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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学姓名 准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4 页，选择题部分1至 3 页；非选择题部分3 至 4 页.满 分 150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：如果事件A,B互斥，则P(A +B)=P(A)+P(8)如果事件A,8相互独立，则高P(AB)=P(A)P(B)的要求，在答题纸相应的位置上规范柱 体 体 积 公 式V=Sh其中S表示柱体的底面积，力表示
2、柱体的锥体的体积公式若事件A在一次试验中发生的概率是p,则次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率体的高P“(k)=C：p p)(左=0,1,2,)台体的体积公式其中S 1,2表示台体的上、下底面积，表示台体的高V=-Sh3其中S表示锥体的底面积，表示锥球的表面积公式S=4T*球的体积公式4 ,V=-7rR33其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=1,2 ,3 =2,4,6 ,则()A.2(1,2,4,6)【答案】DB.1,2C.2,4,6)D.【解析】【分析】利用并集的
3、定义可得正确的选项.【详解】AUB=1,2,4,6 ,故选：D.2 .已知a 1 e R,a +3 i =S+i）i （i为虚数单位），则（）A.a l,b 3 B.a ,b 3 C,a=,b=-3 D.a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求。,儿【详解】a+3 i=l+Z?i,而a涉为实数，故a =-1/=3,故选：B.x 2 0,3 .若实数x,y满足约束条件 2 x+y 7 4 0,则z =3 x +4 y的最大值是（）x -y -2 =l og83 =1 l og23,即2 6=3,所以-=(2。)=52=25 43fc (236)2-32-9 1故选：C.8.
4、如图，已知正三棱柱ABC 4用AC=44,E,F分别是棱BC,4 G上的点.记与A4i所成的角为a,“与平面ABC所成的角为，二面角厂 BC A的平面A.a/3y B.p ay C./3ya D.ay p【答案】A【解析】【分析】先用几何法表示出a，/，7,再根据边长关系即可比较大小.【详解】如图所示，过点口作于尸，过户作于M,连接P E，PF PF FP AR FP FPtan =1,tan/=tany?,FP AB PE PE PM PE所以故选：A.9.已知 a,b e R,若对任意 x e R,a|x-h|+1 x-4 1 -12x-5 2 0,则（）A a3 B.al,b 1,/?3
5、 D.al,h3【答案】D【解析】【分析】将 问 题 转 换 为 以2 x-5|-|x-4 ,再结合画图求解.【详解】由题意有：对任意 x e R,有”|%-。以2 1-5|一|了一4|恒成立.1 X,X W 一2设/（x）=6z|x-/?|,g（x）=|2x-5|-|x-4|=3x-9,x 4即x）的图像恒在g（x）的 上 方（可重合），如下图所示:由图可知，。之3,1/?3,或1/?4-3,a故选：D.10.已知数列 4 满足q=l,a“+=a“；d（eN*）,则（）5 5 7A.2 vv 2 B.2 100。u而u）3 C.3 100tz1 iumu 2 D.75 100aloo-，累加
6、可求出一丁（+2）,得出lOOqooVB,再利用4+i 4 3-。“3 a 31 11=累加可求出a.3、)31 1 1-1-F d-2 3 n,再次放缩可得出l O O qoo5-.22【详解】易得=(),1),依次类推可得见(0,1)由题意，an+x13ay即二不F1 1十-4 3-。“1 11 1-=-一4+1 an 3-4-3111111111即-,-彳，-彳，a2%3%出 3%a3 31-1,(n 2),an-3累加可得-，即 (+2),(22),即 3 an 33即4o o(正,1。4 0 0 -3,1 111 +1-=-乂 4 M a 3-an 3-1 If.3 3(+2i_ _
7、i_ 2)1 133J_J_!明 3用,1,1/、1累加可得-1 -(-1)+-1 -+-+-+-,(3),i i i -1 n1 4 i1 八 八”I F ,H 33 H x 4 H x 94 39,2 3 99 J 33l 22 66)即J-:，即 1 00 4ao 京；ui o o 4U 2综上：l O O 6Z j QQ 3.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分.1 1.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积
8、”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S嗦9 2cac2+cr-b12,其中4,6,C,是三角形的三边，S是三角形的面积.设7某三角形的三边a =&b =5 c =2,则该三角形的面积S=【答案】昱.4【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出.I -/2 2 i2、2【详解】因为S=-c2a2 一 c+-b,所以H I 2川 i f.0 14 +2-3丫 V 23S=-4 x2-=-.I 2 J J 4故答案为：叵.1 2.已知多项式（X+2）（冗 一 I），=4+。%+。2工2 ，则。2 =,Q +/+_【答案】.8 ,-2【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接
9、求解即可，第二空赋值去求，令x =0求出为，再令x =l即可得出答案.【详解】含 的 项 为:X-CX.（-1）3+2-C；-X2-（-1）2=-4X2+1 2X2=8X2,故%=8 ；令尤=0,即2=%,令 X=f 即 0=4 +4+Q,+%+%+。5，/.4+%+%+%+。5 =-2，故答案为：8；-2.13.若3sina-sin/?=+=,则sina=,cos2/3=.【答案】.土 包 .110 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到a的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出a,接下来再求4.【详解】a+(3=,A sin/?=c o s ,即 3sina-cos
10、a=W，即阿噜sina噜。sa1瓦,令s i n*噜,c o s 噜,则 V15sin(。一 =,I.=一6=+22万，k e Z ,即 a=6+1 +2人万，sin6z=sin 0-F Ik/r=cos 0=-，I 2 J 10则 cos 2/7=2cos2 夕一 1 =2sin2 of-145故 答 案 为:噜,？14.x+2,x 1,已知函数x)=1 、X；若当 xea,b时,l/(x)3,则匕-a的最大值是【答案】.3+6#6+328【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出。的最小值，。的最大值即可.【详解】由已知/(；)=+2=；,=a +5一 忌 所 以/国)卜 费
11、,当 时，由 l4/(x)3 可得 14 一 +2 l 时，由 l/(x)43 可得 14%+,-1 4 3,所以 1X42+6，1 f(x)3 等价于 一 1 4 X 4 2+百，所以 a,勿 C -1,2+百 ,所以匕一 a的最大值为3 +G.3 7故答案为：,3 +6.15.现有7 张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7 张卡片中随机抽取3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为4,则 PC=2)=,E(J=.【答案】.3，.#1-3 5 7 7【解析】【分析】利用古典概型概率公式求P(J=2),由条件求J 分布列，再由期望公式求其期望【详解】从写有数字122,3,4,5,6
12、的 7 张卡片中任取3 张共有C；种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2 的取法有C；+C；C：种，所以P=2)=2 c 4=,由己知可得的取值有1,2,3,4,%=1)有=|，PC=2)=*r2 3 1 1,尸(J=3)=T =,P(=4)=、)G 3 5 、7 c；3 5所以E C)l x +2x-J3 5 3 5 3 5 3 5 7故答案为：.3 5 716.已知双曲线、a byb=1(。0乃0)的左焦点为尸，过尸且斜率为 的直线交双曲线于4。点4(%,乂)，交双曲线的渐近线于点3(9,%)且不。.若|F B|=3|F A|,则双曲线的离心率是.【答案】巫4【解析】h【分析】联立直
13、线AB和渐近线4：y=-x 方程，可求出点8,再根据|8|=3|出|可求a得点A，最后根据点A在双曲线上，即可解出离心率.【详解】过户且斜率为2的直线A B:y=2(x +c),渐近线4：y=2x,4a 4。a联立 7 44aa ,得6 (Mc bgc，由|用|=3|必I，得A(_5洋c，b在c，b 3 3aJ 9 9aJy=x a而点A在双曲线上，于 是 半 一 二=1,解得：二=且，所以离心率e =58 1a 2 8 1a 2/2 4 4故答案为：巫.417.设点P在单位圆的内接正八边形444的边A4上，则 ;+用;？+.+丽;的取值范围是.【答案】12+20,16【解析】【分析】根据正八
14、边形的结构特征，分别以圆心为原点，A?4所在直线为x轴，4A所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y),再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到 中;+而;+巨 成=8(X2+/)+8,然后利用c o s22.5 E的一个法向量，以 及 而，即可利用线面角的向量公式解出.【小 问1详解】过点E、。分别做直线。C、A 3的垂线E G、并分别交于点交于点G、H.：四边形ABC。和 瓦C D都是直角梯形，AB/DC,CD/EF,AB=5,=3,EE=1 ,A B A D =A C D E=6 0 ,由平面几何知识易知，D G =A H =2,N E F C =/D C F
15、=/D C B =Z A B C =90,则四边形 EECG和四边形。C3”是矩形，.在 R sE G D和 R Q 0H 4，E G =D H=2 V D C C F,D C 1 C B ,且C EcC B =C,CJ_平面 5CRZBCR 是二面角 R OC B 的平面角，则 NBCF=60，ABCF 正三角形，由。C u平面ABC。，得平面ABC。_L平面,：N是8 C的中点，./W _ L 3 C,又CJ_平面BCF,F N u平面B C F,可得F N 1 C D,而5 C cC D =C,二 F/V_L平面 A3CD，而 A D u平面A B C D:.F N V A D.【小问2
16、详解】因为尸N,平面A B C D,过点N做A 6平行线N K,所以以点N为原点，N K ,N B、N F所在直线分别为*轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-呼z,(设 A(5,0),B(0,y/3,0),。(3,0,0),E(l,0,3),则 M 3,32 J3,乌，击=(2,2百,0),瓦1=(2,6,3)2 2设平面A D E的法向量为为=（x,V，z）由，元A一Q=0，得,n-D E =0 2.x2,y/3y=0 广 r-L 取”=(四,-1,6),2x+J 3y+3z 0设直线B M与平面A D E所成角为凡，s i n 际 飙 西 卜 与 鬻5 6 _ 5 4V7-2x/3-142
17、0.已知等差数列%的首项4 =-1,公差d L记 4“的前项和为S”(e N*).(1)若 S4 -2a2a3 +6 =0,求 S.；(2)若对于每个e N*，存在实数c.，使4,+%,。“+|+4%,%+2+1 5%成等比数列，求”的取值范围.3扇-5【答案】(1)S“=(w N*)(2)i d l,所以4 =3,所以=3-4 ,所以(4+4)=3 2-5,2 2【小问2详解】因为4+%，%+i+4 q,+2 +1 5%成等比数列，所以(%+i+4 c”=(a,+c“)(4+2+15%),(n J -1+4 cM y =(-1 +n d-d+cn)(l+nd+d+15cn),c；+(1 4
18、J-8 d+8)q,+/=(),由已知方程C；+(144-8nd+8)c,+屋=0的判别式大于等于0,所以 =(14d 8/+8)2 44220,所以(16-8加+8)(12-8加+8)20对于任意的 eN*恒成立，所以(一2)1-1(2-3)1-2 2 0对于任意的*恒成立，当=1 时，(一2 一1(2一3 -2 =(4+1)(1+2)20,当=2时，由(2d 2。一1)(41 3d 2)2 0,可得d2当“2 3时，(n-2)J-l (2n-3)4Z-2(n-3)(2/?-5)0,又dl所以l)2=1 3-lls in2-2s in6 =-llfs in6 +1 44 1 44+-0）.2
19、x（1）求 的 单 调 区 间;（2）已知,曲线y =f（x）上不同的三点（百，/（石）,（2，/（工 2），（工 3，/（工 3）处的切线都经过点（。,打.证明：（1）若 6,则0 /?_/（。）；_1）；2 e-a 1 1 2 e-a（i i ）若 0 a e,%，则 g +-（注:e=2.7 1 8 28 是自然对数的底数）【答案】（1）/（x）的 减 区 间 为 增 区 间 为（,+.（2）（i ）见解析：（ii）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（i ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3 个不同的解可证明不等式成立，（ii）k
20、=X,团=%1,则题设不等式可转化为m e2(加一1 3)(小一加+1 2)t +1-,2-r-m 36 z(f 1+f 3)结合零点满足的方程进一步转化为I n根+7 2(/7 7+1)0,利用导数可证该不等式成立.【小 问 1 详解】当O c x c ,/,x)0,故/(x)的减区间为a ,/(x)的增区间为信+8【小问2详解】(i )因为过(a,)有三条不同的切线，设切点为a J(%),i =l,2,3,故%)一方=/(%)(%。)，故方程4)匕=/(%。)有3个不同的根,-I n 元+/?=02x该方程可整理为则 g (x)1 e fl e)/、1 e二寿+-7+7D充=T(x -e)
21、(x -a)，当0 c x e或 a时，g x)0；当e xa时，g x)。,故g(x)在(0,e),(a,+o。)上为减函数，在(e,a)上为增函数，因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)0,整理得到：。并+始。=/(4),此 时 力 一“唠+1 一 信+1 )(+卜设“(a)=2 一I na,则/(a)=0,2 2Q v 7 2 a23 e故 为(e,+。)上的减函数，故(。)一 嗟-I ne=0,故0 一/；仁 一1).(i i)当0 a e时，同(i )中讨论可得:故g(x)在(0,a),(e,+o o)上为减函数，在(a,e)上为增函数,不妨设 x x2 x3,则 0 V xic
22、a v 工2 e 忍，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)0,故ea-l ne+Z?0 且2 e1 ea-Q)-l na+0,a 2a?整理得到：+l /?4-l n6T,2 e 2 e因为玉 /曰，故0%a%e 士 1,m =-,t3%!a e要证:2 e-a 1 1 2 e-a一 +r +一 -e 6e%x2 a 6e口 八 e-a 2 e e-a即证 2 d-V%+G -6e a 6e13-7 7 t 2 -m-4+人 v-6 I 3 m 6即证:2 -m +12)即证：t,+-2-，m 36m(z,+r3)而一(m+l)4+I n 4+Z 7 =0 且 一(z +1)G +I n
23、q +/?=0 ,故I n4 I nZ3+3)=。c 2故4+，3_2-=m2 In 乙一In t-x-m故即证:2 I n f j-g (m-13)(/M2-m+12)-x-()Z 1 ty 72即 证:伍+1)比3(加-13乂-加+12),0k-72记 好)=(，%,则21n 0,1 1 2 2 2设(2)=攵-21n攵，则/(Z)=1 +F-=0即()(),k k k k k故0(A)在(1,+8)上为增函数，故(Z)0(m),所以(+1)E女(加-13)(加 一加+12)(/?+l)lnm(机-1 3)(一机+12)k-72-ni-i-TTi&a)(in=In mH-,0 /0,所以a(加)在(0,1)为增函数，故0(2)0(1)=0,故 In m+(，九一1)(，”一 13)(，2 +12)72(/i+l)0-故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等