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1、绝密本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷共5 页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共 40分)一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集。=可-3 cx 3 ,集合 A =x|-2 x W l ,则g A=()A.(-2,1J B.(-3,-2)U 1,3)C.-2,1)D.(-3,-2 U (1,3)【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项.【详解】由补集定义可知：gA=x|
2、3 xW 2 或 lx3,即4，A =(-3,-2 U(l,3),故选：D.2.若复数z 满足i.z =3 4 i,则|z|=()A.1B.5 C,7 D.25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.【详解】由题意有 z =之/T)=-4 3i,故|Z|=J(-4)2+(3)2=5.故 选:B.3.若直线2 x+y-1=0 是圆。一。)2+丁=1的一条对称轴，则。=()1 1A.-B.-C.1 D.12 2【答案】A【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.【详解】由题可知圆心为（。,0）,因为直线是圆 对称轴，所以圆心在直线上，即
3、2。+0 1 =0,解得1a=.2故选：A.4.己知函数/(幻=二7,则对任意实数X,有(1+2A./(-%)+/(%)=0C./(-x)+/(%)=1)B./(T)-/(X)=OD./(-x)-/(x)=g【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.【详解】f(-x+f(x=+)1 +2-*1 +22X 11 +2、+1+2,=1,故A错误，C正确;故选：C.+2-_ +2,=1+2,11 +2*2X-1 7-=1 ,不是常数，故B D错误;2*+1 2*+15.已知函数/（x）=c o s?x-s in?尤，则（）（JI JI I-y,I上单调递减C./5）在（0,上单调
4、递减/71 71 B.7（x）在 一7石上单调递增（九7乃、D./（幻 在 匕,正 上 单 调 递 增【答案】C【解析】【分析】化简得出/（x）=c o s 2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为,f（x）=c o s 2x-s in 2x =c o s 2x.77 T T 7T i 7T TC 对于A选项，当一生 x J时，一7 2x-一，则/(x)在一二一丁 上单调递增，A错;2 6 3 V 2 6 J冗 冗 冗 (T T JT对 于B选项，当上 x 一 时，一一 2x 上，则x)在 一 丁 二上不单调，B错：4 12 2 6 v 7 I 4 12J对于C选项，
5、当0 x。时，0 2当，则/(力 在(),?)上单调递减，C对；仃*7仃 仃 7次 jr 7 T T 对于D选项，当，%不 时，2x 0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列 为 的公差为d,则d w(),利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列 6,的公差为，则4。()，记 国 为 不超过X的最大整数.若 4为单调递增数列，则d 0,若 qNO,则 当 时，a 1 0；若 q 0 可得 1 一%,取 N。=+1,则当乂 时，0,d L _所以，“4是递增数列”
6、n“存在正整数N o,当 N 0时，a,0；若存在正整数N。，当N o时，/0,取Z eN且左N。，a,0,假设 d0,令 a”=%+(-Z)d 左-号，旦 k-*k,当“一 个+1时，乙 0,即数列 4是递增数列.所以，“4是递增数列”U “存在正整数N o,当N0时，勺 0”.所以，“4是递增数列”是“存在正整数N。，当“N0时，0”的充分必要条件.故选：C.7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7和Ig P的关系，其中T表示温度，单位是K-.P表示压强，单位是b a r.下列结论
7、中正确的是（）A.当T=2 2 0,尸=1026时，二氧化碳处于液态B.当7 =2 7 0,尸=128时，二氧化碳处于气态C.当7=3 0 0,9 9 8 7时，二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据T与恒P的关系图可得正确的选项.【详解】当T=2 2 0,。=1026时，lg P 3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.当T=2 7 0,。=128时，2 lgP 3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.当T=3 0 0,。=9987时，IgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态,另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误.
8、当T=360,P=729时，因2 1g尸 3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D8.(2 x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+ayx+a0,则 4+。2+。4=()A.4 0 B.4 1 C.-4 0【答案】B【解析】分析利用赋值法可求4 +4 +。4的值.【详解 1 令 X =1 ,则 4 +“2 +4 +。0 =1，令x=-1,则/+4_ 4 +/=(-3)4=8 1.居 1 +8 1 -故 a4+a2+a0=-=4 1,故选：B.D.-4 19.已知正三棱锥P-A B C的六条棱长均为6,S是AABC及其内部的点构成的集合.设集合T =Q e S|P Q 5 ,则T表
9、示的区域的面积为（）3 n_A B.兀 C.2万 D.3%4【答案】B【解析】【分析】求出以P为球心，5为半径的球与底面A B C的截面圆的半径后可求区域的面积.设顶点P在底面上的投影为。，连接80,则。为三角形A B C的中心,且 8 O =2 x6 x 走=26，故 R 9 =：3 6-1 2 =2 几.3 2因为PQ=5,故OQ=1,故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，2x 且 x36而三角形A B C内切圆的圆心为0,半径为z 彳 a=省 136-故S的轨迹圆在三角形A 8C内部，故其面积为万故选：B10.在AABC中，A C =3,BC=4,Z C =90.P为AABC所在平面内的
10、动点，且PC=1,则巨晨而的取值范围是（）A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4 D.-4,6【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（cos6,sin。），表 示 出 可，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0,0）,A（3,0）,B（0,4）,因为PC=1,所以在以C为圆心，1为半径的圆上运动,设/（cosQsin。）,夕 0,2乃,所以 P A =(3-cos a-s i n。)，P B =(-cos ,4-s i n0,所以 P A P B =(-cos )x(3-cos )+(4-s i n
11、 9)x(-s i n 8)=cos2 -3 cos -4 s i n+s i n2 0=l-3 cos -4 s i n=l-5 s i n(9+0),其中 s i n0 =1,cos?=,因为一l s i n(e +0)4 l,所以TW1 5 s i n(6+0)M 6,即 西.丽e T,6 ：故选：D第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1 1 .函数f(x)=+J匚 嚏 的 定 义 域 是.X【答案】(F,0)D(0,l【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为X)=-+J 1 X,所以 c，解得x V
12、 l且尤0 0，故函数的定义域为(F,0)=(0；故答案为：(3,0)(012.已 知 双 曲 线/+匕=1的渐近线方程为y;士 也，则机=.m3【答案】-3【解析】【分析】首先可得“0,即可得到双曲线的标准方程，从而得到。、b,再跟渐近线方程得到方程，解得即可；22【详解】解：对于双曲线V+L=l,所以加/3cosx =2si n(x-y)/(2L)=2si n(N )=-2si n 二=-四12 12 3 4故答案为：1,一夜-ax+1,x a.【答案】.0(答案不唯一).1【解析】【分析】根据分段函数中的函数旷=-办+1的单调性进行分类讨论，可知，a =O 符合条件，。0 时函数y =-
13、a r+l没有最小值，故/a)的最小值只能取)，=*-2)2的最小值，根据定义域讨论可知_/+1 2 0 或 _ 2+“4 _2)2,解得 0 a W l.1 ,x 0若 a 0 时，当x0 时，当时，/(幻=一 依+1 单调递减，/(x)f(a)-a1+1,0当 时 作篇=%2)2(0 a 2)二一M+INO或 一/+之(4 2,解得0 a W1,综上可得0 W a 0，当 =1 时，a；=9,可得q=3；。9 。9 9 9当2 2时，由S“=一 可 得S“T=，两式作差可得为=-,4,an 见 i9 9 9所以，=一一a”,则一一生=3,整理可得雨+3。2-9 =0,n-i an a2因
14、为 外 0,解得=3足 0,可 得 与 ,则&000G o 100000 x-l-=1000,100 1009/91 _所以，4ooooo=-Tnnn 0,由已知可得由sin C=2sin CcosC，可得cosC=X 3,因此，C=j26【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得Sc=gsinC=|a =6 G,解得a=4#.由 余 弦 定 理 可 得=a2+b2-2a0cosC=48+3 6-2*4 G x 6 x =12，3 =2#），2所以，ABC的周长为a+。+c=6/+6.17.如图，在三棱柱A B C AgC中，侧面8CG4为正方形，平面8 C G 4 J平面A B =B C =2
15、 ,M,N分别为4 g,A C的中点.(1)求证：M N 平面 B C g B I；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线A B与平面B例N所成角的正弦值.条件：A B 工M N；条件：B M =M N.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)取A8的中点为K，连接MK,N K,可证平面K N平面C B 4 G ,从而可证MN平面C B B .(2)选 均 可 证 明J.平面ABC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小 问1详解】取AB的中点为K，连接例K,N K,由三棱柱A
16、B C 4月 可得四边形ABB,4为平行四边形，而 B、M =M A,B K =K A,则 M K H B B、,而 平面 CBAG，Bgu 平面 C85 G，故 MK平面 C B B Q ,而 C N =NA,B K =K A,则 N K/B C,同理可得 NK平面 C 8 8 1G ,而 N K C M K =K,N K,M K u平面 M K N,故平面M K N H平面C B B ,而MN u平面M K N,故M N/平面C B B ,【小问2详解】因为侧面C B B G为正方形，故，B B,而CB u平面。8片G,平面。8片G，平面A8月4,平面C B B n平面A B B,=B B
17、 1,故CB _L平面ABB,4,因为 N K/B C,故 NK，平面 ABB,4 ,因为A B i平面故.N K 工A B,若选，则ABL肱V,而 N K 上A B,N K C M N =N,故AB_L平面M N K,而M K u平面肱V K,故胸，所以A 3,8与，而 C B 上BB,C B c A B =B,故8旦J.平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,（0,l,2）,故 丽=(0,2,0),丽=(1,1,0),而;=(),1,2),设平面B N M的法向量为n=（x,y,z）,n-B N =Q_ ,从而“n-B M=0则x
18、+y=0-.、c 八，取z=-l，则 =(_2,2,_1),y+2z=0设直线AB与平面BNM所成的角为6,则sin 0=jcosn,AB，=若选，因为N K B C,故NKJ_平面A B qd，而KM u平面KN,故.N K 工 K M ,而 BM=B K =1,NK=1,故 B、M =N K ,而 8|B=MK=2,M B =M N,故 ABBM MAMKN,所以 N B B M =N M K N=90,故 A4 J_ B4，而 C B J.BB,C B c A B =B,故 平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,l,
19、2),故 丽=(0,2,0),丽=(1,1,0),丽 =(),1,2),设平面BN M的法向量为n=(x,y,z),n-B N =Q x+y =O -/、则 一.,从而 ；八，取 z=l,则 =(一 2,2,-1),n-BM=O y+2 z=Q、)设直线4 8与平面8NM所成的角为6,则/-4 2s i n 6=eosin,A B)=-=.!2 x 3 318.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m 以 上（含9.5 0 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.8 0
20、,9.7 0,9.5 5,9.5 4,9.4 8,9.4 2,9.4 0,9.3 5,9.3 0,9.2 5；乙：9.7 8,9.5 6,9.5 1,9.3 6,9.3 2,9.2 3；丙:9.8 5,9.6 5,9.2 0,9.1 6.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）7【答案】（1）0.4 （2）y（3）丙【解析】【分析】（1）由频率估计概率即可
21、(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小 问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀 概率为04,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件A 2,丙获得优秀为事件4-3P(X=0)=P(4 A A3)=0.6X0.5X0.5 =,P(X=i)=P(A%耳)+p(4 4 4)+8=0.4 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 =,2 0p（x =2）=P G414 A 3
22、）+P（A&A）+p（A44）70.4 x 0.5 x 0.5 +0.4 x 0.5 x 0.5 +0.6 x 0.5 x 0.5 =,2 0尸（X =3）=尸（4 7!2 A 3）=0.4 x 0.5 x 0.5 =，x的分布列为X0123P32 082 072 022 03 8 7?7E（X）=0 x-F i x-F 2 x-F3X =一2 0 2 0 2 0 2 0 5【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.8 5的概率为1,甲获得9.8 0的概率为4 1 0乙获得9.7 8的概率为9.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多
23、，对丙越有利.61 9.已知椭圆:E.言+后=1(。/?0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2G.(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(-2,l)作斜率为 的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线A B,A C分别与x轴交于点N,当|N|=2时，求大的值.丫2【答案】(1)+/=14 -(2)Z =T【解析】4=1【分析】(1)依题意可得 2 c =2百 ，即可求出。，从而求出椭圆方程；c2a2-b2(2)首先表示出直线方程，设5(X1,y)、。(，力)，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB，AC的方程，表示出X”、根据|MN|=|XN 得到方程，解得即可：【小 问1详解】解：依题意
24、可得Z?=l,2 c =26，又。2=一6 2,所以4 =2,所以椭圆方程为三+y 2=i；4 -小问2详解】解:依题意过点P(-2,1)的直线为y-1 =:(+2),设5(万,%)、C(x2,y2),不妨令-2 x）x2 /(s)+/(f).【答案】(1)y =x(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)令根*)=/(1 +/)-/()，(x J 0),即证加(x)加(0),由第二问结论可知?(x)在 0,+8)上单调递增，
25、即得证.【小 问1详解】解：因为/(x)=e“l n(l +x),所以 0)=0,即切点坐标为(0,0),又/(x)=e(l n(l +x)+J-),1 +x.切线斜率4=/(0)=1切线方程为：丁=【小问2详解】解：因为 g(x)=r(x)=ev(l n(l +x)+-),1 +X2 1所以 g(x)=ev(l n(l +x)+-),1 +x (1 +x)2 1令/?(%)=l n(l +x)+-,1 +X(1 +X),1 2 2%2+1则 h(x)=-+-=-0 ,+x(1 +x)2(1 +x)3(1 +x)3(x)在(),+8)上单调递增，A/z(x)/z(0)=l 0g(x)0在(),
26、+)上恒成立，g(x)在 0,+O O)上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于f(s+t)-f(s)f(t)-/(0),令加(x)=/(x+f)-/(x),(x,r 0),即证机(x)m(0),m(x)=f(x+t)-f(x)=ev+,l n(l +x+r)-exl n(l +x),e r+/em(x)=ex+f l n(l +x +Z)+-eA l n(l +x)-=g(x +，)-g(x),1+x+r 1+x由(2)知g(x)=fO)=e(ln(l+x)+）在 0,+8）上单调递增,1 +X g（x+，）g（x）,m（x）0.Z（X）在（0,+8）上单调递增，又因为X,f0,/.m（
27、x）m（0）,所以命题得证.21.已知Q：q,4,应为有穷整数数列.给定正整数如若对任意的“el,2,加 ,在。中存在9,+,。田，生+/（/。0），使得4+4+1+%2 +%/=，则称。为m一连续可表数列.（1）判断Q：2,1,4是否为5连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若。：4,4,，4为8-连续可表数列，求证：上的最小值为4；（3）若0吗,。2,，4为20-连续可表数列,且q+q 7 .【答案】（1）是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.（2）证明见解析.（3）证明见解析.【解析】分析（1）直接利用定义验证即可；（2）先 考 虑 不 符 合，再列举一个=4合题即可
28、；（3）左K5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论&=6时，由q+4+4 20可知里面必然有负数，再确定负数只能是-1,然后分类讨论验证不行即可.【小 问1详解】4=1,4=2,4+“2=3,4=4，a2+a3-5 ,所以。是5-连续可表数列；易知，不 存 在 使得%+a*+4+）=6,所以。不是6-连续可表数列.【小问2详解】若ZW3,设为Q：a,c,则至多a+6S+c,a+6+c,a,4c,6个数字，没有8个，矛盾；当左=4 时,数列。：1,4,1,2,满足 q=l,2=2,4+“4=3,4=4,at+a2-5 ,m in4+。2 +。3 =6，。2 +。3 +。4 =7,q+生+。3 +
29、。4 =8，.%=4.【小问3详解】Q :ax,a2,-,ak,若，=/最多有左种，若 irj,最多有C；种，所以最多有Z+C；=乂 7 种，若 k&5,则,4，至 多 可 表 =1 5 个数，矛盾，从而若攵7,则Z =6,a,4 c,d,e,/至多可表W=2 1 个数，fna+b+c+d+e+f 20,所以其中有负的，从而。力,。,Z4/可 表 1 20及那个负数（恰 21个），这表明”/中 仅一个负的，没有0,且 这 个 负 的 在/中 绝 对 值 最 小，同 时/中 没 有 两 数 相 同，设那个负数为一加（机21）,则所有数之和NI+1+/M+2H-i-m+5-m=4 m+5 ,4m+
30、15/7?=l,.a,b,c,d,e,f）=-1,2,3,4,5,6）,再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足2 0 个，1.-1 =-1+2（仅一种方式），.1与 2 相邻，若-1不在两端，则？，T，2,_ _ _ _，形式，若 x =6,WJ5=6+（-1）（有 2 种结果相同,方式矛盾）,:.x 6,同理X H5,4,3,故 1在一端，不妨为0,2,4,旦 C，。”形式，若 A =3,则5=2+3 （有 2 种结果相同，矛盾），A =4 同理不行，A =5,贝 i j 6=-l +2+5（有 2 种结果相同，矛盾），从而A =6,由于7=T +2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能一1,2,6,3,5,4,或 1,2,6,4,5,3,这 2 种情形，对：9=6+3=5+4,矛盾，对：8=2+6=5+3,也矛盾，综上攵。6,当女=7 时，数列1,2,4,5,8,-2,-1满足题意,:.k1 .【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为相-可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到2中间的任意一个值.本题第二问左W 3 时，通过和值可能个数否定ZW 3：第三问先通过和值的可能个数否定左W 5,再验证/=6 时，数列中的几项如果符合必然是-1,2,3,4,5,6 的一个排序，可验证这组数不合题.