)【答案】【解析】因为x0,2，所以0 sin x cosx 1。于是有24cos(sin x)cos(cos x)，sin(sin x)sin(cos x)。又因为sin xcosx 2sin(x)2，即cosx sin x，所以有242sin(cos x)sin(sin x)cos(sin x)。因此，cos(sin x)最大。213若、均为锐角，且2sin sin()，则与的大小关系为（）AB.C.D.不确定【答案】B【解析】2sin sin()2sin(2)cos(2)sin sin(2)14设ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等

11、比数列，则sin AcotC cos A的取值范围是（）sinBcotC cosB5 1)25 15 15 1C.(,)D.(,)222A.(0,)B.(0,【答案】C【解析】设a,b,c的公比为q，则b aq,c aq2，而sin AcotC cos Asin AcosC cos AsinCsin BcotC cosBsin BcosC cosBsinCsin(AC)sin(B)sinBb qsin(BC)sin(A)sin Aa因此，只需求q的取值范围因a,b,c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a,b,c要构成三角形的三边，必需且只需ab c且bc a即有不等式组22aaq aq,q

12、q1 0,即22aqaq aq q1 0.155 1 q,22解得q 5 1或q 5 1.22从而5 15 15 15 1，因此所求的取值范围是(q,)222215在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长，若cos Asin Aa b2的值是（）0则ccosB sin BA1 B2 C3 D2【答案】B【解析】cosAsin A2 0，(cosAsin A)(cosBsinB)2cosB sinBcos Acos B cos Asin B sin Acos B sin Asin B 2即cos(AB)sin(A B)2cos(AB)1,sin(A B)1A B,A B 90，a b

13、，a b2，故选 Bc二、填空题（题型注释）二、填空题（题型注释）16设集合A R，如果x0R满足：对任意a 0，都存在x A,使得0|x x0|a，那么称x0为集合A的一个聚点，则在下列集合中：（1）zz；（2）R1nR;(3)x|x,nN*;(4)x|x,nN*，以0为聚点的集合有n1n（写出所有你认为正确的结论的序号）【答案】（2）（3）【解析】试题分析：（1）对于某个 a1，比如 a=0.5，此时对任意的 xZ Z，都有|x-0|=0 或者+-|x-0|1，也就是说不可能 0|x-0|0.5，从而 0 不是 Z Z 的聚点；（2）集合x|xR，x0，对任意的 a，都存在 x=+-aa（

14、实际上任意比 a 小得数都可以），使得 0|x|=221,nN*中的元素是极限为na，0 是集合x|xR，x0的聚点；（3）集合x|x 0 的数列，对于任意的 a0，存在 n11，使 0|x|=a，0 是集合an1n（4）集合x|x,nN*中的元素是极 限为 1 的 数x|x,nN*的聚点；n1n列，除了第一项 0 之外，其余的都至少比 0 大|x|a 的 x，0 不是集合x|x 11，在 a的时候，不存在满足得 022n（3）,nN*的聚点故答案为（2）n11ab ab如果函数2考点：新定义问题，集合元素的性质，数列 的性质17对任意实数a,b，函数F(a,b)f(x)sin x,g(x)c

15、os x，那么对于函数G(x)Ff(x),g(x)对于下列五种说法：(1)函数G(x)的值域是 2,2；(2)当且仅当2k2 x 2k+1(k Z)时，G(x)0；(3)当且仅当x 2k(4)函数G(x)图象在倍；2(k Z)时，该函数取最大值 1；9,上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的 444(5)对任意实数 x 有G55 xG x恒成立44其中正确结论的序号是【答案】(2)(4)(5)【解析】试题分析：由已知得，G(x)Ff(x),g(x)Fsin x,cos x1sin xcosx sin xcosx252cos x,x 2k,2k445.当x2k,2k时，442sinx,x

16、2k3,2k44；当x2k3,2k时，Gx 2cos x2,244Gx 2sinx 2,2.函数G(x)的值域是2,2，所以(1)错误；(2)当x2k2,2k5452k,2k2 2k,2k2时，42G(x)0，所以(2)正确；(3)该函数的最大值是2，所以(3)错误；(4)在区间99和x，最低点对应的横坐标是,上，最高点对应的横坐标是x 4444x 和x 象在3，所以最高点间的距离是2，最低点间的距离是，所以“函数G(x)图229,上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的 4 倍”是正确的；44(5)因为Gx1 2sinx2sinx，所以2442sin x1 2cosx2513G x 2

17、sin x422513G x 2sin x4222sin x，2sin x1 2cosx2sin x，2所以对任意实数 x 有G55 xG x恒成立.44考点：1.三角函数的积化和差公式；2.三角函数的最值；3.三角函数的诱导公式；4.三角函数的图像与性质18已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且A 4，其外接圆半径为R,若cosBcosC1 AB AC m AO，则m _cb2R【答案】2【解析】试题分析：所以cosBcosC1cosBcosC AB AC m AOAB AC mAOcb2RsinCsinBcosBcosCcosC cosBAB AC AOBO BA AO 1AB ACmsin

18、CmsinBmsinBmsinCOA OB，结合正弦定理得2211cosB cosCcos AmsinC cosB cosCcos A 0m 22sinC sin A 2m 22考点：解三角形点评：本题难度较大且计算复杂，求解时主要是正余弦定理的应用及向量的运算，关键是把握OA OB OCsin4xcos4xsin2008xcos2008x12，19设a,b是非零实数，x R，若则a2a2006b2b2006a b2【答案】122 1003(a b)sin4xcos4x1，【解析】已知（1）a2b2a2b2b2a244将（1）改写成1 sin x cos x 2sin x 2cos x。ab4

19、4而1(sin x cos x)sin x cos x 2sin xcos x。2224422b2a24224所以有2sin x 2sin xcos x 2cos x 0。abasin4xcos4xb22，即sin xcos x 0,也即将该值记为 C。则由（1）知，44ababa2C b2C 211C。于是有，.(a2b2)2a2b2sin2008xcos2008x112502250222而。a Cb C(a b)20062006221004221003ab(a b)(a b)20cos(1【答案】1222【解析】根据题意要求，x 5x 6 0，0 x 5x 7 1。于是有x 5x 7 1。

20、x25x7 x25x6)。因此cos(1x25x7 x25x6)cos0 1。因此答案为 1。21 设x(0,【答案】68【解析】因为x(0,2)，则函数y 2252的最小值为_.4sin2xcosx2)，所以sin x 0,cos x 0，设k 0，y 2251122315 k 3 k k（1）ksin xkcos xk24sin xcosxcosx152225 22542sin x,ksin x,sin x,22 k4sin x4k其中等号成立当且仅当成立，1112cos3x cos x kcos2x32kcosxk此时15111，设t6，则2t415t32 0.而k2 k3k22t415

21、t32 2t4t316t32 t3(2t 1)2(2t 1)(4t22t 1)(2t 1)(t38t24t 2),故(2t 1)(t 8t 4t 2)0，注意到sin x 23215111,cos2x 1，判断易知满足限制条件的根只有t.3222 kk11时，k 6 64，不等式（1）取得等号.t22252所以函数y 的最小值为15 64 3364 64 68.24sin xcosx当t a2b222在ABC中，若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则=.c2【答案】3sin Asin Bsin AsinCsin BsinC，cos AcosBcos AcosCcosBco

22、sCabcosCsin AsinBcosCsin Asin Bsin(A B)亦即，即=1，即1.22sinCcosCcsin C【解析】切割化弦，已知等式即a2b2c2a2b2所以，1，故3.222cc三、解答题（题型注释）三、解答题（题型注释）23如图，在直角坐标系 xOy 中，锐角ABC 内接于圆x y 1.已知 BC 平行于 x 轴，AB 所在直线方程为y kx m(k 0)，记角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.22（1）若3k 2ac2AC,求cossin 2B的值；2222a c b（2）若k 2,记xOA(0 2),xOB(3),求sin()的值.2【答案】（1）【解析

23、】49+2 2；（2）-.518试题分析：（1）先利用余弦定理求sin B，再由三角函数诱导公式及二倍角公式求值；（2）法 1：先找出角a、b与 AB 所在直线的斜率之间的关系，再利用三角函数公式求解；法 2：联立 AB 所在直线方程和圆的方程，由韦达定理求得交点 A、B 的坐标关系，再利用和差化积公式把角a、b转化为坐标关系，进而求解.试题解析：（1）变式得：3sin B2ac12,解得sin B,4 分22cosBa c b3原式 sin2B1cosB9 2 2；3 分sin2B 2sin BcosB 2218（2）解:AOB=，作 ODAB 于 D，xOD 22,tan2 kOD 11,

24、k24分sin()42.51tan222tan3分x2 y212法2：,5x 4mxm21 0y 2xm4mm21设A(x1,y1),B(x2,y2),x1 x2,x1x2.2 分55sin()sincoscossin y1x2 x1y2(2x1m)x2 x1(2x2m)4x1x2m(x1 x2)455分考点：1、余弦定理及三角函数公式；2、三角函数运算.24已知函数f(x)2 3sin x 2cos x.（1）若x0,求f(x)的最大值和最小值；2cos2（2）若f(x)0,求xsin x 12的值。2sin(x 4)【答案】f(x)max 4,f(x)min 2.,cosx sin x1

25、tan xcosx sin x1 tan x1113 2313【解析】解：（I）f(x)2 3sin x 2cos 4(31sin x cosx)22=4sin(x 又6).3 分x0,6 x 6562 4sin(x)4，6 f(x)max 4,f(x)min 2.6 分（II）由于f(x)0,所以2 3sin x 2cos x解得tan x 138 分2cos2xsin x 12cosx sin x2(sin x22 cosx)222sin(x 4)cosx sin x1 tan xcosx sin x1 tan x1113 2313 分1325(本小题满分 12 分)已知函数f(x)asi

26、nx bcosx(a,bR,且 0)的部分图象如图所示(1)求a,b,的值；(2)若方程3f(x)f(x)m 02y23O762在x(,)内有两个不同的解,求实数m的取值范围133【答案】(1)a,b 1231，1(2)m的取值范围是：2 m0或m 12272)=2，163x【解析】(1)由图象易知函数f(x)的周期为T 4(31a b 013722又,f()0且f()1,即2,解得:a,b.所以,63221a 3b 122f(x)13sin x cos x sin(x).也可以按以下解释:上述函数的图象可由y sin x的322图象沿x轴负方向平移3313个单位而得到，其解析式为f(x)si

27、n(x)a,b.33222(2)x(,)x(0,)，0 sin(x)1设f(x)t，33问题等价于方程3t2t m 0在（0，1）仅有一根或有两个相等的根22方法一：m=3tt，t(0,1).作出曲线C：y=3tt，t(0,1)与直线l：y=m的图象t=时，y=当 m=161；t=0 时，y=0；t=1 时，y=2121或 0m2 时，直线l与曲线C有且只有一个公共点12m的取值范围是：2 m0或m 112方法二：当3t2t m 0仅有一根在(0,1)时，令g(t)3t2t m则g(0)g(1)0得到2 m 0;或g(0)0时m 0，或g(1)0时m 2（舍去）当两个等根同在（0,1）内时得到

28、 112m 0，m 综上所述，m的取值范围是：2 m0或m 26设计一种方法求cos36的值.【答案】见解析112112【解析】解法一：如图，在等腰ABC中，BAC 36，ABC ACB 72，ABC的角平分线交AC于D，设BC1，ABx，利用此图来求cos36.易知ABC与BCD相似，故xABBC1，即，解得1x1BCCDx 5 1.2x2 x2125 1ABC中，由余弦定理，cos36；2x24解法二：（用二倍角公式构造方程，解方程）cos144 2cos 72 1 22cos 36 11，即cos36 22cos 36 11，2222242设cos36 x，则x 2 2x 11，可化为8

29、x 8x x 1 0，22x18x38x21 0，因x1 0，故8x38x21 0，2x14x22x1 0，因x x 12，故4x 2x 1 0，25 15 1 5 1（x，故cos36.0舍去）44422227设f(x,y,z)sin(x y)sin(y z)sin(z x)，x,y,zR，求f(x,y,z)的最大值。【答案】当x 3,y 923时，函数f(x,y,z)的最大值是,z 433222【解析】f(x,y,z)sin(x y)sin(y z)sin(z x)11cos2(x y)1cos2(y z)1cos2(z x)5 分231(cos2xcos2y sin2xsin2y)(co

30、s2ycos2z sin2ysin2z)221(cos2zcos2xsin2zsin2x)10 分231(cos2xcos2y cos2z)2(sin2xsin2y sin2z)2324339，15 分244239当x,y 时，上式可以取到等号。故函数f(x,y,z)的最大值是。,z 333420 分28设、满足0 2，若对于任意x R,cos(x)cos(x)cos(x)0,求-【答案】【解析】设f(x)cos(x)cos(x)cos(x),由xR，f(x)0知，43f()0,f()0,f()0,即cos()cos()1,cos()cos()1，cos()cos()1.cos()cos()cos()0 2,4.3242,又,.只有333224,xR,记x，由,有3332244于三点(cos,sin),(cos(),sin(),(cos(),sin()构成单位圆3333另一方面，当x2 y21上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有cos cos(24)cos()0.即cos(x)cos(x)cos(x)0.33