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1、学习必备 欢迎下载 平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知 A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a（1,3）平移后得到的向量是_（3,0）2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量.起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_箭头所指的方向_表示向量的方向.用字母 a，b，或用AB，BC，表示（1）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位
2、长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是|ABAB)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0)；三点A BC、共线 AB AC、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。零向量的相反向量时零向量。二、向量的线性运算 1.
3、向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB a，BC b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即 a+bABBCAC。ABBCCDDEAE 特殊情况：ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAA aabbbabaAABBCC)2()3(对于零向量与任一向量a，有 a00 a a（2）法则：_三角形法则_，_平行四边形法则_（3）运算律：_ a+b=b+a；_，_（a+b）+c=a+（b+c）._ 学习必备 欢迎下载 当 a、b 不共线时，2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已
4、知向量a、b，求作向量 (ab)+b=a+(b)+b=a+0=a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=a b（指向被减数）即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 注意：用“相反向量”定义法作差向量，a b=a+(-b)(b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一 abc a b=a+(b)a b 3.实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|=|a|.当0 时，a的方向与a的方向相同；当0 时，a的方向与a的方向相反；当=0 时，a=0，a与a平行.（2）运算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（a+b）=a+
5、b.特别提醒：1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a0）.例题：1.(2010 四川)设点 M是线段 BC的中点,点 A在直线 BC外,2BC=16,|,ABACABAC则|AM|=()A.8B.4 C.2D.1 解析:由|ABACABAC可知,AB,AC则 AM 为 RtABC斜边 BC上的中线,因此,|1|2,2AMBC选 C.答案:C 2.已知ABC中,点 D在 BC边上,且2,CDDB CDr ABsAC则 r+s 的值是()24.33AB C.-3 D.0 解析:2CDDB 方法
6、用有向线段来表示向量起点在前终点在后有向线段的长度表示向量量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量与共线的单位向量是相等向行提醒相等向量一定是共线向量但共线向量不一定相等两个向量平行与学习必备 欢迎下载 22()33CDCBABAC 22,33CDABAC又,CDr ABsAC r=22,33s ,r+s=0.故选 D.答案:D 3.平面向量 a,b 共线的充要条件是()A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为 0 C.存在R,使 b=a D.存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0 解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故 A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故 B错
7、.当 b=a 时,a,b一定共线,若 b0,a=0.则 b=a 不成立,故 C错.排除 A、B、C,故选 D.答案:D 4.已知 O A B是平面上的三个点,直线 AB上有一点 C,满足20,ACCB则OC等于().2.22112.3333A OAOBBOAOBCOAOBDOAOB 解析:22(),OCOBBCOBACOBOCOA2,OCOAOB故选 A.答案:A 5.设 D E F分别是ABC的三边 BC、CA、AB上的点,且2,2,2,DCBD CEEA AFFB则ADBECF与()BC A.反向平行 B.同向平行 C.不平行 D.无法判断 解析:12,332,3ADABBDABBC BE
8、BCCEBCCACFCAAFCAAB 方法用有向线段来表示向量起点在前终点在后有向线段的长度表示向量量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量与共线的单位向量是相等向行提醒相等向量一定是共线向量但共线向量不一定相等两个向量平行与学习必备 欢迎下载 55433354541().33333ADBECFABCABCABCABCCBBCBC 故选 A.答案:A 练习 题组一 向量的基本概念 1.给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则 ab；若ABDC，则四边形 ABCD 为平行四边形；在 ABCD 中，一定有ABDC；若 mn，np，则 mp；若 ab，bc，则 ac
9、，其中不正确的个数是 ()A2 B3 C4 D5 2下列四个命题，其中正确的个数有 ()对于实数 m 和向量 a，b，恒有 m(ab)mamb 对于实数 m，n 和向量 a，恒有(mn)amana 若 mamb(mR)，则有 ab 若 mana(m，nR，a0)，则有 mn A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 题组二 向量的线性运算 3.若 A、B、C、D 是平面内任意四点，给出下列式子：ABDCBCDA；ACBDBCAD；ACBDDCAB.其 中 正 确 的 有 ()A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 4如图所示，D 是ABC 的边 AB的中点，则向量CD ()ABC12BA BBC
10、12BA CBC12BA D.BC12BA 方法用有向线段来表示向量起点在前终点在后有向线段的长度表示向量量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量与共线的单位向量是相等向行提醒相等向量一定是共线向量但共线向量不一定相等两个向量平行与学习必备 欢迎下载 c.题组三 向量的共线问题 7.(2009 湖南高考)对于非零向量 a、b，“ab0”是“ab”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8设 e1、e2是平面内一组基向量，且 ae12e1、be1e2，则向量 e1e2可以表示另一组基向量 a、b 的线性组合，则 e1e2_a_b.题组四 向量线性运算的综合应用 9.已知平面上不共线的四点 O、A、B、C.若OA4OB3OC0，则ABBC_ A.13 B.12 C2 D3 方法用有向线段来表示向量起点在前终点在后有向线段的长度表示向量量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量与共线的单位向量是相等向行提醒相等向量一定是共线向量但共线向量不一定相等两个向量平行与