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1、解析几何高考试题精选0 8北 京19.（本小题共14分）己知 A 8 C的顶点4 B在 椭 圆 炉+3 2=4上，C在直线/：y =x+2上，且A 6 /.（I ）当A8边通过坐标原点。时，求A8的长及 A 8 C的面积；（I I）当4 4 8 c =9 0,且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.解（I）因为46/,且 边 通 过 点（0,0）,所以A5所在直线的方程为y =x.设4 8两点坐标分别为（X,y,）,（x2%）|%2+3/=4由，-得*=1.=x所以|4用=近 归 _|=2&.又因为AB边上的高h等于原点到直线I的距离.所以力=JL S AB C=A B h=2.（I I）
2、设A3所在直线的方程为y =x+z,命+3/=4，一,由 得4 一+6?x+3-4=0.y=x+m因为4 B在椭圆上，所以八=一12m 2+64 0.设4 6两点坐标分别为（X,必），（2 2），则 Xj 4-x2=3 m 3 m2 4，x,x0=-2 1 2 4所以|A 8|=四 卜 x2|=32；6又因为BC的长等于点（0,m）到直线/的距离，即忸。|=七所以 146f =|+忸 C=-nr-2 m+10 =-m+1）2+11.所以当用=一1时，4 c边最长，（这时=一12+640）此时AB所在直线的方程为y=x-l.0 8福建22.（本小题满分14分）如图，椭圆C：=+鼻=1（。/?0）
3、的一个焦点为尸（1,0）,且过点（2,0）.（I）求椭圆。的方程；（I I）若A3为垂直于x轴的动弦，直线/：x=4与x轴交于点N,直线A尸与8N交于点M.（i ）求证：点恒在椭圆。上：（i i）求 面 积 的 最 大 值.（I ）由题设。=2,c =1,从而 b-a c 3.x所以椭圆。的 方 程 为2一+v乙2=1.4 3（I I）（i ）由题意得尸（1,0）,N（4,0）,A F 与 B N 的方程分别为：n(x-l)-(/n-l)y =0,(x-4)+(zn -4)y =0 .设%）,则有o(x0-l)-(/H-l)y0=0,(f(x()-4)+(z -4)%=0,(3)由，得5m-8
4、 3 n 2 m-5 2 m-5 工片 o(5?-8)2 3 n2由于L +=U-J.+-4 3 4(2加一 5(2？-5)2_ (5 f f l-8)2 3“2-4(2吁 5)2(2加-5)2_(5/7 7-8)2+1224(2/n-5)2_(5Z 8)2+36 9加2-4(2加-5)21.所以点M 恒在椭圆C上.2 2(i i)设 AM 的方程为x=f y +l,代入?+=1 得(3 产+4)y 2+6 0 9 =0.设 4 号 以)，M(X2,y2),则有：%+%=才+4，3r+4,E-%|有 最 大 值 3,此时AM过点I 3 9 A M N 的面积 S-MN=-|y,-y2|=-|y
5、,-刃有最大值-0 8 全国2(22)(本大题满分12分)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,l)是它的两个顶点，直线y=f c c(k 0)与 AB相交于点D,与椭圆相交于E、F 两点.(I )若 丽=6而，求 k的值；(H)求四边形A E B F 面积的最大值。22.(I )解：依题设得椭圆的方程为上+2=1,4直线A 6,尸 的方程分别为x+2y =2,y=kx(k0).2 分如图，设。(为，kx及%3)F(X2 kx?),其 中 为%2，且玉，满足方程(1+4-)2故 =-X,=/.-J 1+4/由 E D =6 D F 知 I X。一斗=6(X2-X0),得 x0=(6x2+
6、JV,)=x2=J、7 7 7 5 1+4左 22由。在 A B 上知 x0+2 kx0=2,得 x。=2 k所以2l +2 k107,1+4/化简得24左2-25 k+6=0,2 3解得=*或 女=.6分3 8(I I)解 法 一：根据点到直线的距离公式和式知，点,夕 到A3的距离分别为_|玉 +2 g -2|_ 2 162k +J 1+4/)V5 *(1+止)，_|x2+2 5-2|_ 2 16 2女 -J 1+4A )=7=/-.9 7T 0，%=一%。，故四边形A E 8尸的面积为s -s配F+s A EF=x2+2y 2.9 分=)(+2%)2=在+4y；+4%b 0）所围成的封闭图
7、形的面积为46，雌 G的内切圆半径a b为 黄 .记。2为以曲线G与坐标轴的交点为顶点的椭圆.（I ）求椭圆。2的标准方程；（1 1）设AB是过椭圆。2中心的任意弦，/是线段AB的垂直平 分 线.M是/上异于椭圆中心的点.若|加。|=川0川（。为坐标原点），当点A在椭圆G上运动时，求点M的轨迹方程；（2）若M是/与椭圆G的交点，求 的 面 积 的 最 小 值.2 ab=42 2.解：（I ）由题意得|帅 2 V 5.后+b 丁又。0,解得/=5,b2=4.因此所求椭圆的标准方程为二+2-=1.5 4（II）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y =kx（k丰0），4区
8、，yA)-解 方 程 组 行+丁 =1 得 说 二 ,4 +5k y =H，_ 2 0k 24 +5%2所以|。4=说+#2 0 2 0公4+5公 4+5 P2 0(l +P)4 +5/设 M(x,y),由题意知|M O|=/1|OA|(/IHO),所以=尤|。4，即 x 2 +y 2=%2 2 0(1+/)4 +5 R2因为/是A8的垂直平分线,I所以直线/的方程为y =j x,即 =土x,因此犬2+y222(尸2 0 1 +jI)1X14 +5 -Yyv2 0(x2+y2)4 y 2 +5 x2又x?+y 2 0 0,所以5/+4/=20 储,2 2故 二+匕=丘4 5又当女=0 或不存在
9、时，上式仍然成立.2 2综上所述，M 的 轨 迹 方 程 为 土+乙=/（九*。）.4 5（2）当上存在且女*0 时，由（1）得2 020k2由 4+5k24 +5 Z?2 2土+匕=1,解得x j5420k22 05+4 公5+4 左 2y=x,所以1 0A l 之2 0(1 +公)4+5k2|AB|2=4|OA|280(1 +/)4 +5/2 0(1 +/)5 +4/解法一：由 于 心 皿=；|丽2。河|21 80(1+Z:2)2 0(1 +公)x-X-4 4+5k2 5+4k24 00(1+2)2一(4 +5 /)(5 +4/)4 00(1+人 _ 1 600(1+/)2 _三.当女不存
10、在时，SZA_x 4n l vWl t iB=-2 x V 5 x 4 =2 V 5 9.4 0综上所述，XAM B的面积的最小值为.9解法二：因为-+-T=-5 1-3 -3-I。川 OMf 2 0(1+/)2 0(1 +/)2 0(1+Z2)2 04 +5/5 +4/又r f7一f-OA OM,|OAOM|。山|。叫 9当且仅当4 +5公=5 +4%2时等号成立，即女=1时等号成立,此时XAM B面积的最小值是SMB=.当=0,S”+2号2 =2尾与.当不存在时，SZA_i n.I VwI D=-2X 5/5 x 4 =2 9.4 0综上所述，A M B的面积的最小值为.907陕西2 1.
11、（本小题满分1 2分）已知抛物线C：y=2 x2,直线y =H +2交。于A B两 点,M是 线 段 的 中 点，过加作x轴的垂线交。于点N.（I ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（H）是否存在实数k使 源 厢=0,若存在，求人的值；若不存在，说明理由.解 法 一：（J ）如 图，设 A（x j2 x；）,B（X2,2X22）,把 y =fc t+2 代入 y =2/得2 x kx 2 =0,由韦达定理得玉+=(，X X2=-1 ,无N =X”=+=七,二N 点的坐标为w 2 4 (4 8)设抛物线在点N处的切线I的方程为y-*=（X j），vyjl/k-将y =2 x2代入上式得2
12、/一机 +-=0,4 8.直线/与抛物线C相切，.-.A =m2-8=m2-2 mk+k2=(m-k)2 0,:.m=k.即/4 B.I 4 8 J(H)假设存在实数出，使 福 丽=0,则NAL N 8,又.用 是A 8的中点，.-.I MN=A B.由(I)知 卅=；(3+%)=；(履i+2 +2 +2)=g 伏(+2)+4(k2 3 k2 c2(2 J 4k2 k2 k2-LIA 火，不轴，/.1削1=卜用一%1=1+2一 可=.又 I A B =J l +k I X j x?1=J l +k J(X +尤2)2 -4 x/2=y/l+k2 4 x(1)=；“2+1 “2+1 6.k+1
13、6=-yJ k2+V F+1 6,解得女=2 .8 4即存在k=2,使 砺NB=Q.解法二：(I)如图，设A(“2 x；),8(2考)，把=履+2代入y =2/得2厂 kx 2 =0.由韦达定理得玉+%=耳，X|X?=1.二.xN=xM=*；-2=qN 点的坐标为（抛物线在点N处的切线/的斜率为4 x&=%,4（H）假设存在实数k,使 福 标=0._ r k 2 （由（I）知 府=再一 人,2%:,一 NB=x2-、4 8 J N A 嵇=（七一：）（2-：）+2 x；a 2 x；k2.2 ,，,.,/y-2 x,y -4x,8 J1/A B.-2 x -则4-8；3XlX2-(X1 +X2)
14、+7氏21 +4%|x?+k(X|+%)+%-k k k21 X H4 2 1 6 Jl +4x(-l)+Z x +2 4_ 3 +#=0,k?3 1 S(xF,yf)则直线A 6的方程：y =(x x j +x；即：y=(玉+%2)%一 玉 九2因Oo，%)在 A5 上，所以 y0=(x,+x2)x0-xx2.又直线A P方程：y=五 二 九x+y 0芭y=3 _x2_由%得：x2-!也尤一，0=02xix=y所以x+尤F=二&=犬-=_8，=与再 X j同理，xF=-,yFX2 X22所以直线EF的方程：卜=一（土土强）打工一上X j X2 x）x2令 X=_ 无0得 y =-（%!+尤2
15、 0 _%中2将代入上式得y =%，即N点在直线E F上所以E,N三点共线（2）解：由已知 A、B、M N 共线，所以 A b H，y o），B（H，%）以A B为直径的圆的方程：x2+（j-y0）2=y0由+（八方一。得 心 。fy+y；f =。x2=y所以y =%（舍去），y =%_ 要使圆与抛物线有异于A,B的交点，则%-1 2 0所以存在y N l，使以A B为直径的圆与抛物线有异于A,8的交点7（芍,丹）则 升=%1,所以交点T到AB的距离为光一为=%一（T）=107北 京 如图，矩形A 8 C O的两条对角线相交于点M(2,0),A B边所在直线的方程为x -3 y -6 =0点T
16、(-Ll)在AD边所在直线上.(I)求4。边所在直线的方程；(II)求矩形A 8 C 0外接圆的方程；(III)若动圆P过点N(2,0),且与矩形A3 C 7)的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.解：(I)因 为 边 所 在 直 线 的 方 程 为x-3 -6 =0,且4。与 垂 直，所以直线A O的斜率为-3.又因为点7(1,1)在直线AD上，所以4。边所在直线的方程为y 1 =-3(x +l).即3 x+y +2 =0.x -3 y -6 =0(II)由 解得点4的坐标为(0,2),3 x +y +2 =0因为矩形ABC D两条对角线的交点为M(2,0).所以M为矩形4 8 c o外接
17、圆的圆心.又|=J(2-0+(0+2 =2 7 2 .从而矩形ABC D外接圆的方程为(x 2 +=8 .(III)因为动圆尸过点N,所以1 P M是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|P M|=|P N|+2痣,即|P M|_|PM=2 JL故点尸的轨迹是以M,N为焦点，实轴长为2灰 的双曲线的左支.因为实半轴长“=近，半焦距c =2.所以虚半轴长b=ylc2-a2=V2.2 2从而动圆P的圆心的轨迹方程为-2-二l(x W-V 2).2 207福建22.如图，已知产(1,0),直线=P为平面上的动点，过点P作/的垂线，垂足为点。,且 评 班=而FQ.(I )求动点P的轨迹。的方程；(
18、H)过点/的直线交轨迹。于4 8两点，交直线/于点M.(1)己 知 砺=4/，M B=BF ,求4+办的值；(2)求|网阿1的最小值.解法一：(I)设点P(x,y),则。(1,y),由/炉=而 也 得:(x +1,0)(2 r y)=(x-l y)(-2 y),化简得 C:y 2=4x.(II)(1)设直线AB的方程为：x=my+l(m丰0).设 A(X ,以)，B(x2,y2),又 A7 j 1,-k mv =4 x,联立方程组，消去x得：/-4/-4 =0,A=(-4 m)2+1 2 0,x=my-,24 +%=-2-m=_ 2-2l为机为必1 1 1+M y2J2 4 m 2-m -4=
19、0.解法二：(I )由 万 万=而 而 得：FQ(P Q +P F)=O.：.(PQ-PF)(PQ+PF)=O,-2 2PQ-PF=0,.J而 卜 网.所以点尸的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y 2=4 x.(I I)(1)由 已 知 砺=4/，MB=B F ,得4 4 b 0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为V 3 .a2 b2 3(I)求椭圆C的方程；V 3(I I)设直线/与椭圆C交于A、8两点，坐标原点。到直线/的距离为二一，求4。8面积2的最大值.C _ 娓 2解：(I )设椭圆的半焦距为C,依 题 意=1,.所求椭圆方程为1+：/=1.a yfi,(I I)设 A
20、。，%)，B(X2 y2).(1)当 A 6 _ L x 轴时，=(2)当 A 3与x 轴不垂直时，设直线A B的方程为)，=履+小.由已知一=昱,得用2=3(r+1).7T 7F 2 4把 y =依+?代入椭圆方程，整理得(3 k2+l)x2+6 kmx+3 m2-3 =0,-6 km 3(m2-1)亦了中2=方7.,8=(1 +/)(马一七)2=(1 +/)3 6 k2 m2 1 2(f f l2-l)(3新+1)2 -3 k 2 +11 2(%2+1)(3/+1一 加 2)3(/+i)(9/+i)(3公+1)2 -(3/+1 yc 1 2/1 2 八 八、I、1 2 ，3 4-；-；=3
21、 )-：-(k w 0)W 3 H-=4.9/+6 女 2+1 2 1 2 x3 +69 k+r +6k21/o当且仅当9 公=3,即&=组时等号成立.k2 3当女=0 时，|AB|=JL 综上所述卜 回 心=2.当 最 大 时，A A OB面积取最大值S=4 x|4 5|x =/II2 1 1 m a x 2 207天 津（22）（本小题满分14分）设 椭 圆 鼻+2r=1（。匕0）的 左、右 焦 点 分 别 为 耳F2 A是 椭 圆 上 的 一 点，a bAF2F1F2,原点。到直线A耳的距离为；|。河.（I）证明a=J5b；（U）求f（o,。）使得下述命题成立：设 圆/+2=/上任意点M
22、（x0,线）处的切线交椭圆于。&两点，则0。，。2（I）证法一：由题设4工，乙 及K J，。），尸2（。，），不妨设点A（c,y）,其中2 2y 0,由于点A在椭圆上有/+31,b2解得y=一，从而得到Aab2C9 a)b2直线4居的方程为y=（x+c）,整理得lacb2x-2 ac y+b2c =Q.1c 刀2由题设，原点。到直线A片的距离为士|。用，即 二 ./,31 3 J/+而2c2将c2=a2-b2代入原式并化简得a2=2 b2,即a=缶.（b2证法二：同证法一，得到点4的 坐 标 为。,一，a）过点。作08_LA1，垂 足 为，易知耳斯 F,F2A ,故 tJR I 恒A|由椭圆定
23、义得|AK|+|A曰=2 a,又忸。|=；|。用，所以 jIM3|F,A|-2 a-F2A 解得优A|=,而|KA|=J,得:即。=?2（Il）解法一：圆f +y?=上的任意点M（X0,%）处的切线方程为小工+%=户.当f e（O,6）时，圆/=/上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点2和Q”因此点Qj（X 1,y j,Q2（X2,%）的坐标是方程组 厂:的 解.当。时，由式得尸 jx-+2y=2b y0/2 2代入式，得/+2 一 餐=2/，即（2天；+y；）x2-4r2x0 x+2f4-2b?y；=0,工 曰 4A 2/-2/y；于是 X +%=；、，X,x2=-
24、产-2 片+y；-2 片+y；2?t-xox,r -xx2y0%-xor(x,+%2)+%0%1%21 (一入072b2片7若。1 OQ2,则 x,x2+弘 y2F/焉_ 3/2次 焉+靖2 片+y（）2 元;+Jo0.2片 +yo所以，3/2/(片+y；)=0.由 片+尤=/，得33一2。2f2=0.在区间（0,份内此方程的解为f=b.当先=0时，必有同理求得在区间（0,）内的解为，=印。.另一方面，当1 =如6时,3可推出玉+必为=。，从而综上所述，r/?e（0,3勿 使得所述命题成立.0 7四川2 1设 耳、鸟分别是椭圆3+y2=i的左、右焦点.(I )若P是第一象限内该椭圆上的一点，且
25、尸 产=/3.Ft(-y/3,0),F2(y/3,0).设尸(x,y)(x 0,y 0).则PF；-PF j=(-V3-x,-y)(V3-x,-y)=x2+/-3=-,又 亍+/=葭x2+y2联立 031 6 J t2-3(l +4 jt2)0,4公 _30,得上21.又 Z A O B 为锐角 co sZ A O B 0 =0 4 0 8 0,0A-OB =x1x2+yy2 0又)1 2 =(依i+2)(依2 +2)=k2xx2+2 k(x+x2)+4xx2+y1y2=(1+2)XJX2+2 k(x+x2)+4,2、1 2 _,.16 k.=(1 +k2)-+2 k-(-)+41 +4/1
26、+4/1 2(1 +如)2 h l 6 A 4(4-/)1 +4/-i +4k2 1 +4/k2 4.4综可知-Z:2 0)相交于A,8两点.(I)若点N是点C关于坐标原点。的对称点，求aA N B面积的最小值；(II)是否存在垂直于y轴的直线/,W /被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由.解 法1：(I)依题意，点N的坐标为N(0,p),可设4(与y),B(X2%)，直 线A 3的 方 程 为y=k x+p ,与f =2)，联 立 得 尸=2py，消 去y得y=kx+p.x2-2 p k x-2 p2=0.由韦达定理得X +乙=2 pk,xx2=-2
27、p?.于是 S 池w S BCN+S ACN 5 2,一I ,P|玉 一 /1 =p J（X|+x2）2-4玉 2pj4P2 k2 =2p Y E +2 ,二当k=0,(S/焉=2焉 六(H)假设满足条件的直线/存在，其方程为了=”，设AC的中点为。，/与4 c为直径的圆相交于点尸，Q,P。的中点为“，0H=a-=2 a-y i-p,|P=Opf-|6w I2=i (y)2+p2)-1(2 a-y,-p)2=(卜 +a(p_q)，.|P02=(2|P”|)2=4 a-y1+a(p-a).令a =0,得删|PQ|=p为定值，故满足条件的直线I存在，其方程为y=g,解法2：(I)前同解法1,再由弦
28、长公式得|AB|=Jl+/归-J2|=+)2 _41=Jl+、2 +8p2=2pJl+24 2 +2,又由点到直线的距离公式得d=-.2/?.从而S&A B N=L 4 11 2 p jl+/2+2 2 J=2p24 2+2,2 2 yj+k2当k=0时，(S 9)max=2p2.(II)假设满足条件的直线/存在，其 方 程 为y=a,则 以AC为直径的圆的方程为(x-0)(x-x,)-(y-p)(y-y,)=0.将直线方程y-a代入得x2-xx+(a-p)(a 一 y)=0,则=x：-4 a-五)(。一 弘)=4+a p-d).设直线/与以AC为直径的圆的交点为P(xy%G(X4%)，则有|
29、P0=卜 一 xj=,4,-弘 +a(p-a)=2 0-+a(p-a).令”片0,得a=g 1t时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线/存在，其方程为y=g0 8全 国(2 2)(本小题满分1 2分)已知椭圆方+5=1的左、右焦点分别为耳，F2,过耳的直线交椭圆于8,O两点，过 尼的直线交椭圆于A,C两点，且AC，80,垂足为P.(1)设尸点的坐标为(/，)，证明：*-+肯_1；(H)求四边形力B C O面积最小值.2 2.证明：(I )椭圆的半焦距c=与=1 ,由A C，8。知点P在以线段FF2为直径的圆上，故 片+y；=1,所以，芯 +且 考 +甚=2 1.3 2 2 2 2(H)(i )
30、当80的斜率%存在且女工0时，8。的方程为y =Z(x +l),代入椭圆方程y+-=l,并化简得（3%2+2）x?+6后2工 +3女2-6 =0.设 6（X,%），D（X2,y2）,则6k2 3k2-6x1,+x7-=-3-k-2；-+-2 ,x.x1 7-=3k；-2-+-2,忸必=y/l+k2|%1 -x2|=J（l +k?）（q +）2 _ 4,4 =；”:3K I乙因为A C与BC相交于点p ,且A C的斜率为一k所以，|AC|4 6（公+1）2k2+3四边形A B C。的面积21 1(3/+2)(2/+3)(3.+2 +(+3)?2 5当A2=1时，上式取等号.(i i)当60的斜率k=0或斜率不存在时，四边形A 8 C O的面积5 =4.96综上，四边形AB C。的面积的最小值为一.