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1、导数典型例题1导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例 1】函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-100)在 x=0 处的导数值为A.0B.1002C.200D.100！解法一 f(0)=limf(0 x)f(0)x(x 1)(x 2)(100)0 x0 x=lim
2、x0 x=lim(x-1)(x-2)(x-100)=（-1）（-2）（-100）=100！选 D.x0解法二 设 f(x)=a101x101+a100 x100+a1x+a0，则 f(0)=a1，而 a1=（-1）（-2）（-100）=100！.选 D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例 2】已知函数 f(x)=c0 c1nx 12c2nx21kcknnxk1ncnnnx，nN N*，则limf(2 2x)f(2 x).x0 x=解 limf(2 2x)f(2 x)=2x0 xlimf(2 2
3、x)f(2)+x02xf2 (x)f(2)limx0 x=2f(2)+f(2)=3 f(2)，又f(x)=c12kk1n cnx cnx cnn1nx，f(2)=12（2c122 2kcknn11n 2 cnn 2 cn）=2(1+2)n-1=2(3n-1).点评 导数定义中的“增量 x”有多种形式，可以为正也可以为负，如f(x0 mx)f(x0)，且 其 定 义 形 式 可 以 是f(x0 mx)f(x0)limx0 mxlimx0 mx，也 可 以 是limf(x)f(x0)x0 x x0（令x=x-x0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，
4、背景新颖.【例 3】如圆的半径以 2 cm/s 的等速度增加，则圆半径 R=10 cm 时，圆面积增加的速度是.第1页共5页每个学生都应该用的“超级学习笔记”导数典型例题解 S=R2，而 R=R(t)，R2t=2 cm/s，St=(R)t=2RRt=4R，St/R=10=4R/R=10=40 cm2/s.点评 R 是 t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间 t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“S=R2，S=2R，S/R=10=20 cm2/s”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值
5、.2004 年高考湖北卷理科第 16 题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4 分.二、与曲线的切线有关的问题【例 4】以正弦曲线 y=sinx 上一点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是A.0,344,B.0,C.4,34D.30,42,4解 设过曲线 y=sinx 上点 P 的切线斜率角为，由题意知，tan=y=cosx.cosx-1，1，tan-1，1，又0,，0,344,.故选 A.点评 函数 y=f(x)在点 x0处的导数 f(x0)表示曲线，y=f(x)
6、在点（x0，f(x0)）处的切线斜率，即 k=tan(为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例 5】曲线 y=x3-ax2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数 a的值.解 点（0，1）不在曲线上，可设切点为（m,m3-am2）.而 y=3x2-2ax，k切=3m3-2am，则切线方程为 y=(3m3-2am)x-2m3-am2.切线过（0，1），2m3-am2+1=0.(*)设（*）式左边为 f(m)，f(m)=0，由过（0，1）点的切线有 2 条，可知 f(m)=0 有两个实数解，其等价于“f(m)有极值
7、，且极大值乘以极小值等于 0，且 a0”.由 f(m)=2m3-am2+1，得 f(m)=6m3-am2=2m(3m-a)，令 f(m)=0，得 m=0，m=a3，a0，f(0)f(a133)=0，即 a0，-27a+1=0，a=3.点评 本题解答关键是把“切线有 2 条”的“形”转化为“方程有 2 个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于 0，且极小值小于 0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.第2页共5页2每个学生都应该用的“超级学习笔记”导数典型例题三、与函数的单调性、最（极）值有关的问
8、题【例 6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.、B.、C.、D.、解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于 0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于 0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是、，故选 C.点评 f(x)0（或，其中是方程 f(x)=x 的实数根；an+1=f(an)，nN N*；f(x)的导数 f(x)（0，1）.（1）证明：an，nN N*；（2）判断 an与 an+1的大小，并证明你的结论.（1）证
9、明：（数学归纳法）当 n=1 时，由题意知 a1，原式成立.假设当 n=k 时，ak，成立.f(x)0，f(x)是单调递增函数.ak+1=f(ak)f()=，（是方程 f(x)=x 的实数根）第3页共5页3每个学生都应该用的“超级学习笔记”导数典型例题即当 n=k+1 时，原式成立.故对于任意自然数 N*，原式均成立.（2）解：g(x)=x-f(x),x，g(x)=1-f(x)，又0 f(x)0.g(x)在,上是单调递增函数.而 g()=-f()=0，g(x)g()(x)，即 xf(x).又由（1）知，an，anf(an)=an+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导
10、数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例 9】设 x0，比较 A=xe-x，B=lg(1+x)，C=x1 x的大小.解 令 f(x)=C-B=x1 x-lg(1+x)，则 f(x)=(1 x 1)22(1 x)1 x0，f(x)为0,上的增函数，f(x)f(0)=0，CB.令 g(x)=B-A=lg(1+x)-xe-x，则当 x0 时，g(x)=1ex(1 x2)1 x0，g(x)为0,上的增函数，g(x)g(0)=0，BA.因此，CBA（x=0 时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f(a)=(a)，要证明当 xa 时，有 f(a)=
11、(a)，则只要设辅助函数 F(x)=f(a)-(a)，然后证明 F(x)在 xa 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004 年全国卷的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例 10】某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：y 与(a-x)和 x2的乘积成正比；当x a2时，y=a3.并且技术改造投入比率：x2(a x)0,t,其中 t 为常数，且 t0,2.（1）求 y=f(x)的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值 y 的最大值
12、及相应的 x 值.解：（1）由已知，设 y=f(x)=k(a-x)x2，2当x a2时，y=a3，即 a3=kaa24，k=8，则 f(x)=8-(a-x)x2.0 x2(a x)t，解得 0 x2at2at2t 1.函数 f(x)的定义域为 0 x2t 1.第4页共5页4每个学生都应该用的“超级学习笔记”导数典型例题（2）f(x)=-24x2+16ax=x(-24x+16a)，令 f(x)=0，则 x=0（舍去），x 2a3，当 0 x0，此时 f(x)在（0，3）上单调递增；当 x2a3时，f(x)0，此时 f(x)是单调递减.当2at2t 12a3时，即 1t2 时，y2a32max=f
13、(33)=27a；2at2a2at32a3t2当2t 13时，即 0t1 时，ymax=f(2t 1)=(2t 1)3.综上，当 1t2 时，投入2a3万元，最大增加值是3227a3，当 0t1 时，投入2at2t 1万元，最大增加值是32a3t2(2t 1)3.点评 f(x0)=0，只是函数 f(x)在 x0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数 f(x)确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时 f(x)在定义区间内部又只有一个使 f(x0)=0 的点 x0，那么就不必判断 x0是否为极值点，取什么极值，可断定 f(x0)就是所求的最大或最小值.第5页共5页5每个学生都应该用的“超级学习笔记”