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1、厚德启智心怀天下第1页共5页1 导数典型例题每个学生都应该用的“超级学习笔记”导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点 . 一、与导数概念有关的问题【例 1】函数 f(x)=x(x- 1) (x- 2)(x- 100)在 x= 0 处的导数值为A.0 B.1002C.200 D.100 ！解法一f(0
2、)=xfxfx)0()0(lim0= xxxxx0)100()2)(1(lim0=lim0 x( x-1)( x-2 ) (x- 100)= （ - 1） （- 2）（ - 100） =100！选 D. 解法二设 f(x)=a101x101+ a100 x100+ a1x+a0，则 f(0)= a1，而 a1=（ - 1） （-2 ）（ - 100）=100！. 选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限 .解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例 2】 已知函数f(x)=nnnkknnnnxcnxckxcxcc11212210， n
3、N*，则xxfxfx)2()22(lim0= . 解 xxfxfx)2()22(lim0=2xfxfx2)2()22(lim0+ xfxfx)2()(2lim0=2f(2)+ f(2)=3 f(2) ，又 f(x)=1121nnnkknnnxcxcxcc，f(2)= 21（2nnnknknncccc222221）=21(1+2)n- 1= 21(3n- 1). 点评导数定义中的“增量x”有多种形式，可以为正也可以为负，如xmxfxmxfx)()(000lim， 且 其 定 义 形 式 可 以 是xmxfxmxfx)()(000lim， 也 可 以 是000)()(limxxxfxfx（令 x=
4、x- x0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例 3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R=10 cm 时，圆面积增加的速度是. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 厚德启智心怀天下第2页共5页2 导数典型例题每个学生都应该用的“超级学习笔记”解 S= R2，而 R=R(t)，tR=2 cm/s ，tS=tR )(2=2 RtR=4R，t
5、S/R=10=4 R/R=10= 40 cm2/s. 点评R 是 t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（ R 是中间变量） ，此题易出现“ S=R2， S=2 R，S/R=10=20 cm2/s”的错误 .本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4 分.二、与曲线的切线有关的问题【例 4】 以正弦曲线y=sin
6、 x 上一点 P 为切点的切线为直线l，则直线l 的倾斜角的范围是A.4,0,43B. ,0C.43,4D. 4,043,2解 设过曲线y=sinx 上点 P 的切线斜率角为，由题意知，tan=y=cosx. cosx - 1， 1，tan - 1， 1，又,0，4,0,43. 故选 A. 点评函数 y=f(x)在点 x0处的导数f(x0)表示曲线， y=f(x)在点 （x0，f(x0)）处的切线斜率，即 k=tan (为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例 5】 曲线 y=x3- ax2的切线通过点（0，1） ，且过点（ 0，
7、1）的切线有两条，求实数a的值 . 解 点（ 0， 1）不在曲线上，可设切点为（m,m3-am2）.而 y=3x2-2 ax，k切=3m3-2 am，则切线方程为y=(3m3-2 am)x- 2m3- am2. 切线过（ 0，1） ， 2m3- am2+1=0.(*) 设（ *）式左边为f(m)， f(m)=0，由过（ 0，1）点的切线有2 条，可知f(m)=0 有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且 a0”. 由 f(m)=2m3- am2+1，得 f(m)= 6m3- am2=2 m(3m- a)，令 f(m)=0，得 m=0 ，m=3a，a 0，f(0) f
8、(3a)=0 ，即 a0，-271a3+1=0， a=3. 点评本题解答关键是把“切线有2 条”的“形” 转化为 “方程有2 个不同实根” 的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 厚德启智心怀天下第3页共5页3 导数典型例题每个学生都应该
9、用的“超级学习笔记”三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例 6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.、B.、C.、D.、解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是、，故选C. 点评f(x)0（或 ，其中是方程f(x)=x 的实数根；an+1=f(an)， n N*； f(x)的导数 f(x)（ 0， 1） . （1）证明： an， nN
10、*；（2）判断 an与 an+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）当 n=1 时，由题意知a1，原式成立. 假设当 n=k 时， ak，成立 . f(x)0， f(x)是单调递增函数. ak+ 1= f(ak) f()=， （是方程f(x)= x 的实数根）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 厚德启智心怀天下第4页共5页4 导数典型例题每个学生都应该用的“超级学习笔记”即当 n=k+1 时，原式成立
11、. 故对于任意自然数N*，原式均成立. （2）解： g(x)=x- f(x),x， g(x)=1- f(x)，又 0 f(x)0. g(x)在,上是单调递增函数. 而 g()=- f()=0， g(x)g( ) (x )，即 xf(x). 又由（ 1）知， an， anf(an)=an+ 1. 点评本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例 9】 设 x0，比较A=xe-x，B=lg(1+ x)，C=xx1的大小 . 解 令 f(x)=C- B=xx1-lg(1+ x)，则 f(x)= xxx1)1 (2)11(20，f
12、(x)为,0上的增函数，f(x)f(0)=0 ， CB. 令 g(x)=B- A=lg(1+ x)- xe-x，则当 x 0 时， g(x)=xxex1)1(120，g(x)为,0上的增函数，g(x)g(0)=0 ， B A. 因此， CB A（ x=0 时等号成立）. 点评运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f(a)=(a)，要证明当 xa 时，有 f(a)=(a)，则只要设辅助函数F(x)= f(a)-(a)，然后证明F(x)在 xa 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例 10】 某汽
13、车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：y 与(a- x)和 x2的乘积成正比；当2ax时， y=a3.并且技术改造投入比率：)(2xaxt ,0,其中 t 为常数，且t2, 0. （1）求 y=f(x)的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解： （ 1）由已知，设y=f(x)=k(a- x)x2，当2ax时， y= a3，即 a3=k2a42a， k=8，则 f(x)=8- (a- x)x2. 0)(2xax t，解得0 x122tat.
14、函数f(x)的定义域为0 x122tat. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 厚德启智心怀天下第5页共5页5 导数典型例题每个学生都应该用的“超级学习笔记”（2） f(x)= - 24x2+16ax=x(- 24x+16a)，令 f(x)=0，则 x=0（舍去），32ax，当 0 x0 ，此时 f(x)在（ 0，32a）上单调递增；当 x32a时， f(x)0，此时f(x)是单调递减. 当122tat32a时，即1
15、t 2 时， ymax=f(32a)=32732a；当122tat32a时，即 0t1 时， ymax=f(122tat)=323)12(32tta. 综上，当 1 t2 时，投入32a万元，最大增加值是32732a，当 0 t1 时，投入122tat万元，最大增加值是323)12(32tta. 点评f(x0)=0 ，只是函数f(x)在 x0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数 f(x)确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时 f(x)在定义区间内部又只有一个使 f(x0)=0 的点 x0，那么就不必判断x0是否为极值点，取什么极值，可断定f(x0)就是所求的最大或最小值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -