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1、专题0 1 集合【考点预测】1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属 于 或 不 属 于，数学符号分别记为：和金.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 N.ZQR说明：确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合A =1,2,3,4,5），可知1 e A,在该集合中，6定A,不在该集合中；互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的：也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合 A =a,
2、b,c 应满足无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A =1,2,3,4,5 和 8 =1,3,5,2,4）是同一个集合.列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子 集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合 6中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的 子 集，记作（或 B n ,读作
3、“A包含于8”（或3包含A”）.（2）真 子 集（propersubset）：如 果 集 合 但 存 在 元 素 x e 8,且 xe A,我们称集合 A是集合B的真子集，记作4。8（或 8读作“A真包含于8 ”或8真包含A（3）相等：如果集合A是集合8的子集且集合B是集合A的子集,此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此,集合A与集合B相等，记作A=B.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合8 的所有元素组成的集合，称为A 与 3 的交集，记作A P IS,即A
4、n 8 =x|x e A,一 旦 x w B.（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合8 的元素组成的集合，称为A 与 8 的并集，记作 A U B,即 A U B=x|x e A,或x e B.（3）补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集。的补集，简称为集合A 的补集，记作G/A，即=且史4.4、集合的运算性质（1）A D A =A,A D 0 =0，A A 5 =SA A.（2）A U A =A,A U 0 =A，A U 3 =BU A.（3）A n（C。A）=0,A U（C ）=U,Cu（CuA）=A.【方法技巧与总结】（1）若有
5、限集A 中有个元素，则 A 的子集有2 个，真子集有2 -1个，非空子集有2-1个，非空真子集有2-2 个.（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合8 的真子集.ACB=A o AjB=B o CuB CuA.（4）Cu（A n B）=（CuA）U（4 B）,Cu（A U B）=（CuA）n（C*）.【题型归纳目录】题型一：集合的表示题型二：集合元素的特征题型三：集合的关系题型四：集合的运算题型五：集合与排列组合题型六：新定义【题型一】集合的表示【典例例题】例 1.（2022.安徽芜湖一中三 檄 理）已知集合4=1,2 4,集合8=且1 ,贝 回（）A.0,1 B.0,1,2 C.1,2
6、,3 D.1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】化简集合A,根据集合B 中元素的性质求出集合B.【详解】V A=1x|x2 4 4=-2,2,8=xxe N*ILr-1 e A,故选：C【方法技巧与总结】1 .列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例 2.（2022山东聊城二模）已知集合A=0,1,2,B=abas A,b A,则集合8 中元素个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由列举法列出集合8 的所有元素，即可判断；【详解】解：因为4=0,1,2,ae A,be A,所以必=0 或出?=1或粗?=2 或=4
7、,故 3=/a e A b e A=0,1,2,4,即集合B中含有4 个元素：故选：C例 3.（2022安徽寿县第一中学高三阶段 练 习（理）设集合A=x|V 一 60,x e Z）,B=y|y=ln（W+l）,x e A ,则集合8 中元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.无数个【答案】B【解析】【分析】先解出集合A,再按照对数的运算求出集合5,即可求解.【详解】由f-x 6 0,解得一2V x 3,故4=-1,（）,1,2,In（-Ip +1=ln（l2+l）=ln 2,ln（02+l）=0,ln（22+1）=In 5,故3 =ln2,0,ln5,集合8 中元素个数为3.故选：B.例
8、4.（2022湖南岳阳一中一模）定义集合A 8 的一种运算:48=幻了=2-瓦0 4&5 ,若4 =-1,0,5 =1,2,则 中 的 元 素 个 数 为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为 4 0 B=x|x=/-6,a e e 8,A=-1,0,B=1,2,所以 4 B=0,-1,-2,故集合A 8 8 中的元素个数为3,故选：C.例 5.(2022山东济南二模)已知集合人=1,2,3=2,4,C=zz=xy,x G A,y G B,则 C 中 元 素 的 个 数 为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【
9、分析】根据题意写出集合C 的元素，可得答案.【详解】由题意，当x=l 时，z=x=1 ,当x=2,y=2时，z=xy=4,当 x=2,=4 时，z=xy=16,即。中有三个元素,故选：C例 6.(2022全国高三专题练习)用C(A)表示非空集合A 中元素的个数，定义A*B=C(A)-C(B),C(A)C(B)C(B)C(A),C(A)C(3)已知集合4=5|/+=0,B=x|(x2+ax)(x2+ax+l)=0 ,且 A*8=1,设实数的所有可能取值构成集合S,则C(S)=()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】根据条件可得集合8 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别
10、讨论计算求解.【详解】由 A=x|f+x =O ,可得 A=-1,O因为(/+奴)(/+奴+1)=0等价于x?+ax-0或/+以+1 =0,.A=-,O,A*B=,所以集合B要么是单元素集，要么是三元素集.(1)若5是单元素集，则方程丁+双=0有两个相等实数根，方程/+奴+1 =0无实数根，故 a=0；(2)若B是三元素集，则方程f+a x=O有两个不相等实数根，方程/+以+1 =0有两个相等且异于方程*2+以=0的实数根，即4=0 n a =2且aNO.综上所求4=0或。=2,即 S=0,2,2,故 C(5)=3,故选：D.【点睛】关键点睛：本题以A*3这一新定义为背景，考查集合中元素个数问
11、题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合5要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程/+奴=0与方程/+如+i=o的实根的个数情况，属于中档题.【题型二】集合元素的特征【典例例题】例7.(2022重庆南开中学模拟预测)已知集合4=-1,0,1,B=a+ba&A,b&A,则集合 8=()A.-1,1 B.-1,0,1 C.-2-1,1,2 D.-2,-1,0,1,2【答案】D【解析】【分析】根据A=T,O,1求解8=a+a e A/A 即 可 详解由题，当ae A,e A时。+匕最小为(1)+(1)=2,最大为1 +1 =2,目 一 可 得(-1)+0=-1,0+0=0,
12、0+1=1,故集合 8=-2,1,0,1,2故选：D【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。2.研究两(多个)集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。例8.(2022全国高三专题练习)已知集合4=。,)，)|/+243,彳乙2 ,则A中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.4【答案】A【解析】【分析】根据x,y 满足的关系式求得x,y 的可能值，从而求得集合元素个数.【详解】由厂+y 4 3,得 3 w x w 乖,-乖-y-，X x e Z,y eZ ,所以X-1,0,1,y G-1,0,1）,易知Ix 与 y 的任意组合均满足条件，所以A
13、 中元素的个数为3x3=9.故选：A.例 9.（2022模拟预测（理）已知集合4=卜 k2-5 0,B=xx=2k-l,k e Z ,则AflB中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】解不等式求出A=x|0 4 x 4 5,从而得到不等式组，求出上的值，进而得到AQB中的元素，求出答案.【详解】山 f-5 x 4 0 得：（）4 x 4 5,所以 A=X|0 4X4 5,B =x=2k-,k&Z,令02 一 145,解得：k&Z,当&=1 时，x=l,当k=2 时，x=3,当=3时，x=5,故Ap|8中元素的个数为3.故选：B 例 10.（2022.福建.模拟
14、预测）设集合 A=-2,-1,1,2,3,B=y|y=log,|x|,xe A ,则集合8 元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据集合B的描述，结合对数函数性质列举出元素即可.【详解】当=2 时，y=1 ；当=1 时，y=0；当 x=3 时，y=log2 3.故集合8共有3 个元素.故选：B.f 尤 2 x 0例 1 1.(2 0 2 2 全国高三专题练习)函数/(x)=，：一 八 ，则 集 合 (切=0 元 4 s i n x,0 x -素的个数有()A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【答案】D【解析】【分析】根据分段函数/(X)解析式，结合
15、集合元素要满足的性质/(x)=0,通过分类讨论求所有满足条件的x的值，进而确定集合中元素的个数.【详解】当 x 4 0 时，f(x)-x2-0,解得x =0,当0 v x 4 万时，若/(x)=4 s in x =0,解得x =，当x W O 时，f(x)-x2-71,解得x =-6，当0 c x M 万时，若/(x)=4 s in x =万，贝!s in x =(,解得x =ar cs in?或万一 ar cs in?.又儿 切=0,y(x)=o 或 力=乃=0 或=万或 x =-6 n g%=ar cs in n g%-ar cs in .44集合 x|/x)=0 元素的个数有5个.故选：
16、D.例 1 2.(2 0 2 2上海民办南模中学高三阶段练 习)若 ae -l,3,/,则实数。的取值集合为【答案】0,1,3【解析】【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.【详解】因为a -1,3,/,故4 =一 1 或=3 或4 =3,当。=-1 时，/=_ 1,与元素的互异性矛盾，舍；当 =3 时，=2 7,符合；当时，4=0 或。=1,根据元素的互异性，4=0,1符合，故 a 的取值集合为0,1,3.故答案为:0,1,3【题型三】集合的关系【典例例题】例 13.（2022江苏南京高三开学考试）已知集合4=x|2,4 12,则AfN的子集个数为（）A.4 B.8 C.16 D.
17、32【答案】C【解析】【分析】求出AN=0,1,2,3,即得解.【详解】解：由题得2*4 12=2log=12-.xlog212.因为 log2 8 log212 log216,/.3 log212 a,B=k,-3 x+2 0 ,若则实数a 的取值范围是（）.A.（-,1）B.C.（2,+oo）D.2,+oo）【答案】D【解析】【分析】先求出集合B,再山A=B求出实数。的范围.【详解】B=卜,-3x+2 0=x|x 2或 x a,A uB,所以a2 2.故选：D例15.（2 0 2 2全国高三专题练习）若集合A=x e 7 v|x V2 0 2 2）,实数a满足卜卜一底小=1卜则下列结论正确
18、的是（）A.acA B.a A C.aeA D.a i A【答案】D【解析】【分析】根据题意得a=2G，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可.【详解】解：因为2 我+|2 =1，所以/-46“+1 2 =0，解得4 =26，因为4 =卜 昨4 J2 0 2 2 ,所以ae A.所以 a A,a=A,4 e A均为错误表述.故选：D例16.（2 0 2 2浙江高三专题练习）已知ae R“2 3 9+产9的 值 为（）A.2 B.-1 C.1 D.2【答案】B【解析】除。本题可根据卜,，/=/，q+4 0 得出，a=a+b的值，即可得出结果.【详解】因为 ,，/=/,+6,0 ,也=0a f
19、Z?=0 f /?=0所 以=+解得 或 ,.a=k z =-1b e R,若集合卜,，=,a+4 0 ,则b,然后通过计算以及元素的互异性得出。、当。=1时，不满足集合元素的互异性,故 a=_l,6 =0,“刈9+。刈9=（一 1）2。|9+0 9 9=一 1,故选：B.【点睛】易错点睛:通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.（多选题）例 17.（2022全国高三专题练习）已知集合人=乂以2+2x +a =0 Me R,若集合A有且仅有2 个子集，则a的取 值 有（）A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】B C D【解析】【分析】
20、根据条件可知集合A中仅有一个元素，由此分析方程2+2x+a =0 为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出。的值.【详解】因为集合A仅有2 个子集，所以集合A中仅有一个元素，当。=0 时，2 x=0,所以x =0,所以A =0,满足要求；当时，因为集合人中仅有-一 个元素，所以 =4-4 =0，所以a =l,此时A =1或A =1,满足要求，故选：B C D.例 18.（2022浙江高三专题练习）设集合A=x|-34 x W 2,8=限一1 Vx V2Z +1,且 A RB,则实数k 的取值范围是（写成集合形式）.【答案伏1%-1-3g p-2k+l 2 +1,k-2k+解得 -2 或故
21、答案为：kk-2-2k【题型四】集合的运算-【典例例题】（多选题）例 19.（2022.全国.高三专题练习）已知M、N 均为实数集R的子集，且N c g M=0,则下列结论中正确的是（）A.M CCRN=0 B.MUCRN=RC.CRM JCRN=CRM D.CRM C CRN=CRM【答案】BD【解析】【分析】由题可知W=利用包含关系即可判断.【详解】NCCRM=0:.N 三M,若N 是的真子集，则MCCRNW。，故 A 错误；由N=M 可得MUCN=R,故 B 正确；由N=M 可得，故 C 错误，D 正确.故选：BD.【方法技巧与总结】1.注意并集与交集的大小关系2.补集和全集是不可分割的
22、两个概念例20.（2022河南汝州市第一高级中学模拟预测（文）己知集合人二 卜 除.|二卜,一3 +1）晨+2 4/+1）0,若 A nB=0,则实数的取值范围是（）A.（2,+00）B.lu（2,+oo）C.1U2,同 D.2,网【答案】C【解析】【分析】先解出集合A,考虑集合B是否为空集,集合B为空集时合题意,集合B不为空集时利用2a.4或/+1,-1 解出a 的取值范围.【详解】由题意 A=L4，B=卜,_(4 +1)晨+24 1/+1)o=x (x-2a)x-(a 2+1)o,当3 =0 时，2a =+i，即。=1,符合题意；当即时，B =(2a,a2+1),则有2a.4 或a2+1-
23、1,即a.2.综上，实数”的取值范围为 1U 2,”).故选：C.例 2L(2O 22天津和平二模)已知全集为R,集合A =x|-2 x l,集合B =x|x 2+x o,则 AU低 8)=()A.(-2,1 B.(-1,1C.(-oo,-2)U h+o)D.(-,()u(l,+oo)【答案】A【解析】【分析】化简集合8,由集合的并集、补集运算可求解.【详解】由题意知A=(-2,1),B=(YO,0)5 L+0,所以=所以 A u(4 8)=(-2,1.故选：A例 22.(2022.湖北荆门市龙泉中学二模)已知集合4 =卜 一 8 =国 嗝 X 4 1,全集U =R,则()A.x|l x 3
24、B.1x|0 x l|C.|x|0 x l D.x|l x 3|【答案】C【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合A,再解对数不等式求出集合B,最后根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：由(0，等价于(x 1)x 0,解得x l 或x (),所以 A =或 x 0,由 l og s X W l,解得 0 x 4 3,所以3=x|l og 3x 4 1=x 0 x 4 3,所 以+A=x ()#x 1),所以(6 4)门3=卜|0 犬 4 1；故选：c例 23.（2022湖南长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合4 =-1,0,1,2）,B =x e N+|l 2 8 ,则图中的阴影部分表示的
25、集合为（）B.-1 ,0,3 C.-1,3 D.|0,【答案】B【解析】【分析】山题知B =1,2,3 ,进而得A p|B =l,2 ,再求阴影部分表示的集合即可.【详解】解：解不等式1 2、4 8 得0 x43,所以3 =1,2,3 ,因为 A =一 1,0 ,1,2 ,所以 43 =1,2 所以，图中的阴影部分表示的集合为-1,（）,3 .故选：B（多选题）例 2 4.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知集 合/=X|X2-3X+2-l）,则（）A.N 三M B.M q NC.“n Nw。D.M 2 3RN=R【答案】B C【解析】【分析】先化筒集合M,再结合集合关系包含与集合运算法则
26、知识对各选项逐一分析即可.【详解】因为M=XM-3X+2 4 0,解不等式得M=x|1 4 x 4 2 ,又因为N =x|x 1 .对于A,由题意得M=故 A错误；对 于 B,由上已证可知B正确；对于 C,M HN =x lx20,故 C 正确；对于D,因为a =叶 一 1 ,所以MuaN =（F,T 3 1,2 H R,故 D错误：故选:BC例25.（2022.江苏.高三专题练习）已知集合4=小 1,8=3 时1 门 1 ,则（CRA）CB=【答案】152【解析】【分析】先算出集合B 和集合A 的补集，然后再求它们的交集即可.【详解】由 lnxl 得 0 x e,又 x e N,所以 x=l
27、 或 2,8=1,2,又”=1收）,所以（CR4）CB=1,2.故答案为：1.2.例26.（2022.浙江高三专题练习）已知全集U=R,集合M=xe 3,N=-4,-2,0,1,5，则下列Venn图 中 阴 影 部 分 的 集 合 为.【答案】一 1,2,3【解析】【分析】由给定条件求出集合M,再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得.【详解】由题意，集合M=x e Z k-k 3 =xZ k2x 9 D.|7|=1 6【答案】D【解析】【分析】对 A、B:不妨设 1 4%。2。34,可得q +。2 4|+%+能。2+能，根据集合y的定义可得y中至少有以上5个元素，不妨设xt=at+a2,x
28、2=at+a3,x=ax+a4,x4=a2+a4,x5=a+aA,则集合 S 中至少有 7 个元素，排除选项A,若4+4=/+%，则集合丫 中至多有6个元素，所以|S|祠=或=1 5 1 6,排除选项B；对C：对X X八 则?与 土 一 定成对出现，根据集合T的定义可判断xi占选项C对D：取*=1,3,5,7 ,则丫=4,6,8,1 0,1 2 ,根据集合T的定义可判断选项D.【详解】解：不妨设1 4 4%，贝 +%的值为 4 +%，4 +。3,4 +%，%+a3,a2+a4,a3+a4,显然，a,+a2 ,+a3 a,+a4 a2+a4 a3+a4,所以集合丫 中至少有以上5个元素，不妨设耳
29、=q +a2,x2=q +a3,x3=q +a4,x4=a2+a4,xs=a3+a4,则显然不 XI W X,X4 X R X2X5 X3X5 X4 X5 ,则集合S中至少有7个元素，所以|S|=6不可能，故排除A选项；其次，若则集合丫中至多有6个元素，则1 s l i=或=1 5 1 6,故排除B项:对于集合 7,取*=1,3,5,7 ,则？=4,6,8,1 0,1 2),此时(1 21233 4 4 5 5 5 5 6 3 13,5,2,3,5,4,5,3,，6,4,3,2,5,2,J1 7 b l 6,故D项正确;对于C选项而言，申丰j，x产 X,则+与 之 一 定成对出现，L-i p
30、_ 0,所以|T|一定是偶数，故C项错误.故选：D.【方法技巧与总结】利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想例2 8.（2 0 2 2全国高三专题练习（理）设A是集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 0 的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（）A.3 2 B.5 6 C.72 D.8 4【答案】B【解析】【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若 1,3 在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,1 0 中的一个：若 1,4 在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,1 0 中的一个；:若 1,8 在集合
31、4内，则还有一个元素为1 0；共有 6+5+4+3+2+1=2 1 个.若 2,4 在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,1 0 中的一个；若 2,5 在集合A内，则还有一个元素为7.8,9.1 0 中的一个；:若2,8 在集合4内，则还有一个元素为1 0；共有 5+4+3+2+1=1 5 个.若 3,5 在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,1 0 中的一个：若 3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,1 0 中的一个；:若3,8 在集合A内，则还有一个元素为1 0；共有 4+3+2+1 =1 0 个.若 4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,1 0 中的一个；若 4,7在集合
32、4内，则还有一个元素为9,1 0 中的一个；若 4,8 在集合A内，则还有一个元素为1 0；共有3+2+1=6个.若 5,7在集合A内，则还有一个元素为9,1 0 中的一个；若 5,8 在集合4内，则还有一个元素为1 0；共有2+1=3 个.若 6,8,1 0 在在集合A内，只 有 1 个.总共有 2 1 +1 5+1 0+6+3+1=5 6 个故选：B.例 2 9.（2 0 2）安徽蚌埠三模（理）设集合M=HX=G,，WGN”MM 5,则M的子集个数为（）A.8 B.1 6 C.3 2 D.64【答案】A【解析】【分析】根据组合数的求解，先求得集合中的元素个数，再求其子集个数即可.【详解】因
33、为 x =G ,?e N*,，45,由 C；=C；=5,C；=C；=1 0,C；=l,故集合M 有 3 个元素，故其子集个数为23=8 个.故选：A.例 30.（2022全国高三专题练习）A,=xr x r+,x=3 m,m&N ,若 同表示集合A“中元素的个数，则|A|=,则 闺+%|+阔+.+|/|=.【答案】11 682【解析】）11【分析】解不等式7 3机26可得|阕=1 1,再考虑 的整数部分，从而+|4|+|阕+闻的值.【详解】当 =5 时，25 3m 26,故?，即 114m 421,|阕=11，由于2不能整除3,且二=682,3 3故从？到2 ，3 的倍数共有682个,周+|阕
34、+|阕+.+|4|=682.故答案为：11，682.例 31.（2022.全国高三专题练习）已知有限集合4 =4，%用,4 ,定义集合8=中的元素的个数为集合A的“容量”，记为 A）.若集合A=XN，|1X 3 ,则”A）=；若集合 A=xeN*|lx 4“,且”A）=4 0 4 1,贝 lj正 整 数 的 值 是.【答案】3 2022【解析】【分析】化简A,可得 A）；根据“容量”定义可得4Hxe的L（A）=404 1,解方程即可.【详解】A=xe N*|1 4 x 4 3=1,2,3,则集合 B=3,4,5,所以“A）=3.若集合A=x w N*|lW ,则集合 B=3,4,（7）+=3,
35、4,2 _l,故L（A）=2，L1-2=2-3=4 0 4 1,解得=2022.故答案为:3；2022【点睛】关键点点睛：解决新情景问题的关键是读懂题意，准确理解新定义集合的“容量”的含义，并理解其本质.【题型六】新定义【典例例题】例 32.（2 0 2 2上海市进才中学高三期中）设 S 是整数集Z 的非空子集，如 果 任 意 的,有 必 eS,则称S 关于数的乘法是封闭的.若T、V是 Z 的两个没有公共元素的非空子集，ro V=Z.若任意的a,0,c e T,有abc w T ,同时，任意的x,y,z e V,有孙zeV,则下列结论恒成立的是（）A.T、V 中至少有一个关于乘法是封闭的B.T
36、、V 中至多有一个关于乘法是封闭的C.T、V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D.T、V 中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A【解析】【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答.考虑把整数集Z 拆分成两个互不相交的非空子第T、V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可.【详解】若7 为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时7 与V关于乘法都是封闭的，排除B、C：若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得7、V中至少有一个关于乘法是封闭的，A 正确.故 选:A.【方法技巧与总结】1 .新定义题核心在于读懂题意
37、。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在“翻译”2 .新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”,要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。例 33.（2 0 2 2 上海市松江二中高三开学考试）设集合中，至少有两个元素，且SI满足：对于任意见ye S,若都有肛e T；对于任意x,y e T,若x 1,Pl Pl P3故 二与二四，所以P4=P;，P3 P故 S =M，P：,P,Pl4 ,此时p,P14,p j,0 6,p,q T,若q e T,则&e S,故p：,i=1,2,3,4,故q=。:3-=
38、,2,3,4,Pl P即 9 G P0,p：,p；,p;,P,故,P：,p j,p：,p；=T,此时SU T=“,琢,即SU T中有7个元素.故答案为：7.例 34.（2022.全国高三专题练习）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为 因，即 因=4 +修2 ,/=0,1,2,3.给出下列四个结论.2021则;-1则；Z =0 u lo 2 u 3;整数。力属于同一“类”的充要条件是“a-A e 0”.其 中 正 确 的 结 论 是 （填所有正确的结论的序号）.【答 案】【解 析】【分 析】根据“类”的定义可判断的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断的
39、正误.【详 解】时于，.2021=4x505+1,则 2 0 2 1 e l,正 确；对于，.-l=4 x(-l)+3,则 一1 3 ,不正确；对于，.任意整数除以4,余数可以且只可以是04,2,3四类，则2 =0口1=2 2 3,正 确；对于，若 整 数。、匕属于同一“类”，则 整 数。、b被4除的余数相同，可 设4=4%+k,b=4%+k,其 中 勺、%eZ ,h0,1,2,3,贝|一/?=4(1一%)，故a-匕e0,若a-6 e 0 ,不 妨 令a=4 +匕,6=4%+&(,%eZ,kvk2 e0,2,3),则。一人=4(”-2)+(匕一%2),显 然4%eZ,%目c0,l,2,3,于是
40、得肉 一 周=。，.=心，即整数。力属于同一“类”，整 数a*属 于同一“类”的充要条件是“。-武 网”，正确.正确的结论是.故答案为：.例35.(2022全国高三专题练习)若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A=-1,2,B=x p=2,a 0 ,若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为【答 案】。，9【解 析】【分 析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a值，即可求解【详 解】当a=0时，5=0,此 时 满 足B q A,当a 0时,所以当A 8集 合 有 公 共 元 素=-1时
41、，解得。=2,当 集 合 有 公 共 元 素 箱=2 时，解得 ，故a 的取值集合为。，；，2).故答案为：(o z 例 3 6.(2 02 2.全国高三专题练习)已知数集A=,f +1 3 r+4 J+9 .若存在；UR,使得对任意a eA 都有一eA,则称A 为完美集，给出下列四个结论：a存在f e(),+o o),使得A 为完美集；存在使得A 为完美集；如果，用Z,那么A 一定不为完美集；使得A 为完美集的所有f 的值之和为-2.其中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【分析】由题意得，a w o,即/的范围为r 9 或 Y r 0,目.2 x 0,当4 0 时，分
42、r 0三种情况讨论，根据完美集可求得f 的值，当4 0 时，同理可得f 的值，从而可的答案.【详解】解：由题意得，a O,即 f 的范围为f -9 或T r 0,且/IRO,当；1 0 时，当f0,又46 ，/+1川上+4/+9 ,故人仁。,L L J a t+9 t+4 f+1 t则有2-tt+9/+4r +1-t/+1则、r +4Z +9可/+9J+j/(/+l)2/(r +l)信|(f+4)+9)4/l4(f +4)G+9 y此 时，f(，+l)=(f +4)(f +9),解 得/=3；当tf +9 r+4r +1-r+9lrr(r +9)2 r(/+9)(r +l)(r+4)2 2 得
43、：a l,即 A=（l,+oo）；由。=x+l,x 2 得：b3,即 3 =（3,+）,=.“n 偏 多=（1,3.故选：A.3.（2022江苏盐城三模）已知集合 =邓 犬 6/用，A=2,3,B=2,4,5）,则（Q,4）n 8=（）A.4,5 B.2,3,4,5 C.2 D.2,4,5【答案】A【解析】【分析】由全集U 和集合A 可求出跖A,再山交集运算性质即可求解.【详解】由题意得，t/=2,34.5,又4=2,3则6 A=4,5,因为B=2,4,5,所以&A）c 5 =4所,故选：A.4.（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）若全集U=R,集合A=xy45,xeN,B=xx3,A
44、=0,1,2,3,4,5,所以 Ac&B）=4,5.故选：A5.（2022江苏连云港模拟预测）已知集合4=何1*5,8 =x e Z l x 8,则的子集个数为（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为 A =x|-l x v5,B =x e Z|l x 8）,所以4口3=2,3,4,因此AA3中有三个元素，所以A f i 8的子集个数为2,=8,故选：C6.（2022河南模拟预测（文）设全集。=1,2,模4,5,A =1,3,5,8=1,3,则（）A.U=AJB B.U=&A）U B C.U =AU（”）D.U
45、 =（制）U（M）【答案】C【解析】【分析】由条件根据集合的运算的定义，判断各选项即可.【详解】因为 A =1,3,5,B =1,3,U =1,2,3,4,5,所以 A U 8=135,AJB U,A 错，Q,A=2,4,GA）U 8 =1,2,3,4,（立 必,B 错,Q,B =2,4,5,AU 4）=1,2,3,4,5,C 对，（，淞）U（8）=2,4,5工0，D 错，故选：C.7.（2022陕西模拟 预 测（理）已知集合人=卜|1-3x-4=0,B=xax a2,解得0 4 a 41,a2 4当3=x|x a 1综上，实数”的取值范围是-1,234,）.故选：D8.（2022四川攀枝花三
46、模（理）设集合A=x|xa,B=x|x2-3x+20）,若AQB,则实数a的取值范 围 是（）.A.（-oo,l）B.C.（2,-KO）D.2,+o）【答案】D【解析】【分析】先求出集合B,再 由 求 出 实 数。的范围.【详解】B=x,-3x+2 0=x|x 2或 x.,A q B ,所以aN2.故选：D二、多选题9.（2022全国高三专题练习）已知集合A,8满足4 c 8 =0,AU8=Q,全集。=1 ,则下列说法中可能正确 的 有（）A.没有最大元素，有一个最小元素B.A有一个最大元素，8没有最小元素C.A有一个最大元素，8 有一个最小 元 素 D.A没有最大元素，8 也没有最小元素【答
47、案】ABD【解析】【分析】根据新定义，并正确列举集合A 和&然后判断各选项即可.【详解】对于选项A：若人=卜。忸20,3=x e 0 x O ,=Q,B=A,则Q,A没有最大元素，Q B有一个最小元素，故 A 可能成立；对于选项B：A =xeg|x0,A 有 个最大元素，8 没有最小元素，故 B 可能成立；对于选项C：A 有一个最大元素，3 有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在 A 和 8 两个集合中，与A 和 8 的并集是所有的有理数矛盾；故 C 不可能成立.对于选项D：若人=卜卜 V 2）则A 没有最大元素，8 也没有最小元素，故 D 可能成立；故选：ABD.10.（2022
48、全国高三专题练习）设 司表示不大于x 的最大整数，已知集合M=x|-2 x 2）,W=X|X2-5X0,则（）A.lg200=2 B.M c N =x0 x2C.Ig2-lg3+lg5=l D.M u N =x-l x 5【答案】ABD【解析】【分析】由对数运算可知2lg200 3,lg2-lg3+lg5=l-lg 3 e（0,l）,由国 的定义可知A C 正误;解不等式求得集合M,N,由交集和并集定义可知BD正误.【详解】对于 A,v 100 2001000.-.2lg2003,1g200=2,A 正确；对于 C,lg2 Ig3+lg5=（lg2+lg5）lg3=l-lg3w（0,l）,，l
49、g2 lg3+lg5=O,C 错误；对于 BD,：M=|JC|-2 X 2|=|X|-1 X21,N=杂 x 5,A7 c N =x0 x 2,MoA=x|-lx 8=8,所以B =x|xeA u 8,x e A c B,所以AQB,且 8 中的元素不能出现在A flB中，因此A=0,即选项A 正确；对于B选项，因为A3=0,所以0 =x|xwAuB,x iA n B ,即AUB与AQB是相同的，所以A=5,即选项B正确；对于C 选项，因为4B =A,所以x|xe A u 8,x 走A c 8 a 4,所以8 q A,即选项C 错误；对于D 选项，A=B时，AB =0,（翻）（B）=0 =A8
50、,D 正确；故选：ABD.三、填空题13.(2022全国高三专题练习)已知人=巾2 巩22刍 金+3乃=千14,若 4 5,则实数a 的 取 值 范 围 是.【答案】。2【解析】【分析】按集合A 为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数 的取值范围.【详解】当tf3即 2a“+3 时，A 0,满足4 勺5；.当即2a4。+3 时，若 A2B,2a a+3则有。+3(T 或2 M解得。或 2-综上，实数。的取值范围是。2.故答案为：。214.(2022.全国高三专题练习)已知集合4=刨丫=/-2 占_ /?,3=小=-9 +2x+6,xe/?,则 AB=.【答案】止 1 M 7【解析】【分析】