2022年导数典型例题讲解 .pdf

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1、学习必备欢迎下载资料一 ：导数 .知识点1导数的概念例 1已知曲线 y=3x上的一点 P(0, 0)，求过点 P 的切线方程 解析：如图，按切线的定义，当x0 时，割线PQ 的极限位置是 y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x=0. 例 2求曲线 yx2在点(2，4)处的切线方程 解析：y=x2, y=(x0 x)2x022x0 x(x)2 =4x(x)2 k00limlim(4)4xxyxx. 曲线 yx2在点(2，4)处切线方程为 y44(x2)即 4xy40. 例 3物体的运动方程是S1tt2，其中 S的单位是米， t 的单位是秒，求物体在 t5 秒时的瞬时速度及物体在一段

2、时间5，5t内相应的平均速度解析：S=1+t+t2, S=1+(t+t)+(t+t)2(1+t+t2)=2t t+t+(t)2, 21Sttt, 即( )21v ttt, (5)11vt, 即在5，5t的一段时间内平均速度为 (t11)米秒 v(t)=S 00limlim(21)21ttStttt即 v(5)2 5111. 物体在 t5 秒时的瞬时速度是11 米秒例 4利用导数的定义求函数y=1x在 x=1 处的导数。解析：y=111111xxx, yx=11(11)xx, 0limxyx=011lim21(11)xxx. 例 5已知函数 f(x)=21sin000 xxxx, 求函数 f(x

3、)在点 x0 处的导数解析： 由已知 f(x)=0， 即 f(x)在 x=0 处有定义，y=f(0+x)f(0)=21() sinxx, yx=1sinxx, 0limxyx=01limsinxxx=0, 即 f (0) 0. 函数 f(x)在 x0 处导数为 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 6已知函数 f(x)=21(1)121(1)12xxxx, 判断 f(x)在 x1 处是否可导？解析： f(1)=1, 20001(1)1 112limlimlim (1)12xxxxyxxx, 0

4、01(11) 112limlim2xxxyxx, 00limlimxxyyxx, 函数 y=f(x)在 x1处不可导例 7已知函数y2x33，求 y . 解析：y=2x3+3, y=2(x+x)3+3(2x3+3)=6x2 x+6x (x)2+2(x)3, yx=6x2+6x x+2(x)2, y =0limxyx=6x2. 例 8已知曲线 y2x33 上一点 P，P 点横坐标为 x1，求点 P 处的切线方程和法线方程解析：x=1, y=5, P 点的坐标为 (1, 5), 利用例 7 的结论知函数的导数为y =6x2, y1|x6, 曲线在 P 点处的切线方程为y56(x1) 即 6xy10

5、, 又曲线在 P 点处法线的斜率为61，曲线在 P 点处法线方程为 y561( x1)，即 6yx310. 例 9抛物线 yx2在哪一点处切线平行于直线y4x5？解析：y =0limxyx=220()lim2xxxxxx, 令 2x4 x=2, y4, 即在点 P(2，4)处切线平行于直线y4x5. 例 10设 mt0，f(x)在 x0处可导，求下列极限值(1) 000()()limxf xm xfxx；(2) 000()()limxxf xf xtx. 解析：要将所求极限值转化为导数f (x0)定义中的极限形式。(1) 000()()limxf xm xf xx=0000()()lim()(

6、)xf xm xf xmm fxm x, （其中 m x0）(2) 000()()limxxf xf xtx=0000()()11lim()xxf xf xtfxxttt. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载（其中10 xt）例 11设函数 f(x)在 x1 处连续，且1( )lim21xf xx，求 f (1). 解析：f(x)在 x1 处连续，1lim( )xf xf(1). 而又1111( )( )lim( )lim(1)lim(1) lim011xxxxf xf xf xxxxx 2=0.

7、f(1)=0. f (1)=01(1)(1)( )(1)limlim21xxfxff xfxx（将x换成 x1）即 f (1)2. 例 12已知抛物线 yax2+bx+c (a0)，通过点 (1，1)，且在点 (2，1)处与直线yx3 相切，求 a，b，c的值解析：由 y 0limxyx=220()()()lim2xa xxb xxcaxbxcaxbx, 由函数在点 (2，1)处与直线 yx3 相切, 2a 2b1，又函数过点 (1，1)，(2，1), abc=1， 4a2bc1，由三式解得 a3，b11，c=9. 例 13设曲线 ysinx 在点 A(6，21)处切线倾斜角为 ，求 tan(

8、4 )的值. 解析：y=sinx，y=sin(x+x)sinx=2cos(x+2x)sin2x, y =0limxyx=0002cos()sinsin222limlim cos() limcos22xxxxxxxxxxxx. 即 y (sinx) cosx, 令在 A 点处切线斜率为 k=cos6=23, tan =23, (0, ), tan(4 )311tan274 31tan312H，例 14 设 f(x)是定义在 R 上的函数，且对任何 x1、 x2R， 都有 f(x1x2)=f(x1)f(x2)，若 f(0)0，f (0) 1，证明：对任何 xR，都有 f(x)=f (x) 解析：由

9、 f(x1x0)=f(x1)f(x2)，令 x1x20 得 f(0)f(0)f(0), 又 f(0)0 f(0)=1 由 f (0) =1 即00()(0)()1limlim1xxfxffxxx, f (x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载000()( )( ) ()( )()1limlim( ) lim( )xxxf xxf xf x fxf xfxf xf xxxx. 即 f (x)=f(x)成立2几种常见函数的导数例 1已知 f(x)=x3，求 f (x) ，f (1) ，(f(1) ，f

10、( 0.5)解析： f(x)=x3, f (x)3x2, f (1)=3,f ( 0.5) 3 (0.5)2= 0.75，(f(1) =(1) =0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值例 2已知曲线 y=x2上有两点 A(1, 1), B(2, 4)，求 割线 AB 的斜率；在 1，1x内的平均变化率；过点 A 处的切线斜率 kAT； 点 A 处的切线方程解析：kAB41213； 平均变化率2(1)(1)(1)12yfxfxxxxx, y 2x , y|x12. 即点 A 处的切线斜率为 KAT2.

11、点 A 处的切线方程为 y12(x1)即 2xy10. 说明：通过本例搞清割线斜率， 区间上平均变化率， 某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系y=0limxyx. 例 3利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=1x在点 P(1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程解析：解法一： f(x)=1x, y=f(1+x)f(1)=1111xxx, y|x=1=0limxyx=01lim11xx. 即在点 P 处斜率为 k1， 倾斜角为 135 ，法线方程 y1x1 即 xy0. 解法(二)：y=f(x)1x，y= f (x)=21x, y|x=11. 即在

12、点 P 处切线斜率为 k=1，以下同法 (一) 说明：求导致方法有两种， 一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可例 4已知曲线 y=3x上的一点 P(0，0)，求过点 P 的切线方程 . 解析：由 y=3x, y=3321()3xx, 在 x=0 处导数不存在，由图形知过 P 点的切线方程是 x=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 5设曲线 ycosx 在 A(6，23)点处的切线倾斜角为 ，求 cot(4)的值解析： y=cosx, y=

13、 sinx, x=6时, k=sin6=21, tan = 21， cot(4)=1111tan1211tan3tan()142. 例 6求曲线 yx3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积解析：y=x3, y=3x2, y|x=3=27, 曲线 y=x3在点(3，27)处的切线方程为 y2727(x3), 即 y27x54. 其与 x 轴，y 轴交点分别为 (2，0)，(0，54) 切线与坐标轴围成的三角形面积为S=212 5454. 例 7在抛物线 yx2上取横坐标为 x11 及 x23 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点 A(1，

14、1)B(3，9)，割线斜率为 kAB=4, y 2x，令 y=2 x4 得 x2, 即在点 (2，4)处切线平行于这一割线3函数和、差、积、商的导数例 1求下列函数的导数： y=3x2xcosx； y=tan xx； y=xtanx2cos x； y=111x. 解析：y=6 x+cosxxsinx； y=222(tan)tan( )sectanxxxxxxxxx； y=sin2cosxxx, y=2( cossin ) cos( sin2) (sin )cosxxxxxxxx=2sin(cos2)cosxxxx. y=1111xxx, y=2211(1)(1)xx. 例 2已知函数 f(x)

15、=x37x+1，求 f (x)，f (1) ，f (1.5).解析： f(x)=x37x+1, y= f (x)=3x27, f (1)= 4，f (1.5)= 41. 注意：导函数与导数的区别与联系， 函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值例 3已知函数 yx3ax234a 的导数为 0 的 x 值也都使 y 值为 0，求常数 a 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载值解析： y=3 x2+2ax, 令 y=0, 则 3x2+2ax=0, x1=0, x2=32a, 当 x=0 时，y=0=

16、34a， a=0，即 a0 满足条件 , 当 x=32a 时y0=328442793aaa得 a0 或 a 3 检验知 a 3 不满足条件， 常数的值为 0. 例 4曲线 yx24x 上有两点 A(4，0)，B(2，4)，求 割线 AB 的斜率 kAB； 过点 A 处的切线斜率 kA； 点 A 处的切线方程。解析：割线 AB 的斜率 kAB=4024=2； y= 2x+4， y|x=4=4，即 kA=4； 过 A 点的切线方程为 y04(x4)，即 y4x16. 例 5已知 F(x)=f(x)g(x)，就下列两种情形判断F(x)在 xx0处是否可导？ f(x)在 xx0处可导， g(x)在 x

17、x0处不可导 f(x)，g(x)在 xx0处均不可导解析： F(k)在 xx0处不可导假设 F(x)在 xx0处可导，由 F(x)=f(x)g(x), g(x)F(x)f(x). f(x)在 xx0处可导，g(x)在 x=x0处可导，与条件g(x)在 xx0处不可导矛盾， F(x)在 xx0处不可导 F(x)在 xx0处不一定可导如设 f(x)=sinx+1x, g(x)=cosx1x, 则 f(x)，g(x)在 x0 处均不可导，但 F(x)=f(x)+g(x)sinxcosx 在 x0 处可导另：若 g(x)=tanx+1x上，在 x0 处不可导，F(x)=f(x)+g(x)=sinx+t

18、anx+2x在 x0 处也不可导例 6曲线 yx3x1 上求一点 P，使过 P 点切线与直线 y=4x7 平行解析： y=( x3x1)3x21，由过 P 点切线与直线 y4x7 平行， 令 3x214 得 x 1，当 x=1 时，y=1，此时切线为 y14(x1)，即 y4x3 与直线 y4x7平行，P 点坐标为 (1，1)。当 x1 时，y3，此时切线为 y3=3(x1)，即 y4x1 也满足条件，P 点坐标为 (1，3). 综上得 P 点坐标为 (1，1)或(1，3). 例 7证明：过抛物线ya(xx1)(xx2), (a0，x1x2)上两点 A(x1，0)，B(x2，0)的切线倾斜角互

19、补解析： y=2 axa(x1+ x2). 112|()xxya xx, 即 k1=a(x1x2), 121|()xxya xx, 即 k2=a(x2x1), k1=k2， 两切线倾斜角互补精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 8已知曲线 y=f(x)及 y=f(x)sinax，(a0)，其中 f(x)0，且为可导函数， 求证：两曲线在公共点处彼此相切解析：由 f(x)=f(x)sinax, f(x)0， sinax=1，ax=2k+2(kZ), x=22ka，设曲线交点 (x0, y0)， 即 x

20、0=22ka. 又两曲线 y1=f(x)，y1= f (x)，y1=f(x)sinax，y2= f (x)sinax+a cosx f(x) 010 |()xxyfx, 02000|()sin(2)()cos(2)()22x xyfxkafxkfx, k1=k2，即两曲线在公共点处相切. 例 9已知直线 ykx 与曲线 yx33x22x 相切，求 k 的值解析：由 y=3 x26x+2=k, 又由 kx=x33x2+2x， 3x36x2+2x=x33x2+2x, 即 2x33x20 得 x10 或 x2=23 k2 或414复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数例 1函数 y(sinx2)2

21、3是由函数 y，u，v= 三个函数复合而成解析：答案分别为： y=u23, u=sinv. v=x2. 例 2求下列函数的导数： y=(x2+2x)3； y=25 4xe； y=32axbxc ； y(sinx2)13； yln(x21x )； yx3lig3x； y=cos5sin2xx； y=xn, (xR+, nR). 解析：y=(x2+2x)3， y=3( x2+2x)2 (2x+2)=6(x+1)(x2+2x)2. y=25 4xe, y= 25 4xe (8x)=8x25 4xe. y=32axbxc , y=31223()axbxx (2ax+b). y=(sinx2)13, y

22、=31223(sin)x cosx2 2x=22232 cos3 (sin)xxx. yln(x21x ), y=2212(1)12 1xxxx=211x. yx3lig3x, y=3 x2 lig3x+x31xlig3e=3x2lig3x+x2lig3e=x2lig3(ex3). y=cos5sin 2xx, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载y=22(cos5 )(sin 2 )cos5(sin 2 )5sin 5 sin 22cos5cos2(sin 2 )(sin 2 )xxxxxxxxxx

23、. y=xn=lnln()xnnxee, y=ln1nxenx=n1x xn=1nnx. 说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则， 复合函数的求导法则等，这些要反复熟记例 3求函数 f(x)=22() ()0或xaxbaxbxaxb的导数。解析： f (x)= 2()()()()0或xa xbxbxaaxbxaxb, f (x)= 2()()(2)0或xa xbxabaxbxaxb例 4若 f(x)=xln(x5)，g(x)ln(x1),解不等式 f (x)g(x). 解析： f (x)=1+15x, g(x)=11x, 由 f (x)g(x)，有1+15x11x, 即2(3)

24、0(5)(1)xxx, x5或 x5, 所以，不等式 f (x)g(x)的解集为 (5， ). 说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域例 5证明：可导奇函数的导数是偶函数。解析： 法一：定义法：设 f(x)为可导奇函数，则f(x)f(x), f (x)=00()()()( )limlimxxfxxfxfxxf xxx=0()( )limxfxxf xx=f (x). 即 f (x)=f (x)导函数为偶函数 . 法二：复合函数求导法：设 f(x)为可导奇函数，则f(x)f(x)，两边对 x 求导得：f (x) = f (x) 即 f (x)f ( x), f (x)f (x) f (x)为

25、偶函数，即命题成立同理可证：可导偶函数的导数是奇函数例 6石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am/s，问在 b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？解析：设 b 秒末最外一圈波纹的半径为R，则 R=ab, SR2，又 R a，S|R=ab=2R R(t)|R=ab=2a2b. 即 b 秒末波扰动水面积的增大率为2a2b m2/s. 例 7将水注入锥形容器中， 其速度为 4 米3/分，设锥形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载容器的高为 8 米，顶口直径为6 米，求当水深为 5

26、 米时，水面上升的速度 (如图) 解析：设注入水 t 分钟后，水深为 h 米，由相似三角形对应过之比可得水面直径为43h 米，这时水的体积温 V=31 (83h)2 h=3364h，由于水面高度 h 随时间 t 而变化，因此 h 是 t 的函数 hh(t)，由此可得水的体积关于时间t 的导数为 VtVh ht，Vt=3239()6464tthhhh，由假设，注水的速度为4 米3分 Vt=2964thh=4, 即 ht=24649 h, 当 h5 米时，水面上升的速度为h|h=5=256225(米/分). 5函数的单调性和极值1求函数 yexx1 的单调区间解析：y=( exx+1)= ex1,

27、 由 ex10得 x0， 即函数在 (0, +)上为增函数；由 ex10 得 x0 ， f(x)在(0，1)上递增；当 x(1，2)时，y0 ，得3x53, 即 y=f(x)在(3,53)内是单调递增；同理，由y0 ，得 0 x3或53x2 ， y=f(x) 在(0, 3)和(53, 2 )内都是单调递减。例 4设 f(x)21xax (a0)，求 a 的范围，使函数f(x)在(0， )上是单调函数解析： f (x)=21xax，当 x(0, +)时，021xx1, a0，且 f(x)在(0， )上是单调函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

28、- -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载则必有 f (x)0, x2a, 又函数在 (0, 1)上都有意义，2a1， a2, y=lg(2)lg(2)1011lnlog()lg22axaxaaeaaaaxxa，由 y0 ，得lg0lg0或2200aaxxaa，若 0a1, 则 lga0，则 x2a2 与定义域 x(0, 1)矛盾， 只有 a1，此时 lga0, 2xa0, x2a2, 10 时，f (x) =2(1)xx0, 即 f(x)在(0， )上是递减函数，又当 x0时，f(0)0 f(x)f(0), 即ln(1)1xxx0 时，g(x)O， g(x)也为减函数，又当 x0时，g(

29、x)0， g(x)g(0). ln( 1x)x0 即 ln(1x)x. ln(1)1xxxx例 7右图是函数 yx3x25x5 的图象，试结合图形说明函数的极值情况：解析： f (x)=3x2+2x5=(3x+5)(x1), 令 f (x)=0, 得 x1=35, x2=1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载 x=35和 x1 是 f(x)可能的极值点，又由图象可以看出， f(35)比它临近点的函数值大，f(1)比它临近点的函数值要小， f(35)，f(1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没

30、有其它极值点例 8设函数 f(x)ax3bx2cx，在 x1 与 x1 处有极值，且 f(1)1，求f(x)表达式 . 解析：f(x)ax3bx2cx， f (x)=3ax2+2bx+c, x(, +)，由已加 f(x)在 x=一 1 与 x1 时有极值 f (1) f (1)0， 又 f(1)1，3203201abcabcabc，解得 a=21, b=0, c=23. f(x)=21x323x. 例 9已知 f(x)=x2c，且 g(x)=ff(x)=f(x21)，设 ( x)g(x) f(x)，问：是否存在实数 ，使 ( x)在(， 1)上是减函数，并且在 (1，0)上是增函数解析：由 f

31、f(x)f( x21)得 (x2c)2c(x21)21，得 c1，( x)g(x) f(x)x4(2)x2(2)是连续函数，(x)2x(2x22)由 ( x)在(， 1)上是减函数，且在 (1，0)上是增函数， (x)|x=1=(1)=0， =4 ，即存在实数 4，使 ( x)满足条件说明：本题若用函数单调性定义太繁！6函数的最大值和最小值例 1求函数 f(x)5x234xx的值域 . 解析：由3040 xx得 f(x)的定义域为 3x4，原问题转化为求f(x)在区间3, 4上的最值问题。y f (x)11532 4xx, 在3，4上 f (x)0 恒成立, f(x)在3，4上单调递增 当 x

32、3 时 ymin157， 当 x=4时 ymax=2027， 函数的值域为 157，2027. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 2设32af(a)，f(1)0，f(x)的最大值为 f(0)b1，又 f(1)f(a)=21(a33a2)=21(a+1)2(a)0， f(x)|min=f(1)， 23a1+b=23a=62, a=63，b=1. 例 3若函数 f(x)在0，a上单调递增且可导， f(x)0， f(x)0，f (x) xf(x)0，2( )( )( )f xfxxf xxx0，(

33、)f xx在(0，a上是增函数。( )fxx在(0，a上最大值为( )f aa例 4设 g(y)1x24 xy3y4在 y1，0上最大值为 f(x)，xR， 求 f(x)表达式；求 f(x)最大值。解析： g(y)=4y2(y3x), y1, 0，当 x0 时，g(y)0， g(y)在1, 0上递增 , f(x)=g(0)=1x2. 当31x0，在1，3x上恒成立，在 (3x，0)上恒成立， f(x)=g(3x)=1x2+27x4. 当 x31时，g(y)，g(y)在1，0上递减 , f(x)=g(1)=x24x, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

34、 - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载 f(x)=224210112703143xxxxxxxx. 当 x0 时，f(x)f(0)=1，当 x(31，0)时，f(x)=27(x154)22154+1f(31)=119, 当 x31时， f(x)( x2)24f(2)4, 1119 4，f(x)|maxf(2)4. 例 5设函数 f( x)3x2+3ax(x(0，)， 求正数 a 的范围，使对任意的 x(0，)，都有不等式 f(x)20 成立。解析： f (x)6x43ax，令 f (x)=0 得 x15()2a，当 0 x15( )2a时 f (x)0， x15( )2a是唯一

35、的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使 f(x)20 恒成立，f(x)|min20, 12255532555() )3 ()2022()22aaafaa, 解得 a64. 例 6圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h，底面半径为 R，则 S=2 Rh+2 R2， h=222SRR, V(R)S底面 h=2222122SRRSRRR, 由 V(R)=0 得21S3 R2=0 得 S=6 R2， 6 R2=2 Rh+2 R2， h=2R，即当罐的高和底面直径相等时容积最大例 7已知三次函数 f(x)=x(xa)(xb)，其中 0ab（1）设 f(x)在 xs

36、及 x=t 处取最值，其中 st，求证： 0satb；（2）设 A(s，f(s)，B(t，f(t)，求证： AB 中点 C 在曲线 yf(x)上；（3）若 ab22 ，求证：过原点且与曲线yf(x)相切的两直线不可能垂精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载直。解析：（ 1）f (x)3x22(ab)x+ab，由 f(x)在 xs 和 xt 处取最值，s，t 分别是方程 f (x)0 的两实根 f (0)= ab0，f (a)3a22(ab)a+ab=a(ab)0， f (x)0 在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根， s0，a+b(ab)22ab=(ab1)211 k1k21，即两切线不可能垂直。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页