《第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练43083.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练43083.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性(精讲+精练）目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 高频考点一：函数奇偶性 判断函数奇偶性 根据函数奇偶性求解析式 函数奇偶性的应用 由函数奇偶性求参数 奇偶性+单调性解不等式 高频考点二：函数周期性及其应用 由函数周期性求函数值 由函数周期性求解析式 高频考点三：函数的对称性 由函数对称性求解析式 由函数对称性求函数值或参数 对称性+奇偶性+周期性的综合应用 第四部分：高考真题感悟 第五部分：第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练）1、函数的奇偶性（1）函数奇偶性定义 奇偶性 定义 图象特点
2、偶函数 如果对于函数 f x的定义域内任意一个x，都有 fxf x，那么函数 f x是偶函数 图象关于y轴对称 奇函数 如果对于函数 f x的定义域内任意一个x，都有 fxf x，那么函数 f x是奇函数 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x，x也在定义域内（即定义域关于原点对称）（2）常用结论与技巧：对数型复合函数判断奇偶性常用 0()fxf x或 0()fxf x来判断奇偶性.()f x，()g x在它们的公共定义域上有下面的结论：()f x()g x()()f xg x()()f xg x()()f x g x()()
3、f xg x 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 若()f x是定义在区间D上奇函数，且0D，则(0)0f（注意：反之不成立）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆 2、函数对称性（异号对称）（1）轴对称：若函数()f x关于直线xa对称，则()()f axf ax；()(2)f xfax；()(2)fxfax（2）点对称：若函数()f x关于直线(,0)a对称，则()()f axf ax ()(2)f xfax ()(2)fxfax
4、 （2）点对称：若函数()f x关于直线(,)a b对称，则()()2f axf axb ()(2)2f xfaxb ()(2)2fxfaxb 3、函数周期性（同号周期）（1）周期函数定义 对于函数 yf x，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f xTf x，那么就称函数 yf x为周期函数，称T为这个函数的周期，则kT（kZ）也是这个函数的周期.（2）最小正周期 如果在周期函数 f x的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f x的最小正周期（若不特别说明，T一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.（3）函数周期性的常用结论
5、与技巧 设函数 yf x，0 xaR，.若()()f xaf xa，则函数的周期2Ta；若()f xaf x，则函数的周期2Ta；若1()()axf xf，则函数的周期2Ta；若1()()faxxf，则函数的周期2Ta；()()f xaf xb，则函数的周期|Tab 1（2022北京高三学业考试）已知函数2(),f xxxR，则（）A()f x是奇函数 B()f x是偶函数 C()f x既是奇函数又是偶函数 D()f x既不是奇函数也不是偶函数【答案】B 由题意，22R,xfxxxfx，即函数为偶函数.故选：B.2（2022浙江台州高一期末）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若 11f，则
6、 f（1）=（）A-1 B0 C1 D2【答案】A 因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以111ff.故选：A 3（2022全国高三专题练习）若 f x是定义在R上的奇函数，且 2f xf x，则 8f的值为（）A1 B2 C0 D1【答案】C 解：根据题意，若 f x是定义在R上的奇函数，则 00f，又由 2f xf x，则有 42f xf xf x，则 8400fff，故选：C.4（2021全国高一课时练习）若 f x的偶函数，其定义域为,，且在0,上是减函数，则 2f 与 3f得大小关系是 A 23ff B 23ff C 23ff D不能确定【答案】A()f x是偶函数，其定义域为
7、(,)，且在0，)上是减函数，则 22ff，且 23ff，则 23ff，故选A 5（2021河南新蔡县第一高级中学高三阶段练习（文）已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且 3 f xf x，则2019f（）A2019 B3 C3 D0【答案】D 第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试 3 f xf x，201903 6730fff，又 f(x)为定义在 R 上的奇函数，f(0)0.故选：D.高频考点一：函数奇偶性 判断函数奇偶性 1（2021广东汕头市潮阳区河溪中学高二期中）下列函数在其定义域内为奇函数的是（）A1()3xy B3yx C112yx D3logyx【答案】B 由题，可
8、画出函数解析式所对应的图像，只有 B 项的图像关于原点对称，B 为奇函数.故选：B 2（2021江苏高一单元测试）函数 f x为奇函数，g x为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）A f xg x为奇函数 B f xg x为偶函数 C f x g x为奇函数 D f x g x为偶函数【答案】C 第三部分：典 型 例 题 剖 析 令1()()()F xf xg x，则11()()()()()()Fxfxgxf xg xF x ,且 11FxF x，1()F x既不是奇函数，也不是偶函数，故 A、B 错误；令2()()()F xf x g x，则22()()()()()()Fxfx
9、gxf x g xF x ,且 22FxFx，2()F x是奇函数，不是偶函数，故 C 正确、D 错误；故选：C 3（2021广东龙门县高级中学高一期中）给定函数：3yx；21yx；1yxx；1yx x.其中奇函数是（）.A B C D【答案】D，令 33,f xxfxxf xf x 为奇函数.，令 221,1,f xxfxxf xf x 为偶函数.，令 1,f xxf xx的定义域为|0 x x，1,fxxfxfxx 为奇函数.，令 1,11f xx xfxxxx xf x ，所以 f x为非奇非偶函数.所以奇函数是.故选：D 根据函数奇偶性求解析式 1（2021四川省南充高级中学高一阶段练
10、习）若函数 21f xaxbx是定义在1,2aa 上的偶函数，则该函数的最大值为（）A10 B5 C3 D2【答案】B 函数 21f xaxbx是定义在1,2aa 上的偶函数，所以120aa ，且0b 所以1a，所以 21,2,2f xxx 所以 max25f xf.故选：B.2（2021宁夏银川一中高一期中）已知()f x是定义域为 R 的偶函数，当0 x 时，2()2f xxx，则函数()f x在0 x 时，()f x=_.【答案】22xx 当0 x 时，0 x，所以22()22fxxxxx，因为()f x是定义域为 R的偶函数，所以()fxf x，故2()2f xxx 故答案为：2()2
11、f xxx 3（2021江苏南京外国语学校高一期中）设 m 为实数，若函数2()2f xxmxm（xR）是偶函数，则 m 的值为_.【答案】0 解：因为函数2()2f xxmxm（xR）是偶函数，所以()fxf x，所以2222xmxmxmxm，得20mx，所以0m，故答案为：0.4（2021全国高一课前预习）已知 f x是R上的奇函数，且当0,x时，1f xxx，求 f x的解析式【答案】1,01,0 xxxfxx xx f x是定义在R上的奇函数，所以 00f，当0 x 时，0 x，11f xfxxxx x ，所以 1,01,0 xxxfxx xx.函数奇偶性的应用 1（2022湖南长沙市
12、南雅中学高三阶段练习）设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)2x，则52f_.【答案】1 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数，所以 f5()2f5()2f1()21.故答案为：-1 2（2022广东茂名高一期末）若函数 ,01,03xg xxfxx是奇函数，则 3g _.【答案】127 因为 f x是奇函数，可得 311333327gff .故答案为：127.3（2022四川凉山高一期末）已知 f x，g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 2f xg xxx，则 11fg_.【答案】2 因为 2f xg xxx，所以有 211(1)(1)2fg ，因为 f x，
13、g x分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，所以 11,11ffgg，因此由 112112fgfg，故答案为：2 4（2022湖南一模）已知 2yf xx是奇函数，且 11f，若 2g xf x，则 1g _【答案】1 2yh xf xx是奇函数，h(1)h(1)0 即 f(1)1f(1)10，f(1)1，f(1)1，g(1)f(1)21.故答案为：1.由函数奇偶性求参数 1（2022内蒙古包头高三期末（文）已知函数 33xxf xa 是偶函数，则a _【答案】1 f x为偶函数，fxf x，即3333xxxxaa，1a.故答案为：1.2（2022海南模拟预测）已知函数 322f xaxbxx
14、是定义在21,3aa上的奇函数，则ab_.【答案】4 依题意函数 322f xaxbxx是定义在21,3aa上的奇函数，所以2130,4aaa ，3242f xxbxx，3242fxxbxx，240f xfxbx 恒成立，所以0b，所以4ab.故答案为：4 3（2022湖北石首市第一中学高一阶段练习）已知函数3()f xaxb为奇函数，则b _【答案】0 因为()f x为奇函数，所以()()fxf x，即33 axbaxb，解得0b 故答案为：0 4（2022黑龙江佳木斯一中高一期末）221xaxfxx为偶函数，则 1f_.【答案】12 由 221xaxfxx为偶函数，得221xaxfxx，2
15、22211xaxxaxxx，x不恒为0，0a，221xf xx，22111=112f，故答案为：12.奇偶性+单调性解不等式 1（2022广西南宁高一期末）若函数()f x是定义在R上的偶函数，在(,0上单调递减，且(2)0f，则使得()0f x 的x的取值范围是（）A(2,0)B(0,2)C(2,2)D(,2)(2,)【答案】C 由于函数()f x是偶函数，所以(2)(2)0ff，由题意，当,0 x 时，()0f x，则2,0 x；又因为函数()f x是偶函数，图象关于y轴对称，所以当0,x时，()0f x，则0,2x，所以()0f x 的解集为(2,2).故选：C.2（2022云南丽江高一
16、期末）已知函数 333xxf xx，若2(2)(54)0f aafa，则实数a的取值范围为（）A(4)(4)，B(41)，C(1)(4)，D(14)，【答案】B f x的定义域为R，333xxfxxf x ，所以 f x为奇函数，3133xxf xx在R上递增，由2(2)(54)0f aafa得2(2)(54)45f aafafa，2245aaa，2340aa，410aa 解得41a.故选：B 3（2022四川绵阳高一期末）若 2f xxx，则满足 1faf a的a的取值范围是（）A1,2 B10,2 C1,2 D1,12【答案】C 因为2()fxxxf x，且函数()f x的定义域为R，故函
17、数()f x为定义域R上的偶函数，又当0 x 时，2f xxx在(0,)上单调递增，所以 1faf a，则有|1|aa，解得12a.故选：C 4（2022广东汕尾高一期末）函数 f x为奇函数，且对任意互不相等的1x，20,x，都有 12120f xf xxx成立，且 20f，则 0f x 的解集为_【答案】2,02,因为1x，20,x 时，12120f xf xxx，所以 f x在0,上单调递减，又因为 f x为奇函数，且 20f，所以 f x在,0上单调递减，且 20f.当0 x 时，不等式 0(2)f xf xf，得2x；当0 x 时，不等式 0(2)f xf xf，得20 x.综上，不
18、等式 0f x 的解集为 2,02,.故答案为：2,02,5（2022甘肃省武威第一中学高一开学考试）设偶函数 f x在区间0,上单调递增，则满足 211fxf的 x的取值范围是_.【答案】0,1 因为函数是偶函数，所以 211211fxffxf，因为函数在区间0,单调递增，所以211x，得1211 x，解得：01x.故答案为：0,1 6（2022湖北大学附属中学高一阶段练习）2e1xf xa是奇函数(1)求a(2)判断并证明 f x的单调性(3)若 220f tf t，求t的取值范围【答案】(1)1(2)f x在R上单调递减，证明见解析(3)2,1(1)f x为奇函数，fxf x，即 0f
19、xfx，2 1 e222220e1e1e1xxxxaaaa，解得：1a；(2)f x在R上单调递减，证明如下：设12xx，则 122121212 e12 e12211e1e1e1 e1xxxxxxf xf x 12212 eee1 e1xxxx；xye为R上的增函数，12eexx，又2e10 x，110 xe，210f xf x，f x在R上单调递减；(3)由 220f tf t得：22f tf t，f x为奇函数，22f tft，22f tft；由（2）知：f x在R上单调递减，22tt，解得：21t ，即t的取值范围为2,1.高频考点二：函数周期性及其应用 由函数周期性求函数值 1（202
20、1北京人大附中高一期中）已知定义在R上的奇函数，f x满足(2)()f xf x，当01x时，2f xx，则2023f（）A2019 B1 C0 D1【答案】D 因为 f x满足(2)()f xf x，所以(4)(2)()f xf xf x，所以 f x是周期为4的函数，当01x时，2f xx，所以 11f，又因为 f x是奇函数，20234 50533111fffff ，故选：D.2（2022甘肃一模（文）定义在R上的奇函数 fx，满足 4f xf x，且当0,2x时，31xf x，则2022f（）A8 B2 C-2 D-8【答案】A 由题设，4()8xxfff x，即 fx的周期为 8，所
21、以22022(8 2532)(2)(2)(31)8ffff .故选：A 3（2021广东汕头高二期末）已知函数 f x是奇函数，且满足()(3)f xf x，若当30,2x时，()f xx，则(2021)f_.【答案】1 因为()(3)f xf x，所以奇函数 f x的周期为3.所以 (2021)673 32222311ffffff 故答案为:1 由函数周期性求解析式 1（2021北京市十一学校高一期中）若定义在 R 上的奇函数()f x满足(2)()fxf x，且0,1x时2()2f xxx，则：（1）(2021)f_；（2）当3,4x时，()f x _.【答案】1 268xx 定义在 R
22、上的奇函数()f x满足(2)()fxf x，()()fxf x，(2)()()fxfxf x，(4)()fxf x，即函数()f x是以 4 为周期的周期函数，又0,1x时2()2f xxx，(2021)(45051)(1)121fff ，当 1,0 x 时，0,1x，22()()()2()2f xfxxxxx ，当3,4x时，4 1,0 x ，22()(4)(4)2(4)68f xf xxxxx .故答案为：（1）1；（2）268xx 2（2022全国高三专题练习）已知函数()f x是定义域为 R 的偶函数，且周期为 2，当 1,0)x 时，1()12xf x，则当(2,3x时，()f x
23、 _.【答案】221x 当0,1x时，1,0)x ，则1()1212xxfx，因为()f x是定义域为 R 的偶函数，所以()()21xf xfx；当(2,3x时，2(0,1x，则2(2)21xf x，又()f x的周期为 2，所以2()(2)21xf xf x；故答案为：221x.3（2022全国高三专题练习）已知函数()f x对任意实数x都有()(2)f xf x，且当0,2x时，()(2)f xx x.（1）求(1)f，(2.5)f的值；（2）写出()f x在 2，2上的解析式；（3）当 2x，0时，求不等式3()4f x 的解集.【答案】（1）()11f，3(2.5)4f；（2）(2)
24、,02()(2),20 x xxf xx xx；（3）31,22.（1）()(2)f xf x，111ff，3(2.5)(0.5)4ff.（2）当2,0 x 时，20,2x，()(2)(2)(22)(2)f xf xxxx x .(2),02()(2),20 x xxf xx xx.（3）当2,0 x 时，2()(2)2f xx xxx ，由3()4f x 得2324xx，解得：3122x .当2,0 x 时，求不等式3()4f x 的解集为31,22.4（2021山东师范大学附中高三期中）设 f x是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有 2f xf x.当0,2x时，22f xxx.(1
25、)当2,4x时，求 f x的解析式；(2)计算 0122021ffff.【答案】(1)268xxf x (2)1(1)2f xf x，42f xf xf x，f x是周期为 4 的周期函数.当2,0 x 时，0,2x，由已知得 2222fxxxxx.又 f x是奇函数，fxf x，22f xxx，又当2,4x时，42,0 x ，24424f xxx，又 f x是周期为 4 的周期函数，22442468f xf xxxxx ，从而求得2,4x时，268xxf x .(2)00f，20f，11f，31f，又 f x是周期为 4 的周期函数，012345670ffffffff.又 202111ff，
26、01220211ffff.高频考点三：函数的对称性 由函数对称性求解析式 1（2022广东高三开学考试）下列函数与exy 关于1x 对称的是（）A.1exy B1exy C2exy Dlnyx【答案】C exf x 关于1x 对称的是22exfx，即2exy.故选：C 2（2022浙江高三专题练习）已知函数()f x的图象与函数2xy 的图象关于x轴对称，则()f x（）A2x B2x C2log x D2log x【答案】A 设点(,)x y是函数()f x上任意一点，则点(,)xy在函数2xy 的图像上 即22xxyy 所以函数()f x的解析式为：()2xf x 故选：A 3（2022全
27、国高三专题练习）已知函数()f x满足：(0)0f；在1 3，上是减函数；(1)(1)fxfx.请写出一个满足以上条件的()f x _.【答案】22xx 由(1)(1)fxfx可得()f x关于1x 对称，所以开口向下，对称轴为1x，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，故答案为：22xx 4（2022全国高三专题练习）已知函数()|2|()f xxaaR，满足(1)(1)f xfx，则a_.【答案】2 由于11f xfx，故1x 是函数 f x的对称轴，由于 f x的对称轴为2ax，故12a，解得2a.由函数对称性求函数值或参数 1（2021江西景德镇一中高二期末（文）已知函数 f x是定
28、义在R上的奇函数，且 2f xfx，当01x时，8xf x，则73f（）A2 B2 C4 D4【答案】B 解：因为 f x为奇函数，所以有()()fxf x，故 1371112823333ffff ，故选:B.2（2021全国高一专题练习）已知函数 21xf xx，记 (23410,ffffm）111123410ffffn，则mn A9 B9 C10 D10【答案】A 解：因为 21xf xx，所以 12122122 1 21111111xxxxxxf xfxxxxxx ，所以mn 234(10ffff）111123410ffff 9 故选：A 3（2022四川雅安高一期末）若 21log21
29、xf xx，则12201920202021202120212021ffff_.【答案】1010 根据题意，函数 21log21xfxx，则221111loglog221xxfxxx，则有()(1)1f xfx；故122020120202201910101011()()()()()()()()()1010202120212021202120212021202120212021fffffffff；故答案为：1010 4（2021上海高一专题练习）1()21axf xx的对称中心为1,32，则 a 的值为_【答案】6(21)111222()1212122()2aaaxaxaf xxxx，对称中心为1
30、(,)2 2a，所以32a，6a 故答案为：6 5（2021全国高一专题练习）已知函数 f（x）221xx.（1）求 f（2）与 f 12，f（3）与 f 13；（2）由（1）中求得的结果，你能发现 f（x）与 f 1x有什么关系？证明你的发现；（3）求 f（2）f 12f（3）f 13f（2019）f 12019的值.【答案】（1）f（2）45，f 1215，f（3）910，f 13110；（2）f（x）f 1x1，证明见解析；（3）2018.（1）由 f（x）221xx1211x，所以 f（2）1212145，f 1()21111415.f（3）12131910，f 1()31111911
31、0.（2）由（1）中求得的结果发现 f（x）f 1()x1.证明如下：f（x）f 1()x221xx22111xx 221xx211x 1.（3）由（2）知 f（x）f 1()x1，f（2）f 1()21，f（3）f 1()31，f（4）f 1()41，f（2 019）f 1()20191.f（2）f 1()2f（3）f 1()3f（2 019）f 1()20192 018.对称性+奇偶性+周期性的综合应用 1（2022四川凉山二模（文）定义在R上的奇函数 f x，满足 2f xf x，当01x时 f xx，则 12f x 的解集为（）A1,2 B1 3,2 2 C134,422kkkZ D1
32、32,222kkkZ【答案】C 由题意，函数 f x满足 2f xf x，可得 4f xf x，所以函数 f x是周期为 4 的函数，又由 f x为R上的奇函数，可得 fxf x，所以2f xfx，可得函数 f x的图象关于1x 对称，因为当01x时 f xx，可函数 f x的图象，如图所示，当 1,3x 时，令 12f x，解得12x 或32x，所以不等式 12f x 的解集为134,422kkkZ.故选：C.2（2022重庆西南大学附中模拟预测）函数()f x满足()()2f xfx，(1)(1)0fxfx，当0,1x时，()1f xx，则关于 x 的方程1()2022xf x 在0,20
33、22x上的解的个数是（）A1010 B1011 C1012 D1013【答案】B 解：因为函数()f x满足()()2f xfx，所以函数 f x关于点0,1对称，因为(1)(1)0fxfx，即(1)(1)fxfx，所以函数 f x关于直线1x 对称，因为当0,1x时，()1f xx，所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：由图可知，函数 f x为周期函数，周期为4T，由于函数2,6x一个周期内，yf x与12022xy 有 2 个交点，在0,2x上，yf x与12022xy 有 1 个交点，所以根据函数周期性可知，当0,2022x时，yf x与12022xy 有20202110114 个
34、交点.所以关于 x 的方程1()2022xf x 在0,2022x上的解的个数是1011个.故选：B 3(多选）（2022甘肃兰州一中高一期末）定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 1f xf x，且在1,0上是增函数，则下列关于 f（x）的结论中正确的有（）Af（x）的图象关于直线1x 对称 Bf（x）在0，1上是增函数 Cf（x）在1，2上是减函数 D 20ff【答案】AD 解：根据题意，若(1)()f xf x，则(2)(1)()f xf xf x，即(2)()f xf x，()f x是周期为 2 的周期函数，则有f（2）(0)f，故 D 选项正确；若(2)()f xf x，且函数()f
35、 x为偶函数，则有(2)()f xfx，则函数()f x的图象关于直线1x 对称，故 A 选项正确；()f x在 1，0上是增函数，且函数()f x为偶函数，则函数()f x在0，1上是减函数，B 选项错误；()f x在 1，0上是增函数，且()f x是周期为 2 的周期函数，则函数()f x在在1，2上是增函数，C 选项错误.故选：AD.4(多选）（2022全国高三专题练习）已知定义在R上的函数()f x满足()(4)f xfx，且(1)(1)f xfx，则（）A()f x为奇函数 B()f x的图象关于2x 对称 C(2)f x为偶函数 D()f x是周期为 4 的函数【答案】AD 因为(
36、1)(1)f xfx，所以()f x关于 x=1 对称.因为()(4)f xfx，所以(2)(2)f xfx，所以()f x关于2,0对称.对于 A：由点(2,0)关于 x=1 的对称点为0,0，2,0为()f x的对称中心，且()f x关于 x=1 对称，所以0,0为()f x的对称中心，即()()fxf x，所以()f x为奇函数.故 A 正确；对于 B：因为()(4)f xfx，所以(2)(2)f xfx，所以()f x的图象不关于2x 对称.故 B 错误；对于 C：因为()(4)f xfx，令 x+2 代换 x，得到(2)(2)f xfx.对于(1)(1)f xfx，令 x+1 代换
37、x，得到(2)()f xfx.由得：()(2)fxfx，令-x代换 x，得到()(2)f xfx，与结合得：(2)()()f xfxf x，所以(2)f x为奇函数.故 C 错误；对于 D：对于(1)(1)f xfx，令 x-1 代换 x，得到()(2)f xfx，又因为()(4)f xfx，所以(2)(4)fxfx，令 2-x代换 x，得到()(2)f xfx，令 x-2 代换 x，得到(2)()f xf x，所以(2)(2)f xf x，令 x+2 代换 x，得到()(4)f xf x，即()f x是周期为 4 的函数.故 D 正确.故选：AD 5（2022重庆九龙坡高一期末）若函数 Ry
38、f xx满足11f xf x，且1,1x 时，21f xx，已知函数 lg,0e,0 xx xg xx，则函数 h xf xg x在区间5,5内的零点的个数为_.【答案】10 解：因为11f xf x，所以 2f xf x，所以函数 yf x是以 2 为周期的周期函数，令 0h xf xg x，则 f xg x，在同一平面直角坐标系中作出函数 ,yf xyg x的图像，如图所示，由图可知函数 ,yf xyg x有 10 个交点，所以函数 h xf xg x在区间5,5内的零点有 10 个.故答案为：10.1（2021全国高考真题（文）设 f x是定义域为 R 的奇函数，且1fxfx.若1133
39、f，则53f（）A53 B13 C13 D53【答案】C 由题意可得：522213333ffff，而21111133333ffff ，故5133f.故选：C.2（2021全国高考真题）已知函数 f x的定义域为R，2f x为偶函数，21fx为奇函数，则（）A102f B 10f C 20f D 40f【答案】B 因为函数2f x为偶函数，则22fxfx，可得31f xfx，因为函数21fx为奇函数，则1 221fxfx，所以，11fxf x，所以，311f xf xf x，即 4f xf x，故函数 f x是以4为周期的周期函数，第四部分：高考真题感悟 因为函数 21F xfx为奇函数，则 0
40、10Ff，故 110ff，其它三个选项未知.故选：B.3（2021江苏高考真题）已知奇函数 fx是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足240faf b则121ab的最小值是（）A23 B43 C2 D4【答案】B 解：因为240faf b，所以(2)(4)faf b，因为奇函数 fx是定义在R上的单调函数，所以(2)(4)(4)faf bfb，所以24ab，即24ab，所以226ab，即2(1)6ab，所以121122(1)161ababab 14(1)2261baab 14(1)461baab 14(1)1424(44)6163baab，当且仅当4(1)1baab，即1,32ab时取等号
41、，所以121ab的最小值是43.故选：B 4（2021全国高考真题（理）设函数 f x的定义域为 R，1f x为奇函数，2f x为偶函数，当 1,2x时，2()f xaxb若 036ff，则92f（）A94 B32 C74 D52【答案】D 因为1f x是奇函数，所以11fxf x ；因为2f x是偶函数，所以22f xfx 令1x，由得：024ffab ，由得：31ffab，因为 036ff，所以462ababa，令0 x，由得：11102fffb，所以 222f xx 思路一：从定义入手 9551222222ffff 1335112222ffff 511322=2222ffff 所以935
42、222ff 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 f x的周期4T 所以91352222fff 故选：D 5（2021湖南高考真题）已知函数()()f x xR为奇函数，()3()2g xf x.若(9)2g ，则(9)g_【答案】6.因为(9)2g ，()3()2g xf x，所以(9)3(9)2gf，4(9)3f，因为()()f x xR为奇函数，所以()()fxf x，由4(9)(9)3ff ，得4(9)3f，因为()3()2g xf x，所以 4(9)3923263gf.故答案为：6.6（2021全国高考真题）已知函数 322xxxaf x是偶函数，则a_.【答案】1 因为 3
43、22xxxaf x，故322xxfxxa，因为 f x为偶函数，故 fxf x，时332222xxxxxaxa，整理得到12+2=0 xxa，故1a，故答案为：1 1（2022山西怀仁市第一中学校二模（理）已知函数 f x为 R 上的奇函数，当0 x 时，2f xx，则 3f等于（）A-3 B-1 C1 D3【答案】C 解：因为函数 f x为 R 上的奇函数，当0 x 时，2f xx，所以 33321ff .故选：C.2（2022山西吕梁一模（文）已知函数()f x为定义在 R 上的奇函数，且当0 x 时，()21xf xx，则当0 x 时，()f x（）A21xx B21xx C121x D
44、121x【答案】D 当0 x 时，则0 x，因为()f x是奇函数，所以()()21xf xfxx .故选：D 3（2022江苏南京师大附中高一期末）定义在R上的偶函数 f x在区间0,上单调递增，若 1lnffx，则x的取值范围是（）Ae,B1,C,ee,D10,e,e【答案】D 由题意，ln1x，则ex或10,ex.故选:D.4（2022全国高三专题练习（文）已知定义在R上的偶函数 f x，对x R，有(6)()(3)f xf xf成立，当03x时，()26f xx，则2021f（）第五部分：第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练）A0 B2 C4 D2【答案】C 依题意对x R
45、，有(6)()(3)f xf xf成立，令3x ，则 33323ffff，所以 30f，故 6f xf x，所以 f x是周期为6的周期函数，故 20216 337 1112 1 64ffff .故选：C 5（2022全国高三专题练习）已知函数 f x的图象关于原点对称，且满足0(3)1f xfx，且当)4(2x，时，12()log(1)f xxm，若(2021)1(1)2ff，则m（）A43 B34 C43 D34【答案】C 因为函数 f x的图象关于原点对称，所以()f x为奇函数，因为133f xfxf x，故函数 f x的周期为 4，则 20211ff；而 11ff，所以由(2021)
46、1(1)2ff可得1(1)3f；而121(1)(3)log(3 1)3ffm，解得43m .故选：C.6（2022陕西咸阳二模（理）已知函数 yf x为定义在 R 上的奇函数，且 2f xf x，当2,0 x 时，f xx，则2021f（）A2021 B1 C1 D0【答案】B 因为 2f xf x，所以42f xf x，所以 4f xf x，所以函数的周期为 4，所以2021(4 505 1)(1)fff，因为函数 yf x为定义在 R 上的奇函数，且当2,0 x 时，f xx，所以(1)(1)(1)1ff ，所以2021f1，故选：B 7（2022山西怀仁市第一中学校二模（文）已知 fx是
47、定义在R上的奇函数，2f x为偶函数，且当02x时，2log 2f xx，则201202ff（）A4 B3 C2 D1【答案】B 因为 fx是定义在R上的奇函数，故可得 f xfx，又2f x 为偶函数，故可得222f xfxf x ，则 488f xf xf xf x ，故 f x以8为周期；故201202ff 2212log 2log 41 23ff.故选：B.8（2022广东执信中学高一阶段练习）已知在 R 上的函数f x（）满足对于任意实数x都有(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在区间0,7上只有1x 和3x 两个零点，则()0f x 在区间0,2022上根的个数为（）A4
48、04 B405 C406 D203【答案】B 因为22fxfx，故可得51fxfx；因为(7)(7)fxfx，故可得59fxfx；故可得19fxfx ，则 10f xf x，故 f x是以 10 为周期的函数.又 f x在区间0,7上只有1x 和3x 两个零点，根据函数对称性可知，f x在一个周期0,10内也只有两个零点，又区间0,2022内包含202个周期，故 f x在0,2020的零点个数为202 2404，又 f x在2020,2022的零点个数与0,2的零点个数相同，只有一个.综上所述，f x在0,2022内有 405 个零点.故选：B.二、填空题 9（2022上海市复兴高级中学高一阶
49、段练习）已知 222,02,0 xx xf xxx x，若 21faf af，则实数a的取值范围是_【答案】1,1 当0 x 时，0 x，2222fxxxxxf x，f x为定义在R上的偶函数，221faf af af，即 1f af；f x在0,上单调递增，在,0上单调递减，1a，解得：11a，即实数a的取值范围为1,1.故答案为：1,1.10（2022江西新余市第一中学高一开学考试）已知函数 f x满足 2,f xf xxR，且当 2,0)x 时，2log2f xx，则2022f_【答案】2 由题意，函数 f x满足 2,f xf xxR，可得 24f xf xf x，可得函数 f x是周
50、期为 4 的函数，又因为当 2,0)x 时，2log2f xx，所以 22022505 4222log 42ffff.故答案为：2.11（2022重庆巴蜀中学高一期末）已知定义在区间2023,2024a上的奇函数()f x满足：(2)()fxf x，且当 1,0 x 时，2()log()f xabx，则(2021)(2022)ff_.【答案】1 因为()f x在区间2023,2024a上是奇函数，所以202320240a，1a，00f，得1b，2()log(1),10f xxx 因为(2)()fxf x，()224f xfxf xf x，所以()f x的周期为4.(2021)(2022)121