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1、广西2023年3月高三模拟考试数 学（理科）考生注意：i.本试卷分第I卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共 150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第 I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,已知集合4 =g 1 ,3 =43 6 x X X -4 2/J 1 3 1I 2 4 j2.若复数z的虚部小于0,且z 2=-l，则-11.A.+12 2c.-l+li2 23.若函数/(x)=a s i n x+l的 最 大 值 为4,()A.2兀 B.兀 4
2、C.X X D.3-=()-1c 1 1.B.-12 2cl 1 -D.-12 2则函数g(x)=c o s(a t +l)的最小正周期为兀2兀C.-D.2 24.若双曲线C：三 二=l（a 0）的焦距大于6,a 2a V）为d,则d的取值范围是（）A.（2-/3,4-o o j B.+8）（3,+0 0）c上一点到两焦点的距离之差的绝对值C.（6,+00）D.5 .某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯 相 邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（）w2A.1 56.若 x),g(x),7B.6 0
3、-1C.1 0D.1 5M x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（）A.y =/(g(x)(x)c y =/(x)g(x)B.y =/(g(x)+Mx)D.y=/W|g(x)|/z(x)7 .如图，N B C与BCD都是正三角形，A B =2,将沿BC边折起，使得A到达人的位置，连接4。，得到三棱锥4一BCZ）,则“&4。2,OA=a2O B+a3O C,则 q的公比g的取值范围是（）A.(0,1 +7 3)C.(0,1 +7 2)B.(1+百,+0 0)D.I 1 +02y-3 2 09.若x,y满足约束条件（x-y-l 011.在四棱锥PA8C。中，底面4
4、BC。为梯形，平面以。，底面4BC,AB=CD=&A.-2,1B.-1,2C.(-co,-2 D.-2,+00)tI,c o s 2 a-s in a8（3万、10.设钝角a满足-=，则 tan|a +|=()l-2 s in a5I 4)A.1 1B.一 一C.7D.-77 7BC=2,A D=4,/34 =2。=2石，则四棱锥尸一48（?3外接球的表面积为（）A 26兀B.27 兀C.28兀D.29兀12.若函数 司=%2 1 In x的 最 小 值 为m,则函数屋 力=%2 6 3 2-E x的最小值为()A m-1 B.em+1 C.m+l D.em-1第II卷二、填空题：本大题共4小
5、题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若随机变量X的分布列为则X的数学期望为.X-1245P0.20 350.250214.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm,则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.3图1图21 5 .若不等式分2 对 xe（F,o）恒成立，则 的取值范围是.1 6 .有穷数列 4 共 有 4 项，满足q=2 7,4=7 3 7,且当 eN,，女时，n-4 =4”2-，则项数k的最大值为.%三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明
6、过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共60分.b 2+2 _ 2 42*2 _ 121 7.在A A B C 中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c.已知t =幺 二s i n B s i n A（1）证明：A =8.（2）若。为 8 c的中点，从4）=4,c o s C =，C E =2 这三个条件中选取两个作4为条件证明另外一个成立.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.1 8.2 0 1 6 2 0 2 0 年广西城乡居民人均可支配收入的柱形图如下图所示.元40 0 0 030 0 0 02
7、 0 0 0 01 0 0 0 0O口城镇居民人均可支配收入农村居民人均可支配收入（1）不考虑价格因素，求广西2 0 2 0 年农村居民人均可支配收入的年增长率（结果精确到0.1%）.（2）现欲了解广西各年城镇居民人均可支配收入y （单位：元）与农村居民人均可支配收入 x（单位：元）是否存在较好的线性关系.设广西2 0 1 6 年城镇居民人均可支配收入为必元,2 0 1 6 年 2 0 1 7年 2 0 1 8 年 2 0 1 9 年 2 0 2 0 年4农村居民人均可支配收入为王元，2017年对应的数据分别为内，巧，2018年对应的数据分别为巴，工，2019年对应的数据分别为以，%，2020
8、年对应的数据分别为%，%根据图中的五组数据，得到y关于x的线性回归方程为y=1.71x+m.试问y关于x的线性相关系数r是否大于0.95,并判断y与x之间是否存在较好的线性关系.参考数据：1.7以2(玉一 12522)、2 1 7 3 2 3 9 0,-亍丫 k 6140,V127090 356.(玉-祖 厂)，)_ _线性回归方程 =鼠+中的系数方=上1r-,令=亍一玩.i=19.如图，四棱锥。一 ABC。的底面为矩形，A D =2,AB=3,PA=P D =M，平面平面A 8 C Q.。是AO的中点，E 是 P B 上 一 点,且AE平面POC.(2)求直线CE与平面PO C所成角的正弦值
9、.20.已知函数/(x)=2x2+(a-2)尤一xlnx.(1)设。=0.求曲线y=/(x)在点处 切线方程.试问/(x)有极大值还是极小值？并求出该极值.(2)若/(x)在(0,e)上恰有两个零点，求”的取值范围.52 1 .已知桶圆三+V=1,斜率为2的直线/与椭圆交于A,B 两 点.过 点B作4 3的垂线2交椭圆于另一点C,再过点C作斜率为一2的直线交椭圆于另一点D.(1)若坐标原点。到直线/的距离为好，求AAOB的面积.5(2)试 问 直 线 的 斜 率 是 否 为 定 值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由.(-)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果
10、多做，则按所做的第一题计分.选修4一4；坐标系与参数方程x =2 +7 5 c o s r2 2.在直角坐标系x Oy中，曲线C的参数方程为 (r为参数).以坐标原点y =2 +J5 s i n/。为 极 点，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系，直 线4的 极 坐 标 方 程 为T T0 c o s，-3 0 s i n，-1 =0,直线/,的极坐标方程为0=-.-4(1)求C的极坐标方程；(2)若直线4与C相交于A,8两点，尸为直线4上的动点，求RVPB的最小值.选修4一5：不等式选讲2 3.已知正数a,b,C满足+2+2。2 =4.(1)a+b+c-3,证明：g w
11、c W l.b*+c4 be-1-4-T(2)若。=力，求 be b+c的最小值.6答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,已知集合A=X|4X”,3=X|-36X 8 ,则”=()A.I 4 JB.I 2 4 jc.I 3/D.1 3x x、2 4【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合4 B,再利用并集的定义求解作答.1 1 4 4【详解】依题意，A =xx-,8 =*|-耳%,所 以 A U B=x|x 0）的焦距大于6,C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 d,则 d的取值范围是（）A.（26,+8）B.
12、（3+8）C.（6,+0 0）D.（3,+0 0）【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的方程求出焦距，再由双曲线的定义求解.2 2【详解】因为双曲线C：三 X=l（ao）,a 2a v 7所以 c?=a +2。，由题意可知2、a +2 a 6,则a 3,由双曲线的定义知，d=2ya 2A/3.故选：A5.某舞台灯光设备有一种2 5 头 L E D 矩阵灯（如图所示），其中有2 头 L E D 灯出现故障，假设每头L E D 灯出现故障都是等可能的，则这2 头故障L E D 灯 相 邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（）8wA.2157B.一60C-AD.51【答案】A【解析】【分析】首先求出横向
13、、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率.【详解】每列相邻的LED灯共4对，共有5列，故横向相邻有4 x 5种；同理纵向相邻也有4x5 种，4x5x2 2所以这2头故障LED灯 相 邻 的 概 率 为 飞 一=.故选：A6.若/(X),g(x),(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是()A.y=/(g(x)(x)B.y=/(g(x)+/z(x)C.y=/(/(x)g(x)D,y=/(x)|g阿尤)【答案】C【解析】【分析】根据/(尤)，g(x),(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.详 解】若 R(x
14、)=/(g(x)M(x)则F(-x)=f(g(-x)h(-x)=/(g(x)(x)=/(g(x)/i(x),则y=/(g(x)M(x)是偶函数，故A错误；若 F(x)=f(g(x)+h(x)，则F(-x)=/(g(-x)+h(-x)=f(-g(x)+h(x)=/(g(x)+h(x)，则 y=/(g(x)+h(x)是偶函数，故B错误;9若 尸(x)=/(x)g(x),则 尸(一 幻=/(一x)g(-X)=/(/z(X)g(X),则y=/(/z(x)g(x)是奇函数，故C正确;若尸(x)=/(x)|g(x)|(x),则尸(一X)=/(-x)I g(-X)I A(-X)=/(x)|-g(x)|h(x
15、)=/(x)|g(x)|h(x),则y=/(x)I g(x)I A(x)是偶函数，故D错误.故选：c7.如图，NBC与ABC。都是正三角形，AB=2,将AABC沿BC边折起，使得A到达A的位置，连接A Q,得到三棱锥4 BC。，则“&4。|22 1 4 a m i 6-一1 3JL-.6若二面角 O为钝角，则T 1左0 _ 0,6106|A0 1 2,即&4。2百.若 爬|4。|26,则-6 6-_ 6-|A Q|0,6则 1COSN 4 0 0 0,又二面角的范围是（0,乃），所以二面角A 3。一。为钝角.即“&2,。4 =%0 3+4 0。，则 4的公比q的取值范围是（）A.（0,1+B.
16、（1+百,+o o）C（0,l +V 2）D.（1 +屈+o o）【答案】B【解析】【分析】根据三点共线可得/+%=1，利用内表示后由4 2求解即可.【详解】因为A,B,C是同一条直线上三个不同的点，且。4 =%O 6 +/O C,所以。2 +%=1因为正项等比数列 4,所以公比4 0,2又因为V+幺=1,所以。4=*一 2,q q +q又q 0,所以q l +百.故选：B1 1y-3209.若x,y满足约束条件（x-y-l 0A.-2,1 B.-1,2C.(-co,-2 D.-2,+oo)【答案】C【解析】【分析】画出可行域，平移直线)，=-,找到在纵轴上截距最大、最小时经过的点，求出z的取
17、值范围.y-3 0【详解】x,y满足约束条件 x-y-0 x Z由图易得目标函数了 =5-/过点8时，Z取最大值 2,没有最小值.目标函数z=x-2y的取值范围是(8,2.故选：C.1八0.设、“钝山人角 a 满足c-o-s-2-a-s-i-n-a-=-8,则ri,tan|(a +3-7j、|=()l-2 sin a 5 I 4 J1 1A.-B.-C.7 D.777【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简求出s i n a,再利用同角公式及和角的12正切公式求解作答.E A L c o s 2a -s i n a l-2s i n-a-s i n c r (1+s i
18、 n t z)(l -2 s i n a),【详解】因为-=-=-=1+s i n a ,则l-2s i n l-2s i n a l-2s i n c z,81 +s i n a ,5解得s i n e =2,而a 为钝角，则c o s a =-J l s i n 2a =一,t a n a =和a=_,5 5 c o s a 43兀 3,?t a n a +t a n -1所以 t a n(a +?)=-1 =-1-=-7.4 1 t a n c t a n 也 1-(-)x(-1)4 4故选：D11.在四棱锥P A BC。中，底面4 BC O为梯形，平面以。，底面A BC。，A B =C
19、 D =6,B C =2,A D =4,P A =P 0 =2右，则四棱锥P A BC。外接球的表面积为()A.26 7 t B.27兀 C.28 7 r D.29x【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，利用外接球的特点与性质确定球心和半径，进而得出表面积.【详解】取 中 点 为。，取B C的中点为N,连接PQQV,因为ON_L A D,O P L A D,平面以。_L底面A BC。，平面用，底面A BC =A T),O Pu平面A P。，O P-1平面A B C。，咖 匚 平 面4台。，。/5，。%,则以点0为坐标原点，建立坐标系，如下图所示：A(0,2,0),0(0,2,0),C(l,l,
20、0),3(1,1,0),P(0,0,4)设梯形A B C。外接圆的圆心为q=(m,o,o),由A。=BO,可得加2 +4 =(/-l)2+1解得,=T,则 =(1,0,0).设四棱锥P A BC Q外接球的球心坐标为(-1,。*。).则球心到点A与到点P的距离相等，则7(-1)2+(-2)2+ZJ=(-l)2+(z0-4)213即Z o=m，故球心坐标为(-1,0,I半径为 r =J(l)2+(-2)2+(|)=.7 9四棱锥。一 A 3c。外接球的表面积为S =4万/=4%x=29TT.412.若函数=的 最 小 值 为 小，则函数g(x)=f e C 2-n x的最小值为()A.2 1【答
21、案】C【解析】B.e m+1C.m+lD.e m-1【分析】由/(e x)=(e x)2e OX l n(e x)=x2e C A 2_ n x l,可得g(x)=/(e x)+l,再根据函数/(x)的最小值为 3即可得解.【详解】若xw(0,+o o),贝i j e xe(),+o o),因为/(e x)=(e，e S-l n(e x)=%2 e c z-l n x-1,所以 g (%)=4 6。*+2 一 也 x=y(e x)+l,因为函数/(x)的最小值为?，所以函数/(e x)的最小值也为如所以 g(x*n=e x)1 r t加+1.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明
22、g(x)=/(e x)+L第n卷二、填 空 题：本 大 题 共4小 题，每 小 题5分，共20分.把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相14应位置.13.若随机变量X 的分布列为则X的数学期望为X-1245P0.20.350.250.2【答案】2.5#=2【解析】【分析】根据期望公式计算即可.【详解】(X)=-l xO.2+2xO.35+4 x0.25+5x0.2=2.5.故答案为：2.5.14 .南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2 所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3c m,则该抛物线的焦点到准线的距离为 c
23、m.图 1 图2【答案】y【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为了 轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为犬=2),(0),根据题意得到点的坐标，代入求出参数p的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，依题意可得A的坐标为(g,3),Q1 2 7设抛物线的标准方程为f=2py(p0),则一 =6，解得p =4 82 7故该抛物线 焦点到准线的距离为q cm.151 5 .若不等式以2 X 2 一%一1 对 xe（一 8,0）恒成立，则 的取值范围是【答案】-4【解析】【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即
24、可求出。的取值范围.【详解】由不等式收 2 2 一%一1 对X（T X）,0）恒成立，丫 2 _ _ 1 （_%_ 1 A可转化为a三二y 二 对XW（YQ,0）恒成立，即。:一，XV）m a x炉 x 1 1 1 1 1?5而-;=一 一7+1 =_（_+-）-+一，x2 x2 x x 2 4当x =2 时，（有 最 大 值:，所以。:，x 2 4 4 4故答案为：a .41 6 .有穷数列 4 共 有 人 项，满足q=27,4=7 37,且当 eN*，时，n-1%=an-2-，则项数k的最大值为.%【答案】200【解析】【分析】分析数列为有穷数列，且 4T*0,所以项数最大的项4=0,利用
25、累加法可得k-=axa2-d+2）（&-3）即可得解一 2（详解】当 3 W W 左时，Q,MT=4T。“_ 2 -5 一 1），16r、-1因为有穷数列4,a1 t=*-,an-所以当项数A最大时，%.=0,则=，ak-ak-2=ak-2ak-3 伏 2）,C lk-2ak-i=-34-4 3）,/4 =aia 2，将以上各式相加得左 1=q%（左一2）+（左-3）+,+2,B ll,1 /一2+2）仅一3）即左一 1 =4 a?-，“2-=27x737,即/2）伏+1）=198x201,则=200.2故答案为：200三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-2
26、1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.2 ,2 _ 2 2 _ 217.在AA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知。+c a=巴+g?sin B sin A（1）证明：A B.（2）若。为8 c的中点，从4）=4,cosC=L,C=2这三个条件中选取两个作4为条件证明另外一个成立.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证A=B；（2）三种情况，在AC。中，利用余弦定理证明即可.【小问1详解】-.b2+c2-
27、a2 a2+c2-h2 士 工 日 汨 2bccos A lac cos,B已知-=-,由余弦定理可得一；-=；-sin 8sin Asin Bsin A17hcosA a cos B b a 9 A -即-=-,又由正弦定理-=-，1#cos A-cos B,sin B sin A sin B sin A角A,3为AABC中内角，所以A=3.【小问2详解】A8C中，A=B，。为BC的中点，如图所示，=己知AD=4,cosC=,求证CD=2.4证,r m明：A4C.=2CD,AACF)T 中，cosC=-A-C-2-+-C-D-2-A-D-2=-4-C-D-2-+-C-D-2-1-6-=-1,
28、2ACCD 4CD2 4解得CD=2.n 已知45=4,CD=2,求证cosC=L.4证,Ta明o：A.C =2CCdD =4 ,所er-以|I A.八C八)卜中,，cosC =-A-C-+-C-D-A-D-=-1-6-+-4-1-6-=-12AC CD 2x4x2 4 =已知cosC=，CD=2,求证：AD=4.4证明：AC=2C=4,在，ACD中，由余弦定理，AD2=AC2+CD2-2AC CDcosC=16+4-2x4x2x1=1 6,所以AZ)=4418.20162020年广西城乡居民人均可支配收入的柱形图如下图所示.183 00002 00001 0000O2 01 6 年 2 01
29、 7年 2 01 8年 2 01 9年 2 02 0年城镇居民人均可支配收入口农村居民人均可支配收入（1）不考虑价格因素，求广西2 0 2 0 年农村居民人均可支配收入的年增长率（结果精确到0.1%）.（2）现欲了解广西各年城镇居民人均可支配收入y（单位：元）与农村居民人均可支配收入 x（单位：元）是否存在较好的线性关系.设广西2 0 1 6 年城镇居民人均可支配收入为M元,农村居民人均可支配收入为4元，2 0 1 7 年对应的数据分别为为，2 0 1 8 年对应的数据分别为七，9，2 0 1 9 年对应的数据分别为%，4，2 0 2 0 年对应的数据分别为），5，x5.根据图中的五组数据，得
30、到y 关于x 的线性回归方程为y=1.7 1 x+m.试问y 关于x 的线性相关系数/是否大于0.9 5,并判断y 与x 之间是否存在较好的线性关系.参考数据：L71x（七-1 2 52 2）2 a 2 1 7 3 2 3 9 0，氏（%司2 6 1 4 0,V 1 2 7 0 9 0 3 5 6./=1刃 为 -x）（y-）线性回归方程 =鼠+6中的系数=-;,9=亍一发./=!【答案】（1）8.3%（2）r 0.9 5,y 与 x 之间存在较好的线性关系.【解析】【分析】（1）根据表中数据计算人均可支配收入的年增长率即可；5（2）求出元，再由已知2 =1.7 1 求出l-7 1 x Z（x
31、；-1 2 5 2 2 y H 2 1 7 3 2 3 9 0,根据相关系数/=119公式求出r,【小 问1详解】因为广西2 0 2 0年农村居民人均可支配收入为1 4 8 1 5元，广西2 0 1 9年农村居民人均可支配收入 为1 3 6 7 6元,所以广西2 0 2 0年农村居民人均可支配收入的年增长率为1 4 8 1 5-1 3 6 7 61 3 6 7 6xlO O%1 1 3 9-x 1 0 0%8.3%.1 3 6 7 6【小问2详解】Q 0 3 5 9 +11325+12435+13676+14815=62610 二 22.55y关于x的线性回归方程为y=L 7 1 x+w，所以
32、5=1.7 1，5 5 5所以 Z a-初%-9）=（七 一/2=1 7 1 （七 一 1 2 52 2）2。2 1 7 3 2 3 9 0 ,/=1/=1/=15，(尸2 1 7 3 2 3 9 01.7 1=1 2 7 0 9 0 0 0,工（七一幻（弘一丫）所以_卜 一（x,.-x）2#（y,.-y）2V;=i V-0.9 73 56 0 x6 1 4 0 3 6 0 0 x6 2 0 0 所以 r 0.9 5,故y与x之间存在较好的线性关系.1 9.如图，四棱锥P-A B C D 底面为矩形，A D =2，AB=3,PA=P D =M，平面平面A 8C D.。是A D的中点，E是 依
33、上 一 点，且A E平面PO C.(2)求直线C E与平面P OC所成角的正弦值.20【答案】f【解析】【分析】（1）设平面AOE与直线PC相交于点尸，连接所，。产.根据线面平行的性质即可求解；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角.【小 问1详解】设平面AOE与直线PC相交于点尸，连接防，OF.因为AE平面POC,4七匚平面4户0,平面AEFOc平面POC=R2,所以 AE/FO.因为AO 8C,B C u平面PBC,4。（2平面尸8。，所以A O H平面P B C.又平面AEFOc平面PBC=E F,所以AO 瓦 所以四边形AEFO为平行四边形，所 以 族=A0=3C,2P E 1所
34、以，产分别为PB,PC的中点，故 一=-.P B 2【小问2详解】因为Q4=P）,。是A。的中点，所以PO1AD,又平面平面A 8CQ,且平面R4c平面ABCD=AT，P O u平面240,以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。DZ,21则 0(0,0,0),C(-1,3,0),P(0,0,3),_ _ 3 3 3、所以O C =(1,3,0),O P =(0,0,3),C E =I.ULll设平面P OC的法向量为m=(x,y,z),则-x+3 y-0c 令1，得 x=3,z =。,3 z =0所以加=(3,1,0).设直线CE与平面POC所成的角为e,则 s i ne =|/n-
35、C|/n|C3 7 3 03G/T 7 7 1 5xvlO22 0.已知函数/(x)=办2+g _2)x-xlnx.(1)设。=0.求曲线y=/(x)在点(1,/(1)处的切线方程.试问/(力 有极大值还是极小值？并求出该极值.(2)若/(x)在(0,e)上恰有两个零点，求 的取值范围.【答案】(1)y =-3 x+l；X)有极大值e f.3(2)V Q 。得0 x e-3,令r(司 小,所以“X)在(0 3)上单调递增，在 3,+功上单调递减，由极值的定义知，当 产e T时，函数“X)有极大值/(e-3)=-2 e-3-e-3 1 n e-3=e-3,无极小值.【小问2详解】因为函数“X)在
36、(O,e)上恰有两个零点，所以方程依2+(。一2)x-xln x=0在(O,e)上有两个解，即a =21竺 在(0,e)上有两个解，X+1记 以 幻=营 产，xe(，e)，则直线y 与函数(x)=f，xe(0,e)有两个交点，.m (%+1)-(2 +I n x).则/(X)=义-=1?，(X+l)2 X(X+1)2记mx)=1-x-xlnx,则 加(x)=l-(l+ln x)=2-ln x,令 加(x)0 得 0 c x e ,令m(x)0 得 e-2 Vx 0,?(e)=1 2 e 0 ,所以当0 x 0,h(x)0,函数(x)单调递增，当 1 c x e时，m(x)0,h(x)0 ,函数
37、(x)单调递减，3又(e )=0,(l)=l,(e)=，e+123如图,Gi i a由图知，要使直线y =a与函数(1)=X(o,e)有两个交点，则 a l,x+1e +13所以函数/(X)在(o,e)上恰有两个零点时，”的取值范围为G 2 =2 +”2，再根据斜率公式计算即可得解.【小 问1详解】设直线A B的方程为y =2 x+r,因为。到直线/的距离为立，所 以 耳=75,则/=1.5 7 5 5x28将y =2 xl代入一+/=1,得9尤2 8%=0，解得 =0,=，2 9贝U|A31=J l+公|%|=?.故_ A O B的面积为L x 述 x正=3 .2 9 5 9【小问2详解】设
38、8（须,以），直线A B的方程为y =2（x-X|）+y ,2代入、+y?=1 ,得9元2+8（凶-2X 1）X+2（M-2百/一2=0,则 4 =-8（-V,-2 X 1）_ 内,力=2 -%）+弘，可得点A的坐标为J”!,-4%I-7A）设。（,必），直线C D的方程为丁=一2（工一2）+）2，2代入 会 +丁=1 得 9/一 8（%+）x +2（%+2%y -2=0,则XD=W*%=-2（芍-x2）+y2,可得点D的坐标为（7%；浊,如：7%）.由8c=一耳得X _%=_（%_ 电），2 2 1因为?+y2=+）卷，所 以 弁-为=-不（尤：Y）,乙 乙 乙则 乂+%=+%2,则25 -
39、1 1 A/4（%,+X,）（玉一工2）1k=9 9 =4（改 +w）+7（y -）=2=1A D 7%2+8%7石-8y 7（百一工2）+8（凹 +%）-7（%一/）+8（玉+）29 9故直线4 0 的斜率为定值.（二）选考题：共 10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修44；坐标系与参数方程x =2+V 5 co s/22.在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （f为参数）.以坐标原点。为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系，直 线 4 的 极 坐 标 方 程 为T T0co s 6-3 0s in e-l
40、=0,直线/,的极坐标方程为0=-.-4（1）求 C 的极坐标方程；（2）若直线4 与 C 相交于A,B 两点，P 为直线4 上的动点，求 P A/B 的最小值.【答案】（1）p2-4p co s -4p s in 6,+3=02【解析】X=OCOS0【分析】（1）先求出C 的普通方程，再根据 .八即可得解；y=psinff（2）先分别求出直线4 和直线4 的普通方程，联立直线、和 c 的普通方程，求出A 8 两点的坐标，设尸（a,a）,再根据数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.【小 问 1详解】x=2+V5 cos t fx-2 =V5 cost由 r，得 r，y=2+j5 sin
41、f y-2 =，5sinf所以（x_2 +（y_ 2）2=5,即x 2+y 2_ 4x _ 4y +3 =0所以C的 极 坐 标 方 程 为 4QCOS 6-4夕s in 6+3 =0；【小问2 详解】4的普通方程为x _ 3 y _ l =0,267 T由直线乙的 极 坐 标 方 程 为 得 其 普 通 方 程 为 丁 =%，4联 立%3y-l=0 x2+y2 4x 4y+3=0 x=，解 得 八y=0或，x-4。=1即 直 线4与C的交点坐标为(1,0),(4,1),不 妨 取4(1,0),3(4,1),设 P(a,a),则 P A-P B =-a,-a)A-a,-a)=2cr-6a+4,
42、3_ 1所 以 当a=Q时，Q4.PB取得最小值 选修4一5：不等式选讲23.已 知 正 数a,b,c满 足 知+数+2c=4.(1)若a+Z?+c=3,证 明：gw cW l.(2)若a=，求 幺 工+/工的最小值.be bA+c4【答 案】(1)证明见解析(2)-2【解 析】【分析】(1 )根据a+A+c=3,利用柯西不等式可得(a2+/22)(l2+l2)(+h f=(3-c)2,再结合已知解关于c的一元二次不等式即可得证；右4 4 1(2)利 用 基 本 不 等 式 可 求 得 幺 工 的 范 围，构 造 函 数/)=，+-,利用导数求出其最小be t值即可得解.【小 问1详 解】由 a+Z7+c=3,得a+b=3 c,因 为 什 +/?2)(l2+l2)(a+/?)2=(3 cP,所 以 片+从 之。一。)，当且仅当。=时取等号，2又。2 +/+2(万+，2)_2(从+。2)3 c _ 当且仅当=。=1时取等号,be 2hc 2hc beI i /2-1令/(f)=,+；,(fN2),则 r“)=l _；=三 0,N2),所以函数/(。在2,+8)上递增，则/(r)m,n=2)=|,/?4 4-C4 he 1 /、因为-+7 -=t +-(t2,be/+C”八 7bA+c4 he 5-1-4-T-所 以 尻 b+c的最小值为2.28