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1、上海市崇明中学2 0 2 1届高三数学5 月模拟考试试题(含解析)一.填空题(第卜6题每题4分，第7-12题每题5分)2 21.椭 圆 工_+2 _=1长轴长为.9 2 52 .已知基函数/(x)的图象过(2,第)，则/(4)=.3 .在 四 边 形回。中,A C=(3,-1),5 0=(2,m),A C 1 B D-则该四边形的面积是.4 .已知复数(a W R,为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2,则复数z=.5 .由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙 两 人 恰 好 分 配 在 同 一 个 城 市 的 概
2、率 为.6.如图，函数/(x)的图象为折线4方，则不等式f(x)l o g z(A+l)的解集是.l n 2 0 2 0 廿 8是.8.已知过球面上三点4 B,C的截面到球心距离等于球半径的一半，且力比是边长为6的等边三角形，则 球 面 面 积 为.9 .已知直线3 x+y-2=0与单位圆/+/=1交于4 8两点，设直线的，您的倾斜角分别为a ,B ,那么 c o s Q +c o s B =.10 .若函数F(x)=2 -a|x|+4-2 (x R)有唯一零点，则实数a的值为.口 一 11.宗义=a 1+2 a 2+2为数列 a 的均值，已知数列出“的均值H n=2 L记n数列 4-如 的前
3、项和是,若SWS对于任意的正整数恒成立，则实数4的取值范围是12.数列 a,7两足 aaaa2 =a“+a#、+am2(a a i W l,/?GN*)且 a i =l,a?=2.若 a=/s i n(w/7+)+c(w 0,0 4)l i i r ,则a的取值范围为()n 4 nn r*n a n n aA.a 或 a -1 B.-l a l 或-I Ca VO D.a -l 或 0 a 1正 玛 丽|专 身 不 尹 疹 币=1 0，故答案为：1 0.4 .已知复数(a G R,7.为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2,则复数 z=-1 .解：复数(d R)在复平面内对应
4、的点位于第二象限，且|z|=2,a lo g2(户1)的解集是：(-1,故答案为：(-1,1 ln2020是0 .1 ,前 c 顶和为S,则11忠51 1值n f 81解:lim Sn=lim (a n-*co 0 一 o o+a2 0 1 9 +(a2 0 2 0 +a2 0 2 1+,)=lim (-1+-n8 1工2)=0,故答案为：0.8 .已知过球面上三点4B,C的截面到球心距离等于球半径的一半，且 46C 是边长为6的等边三角形，则 球 面 面 积 为 64 n .解：设球的球心为。，半径为R 取 四 的 中 点。，连接龙，根据题意得49。的 外 心0,在 线 段CD ,由 4%是
5、 边 长 为 6的 等 边 三 角 形 可 得C D=3 0 C=*D=2 近，连 接0C,0 0,如图根据球的性质可得0C=R,0 0，而即0 0 =p 所 以 0。_ L0 C,在 R t 勿。中，。江+0d=O d 即（y）2+（2 V 3）2=R2解得7?=4或 不=-4（含去），所以该球的表面积S=4 =64 n ,故答案为：64 n9.已知直线3 x+p-2=0 与单位圆/+/=1 交于4，8两 点,设直线以，勿的倾斜角分别为Q,B ,那么 c o s a +c o s P=_ 返-5 1解：设 I（芯，力），B（X2,%），直线而，仍的倾斜角分别为a,6,如图：由三角函数的定义得
6、：c o s a +c o s 3 =-%1+A 2,3 x+y-2=0由D,消去y 得：1 0/-1 2户3=0tx2+y=1m,i ,6 3贝 U X +X 2=,XyX2 =-5 1 0即 c o s a +c o s S =-(X i-*2)=-J (X +x故答案为：-逅.5x 2._ _ V 62)-4X1X2-V10.若函数f (*)=2&-a|x|+，-2(XG R)有唯一零点，则实数a 的值为-1.解：因为x G R,又 f(-x)=2.-a l-x|+3-2 =F(x),所以函数为偶函数.因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可 得/(0)=0,所 以 20+a2-2=0,
7、解 得 a=1当 a=l,此时/(x)=2 3-3 -1,知 f/)f f (0)=0,根据偶函数对称性，符合题意；故答案为：a=-111.定义尸a+2 a,+2_ _ 为为数列%的均值，已知数歹U 4 的均值H n=2l，记n数列 4-秒 的前项和是S,若 SWS对于任意的正整数恒成立，则实数女的取值范围是 土解：由题意，Y%-1=b+2 b 2+“+2 3=2 n则山+2灰+“+2 f f 2 i,bl+2bi+-+22ba.l=(.n-1)2”,则 2一么=利2-(/?-1)2=(/?+1)2,则 b=2(72+1),对力也成立，故 bn2(加1),贝！b-kn (2-A)加2,则数列-
8、A n 为等差数列，故 SWW对任意的（e N*）恒成立可化为：区2 0,仇W 0；即 5（2-k）+20l 6（2-k）+2 0,0 0,0 6 V n ),.等 =3,解 得 3=等.2兀、/.a=/l s in (Z T+0)+c (0 (I)旧且 l i n lii,则 a 的取值范围为（）n.4 nnn a n_*n aA.a 或 a -1 B.-l a l 或-l V a eR.ab,所以 0|也|co&oo a a an+1,n,n1 a+b r.r/b*x -ilim-=lim La+（一）J=an f 8 a L 8 an-l ,n .v n l因 为l i m且 l i m
9、-,所以上a,解 得a -l或0 a 0，所以数列 a 单调递增，劣2 3恒成立，故4 6正确；对 于 C：an+l =an-3an+4an+l _2=an _3an+2=(an-2)(an-1)=a:-2 =(y2)；a/D一1:1 1-1 二 1 1an+l _ 2 an-2 an-an-an-2 an+l所以-1-+.*-,b 1-1-1-1-1-十.,十.1一 -1-1-1-ar l an-l a2 a2-2 a2-2 a3-2 an-2 an+1-2 a2 aj-2所以：l i m (一 +1一=)=U m (-=-=)=l i m=1,故 Cn+8 a 1&n 】n-+0&1 2&
10、n+l 2 口i+8 软 i 2正确；对于：因为 a/1=a：-3 an+4,a1=3，所以 a?=4,ag=8,a4=4 4,ag=4 4 2-4 4 X S+4 10 1,结合数列 a.单调递增，所以2 )=10 1,故。错误，故选：D.三、解答题17.直角坐标系x4中，锐 角a的终边与单位圆的交点为巴 将 伊 绕。逆时针能转到制，使/如0=a,其 中0是0。与单位圆的交点，设。的坐标为(x,y).(1)若2的模坐标为!，求工：5 x(2)求的取值范围.解：(1)的模坐标为港,5A cos a=4-sin a =4-5 5cos2 a=cos2 a-s i n2 a sin2 a=2sin
11、CL cosCL=2X-x-|-=-.y 二sin2 a-4x cos2 a 7(2)Jx+y二正cos2 a+sin2a=2sin(2 a+-),a (0,2a (o,兀)，2 a$，罕)，O o usin(2a 4-)1，2 s i n(2 a C (-v，2.18.如图，在四棱锥P-4 8徵 中，/T L 底面4 8切，4 比。是直角梯形,ADLDC,AB/DC,AB=2 AD=2 CD=2,点？是阳的中点.(1)证明：直线式比平面P AC-,(2)若直线阳与平面为。所成角的正弦值为返，求三棱锥产四的体积.【解答】(1)证明：；ACJ_ 平面ABCD,at平面ABCD,C.P C1.BC
12、,：.AB=2,有 AD=CD=1,且 是 直 角 梯 形，.AC=BC=V 2-即 +弘=/氏 J.ACV BC,：P CCAC=C,P Ct 平面 P 8 C,工比平 面P AC.(2)解：由(1)矢 8 U L 平面为G ./*即 为 其 线 必 与 平 面 处。所成角,sin/BPC嗡!斗，PB=在,P!lJ P C=2,V p-ACE 4VP-ACB 4（l（fX 1X 2）X 2）419.某热力公司每年燃料费约24 万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （x 2 0）（单位：平方米）可 用 15 年的太阳能板，其工本费为卷（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年
13、的燃料费为”（为常数）万元，记 F 为该公司安装20 X+10 0太阳能板的费用与15 年的燃料费之和.（1）求 4的值，并建立y关于X的函数关系式；（2）求 y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.解：（1）由公司每年的燃料费为二 卜（4 为常数）万元，20 x+10 0取 x=O,得 一=24，则 4=24 0 0,10 0该公司安装太阳能板的费用与15 年的燃料费之和一二义/蚯，Y=口 容 哈20 x+10 0 2 x+5 2x 0；（2）1800+三=1800+生”/18 0 0 +5 _ 莒=5 71 5,x+5 2 x+5 2 2 v x+5 2 2当且仅当1吗 二：5,即 入
14、=5 5 时取等号.x+5 2.当x为 5 5 平方米时，y 取得最小值为5 7.5万元.20.（16 分）已知椭圆r：=i，过点（-1,0）的直线J：尸 4（户1）与椭圆m+1 mr交 于 以 两 点（点 在 N点的上方），与 y 轴交于点反（1）当 m=1 且k=l时，求点M、M的坐标;（2）当加=2 时，设 而=人 而，E N=|1 DN 求证：入+口为定值，并求出该值；（3）当勿=3时，点。和点尸关于坐标原点对称，若施小的内切圆面积等于冬兀，求4 9直线/的方程.解：（1）当 m=k=l 时,联立 2 门x ,2_ 12 7-1，解之得:y=x+lx=或.y=l4Y=-31即财（0,1
15、）,（_ A,3-3）；证明：（2）当卬=2时联立，2 2x y _3 消去y得：（3尸+2）f+6产户3片-6=0,y=k（x+l）设 与），N （及，）,贝!且点 的横坐标为0,Xi Xn得 用=入（X i+1）、X2=P（X 2+I）.从而入+|1=-+-X i+1 X2+1-/+2-3 k 2+2=43 k 2-6 6 k2-6+2 2-2+13 kJ+2 3 k 4 2即x +u为定值3：2 2解：（3）当 m=3 时:椭圆：2 =v4 3假设存在直线/：尸A（x+1）满足题意，则 的 内 切 圆 的 半 径 为 7又（-1,0）、/（1,0）为椭圆厂的焦点，故物小的周长为8,1 3
16、 72 1272从而SAMNF至X8X号-V，消去y,得（4六+3）*+8/产4芥-12=0,设 （吊，必）、（莅，为），W l J SAM N F：4lDFl lyl-y2l =lyl-y2 l =lk（xl-x2）I-故|k（xX 2）|=1 2;即k 2 （x1+x2）2-4x1x2l:r-9 2 2由（2）.得k 2 （-）4X 4k-1 2鬻,4k巳+3 4k*+3 49化简，得174+八18=0,解 得/=土1,故存在直线/：y=（产1）满足题意.21.（18分）若数列&、仇 满足|a L&,|=A（G N*）,则称 4为数列 a 的“偏差数列”.(1)若 儿 为常数列，且为&的“
17、偏差数列”，试判断&是否一定为等差数列，并说明理由；(2)若无穷数列 4 是各项均为正整数的等比数列，且&-&=6,也为数歹U a“的“偏差 数 列 ，求l i m(4白白+T)的值；廿8 焯 b2 b3 bn 设1 t H，灯 为数列 a 的“偏差数列，3 =1,期W az 且a2,W即“若|a,对 任 意 恒 成 立，求实数也的最小值.解：E J不一定为等差数列，如an=(-l)n，则=2为常数列，但 4 不是等差数列，(2)设数列 a 的公比为g,则由题意，a、g均为正整数，因为 a3-a?=6,所以 aq l q-l)=6=1X 2X 3,(a,=l (a,=3解得 i或i ,q=3
18、q=2故 an =3 k l 或 an=3 X 2k l (CN*),当an=3 k i时，bn=2 X 3n-1，-/I l l 1x 7 3l im (+v-+r.+,-1 7 )=21n-8 b b2 b3 bn 1 41万当 an=3 X 2k l时，bn=3 X 2n-1工一/111 1、京 2l im (-*T+T+-r-)=:V=4；n 8 b b2 b3 bn 1 31至综上，l im T1-)的值为g或？；廿8 b1 b2 b3 bn 4 3(3)由/,W Q in-1且功,忘&2小i得，a口+1 -an=(-l)n6-(1)n+1 =6(-l)n+(-1)1故 有:a丁 11_广6.(_产1 +(得)(,X)1,.a2-a1=6*(-l)(-y)2累 加 得:an-a1=6(-l)!+(-1)2+,+(-l)n-1+(-y)2+(-y)3+,+(-y)n1 1 n-1J 一(节)6X 2又句=1,所以a n1 n-11-(旬,6工严l6 6、2 1Ln-i6 6、2,n=2m-l,mCN*为 奇 数n=2m,m N*当为奇数时，a单调递增，a0,lim an+8当为偶数时，&单调递减，a“0,lim an=n+8729丁 从而0|a”|v g g,所以1疡 即 的 最 小 值 为6 6 6