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1、2 0 2 1 届上海市崇明中学高三5 月模拟数学试题一、单选题1.“sinx=O”是“cosx=l 的（）A,充要条件 B,充分非必要条件C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件答案：C根据三角函数的基本关系式和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.解：因为sinx=O,根据三角函数的基本关系式，可得cosx=l,反之：若cosx=l,根据三角函数的基本关系式，可得sinx=O,所 以“sinx=O”是“cosx=l”的必要不充分条件.故选：C.2.下列命题中与“/（X）为R上非奇非偶函数”等价的命题是（）A.对任意x e R,有或B.存在/S R,有/（且/（一y）。/（%）C.存在
2、x e R,有/（x）关/（%）或/（%）#/（用）D.存在x,w e R 有/（%）。/（%）且/（一）。一/（）答案：D根据奇函数与偶函数的定义，集合选项进行判定，即可求解.解：根据奇函数与偶函数的定义：对于任意x e R,.f（x）=X）,函数y=/（x）为偶函数,对于任意x e R,f（T）=-f（x）,函数y=x）为奇函数,所以，若存在使得/（一 ）。/（y），函数“X）不是奇函数，存在使得一玉）工一不），函数”X）不是偶函数，由此可得，函数y=/（x）,x eR为非奇非偶函数，则存在w R,有/（_ 不）力/（西）且/（_%2）/_/（X2）故选：D.H-I,in?:+l.in3.
3、若a,b eR,|a|0|且l i m ，l i m,则 的取值范围为()“_ 8 anm s aHA.或a v-l B.-a C.或一1。0 D,或O v l i m，求出关于。的不等式，即可求解.W-00 Q“T8/解:l i m/-00an-+han l i mA T 0 Oan+bn化为l i m(-+(-)n)l i m(a +(-r),-a a 00 a,.j,c i|/z?I.,.l irr n(力)=0,1 ci、(-a-l-)-(a-+-l-)0 ,00 a a a二 a v 1 或()0,所以数列 4单 调 递 增,%23恒成立,故A,B正确：=a：-3 a“+4 =a+i
4、-2 =a-3a+2 =(an-2)(a -1)n1_ 14+i -2 (an-2)(ait-l).-s _%+i -2 an-2 an-l an-l an-2 an+i-2所以L+16 T+凡-1 q 2 4 Z2-2%2%2L+an 21an+21%21a,n+2所 以 l i m-+oo1 )-F H4-1-a“-1,=l i mW4+00=16 Z 1 -2故 C正确:因为 +1=-3 4 +4,4 =3 ,所以 4=4,4=8,%=4 4,%=4 4,-4 4 x 3 +4 1 0 1，结合数列 a,单调递增，所以40 0 r l 0 1,故 D 错误,故选：D.二、填空题2 25.
5、椭 圆 土+匕=1 长轴长为9 2 5答案：1 0根据椭圆的方程，求得。的值，即可求得其长轴长，得到答案.2 2解：由题意，椭圆士+匕=1,可得a =5 1=3,9 2 5所以椭圆的长轴长为2 a =1().故答案为：1 0.6.已知幕函数)，=/(%)的 图 像 过 点 2,则 4)=答案：|利用待定系数法求出幕函数的解析式，再代入求值即可;解：解：设基函数/(x)=N 基函数y=/(x)的图象过点2,=2%2解得a=_2，/（x）=X 2，-1 1.（4）=4 2 =5,故答案为：二.2点评：本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题.7 .在四边形AB CD中，/=（3,
6、-1）,诙=（2,m），/_ L 而，则 该 四 边 形 的 面 积 是.答案：1 0根据向量的数量积的运算，求得相的值，结合面积公式，即可求解.解：由题意，向 量 前=（3,1）,而=（2,m）,/_1而，ULUU UUUI _ _因为A C _ L B ，可得AC-皮 =3 x 2+（1）加=0，解得机=6,所以四边形的面积为:|恁卜|丽 卜;53 2 +（1）2 122+6 2 =1 0.故答案为：1 0.8 .已知复数 2 =。+6 7（a eR，i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且 同=2,则复数z=.答案：-1 +7 3/根据忖=2得到|Z|=JY+3 =2,解方程即
7、可.解：因为z =a+J/，所 以 恸=五 2+3 =2,解得a=l.又因为z=a+y/3i在复平面内对应的点位于第二象限，所以。=一1.所以 z =1 +.故答案为：-l +J J i9 .由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则 甲.乙 两 人 恰 好 分 配 在 同 一 个 城 市 的 概 率 为.答案：3求出每市分配两名医生的方法数，再求出甲、乙两人恰好分配在同一个城市的方法数后可得概率.解：四名医生平均分配到两市的方法为C；=6,甲、乙两人恰好分配在同一个城市的方法数是2,2 1所求概率为尸=；=46 3故答案为：3点评：本题考查古
8、典概型，解题关键是求出基本事件的个数.平均分组时要注意组间有无区别.1 0.如图，函数f(x)的图象为折线/龙，则不等式f(x)h g z G+i)的解集是.答案：先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.解：令 g(x)=y=l o g 2(x+l),作出函数g(x)的图象如图.X+y=2 得|x =l,由y=l o g 2(x+l),y=l.结合图象知不等式f(x)l o&(x +l)的解集为 x|-l x W l .点评：本题考查函数图象应用，考查基本分析求解能力.(-1)1/?2 02 0 z答案：0利用分组求和，再求极限.1、解:l i mSn=1 1 1 1 1(01+.+a2
9、 01 9)+(a2 02 0+a2 02 l+-)!=l i m T+T=。，1-I 2 j故答案为：01 2.已知过球面上三点A,B,C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AAZ?。是边长为6的等边三角形，则球面面积为.答案：6 4 兀设球的球心为。，半 径 为 总 取 4 5的中点，连 接 W,根据题意得 A B C 的外心0 ,在线段位上，分析得(9)+(2 后=片,求出H即得解.解：设球的球心为O,半径为此 取 1 6 的中点，连接 切,根据题意得AABC的外心。，在线段切上，由 A BC是边长为6的等边三角形可得C D =36，。=?。=26,连接0C,。，如图根据球的性质可得O
10、 C =H,OO，平面AB C.即。，=3,所以 O O，_ LO，C,2在 R t/O O C 中，OO2+OC2=O C2/D 2即-+（2，i）2=R 2,解得庐4或庐-4（含去），、2,所以该球的表面积S=4兀A，=6 4 7 F 故答案为：6 4万点评：方法点睛：求解球的半径，一般通过解直角三角形完成.直角三角形的斜边是球的半径，另外两条直角边，一边是球心到圆心的距离，一边是多边形外接圆的半径.1 3.已知直线3 x+y-2 =0与单位圆f+y2=i交 于A B两点，设射线0 A o5的对应的角是a,p,贝!|c o s a+c o s尸=.答案：-5/、/x f 3 x+y-2 =
11、0设 义 不 刈 净 伍,以），由 二 2 _ 1 得 到%+%，再 根 据 三 角 函 数 的 定 义 由x+y=1cos a+c o s/?=%+/求解.解：如图所示:设4(石，弘)，巩“必)，3x+y-2=0由2 2 ，消去丁得 10%212%+3=0，Y+y6则 x+x2=f根据三角函数的定义得：cosa+cos/7=X1+&,即 COS2+COS/?=三.故答案为：I14.若 函 数/袅)=2闺-。|幻+。2一2。/?)有唯一零点，则实数。的值为.答案：一1根据偶函数的性质，可得/(0)=0,解得。=1,再对。的取值分两种情况讨论得解.解：因为x w R,又/(r)=2iT a|x|
12、+/-2 =/(x),所以函数为偶函数.因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得/(0)=0,所以2+2=0,解得a=l.当a=l,此时/*)=/|x|-l,知/(0)=0,根据偶函数对称性,符合题意；所以。=一1.故答案为：一I点评：关键点睛：解答本题的关键如何检验。=1和。=-1,用零点存在性定理检验“=1,利用函数的单调性检验。=一1.1 5.定义H.+2 a,+2 1 c inn 仇-切 的前项和是s.,若S.4 s 5对于任意的正整数“恒成立，则 实 数k的取值范围是为数列/的均值,已知数列也 的均值Hn=2n+l,记数列答案：百 苧因为4 +2%+2 bn=n-2n+,b+2 b
13、2+.+22T=(一 1)2”,从而求出 b=2(+1),可得数列 bn-kn为等差数列,记数列也 一切 为%,从而将S,0,c60；5(2-)+2 2 0即 ,6(2-女)+2 07 1 2解得，彳4&4工,3 57 1 2故答案为：点评：本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.1 6.数 列 满足 anan+alt+2=an+an+l+。曰(卬4+尸 L w N*)，且 q =1 ,4 =2 若an=A s i n(m+)+c(0,0 0,0 v）,2 7 c.az/日 2 7 r=3 ,解得 6
14、7 =co 3an-A s i n2万n+（p+c（0 （p 兀）,/.1 =A s i n葛+4+c,2 =A s i n券x 2 +e+c,3 =A s i n券 x 3 +4+c.化为：1 =A s i n2+9）+c,2 =-A s i n y+j +c,3 =A s i n +c.A s i n 9+A s i n fy+9 j =1,A s i n夕 一 A s i nT+T2-即 s i n 夕+A co s 0 =1 3 A./3 C g s i n -A co s =2 +得：3 A s i n =3,即 A s i n =l；-得：百Acos=1,即Acos夕=一 ；联立解
15、得：tan e=-0，0 0乃，2兀/.(0 二3:小 巫3故答案为：哀I3点评：本题考查了数列递推关系、考查了数列与三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力,属于难题.三、解答题1 7.直角坐标系xQy中，锐角a的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 将。尸绕。逆时针能转到。Q,使4 P O Q =a ,其中。是 与 单 位 圆 的 交 点，设。的坐标为(x,y).(1)若P的横坐标为3,求 上：5 x(2)求 氐+y的取值范围.答案：(1)；(2)V3,2.3 4(1)先求出 cosa=W，sina=g ,再求出 sin2a,cos2a 即得解；(2)先 求 出 瓜+y=2sin(2
16、a+2)，再利用三角函数的图象和性质求解.3 3 4解：(1).2的横坐标为,(：0 5 1=1，$吊0=二.c 2.2 9 16 7c.4 3 24/.cos2a=cos a sirr。=-=-,sm2a=2sinacosa=2x x=25 25 25 5 5 25y _ sin2a _ 24x cos2a 7(2)6 x +y=G eos2a+sin2a=2sin 2 a+,a G 0,兀:,2a E（0,乃）,2a+71 4万_V3/.sin 2a H I 4G.（T C,1 2sin 2a 4I 4点评：方法点睛：求三角函数/（x）=Asin（=CO=I,A D J.0 C,且 ABC
17、D是直角梯形，可得AC=8C=0，可得+=4 3 2,所以ACLBC,又因为PCcAC=C,且PC A C u平面Q 4 C,所以3C_L平面尸AC.（2）由（1）知8CL平面B 4 C,所以ZBPC即为直线依与平面尸AC所成角,在直角 3 P C中，可得sin/BPC =吐=叵=也,所以尸8 =&，则P C =2,PB PB 3所以 V p-A C E =gx（；x g x l x 2 x 2）=；.19.某热力公司每年燃料费约2 4万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为X （x0）（单X位：平方米）可 用15年的太阳能板，其工本费为土（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从2此 公 司
18、 每 年 的 燃 料 费 为 瓦 磊（”为常数）万 元 记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和.（1）求 女的值，并建立y关于X的函数关系式;（2）求）的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.一,八，八 18 00 x 小 匚 答案：(1)Z =2 4 00,y=-F ；(2)x =5 5时，ymmx +5 2(1)根据题意，先取=(),得J J =2 4,求出2 =2 4 00,/八 届 18 00,x 18 00,冗+5 5 的用甘*才2一(2)由丁=-+=-+-,根据基本不等式,x+5 2 x+5 2 2=5 7.5从而可得出结果;即可求出结果.k解：（1）因为公司每年的燃
19、料费为一-（女为常数）万元,2 0X +100取X =(),得 需=2 4，则%=2 4 00,所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为:2 4 00 x 18 00 x-y =15 x-+=-+，%0：2 0X+100 2%+5 2/八 h.18 00 x 18 00 x +5 5 .(2)因为y =-+=-+-2.x+5 2 x+5 2 218 00 522=5 7.5 ,当 且 仅 当 黑 二手即 时 取 等 号.所以安装太阳能板的面积为5 5时，取得最小值为5 7.5万元.点评：本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.2 0.已知
20、椭圆：一+占=1,过点。（-1,0）的直线/：y =&（x+D与椭圆r交于乂 两点机+1 m（点在/点的上方），与y轴交于点（1）当2 =1且=1时，求 点 胴”的坐标;（2）当机=2时，设 两=尤 丽，E N =p DN,求证：丸+为定值，并求出该值;(3)当 机=3时，点2和点尸关于 坐 标原点对称，若的版的内切圆面积等于-方程.4 1答 案：(1)加 0,1),N(一一，一一)；(2)九 +为 定 值3(3)/:y =(x+l)3 3(1)代 值 联 立 方 程 组.解 得 即 可 求 出，兀,求直线/的(2)联 立 方 程,利 用 韦 达 定 理,以 及 向 量 的 知 识 可 得 从
21、 而4 +=；+去,化简整理即可证 明，(3)假 设 存 在 直 线/：尸 左(x+1)满足题意，则砌W的 内 切 圆 的 半 径 为 述,7根据韦达定理,弦长公式，三角形的面积公式，即可求出衣的值解：解:r 24(1)当卬=4=1时，联 立，%,2 1-F y =1x =Ox=32 ,，解之得：,或，,y =x+l y =l11 3,4 1即(0,1),N(-，)；3 32 o厂 y 1(2)当 片2 时 联 立 3 2 ,消去 y 得：(3 K +2)x +6 Ax+3 K 6=0p =Z(x+l)设水为，M),N(如 女)，则，6aX,+X.=-;1-3k2+23/一6卬 E由的=4丽，
22、瓯=两，且 点 的 横 坐 标 为0,得 玉=兄(g+1)、x,=;/(x2+1).从 而/+=X +1 x2+14 +=2 -Ij=2、再+1 x2+1JX +%2+2玉芝+玉+工2 +1_2_ _3r+2_=2 3人 2-6 6k2 1 -6+2,-+13k2+2 3k2+2=3,%+为 定 值3；2 2（3）当尸3时，椭圆：亍+4 =1,假设存在直线/:y =k（x+l）满足题意，则 M N F的内切 圆 的 半 径 为 半，又。（一1,0）、F（l,o）为椭圆的焦点，故助步的周长为8,u 而。1 o 3 夜 1272从叩S1 M雁=5乂8*7-勺-消 去 九 得（4左2+3）f+8/x
23、+4/-12=0,设A/（%,y）、N（x2,y2）,则 S fN FD F yi-y2=X-讣M%一）|.故卜（工1 一）|=I。,即无2 （芭+动2 _ 0/=由 ,得 左28左24女2+32I-4 x288 9化简，得171+18=0，解得攵=1，故存在直线/：=（x+l）满足题意.点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题.21.若数列 叫，也 满足|凡+一%|=（eN）则 称 也 为数列 4的“偏差数列”.（1）若 也 为常数列，且为 4的“偏差数列”，试判断 4是否一定为等差数列，并说明理由；（2
24、）若无穷数列 4是各项均为正整数的等比数列，且%-%=6,也 为数列 叫 的“偏差数r z1 1 1 1、列”，求11!11（厂+丁+1 +1）的值；2 4 仇 4 b“（3）设=6-（；严，也 为 数 列 4的“偏 差 数 列，4=1,且%4均用若 W M对任意n w N*恒成立,求实数M的最小值.3 2 29答案：（1）答案见解析（2）或 一（3）4 3 6 设 为=（-1）,根据何用一%|=bn，可得勿=2,满足圾 为数列（?的“偏差数列,但此时 4不是等差数列，故可得出 见 不一定是等差数列；（2）设数列 q的公比为9,解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求
25、值；(3)由累加法可得数列 4 的通项公式.讨论为奇数或偶数，求!蛆。，得极限，由不等式恒成立思想可得”的最小值.解：设%=(-1),根据|%+1一 日|=%即：|(一1严 一 (1)卜 得:d=2满足b,为数列 见 的“偏差数列，但此时 4 不是等差数列,故可得出 4 不一定是等差数列.(2)设数列 q 的公比为g,则由题意，修，夕均为正整数因为3-。2=6,所以4夕(4-I)=6=lx2x3解得 a,=。或 fa=C 3q=3 U=2故a“=3T 或a=3x2T(wN*)当 a=3-时，勿=2 x 3T,(=；(；严 _.lim.(z 1 I-1 -1-1 -F H 1)、-_-5-_-3
26、-b、b2 b3 bn 43当 a.=3 x 2T 时，=3 x 2“，(=；g尸1.z1 1 1 1 3 _ 2.lim(i-1-1-H )-T8 4 b2 4 b,132综上所述：.hm.z(11 +K1 +1 +不1)、的 值 为：一3 或；24 b2 4 b“4 3 4”/”-I且%,见出得：4 =(-1)6(-向=6(1)+(；)用故有：a 一a,=6(-1)一 十(-)an-l an-2 6,(T)2+J g)”%-q=6(-1?+累 力口得：q=6(-I)1 4-(-I)2 H-F (一1)“+(一耳)2 +(-g)”2_6 x-n-(-i rl+4 1-(-Ir_ U x Z 0,l-im8 =T6,29当为偶数时，4 单调递减，,0 0 690 29从而K ，所以A/N 6 6所以 的 最小值为一.点评：本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式.通过分类讨论方法,将不等式恒成立转化为求数列的极限,是解本题的关键.