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1、绝密本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷共5 页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共 40分)一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集。=可-3 c x 3 ,集合 A =x|-2 x W l ,则g A=()A.(-2,1J B.(-3,-2)U 1,3)C.-2,1)D.(-3,-2 U (1,3)【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项.【详解】由补集定义可知：g A=
2、x|3 x4 2或l x 3 ,即4，A =(-3,-2 U(l,3),故选：D.2.若复数z满足i.z =3-4i ,则 忖=()A.1 B.5 C.7 D.25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.【详解】由题意有Z=党=4 3i,故4)+(3)=5.故选：B.3.若直线2x+y-l=0是圆(不一4了 十 丁=i的一条对称轴，则。=()1 1A.B.-C.1 D.12 2【答案】A【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.【详解】由题可知圆心为(。,()，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2。+0-1=0,解得1a=.
3、2故选：A.4.己 知 函 数 则 对 任 意 实 数X,有(1 +2A./(-x)+/(%)=0C.f(-x)+f(x)=l【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.)B./(-%)-/(%)=()D.=【详解】/(x)+/(x)=1 1-1-1+2-1 +2T 1-1-1+2、1 +2*故A错误，C正确;(A)=1+2-.r-1+2.r=1+2-1+2,=2.t+1=1-2.t+1不是常数，故B D错误;故选：C.5 .已知函数/(x)=co s?x-s i n?%,则()(71 万、A./在 一于一石)上单调递减C./(X)在(0,上单调递减/71 71 B.f(x)
4、在 一z，五 上 单 调 递 增D./)在 上 单 调 递 增【答案】C【解析】【分析】化简得出/(x)=co s 2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为/(x)=co s 2x-s i n 2%=co s 2x.对于A选项，当一1 x?时，一)2%-3，则/(x)在 卜 泉 彳)上单调递增，A错;冗 JC 7t TC对于B选项，当2 x一 时，一一 2 x上4 12 2 6/rr jr 1,则/(X)在 一“正上不单调，B错;7对于C选项，当0 x?时，0 2x 耳，则/(x)在 上 单 调 递 减，C对；对于D选项，当时，-2x 0”的()A.充分而不必要条件
5、B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列 q的公差为d,则d w O,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列%的公差为d，则1。()，记 x 为不超过X的最大整数.若 a,为单调递增数列，则d 0,若4 N O,则当2 2时，1 0；若4 0 可得 1一幺，取&=+1,则当 乂 时，anQ,d L d _所以，“4 是递增数列”=存在正整数N o,当N 0时，%0；若存在正整数N。，当N。时，an 0,取A e N*且&2),q 0,假设 d 0，令 a*=4+(-Z)d 上 一 号，旦 k
6、-?k,当“k*+1时，/0,即数列 4 是递增数列.所以，”%是递增数列”u”存在正整数N。，当 N 0时，怎 0”.所以，”4 是递增数列”是“存在正整数N。，当 N 0时，4 0”的充分必要条件.故选：C.7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和Ig P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是b a r.下列结论中正确的是()A.当T=2 2 0,P=1 0 2 6时，二氧化碳处于液态B当T=2 7(),。=1 2 8时，二氧化碳处于气态C.当T=3 0 0，。=9
7、 9 8 7时，二氧化碳处于超临界状态D.当7 =3 6 0,尸=7 2 9时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据T与他尸 关系图可得正确的选项.【详解】当7 =2 2(),。=1 0 2 6时，l g P 3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.当T=2 7 0,P=1 2 8时，2 l g P 3 ,此时二氧化碳处于液态，故B错误.当T=3 0 0,P=9 9 8 7时，1 g尸与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T=3 0 0时对应 是非超临界状态，故C错误.当7 =3 6 0,尸=7 2 9时，因2 1 g尸 3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：
8、D8.若(2 x -1)4 =a*+q x +，则 4+。2+。4=()A.4 0 B.4 1 C.-4 0 D.-4 1【答案】B【解析】【分析】利用赋值法可求4 +。2 +4的值（详解令 X=1 ,则。4+1 +。2 +。0=1，令1 =-1,则a4-a3+/一q +q）=（-3）4=8 1,1 +8 1 .故/+%+%=4 1，故选：B.9.已知正三棱锥尸-A B C的六条棱长均为6,S是A3 C及其内部的点构成的集合.设集合T=Q e S|PQ K5 ,则T表示的区域的面积为（）3兀 C CA.B.万 C.2兀 D.3兀4【答案】B【解析】【分析】求出以尸为球心，5为半径的球与底面A
9、B C的截面圆的半径后可求区域的面积.设顶点P在底面上的投影为。，连接B0,则。为三角形A B C的中心,且3 O=Z x6x =2百，故PO=j 3 6-1 2 =2而3 2因为PQ =5,故OQ =1,故S的轨迹为以0为圆心，1为半径的圆，2 x 走*3 6而三角形A B C内切圆的圆心为0,半径为z彳a=出 1 故S的轨迹圆在三角形A 8 C内部，故其面积为万故选：B10.在AABC中，AC=3,5C=4,NC=9 0.尸为AABC所在平面内的动点，且PC=1,则 丽.而的取值范围是（）A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4J D.-4,6【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐
10、标系，设尸（cos。,sin。），表示出 丽，丽，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0。，A（3,0）,5（0,4）,因为PC=1,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设产（cos。,sin。）,0eO,27r,所以 PA=（3-cos 0一 sin。），PB=-cos 4-sin 0）,所以 PA PB=（-cos）x（3-cos）4-（4-sin9）x（sin夕）=cos2 0-3 c o s-4 s i n+sin2 0=l-3cos6-4sin。./3 4=1 5sin（9+0）,其中 sin0=，cos9=,
11、因为一lsin（e+）l,所以T/仁的定义域是.X【答案】(3,0)5。5【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可：/、1 /l-x 0【详解】解：因为/(x)=+j n,所以 八，解得且尤工0,x x w O故函数的定义域为；故答案为：(,0)=(0,1 1 2 .已知双曲线V+E=i的渐近线方程为丫=走，贝i j?=.m 3【答案】-3【解析】【分析】首先可得加0,即可得到双曲线的标准方程，从而得到。、。，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；2 2【详解】解：对于双曲线y+L=l,所以加0,即双曲线的标准方程为丁2一上_=1,m-m26则a=l,0 =J二最
12、，又 双 曲 线/+二=1的渐近线方程为y =四x，m 3所以q=即3=走,解得加=一3；b 3 yj-m 3故答案为：-31 3.若函数/(%)=A s i nx-G c o s x的一个零点为；，则4=_；.【答案】.I .-4 2【解析】J TT T【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为/(x)=2 sin(x-),代入自变量=在，计算即可.【详解】：/(楙)=A =0，.,A =I/./(x)=sin x-73 cos x=2 sin(x-)/(Z)=2 s in(N/)=-2 siT =-夜12 12 3 4故答案为：1,-V2-ax+,xa.【答案】.0(答案不唯一).1【
13、解析】【分析】根据分段函数中的函数、=-依+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，。0时函数y=-+1没有最小值，故/a)的最小值只能取y=*-2)2的最小值，根据定义域讨论可知_ +120或_/+“_ 2)2,解得 0 a4 l.1 ,x0若a0时，当x -00,故/(x)没有最小值，不符合题目要求；若a()时，当 x f(a)=-a2+1,0当x a时，/(x)min=(。一 2)(0 a 2)，一4+120或 一/+l a-2)2,解得00，当 =1 时，a；=9,可得 q=3；9 9 9 9当“2 2时，由S“=一 可 得S,i=,两式作差可得为=-,4 an-a,an_9 9
14、 9所以，-=-4,则-=3,整理可得。：+3a,-9=(),%4%因为4 0,解 得 出=吟 二2 3,对；f 9 V Q 1假设数列%为等比数列，设其公比为/则W=q%，即 一 =，所以，S；=S 3,可得a：(l+4)2=Y(l+4+q2),解得 =(),不合乎题意，故数列 q 不是等比数列，错；9 9 9(a,-a,o,可得可。，山所以，数列 4 为递减数列，对；4%a/,”假设对任意的 e N*，4 2+，则 E0000Gzi 00000 x+=1000,9 9 1所以，400000=一 cosC =4 8 +36-2 x 4 7 3x 6 x =12，:(=2框，2所以，AABC的
15、周长为a+6 +c=6百+6 .17 .如图，在三棱柱A B C Ag G中，侧面BCG片为正方形，平面B C G 4,平面A B B C =2,M,N分别为4片，A C的中点.（1）求证：M N 平面 B C C/i；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.条件：A B k M N；条件：B M =M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（I）取4?的中点为K，连接MKNK,可证平面MKN平面C8BC1，从而可证朋N平面C B B .（2）选 均 可 证 明 平 面ABC，从而
16、可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小问1详解】取AB的中点为K，连接M K,N K ,由三棱柱ABC-4 g G可得四边形ABB,A为平行四边形，而 B、M =M A,B K =K A,则 MK/BB,而 A/Kg 平面 CB61G，B g u 平面 CBgG，故 MK平面,而 C N =N A,B K =K A,则 NK/BC,同理可得 NK 平面 CBgC；,而 N K C M K =K,NK,M K u平面 M K N ,故平面MKN平面CBgG，而M N u平面M K N,故MN平面【小问2详解】因为侧面C B B C i为正方形，故C5，BB,而CB
17、u平面C B B g ,平面C B B 1平面ABB.A,平面 CSqG c 平面 A=BBj,故 CB J平面 ABB,4,因为N K H B C,故NK_L平面A BB,因为A B i平面故N K工AB,若选，则 ABL肱V,而 N K 1 A B,N K C M N =N,故AB_L平面M/VK,而M K u平面M V K,故所以而C 8L6耳，C B c A B =B,故8与，平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,(),N(l,l,0),M(0,l,2),故 丽=(0,2,。),丽=(1,1,0),丽=(0,1,2),设平面B N M的法向量为n=
18、(x,y,z),“8N=0则 _ _ _ _ _ _ ,从而n-BM=0 x+y=-z 、1y+2z=。取z一则=(2 1),设直线AB与平面BMW所 成 角 为8,则4 2sin 6=cos(n,A B-2 3-3若选，因为N K/B C,故NKJ_平面A B ga，而K M u平面MKN,故 N K 1 K M ,而 B M =B K =1,NK=1,故 B、M =N K ,而 5|8=MK=2,M B =M N ,故 ABB1M 三AMKN,所以 N B B M =N M K N =90,故 耳片 1 B B,而C8_L8g,C B c A B =B,故平面 ABC,故可建立如所示的空间
19、直角坐标系，则3(),0,0),A(0,2,0),N(l,l,(),(),1,2),故 丽=(0,2,0),丽=。,1,0),丽7=(0,1,27设平面B N M的法向量为n-(x,y,z),则n-B N 0n-B M =0从而x+y=0y+2z=0取 z=1,则”=(-2,2,1),设直线A6与平面BNM所成的角为。，则I 4 2sin 6=cos(n,A B)=-=一.!2x3 318.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m以 上（含9.5 0 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据
20、（单位：m）：甲：9.8 0,9.7 0,9.5 5,9.5 4,9.4 8,9.4 2,9.4 0,9 35,9.30,9.2 5；乙：9.7 8,9.5 6,9.5 1,9.36,9.32,9.2 3；丙:9.8 5,9.6 5,9.2 0,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）7【答案】（1）0.4 （2）y（3）丙【解析】【分析】（1）由频率
21、估计概率即可（2）求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.（3）计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问I 详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为04,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4【小问2 详解】设甲获得优秀为事件4,乙 获 得 优 秀 为 事 件 丙 获 得 优 秀 为 事 件 4-3P(X=0)=P(A A24)=0.6X0.5X0.5 =,P(X=1)=P(A 4 A)+嗝a A)+P(AAA)o=0.4 X0.5 X 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5
22、 =,2 0P(X=2)=P(A4 A)+p(4 4 A 3)+P(44A)7=0.4 x 0.5 x 0.5 +0.4 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 =,2 0P(X=3)=(444)=0.4 x 0.5 x 0.5 =2.X的分布列为X0123P32 082 072 022 0二 E(X)=0 x -J+3 -72 0 2 0 2 0 2 0 5【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.8 5的概率为1,甲获得9.8 0的概率为4 1 0乙获得9.7 8的概率为!.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越
23、多，对丙越有利.1 9.已知椭圆：；：+二=1（。/7 0）的一个顶点为4（0,1）,焦距为a b（1）求椭圆E的方程；（2）过点尸（-2,1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线A B,AC分别与x 轴交于点M,N,当|MN|=2时，求左的值.v-2【答案】（1）+/=14 -(2)攵=-4【解析】%=1【分析】（1）依题意可得（2 c =2g,即可求出。，从而求出椭圆方程:c2 a2-b2（2）首先表示出直线方程，设 8（x”y）、C（x”%）,联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB、AC的方程，表示出与、根 据|儿 叫=%一%|得 到 方 程，解得即可;【小 问
24、1 详解】解：依题意可得6 =1,2 c =26，又。2=合一从，所以。=2,所以椭圆方程为三+丁=1；4 -【小问2详解】解：依题意过点（一 2,1）的直线为y -l=Z（x+2）,设 6（%,%）、C（x2,y2）,不妨令-2 Xj x2 i直线AC的方程为yT =,令 y =0,解得/=L马 if所以|知|=冈 一”|=7-一 41-%i-X=X2 _ X1 左（X?+2）+1 1%（X +2）+1=%k（x、+2）Z（X +2）_（“2 +2）%-/+2）kx2+2）（X +2）所 以 禺-司=1 4(/+2)(%+2),即 j(*l+尤2)2 _ 4 3 九2=闪工2%+2(+x J
25、 +4 B nf 1 6公+8女丫，16k2+16k|“1 6攵2+1 6攵 (6k2+Sk即 J-厂 -4 x-L=Z-厂+2-厂我 1 +4/1 +4 F 1 1 1 +4公 I 1 +4左2即+：正,(2公+媒(1 +&2)俨+1)=_ jL 1 6 k 2 +1 6左一2(1 6 2 2+8攵)+4(1 +4%2)整理得8口=可%|,解得2 0.已知函数/(x)=en(l+x).(1)求曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)设g(x)=/(x),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性;(3)证明：对任意的 s,fe (0,+8),有/(s+/)/(5)+/(f).【
26、答案】(I)y =x(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)令/(x)=/(x+r)/(x),(%3 0),即证加(x)机(0),由第二问结论可知加(幻在 0,+8)上单调递增，即得证.【小 问1详解】解：因 为/(=片1 1 1(1 +%),所以/()=(),即切点坐标为(0,0),又尸(x)=e%ln(l+x)+J-),.切线斜率火=r(o)=i切线方程为：y=x【小问2详解】解：因为80)=/。)=6 0(1 +1)+一
27、)，1 +X2 I所以 g(x)=ev(ln(l+x)+-了)，1 +x(1 +J C)21令(1)=ln(l+x)+1 +x(1 +x)则(x)=-1 +x2 2 x2+l(1 +x)2(1 +x)3(1 +X)3(x)在 0,+8)上单调递增,/?(%)/z(0)=1 0.g(x)0 在 0,+0 0)上恒成立，二g(x)在(),+0。)上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于f(s+0-f(s)f(t)/(0),令加。)=/(+力 一/(%),(%0),即证加(x)/(0),/m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+,ln(l+x+r)-e*ln(l+x),.r+/Xmr(x)-ex
28、+t ln(l+%+/)+-eA ln(l 4-x)-=g(x+/)-g(x),1+x+r 1+x由(2)知 8(幻=/(犬)=(皿 1 +犬)+占)在 0,+8)上单调递增，g(x+t)g(x),m(x)0.M(x)在(O,+8)上单调递增，又因为X,f 0,m(x)m(0),所以命题得证.2 1.已知Q：%,小，%为有穷整数数列.给定正整数机，若对任意的“e l,2,相 ,在 Q 中存在4,4+，4”2/一,q+式/2(),使得4+4*+a,*2 +4+j =则称。为帆一连续可表数列.(1)判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若。：,小，4为8
29、-连续可表数列，求证：A的最小值为4；(3)若。9,4,，4为2 0-连续可表数列，且4+4+/7.【答案】(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)直接利用定义验证即可；(2)先考虑A W 3不符合，再列举一个k=4合题即可；(3)A W 5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论左=6时，由4+生+4 2。可知里面必然有负数，再确定负数只能是-1,然后分类讨论验证不行即可.【小 问1详解】%=1,4=2,q+“2=3,%=4,a2+a3=5 ,所以。是5-连续可表数列；易知，不 存 在 使得6 +,+i +4+j =6,所以。不是
30、6-连续可表数列.【小问2详解】若&W 3,设为。：a,c,则至多a +b,b +c,a +c,a,A,c,6个数字，没有8个，矛盾；当上=4 时,数列。：1,4,1,2 ,满足 q=l,%=2，4+4=3，4=4，q+4=5，q+g +%=6，4+%+%=7 ,卬 +4+%+4=8，m in=4.【小问3详解】Q:4 4，若，=/最多有左种，若 i*j,最多有C；种，所以最多有Z +c；=乂?种，若 k 5,则,外，至多可表式 =1 5个数，矛盾，从而若攵 7,则Z =6,a,4 c,d,e,/至 多 可 表 粤 =2 1个数，fna+b+c+d+e+f 20,所以其中有负的，从而。力,。,
31、%/可 表1 2 0及那个负数(恰2 1个)，这表明”/中仅一个负的，没有0,且 这 个 负 的 在/中 绝 对 值 最 小，同 时/中 没 有 两 数 相 同，设那个负数为一加(机2 1),则所有数之和 NW+1 +Z+2H-i-m+5-m-4 m+1 5 ,4 m+1 5 /?=1,:.a,b,c,d,e,f=-,2,3,4,5,6）,再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足2 0 个，”=1 +2 （仅一种方式），1 与 2 相邻，若 T 不在两端，则？,-1,2-形式，若 x =6,则5 =6 +（-1）（有 2 种结果相同，方式矛盾），:.x 6,同理x x 5,4,3 ,故 1 在
32、一端，不妨为0 2 A 3 C，9 形式，若 A =3,则5 =2+3 （有 2 种结果相同，矛盾），A=4同理不行，A =5,则6 =-1 +2 +5 （有 2 种结果相同，矛盾），从而A =6,由于7 =1 +2 +6,由表法唯一知3,4 不相邻,、故只能 1,2,6,3,5,4,或 1,2,6,4 5,3 ,这 2 种情形，对：9=6 +3 =5 +4,矛盾，对：8 =2 +6 =5+3,也矛盾，综上ZH6:.k1 .【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为相-可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1 到2 中间的任意一个值.本题第二问左W3时，通过和值可能个数否定ZW3：第三问先通过和值的可能个数否定左W5,再验证/=6 时，数列中的几项如果符合必然是-1,2,3,4,5,6 的一个排序，可验证这组数不合题.