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1、绝密本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷共5 页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共 40分)一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.I .已知全集。=x|3 x 3 ,集合A =x|-2 x l ,则条A=()A.(-2,1 B.(一 3,-2)_ 工 3)C.-2,1)D.(-3,-2 j (1,3)【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项.【详解】由补集定义可知：Q,A=X|-3
2、X4 2或l x 3 ,即Q,A =(-3,-2 U(l,3),故选：D.7 视频2.若复数z 满足i.z =3 4 i,则同=()A.1 B.5 C.7 D.2 5【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.【详解】由题意有 z =一1=:T-3 i,故|z|=J(-4 j+(3)2 =5.故选：B.T视频门3.若 直 线2 x+y l =0是 圆(x a)2 +y 2=i的一条对称轴，则。=()A.；B.-C.1 D.122【答 案】A【解 析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.【详 解】由题可知圆心为(。,()，因为直线是圆的对称
3、轴，所以圆心在直线上，即%+0 1 =(),解 得a=L2故 选:A.视频口4 .己 知 函 数=则对任意实数x,有()1+2A./(-%)+/(x)=0 B./(-%)-/(x)=0C./(-%)+/(x)=l D.=【答案】C【解 析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.【详解】/(-x)+/(x)=-+、)1 +2-*1 +2 2*11 +2*1 +2、故A错 误，C正确;f(-x)-f(x)=-=-)1 +2-*1 +2、1 +2*1 +2*2r-1 2幺=1-，不是常数，故2X+1 2*+1B D错误；故选：C.f n视频n5 .已知函数/(x)=co s 2 x-s in?
4、x,则()A.x)在1上单调递减 B(x)在-上单调递增C./(x)在(0,q)上单调递减 D.7(x)在(?,卷)上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出/(x)=c o s 2 x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为/(x)=8s2%-sin2x =8 s2 x.对于A 选项，当一 工 一 时，7 i 2 x-,则/(%)在(一 ，一 丁 上单调递2 6 3 V 2 67增，A 错；对于B 选项，当-7 工*时，-%2K%,则/(x)在 卜 全 总 上不单调，B 错；对于C 选项，当0 x (时，0 2 x ,则/(力 在(0,?上单调递减，C 对；对于D 选
5、项，当(x 卷 时，|2 x 0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列%的公差为d,则4。()，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列 4 的公差为d,则d，()，记区 为不超过x的最大整数.若 4 为单调递增数列，则d(),若q N O,则当2 2时，!0；若q 0 可得 1-，取 N=+1,则当N 时，4 0,所以，”,是递增数列”=“存在正整数N。，当 乂时，4 0 ；若存在正整数N。，当“N0时，a 0,取AeN且女N 0,%0,假设d 0,令6,=%
6、+(一 女)d 女一号，且k-*k ,当 k*+1时，a“0,即数列 4 是递增数列.所以，“4 是递增数列”u“存在正整数M，当N。时，a“0”.所以，”q 是递增数列 是 存在正整数N。，当 N时，q 0”的充分必要条件.故选：C.M视频n7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带 使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和IgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是b a r.下列结论中正确的是()A.当 T =2 2 0,P =1 0 2 6时，二氧化碳处于液态B.当 T =2 7 0,P =1 2 8时，
7、二氧化碳处于气态C.当 7 =3 0 0,P =9 9 8 7时，二氧化碳处于超临界状态D.当 7 =3 6 0,。=7 2 9时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据T与坨D的关系图可得正确的选项.【详解】当T =2 2 0,P =1 0 2 6时，l g P 3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.当T =2 7 0,P =1 2 8时，2 l g P 3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.当T =3 0 0,P =9 9 8 7时，I g P与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态,另一方面，7 =3 0 0时对应的是非超临界状态，故C错误.当T=3 6 0,P =7 2 9时，因
8、2 l g P 3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：Dn视频门8.若(2%-1)4 +,则/+%+。4=()A.4 0【答案】BB.4 1C.-40D.-41【解析】分析利用赋值法可求4 +4 +4的值.【详解】令 X =1 ,则%+。3 +。2 +“I+。0 =1 ,令x =_ 1,则g+出-q +%=(_3)4=8 1,1 +8 1故%+4 +%=一 =4 1,故选：B.M视频n9.已知正三棱锥P-A B C的六条棱长均为6,S是 及 其 内 部 的 点 构 成 的 集合.设集合T =Q e S|P Q 5,则7表示的区域的面积为()3兀A.B.冗 C.2 7 r D.3万4
9、【答案】B【解析】【分析】求出以尸为球心，5为半径的球与底面A B C的截面圆的半径后可求区域的面积.设顶点P在底面上的投影为。，连接80,则。为三角形A 8 C的中心,且 8 O =2 x 6 x 正=2 百，故 P C =j 3 6 -1 2=2 而3 2因为P Q =5,故。=1,故S 的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆,而三角形ABC内切圆的圆心为。,半径为2、%36”3x6故S 的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为故选：B时 视 频 n10.在4A Be中，AC=3,BC=4,NC=90。.P 为:ABC所在平面内的动点，且PC=1,则 R V P 3 的取值范围是（）A.-5,3
10、B.-3,5 C.-6,4 D.-4,6【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 P（cosO,sin。），表示出P A，P B，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 C（0,0）,4（3,0）,8（0,4）,因为PC=1,所以尸在以。为圆心，1为半径的圆上运动,设尸(cos。,sin。)，6G(),2,所以 PA=(3-cos。,sin。)，PB=(-cos 4-sin,所以=(-cos)x(3-cos e)+(4-sin6)x(-sin 6)=cos2 6)-3cos0-4sin6)+sin2 0=1-3cos
11、6-4sin(9=1-5sin(6+0),其中 sine=1,cos=因为一l sin(e+)l,所以 TW 1 5sin(6+0)W 6,即 PA-PBe-4,6；故选：D第 二 部 分（非 选 择 题 共 110分）二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分.11.函数/（x）=1+Jl-X的定义域是.X【答案】（F,0）D（0,l【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可;【详解】解：因为=+所以八，解得XW1且 0,7 X X HO故函数的定义域为（F,0）D（0,l;故答案为：（F,0）D（0,lF视频一12.已知双曲线产+土=1的渐近线方程为y=
12、Y lx,则m=.m 3【答案】-3【解析】【分析】首先可得“0,即可得到双曲线的标准方程，从而得到。、b,再跟渐近线方程得到方程，解得即可;丫2【详解】解：对于双曲线V+二=1,所以加 2+=1的渐近线方程为y =走-m3所以2=即=乌 解得加=一3；b 3 yj-m 3故答案为：-3T视频E)1 3.若函数/(无)=A s i n x-Geos尤 的一个零点为?，则4=；，自=【答案】.1 .-0【解析】【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为/(x)=2 s i n(x-W),代入自变T T量x =S，计算即可.1 2【详解】/)=*4-曰=0，A =1/.f(x)=s i n x
13、 -6 c o s x=2 s i n(x -y)7 T 7 1 7 T J T I/()=2 s i n(-)=-2 s i n -=-4 1故答案为：1,-V2T视频力1 4.设函数/(x)=-ax+1.x a.；a的最大值为.【答案】.0 (答案不唯一).1【解析】【分析】根据分段函数中的函数丫=+1 的单调性进行分类讨论，可知，。=0 符合条件，。()时函数y =-a r +l没有最小值，故x)的最小值只能取y =(X-2)2 的最小值，根据定义域讨论可知一4+1 20 或一/+1 2(。2)2,解 得 0 1.1 ,%0若a 0 时，当x()时,当 x f(a)-a2+,0 (0 a
14、时，f(x).=,HJ j /m in 1/、(a-2)(a 2)Y+izo或一片+1 2(4 2)2,解得0 0,由已知可得G sinC =2sinCcosC,可得cosC=3,因此，C=.26【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得Sc=gMsinC=9a=6 G,解得。=4出.由余弦定理可得c?=/+/2昉cosC=48+36-2x4百x6x走=12,2c=2 也,所以，_A6C的周长为a+c=6 6 +6.7视频一17.如图，在三棱柱ABC-4 A G中，侧面6C C 4为正方形，平面平面A阴A，AB=BC=2,M,N分别为A 4,AC的中点.（1）求证：MN 平面BCG百；（2）再从
15、条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直 线 与 平 面BMN所成角的正弦值.条件：A B 上M N；条件：B M =M N .注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AB的中点为K,连 接 可 证 平 面KN平面C 84G，从而可证MN 平面C84G.（2）选均可证明BA _L平面A B C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小 问1详解】取 的 中 点 为K,连接MK,NK,由三棱柱ABC-ABC可得四边形ABgA为平行四边形，而 gM=MA,BK=KA,则 MK/BB,而 M Kz
16、 平面 CBgG，BBU 平面 CBBCi，故 MK平面 CBgG，而 C N =NA,BK=K A,则 NK B C,同理可得 NK平面 CBgG,而 N K M K =K,N K,M K u 平面 M K N ,故平面M K N H平面C88IG,而MV u平面M K N,故MNII平面CB8C,【小问2 详解】因为侧面C B gG 为正方形，故而C8 u 平面C B B ,平面C B B 1 平面ABBA1,平面 C B B c 平面 ABB,=故 CB，平面 ABB,A,因为N K H B C ,故NK _L平面A8耳A,因为 A 8i 平面 A 8 8|4，故 NK_LAB,若选，则
17、 A 8 L M/V,而 N K LA B,N K M N =N ,故AB_L平面M N K,而 K u 平面M N K,故 AB_LMK,所以 ABJ.8B 而 C 8 J.B q,C B c A B =B,故 J.平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,1,0),“(0,1,2),故 BA=(O,2,O),BN=(l,l,O),3M=(O,l,2),设平面BMW的法向量为”=(x,y,z),则n-BN=0n-BM=0尤+y=0y+2z-0从而取 z=1,则=(2,2,1),设直线AB与平面B N M所成的角为。，则sin 0=cos(n,
18、AB =./2x3 3若选，因为N K H B C,故NK_L平面而 K M u 平面MMV,故 N K 1 K M ,而 BiM=B K =l,NK=l,故 B、M=N K ,而 4 8 =MK=2,M B =M N ,故.BB、M 二.M K N ,所以 Z B BtM =N M K N=90,故，BB,而 CB 上 BB,C B c A B =B,故 8与，平面 ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则 8(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,L2),故 8A=(O,2,O),8N =(l,l,O),BM=(O,l,2),设平面8N M 的法向量为 =(x,y,z
19、),n-BN=Qn-BM=0，从而，x+y =0y +2 z =0取 z =1,则=(2,2,1),设直线AB与平面BMW所成的角为仇 则s i n 6=c o s/n,AB=2./2 x 3 3视频口1 8.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以 上（含9.50 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.2 5；乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.2 3；丙
20、：9.85,9.65,9.2 0,9.1 6.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E （X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）7【答案】（1）0.4（2）y(3)丙【解析】【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4,乙获
21、得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件A 2,丙获得优秀为事件A 3-3尸(X =0)=P(A A2A3)=0.6 x 0.5x 0.5=,P(X=D=p(A *)+P(4 4 A)+Q=0.4 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5=,2 0P（X=2）=P（A4 A）+p（a 4 4）+p（4 4 4）=0.4 X 0.5 X 0.5+0.4 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5=2 0；.X的分布列为p（X=3）=尸（A4 A）=0 4x 0.5x
22、 0.5=总X0123P32 082 072 022 03 2 7 2 7/.E（X）=0 x +l x +2 x +3x =-2 0 2 0 2 0 2 0 5【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的 概 率 若，甲获得9.80的概率为,乙获得9.78的概率为4 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最1（）O高的，比赛次数越多，对丙越有利.（视频D2 21 9.已知椭圆：E：=+；=l（a00）的一个顶点为A（0,l）,焦距为2道.a b-（1）求椭圆E的方程；（2）过点打-2,1）作斜率为左的直线与椭圆交于不同的两点8,C,直线A 6,
23、AC分别与x轴 交 于 点N,当|M N|=2时，求左的值.2【答案】（1）+/=14-（2）k=-4【解析】b=1【分析】（1）依题意可得2 c =26 ,即可求出。，从而求出椭圆方程；c2 a2-b2（2）首先表示出直线方程，设8（%,%）、。（，外），联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线A3、AC的方程，表示出与、根据|M N|=|漏一得到方程，解得即可；【小 问1详解】解：依题意可得匕=1,2 c =26,又。2=/一从，2所以4=2,所以椭圆方程为三+y 2=i；4【小问2详解】解：依题意过点尸（一2,1）的直线为y l =Mx+2）,设8（0必）、C（x2,y2）,不妨令一
24、2 玉 2 ,y-1=攵（x+2）由 ，消去y整理得（1 +4公卜2+（16左2+84口+16公+16&=0,14 所以A=（16公+8人 4（1 +4公）（16公+原）0,解得 0,所以 +九2 =16+8左1 +4左 26k2+6k西.马1 +4公直线4 5的方程为 一1 =1 无，令y=0,解 得 与=户直线AC的方程为丁-1 =二1,令y=0,解 得/=产一所以|M N|=%-%=i f i f/_.1 -+2）+1 1 -k（X +2）+1 X-k（x2+2）后（玉+2）（无2 +2）玉一/（X+2）%（工2 +2）（%+2）2|不一天|=2阳（马+2）（%+2）所以打一百=陶（马+
25、2）（玉+2）,即J（石+）一 一4玉 工2 =网%2玉+2（*2+石）+40|,7 16攵2+8女 丫 “16A2+16攵,116+16 J 1622+8%即-厂-4 x-L=Z-L+2-K 1 +4左2 ）1 +4公 1 1 1+必2 （1 +4左2 J1+：5（2/+。2_（1 +4公）（/+=：16后2 +16k-2（16k2+8后）+4（1 +4k2）整理得8口=4网，解得A =TTOMD20.已知函数/0)=6*111(1+%).(1)求曲线y =f。)在点(0 J(。)处的切线方程；(2)设g(x)=/(x),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性；(3)证明：对任意的 s/w
26、(0,+8),有/(s +f)/(s)+/Q).【答案】(1)y =x(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)=(x,t 0),即证加(x)加(0),由第二问结论可知加(x)在 0,+8)上单调递增,即得证.【小 问 1详解】解：因为/0)=6”!1(1+%),所以/(0)=0,即切点坐标为(0,0),又/(x Q e a n a +xH11-),切线斜率左=/()=1.切线方程为：y=x【小问2 详解】解:因为 g(x)=
27、/(x)=e*(l n(l +x)+J),1 +x2 1所以 g (x)=el(l n(l +x)+-,1 +x (1+x)令/i(x)=l n(l +x)+2l +x(1+X)2则 l(X)=1 2 2 x2+l-T -7 =Tl +x (1+x)2(1+x)3(1+x)30,力(X)在(),+)上单调递增,/.h(x)h(O)=1 0.g (x)0 在 0,+o o)上恒成立，g(x)在 0,+刈 上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于/($+D-/Q)-/(0),令加0)=/(+，)一/。)，(x/0),即证机(x)m(0),*.*m(x)=/(x+f)-/(x)=e v+,l n
28、(l +x+r)-e l n(l +x),e*exmx)=ev+,l n(l +x+t)+-e l n(l +x)-=g(x+f)-g(x),1+x+Z 1+x由(2)知8()=八%)=6 (111(1+为+占)在 0,+纥)上单调递增，g(x+t)g(x),ni(x)0m(x)在(0,+8)上单调递增，又 因 为 0,A m(x)m(0),所以命题得证.丽视频21.已知。：4吗，4为有穷整数数列.给定正整数相，若对任意的e l,2,，闻，在。中存在4,4+i i+2，aH/O 2 0),使得4+4+i+q*2+4+/=，则称。为加一连续可表数列.（1）判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列
29、？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若Q：4，4，以为8-连续可表数列，求证：的最小值为4；（3）若。：4，。2，%为20-连续可表数列，且“1+4+4 1.【答案】（1）是5-连续可表数列：不是6-连续可表数列.（2）证明见解析.（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑上W 3不符合，再列举一个=4合题即可；（3）4 4 5时-，根据和的个数易得显然不行，再讨论=6时，由4+4+4 20可知里面必然有负数，再确定负数只能是T,然后分类讨论验证不行即可.【小问1详解】4=1,4=2,4+生=3,4=4,4+%=5,所以。是5-连续可表数列；易知，不 存
30、在 使 得。,+%+|+%j=6,所以。不是6-连续可表数列.【小问2详解】若Z W 3,设为Q：则至多。+反b +c,a +b +c,a,A,c,6个数字，没有8个，矛盾；当 =4时，数列Q：l,4,l,2,满足q =1,a4=2 ,a3+a4=3,%=4,at+a2=5 ,。|+%+%=6,a2+a3+a4=7 ,4+/+%+。4 =8 ,kmi =4.【小问3详解】Q:q，4，,ak,若，=/最多有k种，若-j,最多有C；种，所以最多有种，若左45,则q,%至多可表空士 =1 5个数，矛盾，2从而若上 7,则4=6,a/,c,d,e j至 多 可 表 粤 =2 1个数，而a +c+d +e +/l.【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为帆-可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到用中间的任意一个值.本题第二问ZW3时，通过和值可能个数否定ZK3；第三问先通过和值的可能个数否定左45,再验证=6时，数列中的几项如果符合必然是 T,2,3,4,5,6 的一个排序，可验证这组数不合题.r视频n