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1、学习必备 精品知识点 必修五：不等式 知识点一：不等式关系与不等式 一、不等式的主要性质：(1)对称性：abba (2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba；dbcadcba,(4)乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且【典型例题】1.已知 a，b 为非零实数，且 ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2 C2a2b1b 2.如果0a，0b，则下列不等式中正确的是（）A11ab Bab C22ab Dab 3
2、.已知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题：（1）若 ab0，bcad0，则cadb0；(2)若 ab0，cadb0，则 bcad0；(3)若 bcad0，cadb0，则 ab0，其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3 4.设 a、b、c、dR，且 ab，cd，则下列结论中正确的是()A.acbd Bacbd Cacbd D.adbc【习题训练】1：已知ab，cd，且c、d不为0，那么下列不等式成立的是（）Aadbc Bacbc Cacbd Dacbd 学习必备 精品知识点 2:下列命题中正确的是（）A若ab，则22acbc B若ab，cd，则acbd C若0ab，ab，则11ab
3、D若ab，cd，则abcd 3.下列命题中正确命题的个数是（）若xyz，则xyyz；ab，cd，0abcd，则abcd；若110ab，则2abb；若ab，则11bbaa A1 B2 C3 D4 4.如果aR，且20aa，那么a，2a，a，2a的大小关系是（）A22aaaa B22aaaa C22aaaa D22aaaa 5.用“”“”号填空：如果0abc ，那么ca_cb 6.已知a，b，c，d均为实数，且0ab，cdab ，则下列不等式中成立的是（）Abcad Bbcad Cabcd Dabcd 7.已知实数a和b均为非负数，下面表达正确的是（）A0a 且0b B0a 或0b C0a 或0b
4、 D0a 且0b 8已知1324abab 且，则 2a+3b 的取值范围是（）A 13 17(,)22 B 7 11(,)2 2 C 7 13(,)22 D 9 13(,)22 二、含有绝对值的不等式 1绝对值的几何意义：|x是指数轴上点x到原点的距离；12|xx是指数轴上12,x x两点间的距离 2、则不等式：如果,0a axaxax或|axaax|axaxax或|axaax|3当0c 时，|axbcaxbc 或axbc ，|axbccaxbc ；已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点
5、间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 当0c 时，|axbcxR ，|axbcx 4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|(0)xa aaxa ，|(0)xa axa或xa（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方【典型例题】1.给出下列命题：22abacbc；22abab；33abab；22abab 其中正确的命题是（）A B C D 2.设 a，bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是()Aba0 B
6、a3b30 Ca2b20 3.不等式3529x 的解集为（）（运用公式法）A 2,1)4,7)B(2,1(4,7 C(2,14,7)D(2,14,7)4.求解不等式：|21|2|4xx （运用零点分段发）5.函数46yxx 的最小值为（）（零点分段法）A2 B 2 C4 D6【习题训练】1.解不等式|1|3xx 2.若不等式|32|2|xxa 对xR恒成立，则实数a的取值范围为 _。已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 三、其
7、他常见不等式形式总结：分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf xf xf x g xg xg xg x 指数不等式：转化为代数不等式 ()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgf xg xf xg xf xaaaf xg xaaaf xg xab abf xab 对数不等式：转化为代数不等式 ()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaaf xf xf xg x ag xf xg xag xf xg xf xg x 例 1.不等式2lg(1
8、)1x 的解集是_.例 2.解不等式1lg()0.xx 例 3.解关于 x 的不等式222(1)31.xaxxax 例 4.不等式x51x的解集是（）)(A|x4x 1)(Bxx|1 )(Cxx|1 )(D1|xx 1 四、三角不等式：|b|a|ba|b|-|a|五、不等式证明的几种常用方法 比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。【典型例题】1.若231xx，22xx，则（）A B C D 2.若2x 或1y ，2242xyxy，5，则与的大小关系是（）A B C D 已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号
9、填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 3.若0,0,0abmn，则ba,ab,mamb,nbna按由小到大的顺序排列为 4.若 aln 22，bln 33，cln 55则 a，b，c 按从小到大排列应是_ 5.设 a2 5，b 52，c52 5，则 a、b、c 之间的大小关系为_ 6.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（）A 2lg1lg 2xx B212xx C2111x D12xx 7.若a、b是任意实数，且ab，则（）A22ab B1ba C lg0ab D1122ab 8.已知0ab，0cd，0e，求证：e
10、eacbd 【习题训练】1.不等式222aa，2221abab，22abab恒成立的个数是（）A0 B1 C2 D3 2.已知0ab，0b，那么a，b，a，b的大小关系是（）Aabba Babab Cabba Dabab 3.若 231f xxx，221g xxx，则 f x，g x的大小关系是（）A f xg x B f xg x C f xg x D随x值的变化而变化 4.已知a、bR，且ab，比较55ab与3223a ba b的大小 六、数轴穿跟法:奇穿，偶不穿 已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点
11、的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 例题：不等式03)4)(23(22xxxx的解为（）A1x1 或 x2 Bx3 或 1x2 Cx=4 或3x1 或 x2 Dx=4 或 x0,b0，则不等式bxa1的解集是（）A.1001|bxxax或 B.11|axbx C.1001|axxbx或 D.11|bxaxx 或 4.关于实数 x 的方程032222mmxx有两个正根,则实数 m 的取值范围是 .5.已知不等式4632 xax的解集为,1|bxxx 或.(1)求 a,b;(2)解不等式0)(2bcxbacax.【习题训练】1.解下列不等式(1)(x
12、1)(3x)52x；(2)x(x 11)3(x1)2 已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 （3）(2x1)(x3)3(x22)(4)3x2 31325113122xxxxx x()()2不等式（x+2）(1 x)0 的解集是（）A 或 x1 B x C 21 D 3设 f(x)=x2+bx+1，且 f(1)=f(3)，则 f(x)0的解集是（）A),3()1,(BR C 1 D 1 4.已知集合 032|,4|22xxxNx
13、xM,则集合NM 等于()A.2|xx B.3|xx C.21|xx D.32|xx 5若不等式 ax2+x+a0 的解集为，则实数 a 的取值范围（）A a-21或 a21 B a21 C-21a21 D a 21 6:设 mR,解关于 x 的不等式03222 mxxm.7.若10 a，则不等式 01axax的解是（）AaxBxa 11aa CxaDxxa 或 或 xaa11 已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 8.若 a
14、x2bx10 的解集为x|1x2，则 a_，b_ 9.不等式(x+5)(3 2x)6 的解集为（）x1 或29 129 x1 或29 291 10设一元二次不等式 ax2+bx+10的解集为131，则 ab 的值是（）6 5 6 5 11不等式组1)1(log2222xx的解集为（）A（0，3）B（3，2）C（3，4）D（2，4）12设集合RxxxA,914,RxxxxB,03,则 AB=（）A 2,3(B25,0 2,3(C),25 3,(D),25)3,(13关于 x 的方程 x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则 a 的取值范围是 14不等式（x-2）322 xx0 的解集为_ 知
15、识点三：简单的线性规划 1、一元一次不等式与线性规划(1)若0，000 xyC ，则点00,xy在直线0 xyC 的上方 若0，000 xyC ，则点00,xy在直线0 xyC 的下方(2)线性规划：线性约束条件可行域线性目标函数（截距、斜率、距离）可行解最优解【典型例题】1.下面给出的四个点中，位于 xy10表示的平面区域内的点是()A(0,2)B(2,0)C(0，2)D(2,0)已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 2已知
16、变量 x、y 满足条件 x1，xy0，x2y90，则 xy 的最大值是()A2 B5 C6 D8 3.若实数 x、y 满足 xy10 x0，则yx的取值范围是()A(0,1)B.(0，1 C(1，)D.)1，3 已知实数 x，y 满足 y1，y2x1，xym，如果目标函数 zxy 的最小值为1，则实数 m 等于()A7 B5 C4 D3 【提高训练】1已知变量 x、y 满足条件 x1，xy0，x2y90，则 xy 的最大值是()A2 B5 C6 D8 2点 P(x，y)在直线 4x3y0 上，且满足14xy7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是()A0,5 B0,10 C5,10 D5,15
17、 3设 D 是不等式组 x2y102xy30 x4y1表示的平面区域，则 D 中的点 P(x，y)到直线 xy10 距离的最大值是_ 5.设x、y满足条件310 xyyxy，则22(1)zxy的最小值 【习题训练】1已知实数 x、y 满足 y2x，y2x，x3，则目标函数 zx2y 的最小值是_ 已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 2不等式组 x0，y0，4x3y0,y0 且281xy，则 xy 的最小值是 ；4.若实数a、
18、b满足a+b=2，则 3a+3b的最小值是 ；5.x1,y1 且 lgx+lgy=4则 lgxlgy最大值为 ；6.点（x，y）在直线 x+3y-2=0 上，则3273xy最小值为 ；7.已知正整数 a，b 满足 4ab30，使得1a1b取最小值时，则实数对(a，b)是()A(5,10)B(6,6)C(10,5)D(7,2)已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 8.若0ab，且12ab，则12，a，2ab，22ab中最大的是_
19、 9.设函数则()A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 10.函数的值域为（）A.2,)B.（,2 C.2,2 D.（,22,)11.已知不等式 91yaxyx对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 ；12.不等式1(1 3)(0)3y xxx 的最大值是（）(A)4243(B)112(C)164(D)172 【提高训练】1.已知032,zyxRyx，则xzy2的最小值 2 已知点()在直线上,其中,则（）A.有最大值为 2 B.有最小值为 2 C.有最大值为 1 D.有最小值为 1 3.已知非负实数、满足，则的最大值是（）A.B.C.5 D.10 4.设,则
20、()A.有最大值 8 B.有最小值 8 C.有最大值 8 D.有最小值 8 5.设，则（）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 4 D.有最小值 4 6.已知点在直线上移动，则的最小值是()A.8 B.6 C.3 D.4 已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 7.已知 xy0，求24()xy xy的最小值及取最小值时的 x、y 的值.【习题训练】1.下列命题中正确的是 A、1yxx 的最小值是 2 B、2232xyx的最小
21、值是 2 C、423(0)yxxx 的最大值是24 3 D、423(0)yxxx 的最小值是24 3 2.若21xy，则24xy的最小值是_ 3.正数,x y满足21xy，则yx11的最小值为_ 4.若,且,则在下列四个选项中,较大的是()A.B.C.D.5.设a，bR，a+2b=3，则11ab最小值是 ；6.若 x2y1，则 2x4y的最小值是_ 7.若yx,是正数，且141xy，则xy有 A.最大值 16 B 最小值116 C 最小值 16 D最大值116 8.函数xxy2sin92cos4的最小值是（）A）24 B）13 C）25 D）26 知识点五：不等式的综合应用 常见、常用结论：（
22、1）maxmin()()()()kf xkf xkf xkf x恒成立恒成立（2）minmax()()()()xkf xkf xxkf xkf x存在 使成立存在 使成立 已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精学习必备 精品知识点 1.不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_ 2.若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围_ 3.若不等式22210 xmxm 对01x 的所有实数x都成立，求m的取值范围.4.已知均为实数有下列命题若则若则若则其中正确命题的个数是设且则下则若则若则如果且那么的大小关系是用号填空如果那么已知均为实数且点的距离是指数轴上两点间的距离则不等式如果或或当时或学习必备精