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1、-教案 导数的应-极值(典型例题含答案)-第 4 页教案4：导数的应用（2）-极值一、课前检测1. 函数, 已知在时取得极值, 则的取值是( )A. 2 B. 3C. 4 D. 5答案：D2. 函数y=x-sinx,的最大值是( )A.-1 B. -1 C. D. +1答案：C3. 已知=，当1，2时，恒成立，则实数的取值范围是_.答案：二、知识梳理可导函数的极值 极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值称为极大（小）值点. 求可导函数极值的步骤： 求导数； 求方程0的 ； 检验在方程0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那
2、么函数y在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y在这个根处取得 .3函数的最大值与最小值： 设y是定义在区间a ,b 上的函数，y在(a ,b )内有导数，则函数y在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行： 求y在(a ,b )内的 值； 将y的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y在a ,b 上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y在a ,b 上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .三、典型例题分析例1函数y=1+3xx3有（ ）A.极小值2,极大值2 B.极小值2,极大值3 C
3、.极小值1,极大值1 D.极小值1,极大值3 解析：y=33x2=3（1+x）（1x）.令y=0得x1=1,x2=1.当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数;当1x1时, y0,函数y=1+3xx3是增函数;当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数.当x=1时,函数y=1+3xx3有极小值1;当x=1时,函数y=1+3xx3有极大值3.答案：D变式训练1：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+
4、ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=f（x）在-3，1上的最大值为13，最小值为例2（2006.北京）已知函数在点x0处取得极大值5,其导数y=的图象经过点(1,0),(2,0
5、)（如图所示）。求: (1) x0的值; (2) 的值.评析与简答: 本题凸显了对同学们读图、识图以及捕捉图形信息能力的考查。（1）由的图像与x轴的交点为立判在x=1的两侧导数值“左正右负”且，所以；（2）导函数图像还可得，再加f(1）=5，解联立的方程组，得、b=9、c=12（利用根系关系亦可）。 变式训练：（2008福建）设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是( )A B C D答案：C例3已知函数的 图像如图所示。(1)求的值；(2)若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（3）若=5，方程有三个不同的根，求实数的取值范围。答案：（1）；（2）（3）变式训练：已知xR,求证：exx+1.证明:设f（x）=exx1,则f（x）=ex1.当x=0时，f（x）=0,f（x）=0.当x0时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数.f（x）f（0）=0.当x0时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=0.对xR都有f（x）0.exx+1.四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思（不足并查漏）：