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1、复变函数复习题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望主要内容主要内容一一、复数的几种表示及、复数的几种表示及运算，运算，区域，曲线；初等区域，曲线；初等复变函数。复变函数。二二、柯西、柯西-黎曼方程：黎曼方程：(1)判断可导与解析，求导数；判断可导与解析，求导数；七、七、Fourier变换的概念，变换的概念，函数，函数，卷卷积。三三、柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。四四、洛朗展式。洛朗展式。五五、留数：
2、、留数：(1)计算闭路积分；计算闭路积分；六六、保形映射：、保形映射：(1)求象区域；求象区域；八、八、利用利用Laplace变换求解常微分方程变换求解常微分方程(组组)。(2)构造构造解析函数。解析函数。(2)计算定积分。计算定积分。(2)构造构造保形映射。保形映射。9/24/20222一、填空题。一、填空题。(1)的模为的模为，辐角主值为，辐角主值为 .。.(2)的值为的值为的值为的值为 ，.。(3)伸缩率为伸缩率为处的旋转角为处的旋转角为映射映射w=z3-z在在z=i .。，.(4)在区域在区域D内解析的内解析的函数函数 .。充要条件为充要条件为9/24/20223(7).。(5)在在
3、z0=1+i处展开成泰勒级数的处展开成泰勒级数的 .。收敛半径为收敛半径为(6)z=0 是是(何种类型的奇点何种类型的奇点)。.的的(8)，已知已知 .。求求9/24/20224四四、计算下列各题：、计算下列各题：2.2.3.3.4.4.1.1.二二、验证验证z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是。三三、将函数将函数在在与与洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为9/24/20225五五、求区域求区域在映射在映射下的像。下的像。八八、设函数、设函数在在上解析，证明：上解析，证明：七七、用拉氏变换求解方程：、用拉氏变换求解方程：六六、求把下图
4、阴影部分、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。映射到单位圆内部的保形映射。i-i9/24/20226二二、验证验证z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是。故故 u(x,y)为调和函数为调和函数(1)解解:(2)方法一方法一9/24/20227二二、验证验证z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是。解解:故故 u(x,y)为调和函数为调和函数(1)(2)方法二方法二9/24/20228三三、将函数将函数在在与与洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为解解:(1)在在 z=1 处处
5、129/24/20229三三、将函数将函数在在与与洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为解解:(2)在在 z=2 处处129/24/202210四四、1.1.解解:方法一方法一:利用留数求解利用留数求解 z=0 为二级极点为二级极点,方法二方法二:利用高阶导数公式求解利用高阶导数公式求解9/24/202211四四、2.2.解解:z=1 为本性奇点为本性奇点,9/24/202212四四、3.3.解解:9/24/202213四四、4.4.解解:9/24/202214五五、求区域求区域在映射在映射下的像。下的像。解解:(z)(w)010ii/21+i(1+i)/2i219/24/202215六六、求把
6、下图阴影部分、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。映射到单位圆内部的保形映射。i-i(z)(w)(z2)(z1)9/24/202216七七、用拉氏变换求解方程：、用拉氏变换求解方程：(1)对方程两边取拉氏变换得：对方程两边取拉氏变换得：解：解：9/24/202217(2)求拉氏逆变换求拉氏逆变换方法一：方法一：利用部分分式求解利用部分分式求解9/24/202218(2)求拉氏逆变换求拉氏逆变换方法二：方法二：利用留数求解利用留数求解一阶极点一阶极点二阶极点，二阶极点，9/24/2022199/24/202220八八、设函数、设函数在在上解析，证明：上解析，证明：证明：证明：(1)奇奇点
7、点由于由于(2)左边左边=9/24/202221(7)0;(8)一一、(1)1,;(2)(5);(4)u,v 在在D内可微，且满足内可微，且满足CR方程方程(3),4;(6)可去奇点可去奇点9/24/202222(1)(1)预处理：使边界至多由两段圆弧预处理：使边界至多由两段圆弧(或直线段或直线段)构成。构成。一般步骤：一般步骤：(2)(2)将边界的一个交点将边界的一个交点z1 1映射为映射为，(3)(3)将角形域或者带形域映射为上半平面。将角形域或者带形域映射为上半平面。(4)(4)将上半平面映射为单位圆。将上半平面映射为单位圆。工具：工具：几种简单的分式映射、幂函数等。几种简单的分式映射、
8、幂函数等。另一个另一个(交交)点点z2 2映射为映射为0 0 从而将区域映射为角形域或者带形域。从而将区域映射为角形域或者带形域。工具：工具：工具：工具：(对于角形域对于角形域)(对于带形域对于带形域)工具：工具：(无附加条件无附加条件)(由附加条件确定由附加条件确定 0 0,z0 0)9/24/202223 先先通通过过Laplace变变换换将将微微分分方方程程(组组)化化为为象象函函数数的的代代数数方方程程(组组)，由由代代数数方方程程求求出出象象函函数数，再再取取Laplace逆逆变变换换，就得到微分方程就得到微分方程(组组)的解的解 =工具：工具：方法：方法：象函数的象函数的代数方程代数方程(组组)求解求解拉拉氏氏逆逆变变换换拉拉氏氏正正变变换换得到象函数得到象函数微分方程微分方程(组组)的解的解微分方程微分方程(组组)9/24/202224