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1、1 复变函数与积分变换B 复习题一、 复数运算与复变函数1. 已知复数31iz，求| z和zarg，并将z写成三角表示式和指数表示式。2. 设复数)sin(cosirz，其中0r，求z1的三角表示式和指数表示式。3. 设复数iz31， 求 z ，| z ，zarg，Argz, 7z, |7z, 7arg z。4.已知复数43)21 ()43(iiz，求|z。5. 已知复数iiz13，求zarg和z。6已知复数iz322，求3z 。7计算复数iiz)1 (，并求z的实部zRe和虚部zIm。8设iez97，求zarg， z ，zRe 和zIm。9计算)2(iLn，并求其实部zRe 和主值)2ln(
2、i。10. 已知103131iiz,求 z ，zarg。11. 已知复数z满足方程ieiz12，求z和zRe。12. 求方程iez31的所有解。13. 已知复数)1cos(iz，求z的实部zRe 和虚部zIm。14. 已知复数)2sin(iz，求z的实部zRe 和虚部zIm。15. 判定以下函数在复平面上的可导性及解析性，并求出函数在可导点处的导数。（1）2212)(iyxzf（2）)23(13)(3223yyxixyxzf（3）)Re()(22zizzf（4）) 3(1)(3223yyxixyxzf16.试确定a的值，使函数)6(23)(3223yyaxixyxzf在复平面上处处解析，并求导
3、数)(zf。2 二、复变函数的积分1. （1）计算积分izdzz02sin(请将结果写成iba的形式，其中Rba,)。（2）计算积分izdz03cos(请将结果写成iba的形式，其中Rba,)。2. 计算Cdzz2，其中曲线C为（1）从原点到iz1的直线段；（2）从iz沿单位圆周1z到iz的曲线；（3）抛物线2xy从原点到点)1,1(的一段。3. 计算Cdzzz|，其中C为正向圆周2z。4. 计算积分czdzze)Re(2，其中:C从01z到iz12的直线段。5计算曲线积分dzzC)2(，其中C为中心在2z半径为1的上半圆周（逆时针方向）。6. 计算曲线积分dzzeCz，其中C为由正向圆周31
4、z与负向圆周21z所围成的曲线。7. 计算以下曲线积分（1）31113coszdzzizz； （2）32)1(232zzzdzzze； （3）332coszdzzz；（4）42)2(sinzdzzz； （5）2122)4(zzdzzze； （6）1| 1|2sin23zzdzzze三、洛朗级数1. 判断以下级数的敛散性（1）13)2(2nnnin； （2）1212)(nnni； （3）1223)1(1nnnin； （4）15nnnin。2. 求幂级数nnnznn12) !(的收敛半径和收敛圆周（收敛圆盘） 。3. 求幂级数nnnzin) 1()8(12的收敛半径和收敛圆周（收敛圆盘）。4将函数
5、zzzf2cos)(在z0内展开成洛朗级数。3 5. 将321)(2zzzf在下列圆环域内展成洛朗级数10z； 34z； 541z。6将321)(2izzzf在下列圆环域内展成洛朗级数31z；iz4。四、留数1. 已知函数)(zf在2z处的去心邻域20z内的洛朗展式为2282123)(2zzzzf（1）判断孤立奇点2z的类型；（2）2,)(Rezfs。2已知函数2213)(zzzf，求（ 1）izfs,)(Re，izfs,)(Re；（2）利用上述结果计算Cdzzf)(，其中C为含1z在内的任一正向简单闭曲线。3计算Cdzzzz)3)(12(2，其中 C 为包含21z和3z在内的任一正向简单闭曲
6、线。4计算积分Cdzzz32cos,其中曲线 C12:z取正向。5计算积分3121sinzdzz，其中3z为正向圆周。6. 计算下列留数（1）,Re42iizesz； （2）),1sin()(Re2iziizs； （3）0,4cosRe23zzs（4）0,)1ln()32(Rezzzs； （5）0,)2(1Re23zzesz； （6）0,Re32zezs。7. 求下列函数的所有有限孤立奇点，并判别其类型（1）)4(13)(232zzzzf； （2）3sin)(zzzzf； （3）zzzzf4cos2)(3； （4）zezf211)(；4 （5）)31ln()(4zzzf； （6）23) 1()
7、1(1312)(zzzzzf。8. 计算曲线积分dzzzzC3103cos2，其中C为正向圆周2z。9. 计算曲线积分Cdzzzz143sin2，其中C为圆周4z沿顺时针方向。10. 已知曲线C是任意 一条不经过点1与1 的正 向简单闭曲线，计算曲线积分Czdzzze)1)(1(2。11. 计算曲线积分Rzzdzzze22，其中0|Rz为正向圆周，且1R，2R。五、积分变换1. 求以下函数的 Laplace逆变换（1）142)()(2sstfLsF； （2）142)()(2sstfLsF； （3）52)()(2ssstfLsF；（4）3)2(23)()(sstfLsF； (5) 122)()(
8、2ssstfLsF； (6) 821)()(2sstfLsF。2. 若4)2(1)(stfL，求)(0tdttfL。3. 利用 Laplace 变换的性质计算下列Laplace 变换（1）2sinteLt； （2）costtL； （3）)cos1(2tL； （4）sin1 2tL；（5）cos2ttL； （6）2cos1ttL； （7）3sintteLt； （8）cos3tteLt。4. 若tttdtettf03sin)(，求)(tfL.5利用 Laplace 变换的性质计算广义积分（1）032cos tdttet； （2）0sindtettt； （3）022cos1dtettt；（4）032sin tdtet； （5）022dtett。6. 计算下列 Laplace 卷积（1）ttsin ； （2）tet；（3）ttee。5 7利用 Laplace 变换求解微分方程：4)0(,0)0(132yyyyy.8. 利用 Laplace 变换求解微分方程的初值问题：tyysin4 , 0)0( )0(yy.9. 利用 Laplace 变换求解微分方程：1)0(, 0)0(824yyeyyyt. 10.利用 Laplace 变换求解微分方程2)0(, 1)0(322yyeyyyt。11. 用 Laplace变换解下列积分方程)0()()cos(2sin)(0tdftttft.