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1、专题15单调性问题【考点预测】知识点一：单调性基础问题1.函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果尸(x)0,则 y=/(x)为增函数；如果 八 x)0,才能得出了(x)在某个区间上单调递增；若f(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有(x)4 0 恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足r(x)0,而显然=/在(,+00)上是单调递增函数.若函数y=/(x)在区间(。/)上单调递增，则/(x)20(尸。)不恒为0),反之不成立.因为即/(x)0或/(x)=0,当/(x)0时，函数旷=/(x)在 区 间 上 单 调 递 增.当/(x)=0时，/(x)在这个区间为
2、常值函数；同理，若函数y=/(x)在区间(。力)上单调递减，则f(x)0=f(x)单调递增；f(x)单调递增=f(x)0；fx)/(x)单调递减；/(%)单调递减=/(X)0,/()0 恒成立，则下列选项正确的是()A.0 /(3)/(3)-/(2)r(2)B.0 /(3)-/(2)r(2)r(3)C.0 尸 v f D.0 八 2)八 3)0,尸(劝 0 恒成立,所以在R上单调递增，且 八 x)在R 上单调递减，即“X)的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以0 八 3)/(2),又/(3)-/(2)=/(3 (2),表示点A(2,2)与点8(3,3)的连线的斜率，由图可 知
3、/(3)/(2)3 2即0r /(6)/(a)D./(e)/(J)/(c)【答 案】D【解 析】【分 析】根据导数图像判断7 U)单调性，作出其大致图像即可判断各个函数值的大小关系.【详 解】由f (x)图像可知於)图像大致如下:由 图 可 知 )/b),.做)勺(c)勺(酒勺(e),故 仅 有D选项是正确的.故选：D.【方法技巧与总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/（X）单调递增o 导函数/（X）NO （导函数等于0,只在离散点成立，其余点满足r（x）0）；原函数单调递减O 导函数/（x）0（导函数等于0,只在离散点成立，其余点满足/（4）0）.题型二：求单调区间例4.
4、（2022河北石家庄二中模拟预测）己知函数於）满足/（x）=r（2）e i-o）x+；x 2,则加）的单调递减区间为（）A.（-o o,0）B.（1 ,+o o）C.（-o o,l）D.（0,+o o）【答案】A【解析】【分析】对 求 导 得 到 关 丁 广（2）、”0）的方程求出它们的值，代入原解析式，根据尸求单调减区间.【详解】由题设r（x）=r（2）e i /（0）+不 则/（2）=/（2）/（0）+2,可得/（0）=2,而 0）=/（2）e-2=2,则/=2/,所以f（x）=2e，-2 x+g f,即/（x）=2e、2+x,则-（0）=0且 用x）递增，当x0时/）（）,即/（x）递减
5、，故“X）递减区间为（-8,0）.故选：A例5.（2021.西藏林芝市第二高级中学高三阶段 练 习（理）函数/（x）=（x-3）e，的单调增区间是（）A.（,2）B.（0,3）C.（1,4）D.（2,+0 0）【答案】D【解析】【分析】利用7U）的导数的正负即可求其单调性.【详解】V/（x）=（x-3）e,/.（x）=ev+（x-3）e1=（x-2）ev,当x 2EI寸，/（耳（）,，危）的单调递增区间是（2,+8）.故选：D.（x 2）e x 0例6.（2022全国高三专题 练 习（文）函数/（x）=；二的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.-x-2,x0【答案】（v,l）
6、【解析】【分析】利用导数求出f(x)=(x-2)e，,x W 0 的单调区间，从而可求出函数的减区间【详解】当x 0 时，/(X)=T-2,则其在(-o o,0)上递减,当x N O 时，/(x)=(x-2)e 则/(x)=e*+(x-e*,当0 4 x l 时，/(x)0,解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令/(x)0,解出x的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“U”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围例 7.(2 0 2 2全国高三专题练习)已知函数/)=
7、丁-3 m 2+9 m+1 在(1,田)上为单调递增函数，则实数m的取值范围为()A.(o o,l)B.1,1 C.1,3 D.1,3【答案】D【解析】【分析】求导，由单调性得到3 1-6 皿+9,在 0 在。,位)上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出”的取值范围.【详解】(x)=3 x2-6mx+9m,因为 x)在(1，田)上为单调递增函数，所以3 丁-6;n x+9，N 0 在(1,+0)上恒成立，令 g (x)=3 x2-6nvc+9m,-6m,x-1要满足 6,“1)20-6mx=-或 6J 2 01,由得：?we-l,l,由得：m e(1,3,综上：实数m的取值范围是11,
8、3.故选：D例 8.(2021河南高三阶段练习(文)已知函数/(x)=or4+(x-1)，在区间 1,3 上不是单调函数，则实数a的取值范围是()【答案】A【解析】【分析】把 X)=加+(a 在区间 1,3 上不是单调函数，转化为fx)=4加+M 在区间(1,3)上有零点，用分离参数法得到-4。=*规定函数g(x)=g 求出值域即可得到实数。的取值范围.【详解】因为“X)=湎+(a-1)/在区间 1,3 上不是单调函数，所以/(x)=4加+xe*=0 在区间(1,3)上有解，即-4“=*在区间(L3)上有解.令 g(x)=，则 g(x)=|次二当X G(1,2)时,g(x)0.故g(x)在(1
9、,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增.又因为g 6 =e,g(2)=1,g(3)=W e,且当a=4时，/()=-%+找，=%3仁 一 讣 0,所以同在区间 1,3 上单调递增，所以._4 a e,4 2e 16故选：A例 9.(2022.全国高三专题练习)若函数人 )=/+加+5+4 的单调递减区间为(一 1,3),则b+c=()A.-1 2 B.-1 0 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】求出导函数/（X）,题意说明/（幻0 的解集是（T,3）,从而可求得瓦c 得结论.【详解】/（X）=3 f+2 公+c,由题意知，一1%3是不等式3F+2bx+c0的解，1,3 是/（）=0
10、的两个根，.,方=-3,c=-9,.*.力+c=-12.故选：A.例 10.（2022全国高三专题练习）若函数/（x）=2d-3/nr2+6x在区间（1,小）上为增函数，则实数m 的取值范围是.【答案】（Y,2【解析】【分析】依据题意列出关于m的不等式，即可求得实数机的取值范围.【详解】/,（x）=6x2 6/nr+6,根据题意可知/（x 0 在（1,+5）上恒成立，即6丁 _ 6皿+6 2 0 在（1,e）上恒成立，也就是心4 犬+一在。,+）恒成立，而函数y=x+：在（1,内）上单调递增，则x+（2,故?42故答案为：（Y。,2例 11.（2022全国高三专题练习）若函数/（力=-；/+如
11、 有三个单调区间，则实数“的取值范围是【答案】（。,+8）【解析】【分析】由f （x）=0 有两个不相等的实数根求得。的取值范围.【详解】f（x）=x2+a,由于函数“X）=-；/+5 有三个单调区间，所以/（x）=-f+a =0 有两个不相等的实数根，所以。0.故答案为：（。，+8）例 12.（2022全国高三专题练习）若函数 x）=-f+4 x+l 在区间（1,4）上不单调，则实数的取值范围是【答案】(4,5)【解析】【分析】由已知得/(司=/-公+4=0在(1,4)上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数。的取值范围.【详解】解：,函数=5-擀 2+4+1,f M
12、=x2-ax+4,若函数f(x)在区间(1,4)上不单调，则f(x)=x 2 -奴+4=0在(1,4)上存在变号零点，4由 f-奴+4=0 得a =x +一,x令 g(x)=x +x e(l,4),g，(x)=(x+2?2),XX.g(x)在(1,2)递减，在(2,4)递增，而g(2)=2+g =4,g(l)=l+；=5,g(4)=4+：=5,所以4 ”5.故答案为：(4,5).例 1 3.(2 0 2 2河北高三阶段练 习)若 函 数/(幻=(/+皿 卜 在-9 上存在单调递减区间，则机的取值范围是.【答案】【解析】【分析】求导后，转化为f (x)0 在k 有解，转化为m 士生在上有解，利用
13、函数单调L 2 J x+i L 2 J性求出-2 x 的最大值即可得解.x+【详解】fr(x)=(2x+(x2+/n r)ev=+(m +2)x+ev,则原向题等价于尸(x)0 在-；上 一 有 解，即/+(机+2 +机 0 在 ,1 上有解，即 在 一 1 1x+1 L 2 -上有解,因 为_VX 2 _24r =_(X+D+1 _,且 y=_(x+D+_1 在-11 上单调递减,x+1 x+1 x+l L 2 _所以当 x=_J 时，=-（-+1）+1=-（2a所以m 3.故答案为：例14.（2022.全国高三专题 练 习（文）若函数（x）=ln x 加 一2x（存0）在 1,4J上存在单
14、调递减区间”，则实数a的 取 值 范 围 为.【答案】（-1,0）=（0,”）【解析】【详解】函数/?（x）=ln x；加 一2 x,则（x）=ax-2,2 x因为（x）在 1,4上存在单调递减区间，所以（x）有解，x x1?1 I I 9令g（x）=-7-，而当 xG l,4时，令r=,g（x）=r-即为伊=*-2/,A-X X 4 x X此时 0（r）m in =9 =T（此时 x=l），所以 a一1,又因为。和，所以。的取值范围是（一1,0）U（0,+00）.故答案为：（-1,0）0,M）例15.（2020江苏邵伯高级中学高三阶段练习）若函数=-丁+奴 在 1,e）上是单调函数，则。的最
15、大值是.【答案】3【解析】【分析】首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a的最大值即可.【详解】由题意可得：y=-3 x2+a,由题意导函数在区间 L xo）上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故-3/+口40,即在区间口,+8）上恒成立，据此可得：a3,即。的最大值是3.故答案为3.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3 r例16.（2 0 2 2全国高三专题练习（文）已知函数/（x）=常+比 武 公。），若函数/U）在 1,2 上为单调函a数，则实数。的 取 值 范 围 是.【答
16、案】。，|31，+8）【解析】【分析】根据题意可知/。）=三3 一4%+1 20或/（工）=巳3 -4工+1 0,所以0。二2或三,a 2 a 5故答案为：（0，|口1,+0）【方法技巧与总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.题型四：不含参数单调性讨
17、论例17.（2 0 2 2山东临沂.三模）已知函数人 月=若1,其图象在X =e处的切线过点（2e,2e?）.（1）求。的值；讨论“X）的单调性；【解析】解：因为函数/（力=若 ，,、r 2cvclnx-(ajc2-1)所以/(e)=ae-I,f(x=_ _ _ _x,I (In x)2则 r(e)=e +Le所以函在x =e 处的切线方程为y-(ae 2-l)=e +j(x-e),又因为切线过点(2e,2e 2),所以 2e -(ae?-1)=(aeH(2e-e),SP2ae2=2e2,解得 a=l;r2-I J.,I lx2 l n x-x2+1(2)由(1)矢 口；f(x=-则，(x)=
18、-，In x x(In x)令 g(x)=2x?l n x-x2+1,则 g (x)=4x l n x ,当O v x v l 时,g (x)l 时，g (x)0,所以g(x)g =0即当o x o,当x i 时，r(x)o,所以f(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递增；例 1 8.(20 22天津模拟预测)已知函数/()=h，”(x 0).试判断函数f(x)在(0,+8)上单调性并证明你的结论；【解析】解：函数“X)在(0,+8)上为减函数，证明如下：因为 力=1+弓+、%0),所以,J n(l+x),又因为 x 0,所 以 占 0，l n(l +x)0,所以/(x)0,所以 y =
19、x-l n x-1 在 l,e 上单调递增，且 原=0,故x-l n x-l 0,B|Jr(x)0,A：y =在 l,e 上单调递增；G(x)=x-l n x 1(x +l)l n x +2 G 1 x)=(1 )(x+1)In x +2j (x_ l n x_l)fl n x+X+1X(x +l)l n x+2(l +l n x)+l-x_，(x +l)l n x+2 而(l +In x p +l-x)1 1 2(l +l n x)=2(1 +In x)-1 +_ 1 7x x -X 4 (%，2(l +l n x)-XX(x-1)2=_(J W 0，y =2(l +l n x)-x +g在
20、 l,e 上单调递减，且=4 -e d 0 f 故2(1 +In x)xH 0,X(1 +l n x)2+1 0,二=(1 +1 11*)2+1 _彳_ 在1,同上单调递增，且Hz=0，故(l +l n x p+l-x geo,即G (x)“，.函数G(x)在 l,e 上单调递增;例20.(20 22浙江杭州高级中学模拟预测)已知函数x)=l n(x+a)-e m +l,x-a,a0.当a=l时，求“X)的单调区间【解析】当 a =l j(x)=l n(x+l)-e*+l,定义域为(一 1,+8),尸(力在(1,一)上单调递减，又/=0所以当-l x 0,/(x)单调递增当x 0 时,r(x)
21、0,X当a 2 0时，/。)=口 0恒成立，/(x)在(0,一)上单调递增X当a。得0%0，则/(%)=(三 尸)，yjx 2xlx所以l)=e,/(1)=|,故f(x)在(1J)处的切线方程为ex 2y+e=0.由尸(x)=4(衿 i)且x 0,当aVO时(x)0 时,在(0,)上 f(x)vO,/(*)递减，在(,+8)|:fx)0,F(x)递增,2a 2a综上，时/(外递减；。0时/()在(0,1)上递减，(3,+oo)上递增.2a 2a例 23.(2022广东模拟预 测)已 知函数f(x)=ln(x-l)-W meR),g(x)=2x+-2.讨论函数f(x)的单调性；【解析】f(x)=
22、l n(x -l)-/n x,(x 1),.fx)=-(I)当加4 0 时，/。)0,/(处在(1,+8)上单调递增,x-l X-(I I )当机 0 时，令 1 一，”(*-1)0,则m4-l-w(x-l)0 时，/(x)在(1,n l)上单调递增，在(I L+s)上单调递减m m情形二：函数为准一次函数例 24.(20 22全国模拟预测(文)设函数=詈，其中aw R.当。之0 时，求函数“X)的单调区间；【解析】/(x)=1 +a l n V(x 0),Xn (4-/7 ln 丫 a-anx2x当a=0 时，/。)=伫 卓 生 电=一!0 时，令/。)0,可得。一 1 一 a l n x
23、0,贝令/(x)0 时，的单调递增区间为0.“Ti,e 丁(-1,单调递减区间为e K,+s ./例 25.(20 22江苏华罗庚中学三模)已知函数/(司=0-26*+3(4/?),g(x)=l n x+x e (e 为自然对数的底数，e V?2 5).求函数 X)的单调区间；【解析】函数“x)=o r 2 e +3 W e R)的定义域为/?,fx)=a-2ex,当“M 0 时，对任意的x e R ,/(x)0时，由f(x)0可得此时函数x)的单调递增区间为%I n递减区间为(l n*+8)；综上所述，当时，函数/(x)的减区间为(3,+8),无增区间；当”0时，函数x)的单调递增区间 为,
24、8,l n|,递减区间为卜n:+8)：例 26.(2 0 2 2云南师大附中模拟预测(理)已知函数/(x)=x l n x-ga r 2 +(a-l)x,其中6,0.讨 论 的 单 调 性；【解析】函数“X)的定义域为x e(0,+e),/(x)=l n x-a x +a .当时，由于/(x)在(0,+8)上单调递增，所以/(x)=0至多有一解；又广=0，则当0 x l时,r(x)l时，/(x)0；所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+“)上单调递增.例 27.(2 0 2 2云南师大附中高三阶段练习(文)已知函数/(x)=x l n x-o r.讨论x)的单调性；【解析】函数X)的定
25、义域为x e(0,+o o),fx)=nx+-a.r(x)=0,解得 x =e-l则有当0 x e T 时，r(x)e T时，/。)。；所以x)在(0,e“*上单调递减，在(e，+8)上单调递增.情形三：函数为二次函数型1.可因式分解例 28.(2 0 2 2全国模拟预测)已知函数/(x)=2 k l n x-l n(x +l)-；fc v 2,A w O.讨论f(x)的单调性；【解析】由题意得f M的定义域为(0.+c o)./(8)=也也已出，由(。)=0,得x =l,x(x+1)若%0,则 一 左 0,当 X(l,+8)时,fx)0 ,故/(x)在(0,1)上单调递增，在(L”)上单调递
26、减.若女 0,当 x e(0,l)时,fx)0,故/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,”)上单调递增.综 上,当上 0时,/(X)在(0,1)上单调递增，在 匕 单 调 递 减:当 0 x x 当4=0时，f(x)=x 0，/(幻仅有单调递增区间,其为：(0,+8)当。0 时，X+2Q 0,，当尤(0,)时，f(x)0A f(x)的单调递增区间为：(。,口),单调递减区间为：(0,。)(3)当avO时,x 0,.,.当xc(0,2。)时/(x)0.f(x)的单调递增区间为：(-2 ,+8),单调递减区间为：(0,-2/综上所述：当。=0时，八幻仅有单调递增区间，单调递增区间为：(。,内)当
27、。0时，/(x)的单调递增区间为：，单调递减区间为：(0M)当0,x+l 0,在(0,+8)上恒成土，(x)在(0,+Q O)上单调递增；当。0；当x e 1：,+8卜寸，/(x)0 恒成立，所以A x)单调递减；当a 0 时，令/(力=0,解得x =，或x =l(舍去)，a令/(力 0,x ,令/(x)0,0 x 0 时，/a)的单调递增区间为(。+8),单调递减区间为(0,1)例 34.(2 0 2 2 陕西宝鸡中学模拟预测(文)已知函数f(x)=g 以2-(2 a +l)x+2 1 n x(a e R)当。=-1 时，求“X)在点(I)处的切线方程；(2)当。0 时，求函数“X)的单调递
28、增区间.【解析】(I)解：当4=一 1 时，f(x)=-x2+x+2nx,2所以 r a)=X+1+,X所 以/(1)=2,/(1)=1,故f(x)在点(1,/。)处的切线方程是y-g =2(x l),即4x-2 y-3=0；(2)解：因为*)=3 3:-(2 +1)+2 底定义域为(0,+8),所以尸(x)=以 一 (2。+1)+2=(竺 二 I)一),X X因为40,当0 ，0,解得0 x 2,a 2 a当”;时，八*小1 1 0 恒成立，x当2 2,即当0。0,解得0 x 1,a 2 a综上，当a g 时，/(x)的递增区间是。1)，(2,+8),当。=；0 寸，f(x)的递增区间是(0
29、,+8),当0“0,即X X2x2-4x+a 0，当 =1 6-8。40,即。2 2 时，2X24X+QN 0恒成立，/a)在(0,+0,即2时，令二-旧石 2+，1 2 2 2当 0 Q V2 时，0 X j 0 的解 0 x 甚或 X /，故在(O,X)，(%2，+6)匕单调递增，在(a，/)匕单调递减；当 工 0 时，x,0 0,故g(x)在(0,+8)单调递增；当a e(2,位)时，由g x)=(),解得X=*三,或 重三，记刍=咚 二 4,4=+*2 4,则可知当x 变化时，g(x),g(x)的变化情况如下表：X(o&)0(。4)(聂+8)g(x)+00+g(x)/极大值极小值/所以
30、，函数g(x)在 区 间 0,空 咚 三)单调递增，在区间(伫 浮 I,生 咚 三 单调递减，在区间a+y/a2 4-m-v.iM-,+8 单调递增.k/【方法技巧与总结】1.关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.(注意定义域的间断情况).2 .需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.3.利用草稿图像辅助说明.情形四：函数为准二次函数型Y*q In X*0例 3 7.(2 02 2安徽哈肥市第八中学模拟预测
31、(理)设函数/。)=吃+以 2 _ 2 以拓(为=+2 以+丁,4 1 1.ex e讨论/(x)的单调性；【解析】由题，/，(x)=-+2 a r-2 a =(x-l)2 a-p7当“V 0 时，2A!-0,单调递增；当x e(l,+)e时，/(x)0 时,令/(x)=0 则占=1,=-n2a：当-I n 2 a 0,/(x)单调递增；当 x e(-l n 2 a,l)时，Z(x)0,f(x)单调递增:2 e当-I n 为 1,即0 二 时，在当x e(-o o,l)和(一山2。,4 0)时，/(x)(),单调递增；当x e(l,-l n 2 a)2 e时，r(6 0,f(x)在 R 上单调递
32、增,当。0 时，令/。)=0,则x =l n|,当x-8 n (-时，fx)0,/(x)单调递增.综上，当a N O 时，/(x)在 R 上单调递增；当a 2,则当时,即/(X)在 R上为增函数，当。2 时，由/(力(),得e+e T-a0,g p(e j2-ev+l 0 ,解得/空 咚 二 或/In x na-,由 r(x)0,解得 In-7久1产犷工2 2 2 2所以f(x)在 l n j一/,l na +*於 匕递减，在1 8,In，；-勺 和 l nf l +-,+o o 上递增./7例 40.(2 0 2 2浙江模拟预测)已知函数/(力=优 2，+(a-2 孵-北讨论了()的单调性；
33、【解析】/(6 =恁 2，+(。-2)炉一 定义域为/?,/,(x)=2 ae2 A+(a-2)ev-l =(ae-l)(2 et+l),当“40 时，尸(x)=(ae -l)(2 e +l)0 时，当x-l n a时，/(%)-l n a时，/(x)0,则/(x)在(f)，T na)上单调递减，在(-In a,十句上单调递增，综上：当。4 0 时，x)在 R上单调递减，当a 0时，则x）在（9,-In a）上单调递减，在（-In a,y）上单调递增.题型六：分段分析法讨论例41.（2 0 2 2陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）已知函数/（0=才 加+/-2+1 +（;0,且 a W 1
34、 ）求函数“X）的单调区间；【解析】/（X）的定义域为R J（x）=-a-*l n a+2 x-2+1 n a=2（x-l）+（l-aT ）l n a（0,且1）显见，/=0.当xl 时，2（x-l）0,-x+l 0.若0 al,则l n a 1,得于 是,r（x）o.若。1,则l n a0,0 ax+0 .于 是,/（力 0.当xi时,r（x）o,即x）在（i,y）上单调递增当xl时，2（x-l）0若 0 a1,则 l n a0,0 ax+1,得于是，/（力 l,则 l n a0,ax+1.#l-a-x+l 0 ,于是，r a）。.当xl时,/（x）0B.-2a2C.a N-2D.或a V-
35、2【答 案】C【解 析】【分 析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒 成 立，分离参数求解即可.【详 解】7 T 7T因为函数/(x)=sinx+2cosx在xw-上单调递增，_ 3 4TT TT所 以r(x)=acosx-2sinxN0在xw j,-上恒成立，兀 7 1即a22tanx在xe 上恒成立，qr JT由 y=2tanx在(_ 了0)上单调递增知，ymax=2tan(-)=-2,所 以a 2 2,故选：C2.(2022全国哈师大附中模拟预测(理)己知x)=；x2+cosx,/(x)为 了的导函数，则y=/(x)的【解 析】【分 析】对 函 数/(x)求 导 得 尸(x)=g x-
36、s in x,易 知/(x)为奇函数，排 除A、D选项;又 对/(X)求 导，易 得:(x)在(。，|是递减，即可求解.【详 解】/(x)=g x-s i n x,/(x)为奇函数，则函数尸(x)的图像关于原点对称，排除选项A、D,令 g(x)=f (x),g (x)=：-co s x,当g (x)0 ,所以/(X)在(7,0)上单调递增，X在(0,+8)上单调递增，故 A不符合题意；对于B,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称，且/(-%)=2-+2*=/(x),所以函数/W为偶函数，又尸(x)=l n 2(2,-2 T),令/(x)v 0 =x0 =x 0,所以/(X)在(-8,0)上单
37、调递减，在(0,+8)上单调递减，故 B不符合题意；对于C,函数/(X)的定义域为卜|x3+可(Z eZ),关于原点对称，且f(-x)=-x3-t an x =-/(x),所以函数/(x)为奇函数，X/Z(x)=3 x2+-0,co s X所以/(X)在(版版+),k Z 上单调递增，故 C不符合题意；对于D,函数/(x)的定义域为R,关于原点对称，且/(-x)=l n(Jx 2+-x)=l n 丁2 1 =l n(Jx 2 +i +)=-/(x),、7 x+l+x,所以“X)是奇函数，又y(x)=l n(V?W +x),令(幻=J f+1+x，则(x)为增函数，又函数y =l n 为增函数，
38、所以/(x)=l n(G T i +x)在R上单调递增，故D符合题意.故选：D.4.(2 0 2 2北京首都师范大学附属中学三 模)下列函数中，既是偶函数又在(0,2)上单调递减的是()A.y =2凶 B.y =-x3【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.【详解】对于A,函数/(幻=2 W的定义域为R,关于原点对称，且f(-x)=2 T =2凶=/(x),所以函数/(x)为偶函数,当xe(0,2)时/(x)=2函数/(%)单调递增，故A不符合题意：对于B,函数/(x)=-/的定义域为R,关于原点对称，且/(-%)=-(-x)3=x3=-/
39、(%),所以函数/(x)为奇函数，由幕函数的性质知函数y =Y在R上单调递增，所以函数/(力=-/在R上单调递减，故B不符合题意；对于C,函数/(x)=co s 的定义域为R,关于原点对称,Y Y且 f(-x)=co s(-1)=co s|=/(x),所以函数/(X)为偶函数,当(0,2)时 枭(0,1),又阿中仁所以函数/(x)=co s 在(0,1)上单调递减，故C符合题意；对于D,函数/(x)=I n 的定义域为(-2 ，关于原点对称,2+x且/，公=一 小),所以/(X)是奇函数，又广(不1 1 _ 2x2-x 2 +x (2 x)(2 +x)令;(x)2V x0 =0 x 2%一 5
40、）的解集为（）A.（T,2）B.（-2,2）C.（-8,-2）J（2,+8）D.（,4）U（2,+o）【答案】D【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性解不等式即可得解.【详解】f（X）的定义域为（Y ,+）,因为/（x）=-l n 2-3 x2 2 犬 一 5）等价于3-*2 2 一 5,解得x2,所以不等式/（3-丁）f（2 x 5）的解集为（F,T）U（2,E）.故选：D6.（2 0 2 2 江西宜春模拟预测（文）“函数y =ax-s i n x 在R上是增函数”是“a 0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析
41、】【分析】求导，根据导数恒大于等于0可得。的范围，然后判断可得.【详解】因为函数y =x-s i n x 是增函数，所以了 =。-8$犬 2 0 恒成立，即aN co s x 恒成立，所以。2 1 0反之。0,函数的导数不一定大于0.故“函数y =o x-s i n x 在 R 匕是增函数”是“a 0”的充分不必要条件.故选：A7.（2 0 2 2 江西宜春模拟预测（文）已知函数/（司=（%-1 户-比在区间 2,4 上存在单调减区间，则实数机的取值范围为（）A.Qe+o o）B.（-o o,e）c.（O,2 e2）D.（O,e）【答案】A【解析】【分析】由题意转化为存在X62,4，使得r(x
42、)0,即存在x e 2,4，使得加北，利用导数求g=屁 在xe2,4上的最小值即可.【详解】因为/(x)=(x T)e-a,所以/1()=x e-z,因为f(x)在区间2,4上存在单调递减区间,所以存在x e2,4,使得f(x)xe”,令g(x)=xe,x e2,4,则g(x)=(x+l)e*0恒成立,所以g(x)=B在2,4上单调递增，所以g(x*=g(2)=2e2,所以m 2e2.故选：A8.(2022江苏南京市天印高级中学模拟预测)已知a ,b 1，且(6+l)e=+a(e为自然对数)，则下列结论一定正确的是()A.ln(a+/?)1 B.ln(a-Z?)0C.2a+l 2b D.2a+
43、2fe l,y=6+l2则 ye-xey+x=x(et+1)In y+x=lnx+ln(e-v+1)所以 lnx-x=In y-ln(e+1)y,即 ab+l,即 a-b lln(a+b)ln(2Z?+l)ln3l,所以 A 对1 1!(加 1111=0,所以8错2a+l 22 2,所以 C 错2+2 2丛1 +2 2?+2?=8,所以 D 错故选：A二、多选题9.(2022广东信宜市第二中学高三开学考试)已知/)=，下列说法正确的是()A./(x)在x=l处的切线方程为y=x+l B.的单调递减区间为(e,y)c./(x)的极大值为！D.方程y(x)=-1有两个不同的解e【答案】BC【解析】
44、【分析】对于A,利用导数的几何意义求解，对于B,求导后，由导数小于零求解，对于C,求导后求极值，对 于D,函数y=/W与y=-i的交点个数判断【详解】对于A,由x)=W 得=，/=0,则/=1,所以/(x)在x=l处的切线方程为y=x-l,所以A错误，对 于B,由f(x)0,得l-lnx e,所 以 的 单 调 递 减 区 间 为(e,y),所以B正确，对于 C,由 f(x)=0,得=0,当 0 x 0,当 xe 时，/(x)0,所以当 x=e 时，/(x)取得极大值/(e)=1,所以C正确，e对于D,由C选项可知f(x)的最大值为：，且当0 x e时，/(A)e时，/(A)=-0,所以函数y
45、=/(x)与y=-l的交点个数为1,所以x)=-l有1个解，所以D错误，故选：BC10.(2022全国模拟预测)已知函数/(x)的定义域为。”)，其导函数为了(X),对于任意xw(0,xo),都有xln(x)+/(x)0,则使不等式f(x)lnx+l：成立的x的值可以为()A.g B.1 C.2 D.3【答案】CD【解析】【分析】构 造 函 数g(x)=x)l n x +l-L,由导数确定其单调性，再由单调性解不等式，确定出确选项.X【详 解】令g(x)=f(x)l n x+l-L 所 以g (x)=/(x)l n x+3,X X X因为如则*0,1 0,所 以g (x)0,所 以g(x)在(
46、0,”)上单调递增，X X又g =0,可得g(x)0的解集为(1,内).故 选：C D.1 1.(2 0 2 2全 国 高 三 专 题 练 习)下 列 函 数 在 区间(0,+o o)上 单 调 递 增 的 是()A.yx-()x B.y=x+s i n x2C.y=3 -x D.y=x2+lx+【答 案】A B D【解 析】【分 析】根据题意，利用基本函数的单调性，可得答案.【详 解】对 于A,.，=尤与丫=-(工，都是增函数，；.y =x-g)在 区 间(0,+o o)上单调递增，符合题意；对 于B,y=x+s i n x,其 导 数 了=1+c o s j r,由 在0在R上恒成立，则
47、这 个 函 数 在 区 间(0,+o o)上单调递增，符合题意；对 于C,y=3-x,是一次函数，在R上是减函数，不符合题意；对 于D,y=x2+Zr+l=(x+1)2,是二次函数，其开口向上，对 称 轴 为*=-1,则 这 个 函 数 在 区 间(0,+8)上单调递增，符合题意；故选：A BD.1 2.(2 0 2 2广东模拟预测)已知/(xhWTeT f,若 不 等 式/卜 匚)/(三/在 上 恒 成 立,则。的 值 可 以 为()A.-7 2 B.-1 C.1 D.7 2【答 案】A D【解 析】【分 析】由条件可得/(X)在(l,x o)上单调递增，再结合导数和单调性的关系列不等式求。
48、的范围，由此确定正确选项.【详 解】设y =x-l-l n x(x l),则 y，=l 0,x所以y =x-l T n x在 上 单 调 递 增，所以x l l n x 0,所以l n x x-l,x(l,+8),A o l n x l 时，g (x)，故g(x)l,解得 或 aV-0,所以。的值可以为-0,&，故选：A D.三、填空题1 3.(2 0 2 2,山西运城模拟预测(理)若命题p：T x w-l,l ,V N a-2 x为假命题，则实数”的取值范围是【答案】(-3,+o o)【解析】【分析】写出力:玉a-2x。为真命题，参变分离后求解函数最小值，求出实数”的取值范M【详解】由题得-
49、W:3x0 e -l,l ,x 需+2%有解,/(x)=x3+2 x,x e -l,l ,f (x)=3x2+2 0,所以/(%)在区间JU 上单调递增,所以 f(X)m i n=/(T)=-3,所以只需。-3,即实数的取值范围是(-3,+0 0).故答案为：(-3,长0)1 4.(2 0 2 2重庆八中模拟预测)写出一个具有性质的函数/(x)=.x)的定义域为(),”)；/阮)=/(4)+/(%)；当x e(O,+8)时，/(x)0.【答 案】l o g,x （答 案 不 唯 一）【解 析】【分 析】结合函数的定义域、函数的法则和单调性即可求解，满足题意的答案不唯一.【详 解】由知，对数函数
50、形式的函数满足要求，又由知，/（X）在定义城上是增函数，故 x）=l o g 3X符合题忌,故答案为：1 0 g 3*（答 案不唯一）.1 5.(2 0 2 2全 国 高 三 专 题 练 习)c o s5 0 -s i n5 9 7(c o s3 0 -s i n3 9),9 e 0,2;t ,则。的取值范围是【答 案】（酱）.【解 析】【分 析】先根据不等式的形式构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式即可【详 解】解：由已知得c o s5 0-7C O S3 0 s i n5 0-7s i n3 0令/（#=/一7/,则:（幻=5/-2卜2=/（5无2 _2 1）s i