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1、1.2022年全国甲卷】已知椭圆C:+=i g b：0)的离心率为之，4142分别为C的左、U r 妙 3右顶点，B 为 C的上顶点.若 面 .而 2=1 则 仁的方程为()A.=+W=1 B.二+2=1 C.H+H=l D.4+y 2=l18 16 9 8 3 2 2，【答案】B根据离心率及 裕;风=1，解得关于砂.浜的等量关系式，即可得解.解：因为离心率e=|i-=L解得=&笈=;/，分别为c 的左右顶点，则&(-a o),42(a。)，B为上顶点，所以b)所 以 西 =(_ a,_ b).%=(a b)，因 为 瓦 两=一 1所以一。2+用=一 露 将 乒=ga2代入，解得小=9.炉=8
2、，故椭圆的方程为q+工=1.9 8故选：B.2.【2022年全国甲卷】椭圆C:1+m =l(a b 0)的左顶点为A,点 P,Q 均在C上，且U r D*关于y 轴对称.若直线AP.4Q的斜率之积为;，则 C的离心率为()A.立 B.逗 C.-D.-2 2 2 3【答案】A设PG i.%)，则Q(Xi.”)，根据斜率公式结合题意可得二7、=；，再根据+*=1，将八用XT表示，整理，再结合离心率公式即可得解.解：A(-aO),设P(XL7I)，则 Q(4)，则，含人二等;，故/p 止世力 J1=J1.l+a i+f 2+2又/+哈=1，则为2=维声，2)所 以 /即1=1,-3 彳 d 4所以椭
3、圆C的离心率e=：=J l _ J =1.故选：A.3.【2022年全国乙卷】设F为抛物线Cy2=4x的焦点，点A 在 C 上,点玳3。),若|4F|=|8F|，则 网=()A.2 B.zV2 C.3 D.3 a【答案】B根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点4坐标，即可得到答案.由题意得,F(1,O).则|加=出 尸|=2，即点4到准线*=-1的距离为2,所以点4的横坐标为-1 +2=1，不妨设点4在X轴上方，代入得，4(1,2).所以A B=J(3-1)2+(0-2)2=2V2故选：B4.2022年全国乙卷】(多选)双曲线C 的两个焦点为FLBJ，以C的实
4、轴为直径的圆记为D,过力作。的切线与C的两支交于M,N两点，且8SZFNF2=m，则C的离心率为()A.亚 B.3 C.a D.巨2 2 2 2【答案】AC依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过Fl作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到2b=3a或森=2。即可得解，注意就M.N在双支上还是在单支上分类讨论.解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F作圆D的切线切点为G，若M N分别在左右支，因为OG_LJVF1，且8S Z F N F 2=W 0，所以N在双曲线的右支,又|OG|=a，|OF1|=c，|GFJ=b，设 iN F 2=a，4zA N =R，在FTM FZ中，有
5、1soft sin(a4/0 sina，IWF1HMF2I=乏即=_sina sins而CQsa=,sii甲=3 co邓=；故sina=1,若M,N均在左支上,同理有粤=笔、=白，其中6为钝角，故8那=-2snp sm(a-F/v sm o *c故 叵 也L=二 -=-=三，sinn sinf-shjacosfi-cosnsmf sun代入costr=M，sin fi=-,sina=：，整理得到：a=-.5-c 5 4b+2a 4故a=2 b，故e=J i+色?=g故选：AC.5.【2022年北京】若直线2x+y 1=0是圆(Xa)2+y 2=l的一条对称轴，则&=()A.-B.-C.1 D.
6、-12 2【答案】A若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.由题可知圆心为(a o),因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2+o 1=0,解得 a=故选：A.6.【2022年新高考1卷】(多选)已知。为坐标原点，点A(L1)在抛物线仁/=2叩 00)上，过点矶佐一1)的直线交C于 P,Q 两点，则()A.C的准线为y=-l B.直线4 8与C相切c.OP OQOA2D.BP BQBA【答案】BCD求出抛物线方程可判断A,联立A 8与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.将点4的代入抛物线方程得l =2p，所以抛物线方程为x2=y，故 准 线 方
7、 程 为A错误；=所以直线Afl的方程为y=2x 1，联立可得N z r+i n。，解得x=i，故B正确；设过B的直线为I，若直线I与y轴重合，则直线I与抛物线C只有一个交点，所以，直线I的斜率存在，设其方程为y=fcx 1,P(*i.yi),Q(X2.y2)，联立 建_，得K-匕+1=0，!A=-4。*+*2=文，所以立 2或上 2=|。周2,故 C 正确；因为18Pl=T r F F ix ti)|B(?I=v r r F|x2i所以|HP|BQ|=(l +N)|XiX2l=l +N 5，而|H A|2=5，故 D 正确.故选：BCD7.【2022年新高考2卷】(多 选)已 知。为坐标原点
8、，过抛物线二/2=2 2 0)焦点下的直线与C交于4 B两点，其中A在第一象限，点盟3方)，若=则()A.直线的的斜率为*祐 B.|OB|=|OF|C.|A B|4|O F|D.zOyW+zO B M 解得a=l,.,M(l-l).R=瓜,0时的方程为(x +&+1)2=5故答案为：(x-l)2+(y+l)2=S9.【2022年全国甲卷】记双曲线C:=ig 0,b 0)的离心率为e,写出满足条件直U r ir线y=2x与C无公共点”的e的一个值_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】2(满足l e w蜴 皆可)根据题干信息，只需双曲线渐近线y=：x中0 0,b 0).所
9、以C的渐近线方程为 了=土/结合渐近线的特点，只需即4，可满足条件直线y=2x与C无公共点”所以e=J1+l，所以l e K蜴，故答案为：2(满足1 0)的渐近线为y=土：，即Xztmy=0，不妨取x+m y=0，圆x2+中 一4y+3=0,即x2+(y 2)2=1，所以圆心为(0.2)，半径r=1,依题意圆心(.2)到渐近线*4-my=0的距离d=，号=1,vl+n*解得小=虫 或1n=_ 虫(舍去).3 3故答案为：且31 1.【2022年全国乙卷】过四点(Q0).(4,O).(中的三点的一个圆的方程为 答案2/4-(y-3)2=13或2)2+(y-1/=5或(、_ 2+=科(或 +-1)
10、2 T设圆的方程为K+y+D x +y+F=o,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；解：依题意设圆的方程为/4-j24-Z)x4-Ey4-F=O1F=0(F=016+4D+F=0，解得。=-4，1+1-D +E+F=0(E=-6所以圆的方程为N+y dx S y n O,即(x2)2+(y 3)2=13；F=0(F=0若过(Ml),(4.0),(4,2),贝 小 16+4D+F=0，解得 D=-4，16+4+4D+2E+F=0(E=-2所以圆的方程为x2+必 一4x 2y=0，即(x 2+(y 1)2=5；F=Q若过(,(1)，(4.2),则 1+1-D +E+F =O16+4+4D+2F
11、+F=0解得，(F=QD=-3,*7 5所以圆的方程为K+产 一%一 方=，即(，一3+酸9号1+1-D+E+F=O若过(一 1.1)，(4.0),(4,2).贝I 16+4D+F=0，解得16+4+4D4-2E4-F=0竺5竺52-FDEzrHi所以圆的方程为X2+产 一半x 2y芋=0,即+U T A =崇故答案为：(x 2)2+(y 3)2=13或(2)2+(y-1)2=5或(x +(y-Q2=个或(x丑=詈1 2.【2022年新高考1 卷】写出与圆x 2+y=l和(、-3y+8 -4产=16都相切的一条直线的方程.【答案】y=+；或y=畀文*=1先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.圆X
12、+y2=1的圆心为0(0,0)，半径为1，圆(x-3)2+(y 4)2=16的圆心。1为(34)，半径为4，两圆圆心距为仔厂 用=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为/时，因 为/0,=%所以的=一日，设方程为了=六+中 0)。至 I 的距离4=国=1,解得t=j,所以/的方程为v=-：x+；当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0,其中p0，比0,当切线为。时，易知切线方程为=一1，故答案为：y=+；或=&x 卷或*=11 3.【2022年新高考1 卷】已知椭圆C:+=i g b 0），C的上顶点为A,两个焦点为Fr F2,离心率为去 过Fi且垂直于AFz的直线与C交于。，E两
13、点，|DE|=6，则ADE的周长是.【答案】13利用离心率得到椭圆的方程为三+*=1,即 3x2+472 1 2/=0,根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：x=V3y c，代入椭圆方程3X2+4/2 12c2=0，整理化简得到：13J2 6V3cy 9c2=0,利用弦长公式求得c=黑,得ci=2 c=：,根据对称性将 加 E的周长转化为F2。石的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13,椭圆的离心率为e=；,.a=2 c,，乒二层一，=3，；椭圆的方程为即 3X2+4J2 12c2=0，不 妨 设 左 焦 点 为 右 焦 点 为 Fz，如图所
14、示，4F2=级，OF2=支=2c，乙旺2。=,41尸 2为正二角形，一 过 F且垂直于4P2的直线与C交于D,E两点，DE为线段初 2的垂直平分线，直线DE的斜率为坦，斜率倒数为Z3遮，直线DE的方程：*=后 一（：，代入椭圆方程整理化简得到：13y2-6V 3cy-9c2=0-判别式A=(6V3C)2+4 X 13 X 9C2=62 X 16 X C2，CD=J1+(V3)2|y1-y2|=2 X=2 X6X 4X盘=6:*c=,得a=2c=,8 4为线段融2的垂直平分线，根据对称性，A D =DF2,怂=E/2，加石的周长等于 生 社 的周长，利 用 椭 圆 的 定 义 得 到 周 长 为
15、|D F2|+|EF2|+|D 1=|D F2|+I E F2|+ID F 1I+I FFi|=|D Ft|+|DF2|+|EF1I+12|=2a 4-2a=4a=13故答案为：13.1 4.【2022年新高考2 卷】设点4（一2.3）,8（0,吗，若直线4B关于y=a对称的直线与圆（X+3）2+&+2）2=1有公共点，则a的 取 值 范 围 是.【答案】居首先求出点4关于y=曲 寸称点4的坐标，即可得到直线1的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；解：4（一2,3）关于y=a对称的点的坐标为4（-2.2a 3），8（0.a）在直线y=a上，所以4力所在直线即为直线1，所
16、以直线1为 =当,+。，Bp（a-3）x+2 y-2 a=O；圆C:(x+3)2+(y+2)2=l，圆心式一3.2)，半径r=l，依题意圆心到直线1的距离d*m 1,即（5 即 2=0-3）2+2 2,解得 即a 喏 哥故答案为：居1 5.【2022年新高考2 卷】已知直线/与椭圆+2 =1在第一象限交于A,B两点，/与x6 3轴，y 轴分别交于M,N 两点，且pM|=|N8|JMN|=2V3，则/的方程为.【答案】x+V?y-2 V 2=o令期的中点为E，设A d W，8（&，力），利用点差法得到士昕乜3=/设直线A B：y =kx+m，k 0,求出M、N的坐标，再根据|时M求出A、m，即可
17、得解；解：令他的中点为E，因为|A M|=|N 8|,所以|MF=|N ，设4（4力），氏&,力），则=+嚓=1，=比、+11，无 0.弧 f X冷田）2 U E A H 2 J令*=0得y=m,令y=O 得即M（一/），匝,所以E（一 最 分即比解得上=_ 超 或 比=追（舍去），1 2 2 2又眼 刖=2 6，即|MN|=卜 +（缶 研=2小，解得m=2 或m=-2（舍去）,所以直线他 尸=一%+2，即x+历一2 7 =0；故答案为：x+V z y-z V z =o1 6.【2 0 2 2 年北京】已知双曲线产+二=1的渐近线方程为y=士理不 则m=_.【答案】-3首先可得皿 0,即可得到
18、双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；解：对于双曲线y2+W=i，所以m 0,b 0）的左焦点为F，过 F 且斜率为於的直线交双曲线于点4（无力力），交双曲线的渐近线于点8（/2,72）且乂 1 0 .若|FB|=3|五山，则 双 曲 线 的 离 心 率 是.【答案】还4联 立 直 线 和 渐 近 线 12：y=；x方程，可求出点8,再根据|FB|=3|B4|可求得点A，最后根据点A在双曲线上，即可解出离心率.过F且斜率为二的直线朋:y=；(x+c)，渐近线切尸=2，4ti 4a 。)的焦点为F,点D(p,O),过 F 的直线交C于 M,N 两点.当直线/WD垂直
19、于x 轴时，|时 F|=3.求 C的方程；设直线MD.MD与 C的另一个交点分别为A,8,记直线AfMAB的倾斜角分别为艮当支一0取得最大值时，求直线AB的方程.【答案】(l)y2=4 x；(2)4B:x=V 2y+4(1)由抛物线的定义可得何 打 十 巧，即可得解；(2)设点的坐标及直线MN：x=my+l，由韦达定理及斜率公式可得比MN=2 成，再由差角 的 正 切 公 式 及 基 本 不 等 式 可 得 设 直 线 4B：x=”y+m结合韦达定理可解.抛物线的准线为*=一:，当MD与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为p,此时|M H=p+q=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x；
20、(2)设M序 九 加 小 而,应 赛 而,风 彳 切，直线MMx=my+1.由可得y2 4my 4=0，A 0,yiyz=-4由斜率公式可得比MN=舞=忌，%=弃=y s+y v直线MD：X=.-y+2,代入抛物线方程可得非y 8=0,71A 0.X 3=-&所以3=22，同理可得74=21，所以5 高=1=等又因为直线MN、A B的倾斜角分别为w f,所以1 8 =3 =号!，若要使四一 最大，则（&），.f c、tana-tanl?i 1,1 调设 立 MN=2 =2无 0，则一为=,=Q M=T，当且仅当：=2 比即比=超时，等号成立，所以当 6最大时，5 =专 设直线加：/=历+7 1
21、,代入抛物线方程可得y2-4V2y_4n=o.A 0,=-4n=4了力2=16，所以n=4.所以直线4B：x=0 y+4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.1 9.【2 0 2 2年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过4（0,_ 2）,8 6.-1）两点.求E的方程;设过点P(L 2)的直线交E于A4,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A B交于点T,(4n=1咆=点H满 足 祈=费.证 明：直线HN过定点.【答案】(l)g +J=l(2)(a-z)(1)将给定点代入设出的方程求解即可；(2)设出直线方程
22、，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.解：设椭圆E的方程为BIX2+可2=1，过4(0,2),8 6,一1),解得m=工，n =-3 4所以椭圆E的方程为：巳+弓=1.4 34(Q-2),B(1,-1),所以所:y+2=：x,若过点P(L-2)的直线斜率不存在，直线*=1.代入5+=1，可得/(L逑)，N(L逑)，代入AB方程y=x -2,可得3 3 SM+3.手)，由 前=前得到应方后+5.手).求得H N方程：y=(2-亭)/-2-过点(Q-2).若过点P(L 2)的直线斜率存在，设kxy (Jt+2)=0.M(xi,yi),N(xyz)-联立(*4-+yw-31可得.X
23、iX2-iP 7 r且 x1yz+(y=yi联立卜=4 2,可得式等+3,免),现3九+6-x1.y i)可求得此时HMy-力371+6-11*2(X*2)，将(Q 2)，代入整理得2(*1 4-x2)6(j1 4-j2)+%172+3yly2-1 2=0，将(*)代入，得2彼+12比2+96+48比一2彼 一48 48*+24k23成-4 8 =0.显然成立，综上，可得直线HN过定点如 一2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20.2022年新高考1卷】已知点4(24)在 双
24、曲 线=l(d 1)上，直线/交C于P,Q两点，直线AP.4Q的斜率之和为0.求/的斜率；若tanzHlQ=2钝，求的面积.【答案】一1;(2)些9(1)由点4(24)在双曲线上可求出a，易知直线/的斜率存在，设:y=Jtx+m，P(%i,ji),QC,X2,y2)再 根 据+ksp=0 即可解出/的斜率；(2)根据直线.4Q的斜率之和为0可知直线4P,4Q的倾斜角互补，再根据tanzPZQ=2”即可求出直线A E 4 Q的斜率，再分别联立直线AP.4Q与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点4到直线PQ的距离，即可得出A PilQ的面积.
25、因为点4(24)在双曲线C:=上，所以1一 上=1，解得F =2,即双曲线B*1 B*or1易知直线/的斜率存在，设上y =Jbr+ni，P(x19yi),Q(1x2,y2)y=kx+m联立了,可得，(1一2必)/一 4mjfcr-2M 2=0,所 以 R+&=一 莪下工 质=零，A=16m2士2+4QBI2+2)(2/-1)0=m2-1+ZJt2 0所以由5+研=0可得，器+出=0,即(X-2)仅%2+tn 1)+(X2 2)(jcxi+m 1)=0,即2kxiM+(m 1 2k)(Xi+x2)-4(m 1)=0,所以 2JtX 金4+Q n-12 fc)(-0-4 Q n-l)=0,化简得
26、，8 F+4 fc-4 +4m(fc+l)=0.即优+l)(2Jt-1+m)=0,所以比=-1或m=1 2k，当u i=l2A时，直线l：y=kx+m=i:(x 2)+1过点4(2.1)，与题意不符，舍去,故比=-1.不妨设直线P4PB的倾斜角为6 3 于是，直线P4：y=y Q-2)+l，直线P8:y=也(x-2)+l，fy=V 2C x-2)+l n,-联立 式 可得，+2(1-2V2)x+10-472=0，l 工 厂 一因为方程有一个根为2,所以4=里”，)=亨，同理可得，所以PQ：x+”；=0,|PQ|=g,点A到直线PQ的距离d=卜=等，故4 P4Q的面积为 打 手 x 乎=号名2
27、1.【2022年新高考2 卷】已知双曲线 1 一1 =1。0,6 0)的右焦点为，(2,0)，渐近U r U*线方程为y=V3x 求 C的方程；(2)过 F 的直线与C的两条渐近线分别交于4 8 两点，点PCQ,%),(?(&,力)在 C上，且x1 x2 0,y1 0.过 P 且斜率为一卷的直线与过Q且斜率为卷的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M 在A B匕 P Q|M；何 用=何 引注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】M W n l3 见解析(1)利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a b 的关系，进而利用a b.c 的平方关系求得a b
28、 的值，得到双曲线的方程；(2)先分析得到直线他的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(xo,yo),由|AM|=|BM|等价分析得到质+4 =黑；由直线P尚和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=阻，由PQ4 s 等价转化为切J =3。由加M在直线AB上等价于k光=(而 一 2)，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.右焦点为:c=2,渐近线方程为尸=由又,，;二 由，=1,c2=a2 4-b2=4 a2=4*a=1,b=V3 c 的方程为：K =i；3(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线Afl的斜率不为零,若选由推或选由
29、推：由成立可知直线期的斜率存在且不为零;若选推，则用为线段4B的中点，假若直线期的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在“轴上，即为焦点F,此时由对称性可知R Q关于x轴对称，与从而4=/2,已知不符;总之，直线4B的斜率存在且不为零.设直线Afi的斜率为比直线4B方程为y=/五一 2）则条件M在4B上，等价于%=比（及 一2）o ky 0=/（而 2）；两渐近线的方程合并为3/y2=0,联立消去y并化简整理得：（fc2 3JX2 4Jlt?x+4A2=0设4（*3（3）,见算3,尸。，线段中点为加（小,加）,则布=超#=六=*（-2）=言设o.yox则 条 件=18Ml等价于（天,_施）2+
30、Go _ 力）2=（x0-。）2+Go _ 九）2移项并利用平方差公式整理得：（x3-。）2沏-&+X4）+（y3-y 4）2yo-5+力 =。，2Xq-（x3+X4）-C73+了4）=,即 Xb%+妁0%）=0，*3 *4由题意知直线的斜率为一有，直线Q施的斜率为g,：由 Pi-J o =-V 3(xt-xo),y2-y0=7 3(12-*-y i-*=-+2-2xo)-所以直线PQ的斜率m=互 =一或*-刊Z1f 4 f直线Pilf：y=-V3(x-/)+为，即y=y0+值。-V 3 x代入双曲线的方程3/y2 3=0,即(i/3x 4-y)(V3x y)=3中,得：G0+V3x ky。=
31、3 天 ，综上所述：条件M在斯 上，等价于幻，=曰&-2)；条件PQ/4B等价于切 =3x0：条件14Ml=|8M|等价于0+4()=黑；选推：由解得：R 二 湎+到 0=4 而=微刍,；成立；选推：由解得：。=品，霁，-fcy0=3XQ，.成立；选推：由解得：。=微刍，比%-2=送了ky0=1a 2)，*成立.2 2.【2022年北京】已知椭圆：E：m+=l(a b 0)的一个顶点为4(Q1)，焦距为班.求椭圆E的方程；(2)过点P(2.1)作斜率为A的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当|MN|=2时，求 k 的值.【答案】3 +/=1(2)fc=-4
32、b=1(1)依 题 意 可 得2c=2 V 3，即可求出a，从而求出桶圆方程；2=a2-b2(2)首先表示出直线方程，设8aL y。、式&厅力，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线 松、4C的方程，表示出入、%,根据|时呼|=13一 I 得到方程，解得即可;解：依题意可得b=l，2c=2曲，X c2=a2-b2.所以a=2,所 以 椭 圆 方 程 为=1；解：依 题 意 过 点 的 直 线 为y-l =Hx+2),设C(X2/2)，不妨令 2 W Xj_ 0，解得上 一1=工，令y=0,解得知所 以 附 呼|=隔 一 刈|=用 一 言|=2_ 1 I_|1-fc(x2+2)+1-1-f
33、cCx1+2)+1|I-岭2+2)+女6 +2)_|(2+2)xt x2(ii+2)=|、3+2)&+2)2|&-喇 _?一但K0+Zdi+0一 所以 I&|=|fc|(X2+2)(xi+2)即 JQ1+/2)2-斗 士 =|fc|X2*l+2(句+可)+4即卜舒)T X 铛=阳陈詈+2(毋)+4即(2N +2(1+4N)(N +幻=J J16F+16*-2(1642+8 与+4(1+4A2)整理得8A E=4同，解得比=一 42 3.【2022年浙江】如图，已知椭圆总+y=1.设 A,B是椭圆上异于P(&1)的两点，且点Q(O.m在线段4B上，直线P 4 P 3 分别交直线y=-x+3 于
34、C,D 两点.求点P 到椭圆上点的距离的最大值;(2)求|CD|的最小值.【答案】(1)誓:(1)设Q(2用 casftsiM)是椭圆上任意一点，再根据两点间的距离公式求出|P 0 2,再根据二次函数的性质即可求出;(2)设直线所:y =与椭圆方程联立可得*1/2津1+亚，再将直线y=-：x+3 方程与PA.PB的方程分别联立，可解得点C,。的坐标，再根据两点间的距离公式求出|CD|，最后代入化简可得 0号.篝由柯西不等式即可求出最小值.(1)设Q(2由 costf,sin0)是椭圆上任意一点,P(Q1),则|P 02=12 8 sze+(1-sin0)2=1 3-llsin2tf-2sin&
35、=-ll(sintf+自?+*=詈当且仅当sin0=时取等号，故|P 0 的最大值是 等.设直线g y =H+3直线4 8 方程与椭 圆 看+炉=1 联立，可得仅2+)x2+k x-1 =。,设4。1%),取/2*)，所以，/网+无“2=-不3M =一 南 博因为直线射:尸=左工五+1与直线y=；工+3 交于则R 含 r同理可得，物=售3 =近羡f则X14-2yi-2 1*2+22 2(Zk+IJrj 1|CD|=J I 7|XC-XD|=李康飞二1-3+能 二 11=2病 l(Zfc+1)X1-lH(2fc+l)x2-ll=2诋|(2fc+1)2XIX2-(2k+1)(!+Xz)+1_ 3V
36、5 JM+I _ 国5 J n+ij以 1:*N4*4*1)_ 朗,-2|3*+1|3M-1|-X|3k+l|-T当且仅当上=4 时取等号，故|CD|的最小值为度.165【点睛】本题主要考查最值的计算，第一间利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题.2022年高考模拟试题2 21.(2022全国模拟预测)设M 是椭圆C：+=1(a，0)的上顶点，P 是 C上的一个动点，当 P 运动到下顶点时，|9|取得最大值，则 C的离心率的取值范围是()J冬 1 B,1 11 C。,#D.fo 1L
37、 2)L2)I 2 I 2【答案】C设尸伍,几)，由M(0,b),求出1PM=*+(%-b)2消元可得，2/3 f,41PM2 =_/%+%)+，+/+/,再 根 据 以 及 二 次 函 数 的 性 质 可 知,_ -b,即可解出.设户（知 几）,M（O,b）,因为国 +其=1,/=+,2,a tr所以|PM=X；+（%-6）2 =/1 一 得 卜 _ 4 2 =_1%+*+*+/+，-b y（）时，|PM 取得最大值，所以-5 4-0，可得a2 2 2 c2,即0e4*.故选：C.2.（2 0 2 2 福建三明一中模拟预测）已知圆O：V +y 2=圆M:（x-a）2+（y-l）2=1 ,若4
38、T T圆 M 上存在点P,过点P 作圆。的两条切线，切点分别为4 8,使得NA PB =；,则实数。的取值范围是（）A.-7 1 5,5/1 5 B.C.V 3,V 1 5 D.I-厉,-GU【石，炳【答案】D由题意求出O P 的距离，得 到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案.3由题可知圆。的半径为不，圆 M 上存在点P,过点P 作 圆。的两条切线，切点分别为4 B,使得NA PB =6 0。，则N A P O =3 0。，在R t A R A O 中，|尸。=3,所 以 点P在圆V+y 2=9 上，由于点p也 在 圆 M 上，故两圆有公共点.又 圆M的半径等于1,圆心坐标（“），.-
39、3-l|O M|0,b0）一个虚轴的顶点为B（0,b）,右焦点为尸，分别以8,尸为圆心作圆与双曲线的一条斜率为正值的渐近线相切于 M,N 两点，若|C W|=2 6|。闸，则该渐近线的斜率为（）晒D 噜【答案】A根据渐近线倾斜角的正切值表达出|O N|=2 遍|O M|,再 化 简 得 至 皆 一 =0 求解即可由题意，如图，设N N O F =。，则因为该渐近线的斜率为2,故 t an J =2,a a八 a a .b b s 0 =-=-,s i n0=,又因为圆与渐近线相切，故BW_LOM，y ja2+b2 c。F NO N,故。M=O 5co s（g-e）=O 5s i n e =d,
40、O N =OFc osd =a,所以a =2亚 匕,即川/+=2&，所以2 0/2一/=0,即（破 _/）（5必+吗=0,故4/?2 _ 2=（）,即 故 该 渐 近 线 的 斜 率 为&=2=（a 2N)故选：A4.（2 0 2 2 河南开封市东信学校模拟预测（理）已知G3 分别为双曲线-1=1（“0,0）a b的左焦点和右焦点，过名的直线/与双曲线的右支交于4 8两点，月入的内切圆半径为彳，4 8耳月的内切圆半径为弓，若 4，且直线/的倾斜角为6 0。，则21的 值 为（）C.石D.2 石【答案】B根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可.记%/=；鸟的内
41、切圆圆心为C,边 A ,A E，耳得上的切点分别为M,N,E,则c,E横坐标相等,则阳陷=山 耳 旧N|=|写用,由恒娟-|A周=2 a,A M+M Fi-（A N+N F =2 a 得|反制|叫|=勿，即忻国内用=2”，记C的横坐标为与，则E（%,0）,于是%+c（c 与）=射，得玉）=。，同理的内心D的横坐标也为a,则有CDL x轴，由直线的倾斜角为6 0,则0。=30。，Z C F,（?=6 0,在 C E R 中，t a nNC K0 =t a n6()o=尚，可得/；=6|E g|,t a n Z D F2O=t a n 30 =南，可得4=。但周，在）行中,故选：B2）5.2 2贵
42、州贵阳一中模拟预测（文）已 知 双 曲 线?-在1的左、右 焦 点 分 别 为 它，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A,8两点，P是A8的中点，。为坐标原点，若直线O P的斜率为!，则b的 值 是（）4l3厂A.2 B./3 C.-D.J 2【答案】D利用点差法设A（X 1,y J、8（%,%）,作 差 即 可 得 到 入 三 让&=与，再根据斜率公式,I 入 2 4从而得到=以，即可得解；2 42 9 2 2解：设A&,%）、8（七,必），则 土-与=1，五-与=1,4 b 4 b-两式相减可得;（3-电）&-%）（%+%）=。，,.P 为线段AB的中点，.2XP=X|+X 2,2yp=
43、yt+y2,.Xf_2%+%_ 1办一 xt+x2 4%一工2 xt+x2 4,即6=2,：.b =y 2,2 4故选：D.6.（2 0 2 2 全国模拟预测（理）已知双曲线C:J-=l（a （U0）的左、有焦点分别为片，F”实轴长为4,离心率e =2,点 Q为双曲线右支上的一点，点 P（0,4）.当|Q 用+IP Q I取最小值时，|Q E|的 值 为（）A.6（7 2 +1）B.6（V 2-1）C.6 /2-1 D.6 夜+1【答案】B由题意求得。也c,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当|。周+|。|取最小值时Q点的位置，利用方程组求得Q点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案.由题
44、意可得2 a=4,a =2 ,又e =2,故C =4,结合双曲线定义可得|Q|+|P Q I=|Q K|+4+|P Q|=|Q R|+|P Q|M,如图示，连接尸死，交双曲线右支于点M,即当R Q,g三点共线,即 Q在 M位置时，|。周+|。|取最小值,此时直线尸居方程为y=-x+4 ,联立-2 1 =1,4 1 2解得点Q的坐标为（3 0-2,6-3 及）,（Q为双曲线右支上的一点），故|。用=J（3&_ 2 _ 4 f+（6 _ 3 0 =6（0-1）,故选：B2 27.（2 0 2 2 上海市七宝中学模拟预测）若双曲线6：-与=1（4 。的0）和双曲线%斤2 2。2：土方=1（。2 也
45、0）的焦点相同，且4 4 给出下列四个结论：-若=片-邛;*双曲线G 与双曲线C?一定没有公共点；q +42 4 +4；其中所有正确的结论序号是（）A.B.C.D.【答案】B对于，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断a；-d=b；-#；对于，举反例 可 说 明 对 于 ，根据i2。可推得么，继而推得、吟，可判断双曲线C与双曲线G一定没有公共点；对于，举反例可判断.对于：,两双曲线的焦点相同，.焦距相同，=名+其,即 a；-c q=h；-b f,故正确；对于：若4=向%=g,4=1,h2=y/2,则?/故错误；对于：4 0 ,a：-a；=片-匕：0 ,J.b ；牙，即6 2，即 F，双曲线
46、G与双曲线G 一定没有公共点，故正确；对于：:=b；b；,（+%）（-。2）=（4+2）3 2-a）,/%且&v 3,a+a2 _ b2-bxh+/?2 4 a?若=2,a,=1,a=1,b2=2,则4+%=4+4，故错误.故选：B2 28.（2022陕西宝鸡中学模拟预测（理）已知双曲线*-马=1（。0/0）的左、右焦点分jr 57r别为耳，马，”为双曲线右支上的一点，若M 在以闺用为直径的圆上，且/居耳,则该双曲线离心率的取值范围为（）A.（1,72 B.友,e）C.（1,73+1）D.0,百+1【答案】D由加耳，奶 可 得 I 用=2csinN1鸣 月、阿 玛=2ccosNMR耳，由双曲线
47、定义可构造方程得C _ 1到,=Vsin（/M F/_ 三）;由正弦型函数值域的求法可求得离心率的取值范围,.M在以忸用为直径的圆上，:.sinZMF2Ftr ir2|cosZMF2Ft=j),恒 周:.MFt=2csmZMF2Ft,MF2=2ccosZMF2Ft,由双曲线定义知：|肛 IT 咋|=2 a,即2csin/M 6 片-2ccos/M 入片=2a,c _ 1a sin ZMF2F1-COSZMF2F1&sin(NM g耳 f)；MF2F G71 5TT3yL2/A4I7 Z 7 乃 乃 乃 .(4)V6-5/2 1则&sin（NM心 4 一铝，孝，个 鱼肉小即双曲线离心率的取值范围
48、为 四,G +l.故选：D.9.（2022河南通许县第一高级中学模拟预测（文）已知双曲线C:，-5 =l（4 0,b0）的左、右焦点分别为A，&，过点片的直线/与C的左、右两支分别交于点A,3,若AABK是边长为4的等边三角形，则C的离心率为（）A.3 B.77 C.石 D.2【答案】B由双曲线定义可推导得|AE|=4a=4,求得。=1；在 电 工 中，利用余弦定理可求得忻用,明=W K|=|AE|=4,.忸 用一忸6|=|4耳|=2a,又|A g|-|A周=2a,:.A F =a =A,解得：a =,.忸制=6,在B/消 中，由余弦定理得：比用=忸用2+忸闾2一2忸制.忸用cos?=28,解
49、得：忻 用=2 ,即2c =2币，；.c =后,双曲线C的离心率0=近.a故选：B.2 210.（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）已知椭圆C:5+斗=1（。60）的左右焦a b 点为K，K，若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使 得 为 等 腰 三 角 形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）【答案】AB.D.由题可知六个尸点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设P（x,y）是第一象限内的点，分卢用=|耳闻或|p用=1耳可，列方程组求得尸点横坐标X,由o x a可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得.法一：显然，P是短轴端点时，|制=|可，满足苗 乙P为等腰三角形，因此由对称性
50、，还有四个点在四个象限内各有一个，设P(x,y)是 第 一 象 限 内 使 得 为 等 腰 三 角 形 的 点，若|尸 石|=忻 用,则，2 2工+匚1a：2,又/=+/,J(x+C)2+)/=2 c消去y整理得：c2x2+2a2c x-4a2c2-a4=of解得 X =-a-2 a c(舍去)或 X =-a2+2a cC C由 0 工。得 O v +2，a ,c所以！1,B P-e l,2 a 2(2 9若归闾.+21=i=|片可，则f 从,又也d,(x-c Y+y2=2 c消去 了 整理得：c2x2-2a2c x-4a2c2+a4=0,解得x=-2ac 或x=)+2aca2+l a ccm