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1、北师大万宁附中2021年高考5月底模拟考试数 学一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .己知集合4 =才/4 0,x e N ,则集合A的子集的个数是A 2 B.3 C.4 D.52.若z（l +2i）=2 i,贝底=A.1 B.-l C.i D.-i3 .若（、石+且 的展开式中x的系数为1 5,则。=I x）A.2 B.3 C.4 D.54 .已知直线4 :x+（2a-l）y+2a-3 =O,/2:o x +3 y +2+4 =0 ,3则“2”是“。=彳”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也
2、不必要条件5 .已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边过点（2,-3）,则s in f 2a +如 =I 2；,6 八 6 5一5A.B.-C.D.-1 3 1 3 1 3 1 36.已知 x-乃 。，y=l o g 3,z-co s 3,则A.z y x B.y z x C.D.x z y7.我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堵在 律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个。键到下一个。键的8个白键与5个黑键（如图，从左至右依次为：c,#c,d,#d,e,7,#/,g,#g,q,#a，4，C|）的音频恰成一个公比为啦的等比数列的原理，也即高
3、音J的频率正好是中音c的2倍.已知标准音片的频率为4 4 0的，那么频率为220五 打z的音名是A.d B.f C.e D.#d8.已知y =/(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的x e R,/。+2)=一力恒成立，当TW x 0,则C.若 m _ L a,nV3,ml In,则 a D.若 w _ L，“J _ a,ml 1/3,则 c r _ L 11.函数J.(x)=2 c o s 2尤一色+l(x e R),则下列说法正确的是A.若/(%)=)(/)=3,则%4=E(%e Z)B.函数/(x)在-工 二 上为增函数C.函数“X)的 图 象 关 于 点 对 称D.函数/(力 的图象可
4、以由g(x)=2 s in(2 x-|+l(x eR)的图象向左平移三个单位长度得到12 .已知函数x)=d 一以一 1n x (a e R),则下列说法正确的是A.若a =T,则/(x)在区间(0,；上单调递减B.若。=1,则/(%)0C.若0 a 1,则曲线y=/(x)上存在在相异两点,N处的切线平行三、填 空 题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。13 .己知向量a =(x 2,3),1=(4,x 3),若历 且方向相反，则芯=一.14 .抛掷3个骰子，事件A为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件B为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2，则P(A忸)=.15.已知抛物线C:F
5、=4)的焦点为F,抛物线C上一点A满 足 月=3,则以点A为圆心，AE为半径的圆被x轴 所 截 得 的 弦 长 为.16.在上、下底面均为正方形的四棱台A B C。-中，已知A A =BB=C Ct=D Dt=J 5,AB=2,A 8 =1,p(;则该四棱台的表面积为一 j /；该 四 棱 台 外 接 球 的 体 积 为./_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10 分)在 通 /=；百s in C+c o s C =5；面积S=递这三个条件中任选一个，补2 b 3充在下面的问题中，并回答问题.问题：在A A B C中，内角A民。所对的边分别为a
6、,仇。，A为锐角，a =6,b=46 s in B，且_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，求A A B C的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.(12 分)已知数列 q,满足 q +2 a2+3/+nan=(-1)2旬+2.(1)求数列 4的通项公式；(2)求数列-的 前 项 和.Jog23 4+2 J19.(1 2 分)20 21年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利.某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资.某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续9天的日生产量.（单位：十万支，7 =
7、1,2,9）数据作了初步统计，得到如图所示的散点图及一些统计量的数值：yZ9之科i=l9/=12.7 21 91 3 9.0 91 0 9 5_ 1 9注：图中日期代码1 9分别对应这连续9天的时间；表中z,=*,i =l,2,9,z =9 ,=|（1）从这9天中随机选取3天，求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率;（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线 =I n（初+a）的附近，求y关于f的方程 =l n（R+a）,并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支.参考公式：回归方程y =5 x+a中，斜率和截距的最小二乘估计公式为：,（七一矶/一亍）Ex.-nxy _ _b=-=四-
8、，a=y-b x.参考数据：e4 54.6q%-x）x；nxi=l i=l20.（1 2 分）如图，长方体-被经过8。的动平面a所截，a分别与棱C C；,/U,交于点M，N ,得到截面8MAN,已知A B =3 C =1,D D、=瓜（1）求证：M N L B D；（2）若直线AB与截面8MAN所成角的正弦值为变，求AN的长.AB21.（1 2 分）2Y已知双曲线E：W7y一 瓦1(。0,。0)的两条渐近线所成的锐角为6 0，且点P(2,3)为 E上一点.(1)求 E的标准方程；(2)设 为 E在第一象限的任一点，过 M 的直线/与E恰有一个公共点，且直线/分别与E的两 条 渐 近 线 交 于
9、 点 设。为坐标原点，证明：AAQ B面积为定值.22.(1 2 分)(1)已知函数/(x)=(x-2)e*_ _|(x 仔，讨 论 的 单 调 性；(2)已知函数g(x)的图象与函数/(幻=旄-的图象关于直线x =l 对称,证明：当尤1 时，f(x)g(x).数学参考答案选择题123456789101112cCBCCADBBCDBCACAB填空题13.-1 14.y 15.275 16.5+3币；5 316.在等腰梯形OCGR中，过G作G”，OC，垂足为H,易求CH=L,G=E则四棱台的表面积为2 2S=鼻底+S 下 底 +%=1 +4+4 x 苧 x 曰=5+3 g 设ACcBD=O,A
10、c耳。=。由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥（如图），因为AB=2,Ag=1,可知用与S4B相似比为 1：2；则 S4=2A4,=2 0,A0=血，贝USO=卡，则。=*,即该四棱台的高为内.由于上、下底面都是正方形，则外接球的球心在。上,在平面“四 上.由于四邛,眄邛，则。4=0=如即点。到点5与到点出的距离相等，同理。到A,A，C,G，D,。的距离均为0,于是。为外接球的球心，且外接球的半径=正，故该四棱台外接球的体积为史万.3解答题文 解：=l空=4 6,代入。=6,得sinA=更，又A为锐角，故A=(4分)sm A sm B 2 3若选，AB-AC=Z?c cos A=,由 cosA=
11、4，得 历=15.又 a Z n/+M zbccosA,即+/一 匕。=36,(Z?+c)2-3Z?c=36,得 b+c=9.AA8c周长为 a+b+c=15.（10 分）若选，国贯+3八方=啮萨,即 百 sin Csin B+cos C sin B=sin(B+C)+sin C.化 简 得 百 sin6=cos6+l,即2sin（3-含）=1,解得5-袭=,或 卷（舍）.故 8=专，此时AABC为等边三角形，周长为3a=18.（10分）若选，S=48csinA =，得bc=竽.又 a?M+CZ-Z/JCCOSA,即 +c2-Zc=36,（b+c）2-3bc=36,得 Z?+c=8.；AA8C
12、周长为a+Z?+c=14.（10 分）18.解:Q）由题意:+勿+%D*+2,当 N 2时,+次 +%+”+（!_1MM （-2）2+2-得=（1）2”-（”2）2,即/=2（当=1时,4=2满足上式，所以q =2.(2)因为1?2 a=1。82 2=，所以10gs.所以=如：亮-沙3 2n+3=4如+皿+2)19.解：（1）记所求事件为A,9 天中日产量不高于三十万支的有5 天.P（A）=W a =R.（4 分）C；219（2）=y=ln（4+。），.z=4+，t=5，Z ；=285./=I_9 _ _ 9.独-矶z，T 4吊-9瓦 座一叼加【”）2 克-城 285-9x52,i=I i=1
13、4:.a=W-加=19-4x5=l，y=ln（4/-l）.令ln（4 r-l）4,解 得._ 土 13 9.,.r 1 4,即该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支.(12分)2 0.解：（1）以。为原点，分别以D 4,DC,DDl t所在直线为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系.则0（0,0,0）,0,0）,C（0,l,0）,（0,0,7 3）.设见0,1,力乂丘0,司）则 丽=（1,一1,7-/2）,而 丽=（1,1,0）,所 以 丽丽=0，所以MV（由向量相等加=而 百 可 得f +）（2）因 为 砺=（o/,o）,丽=（o,1/）,骑设平面BMN的法向量为=（x,y,z）,
14、则设直线A3与截面8 2N所成角为。，所以解得，=也，所以AN=也.3 32 1解：（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为3 0 或6 0,即2=噂 或6.a 3当2 =噂 时，E的标准方程为-第=1,代入（2,3）,无解.a 3 a a2 2当2 =6时，的 标 准 方 程 为 与 一 二=1,代入（2,3）,解得4=1.a a2 3cr故E的标准方程为炉号=1（5分）2（2 ）直 线 斜 率 显 然 存 在，设 直 线 方 程 为y =与f-3=1联 立 得：（k2-3）x2+2ktx+t2+3=0.由题意，4工道且A =4产产一4伏2-3）（/+3）=0,化简得：t2-k2+3
15、=0.设 A(x”x),B(x2,y2),将 丁 二 +，与y=瓜联立，解得X,=6-k与y =-gx联立，解得1.SS A O B=UoA-OB-sinZAOB=2 xi-2 x2-sinnO=43xlx2=-T-.由於 一二+3 =0,.SMQS=G，故A A Q B面积为定值G.(1 2分)2 2.解：解：/(x)=(x-l)e -(%-!)=(%-1)(-t zj.设a 40,则当xe(-o o,l)时,/(%)0.所以在(-0 0,1)单调递减，在(1,+0。)单调递增.设a 0,由/(x)=0得x=l或x=l雁Z.若a=e,则 尸(x)=(xl乂e*e),所以/(x)在(一。,+8)单调递增.若0a e,则l n a 0 ;当xe(l n a,l)时，/,(x)e,贝 i jl n a l,故当 xe(-o o,l)U(/柩 7,+)时，/(x)0 ;当xw(l,l n a)时，,/(x)l 时，2 x2 0,从而e 2*-2 一i o,有0,(x)0,从而函数网 力 在 1,+8)单调递增，又=0,所以x l时，(x)(l)=O,即/(x)g(x).