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1、三年陕西中考数学模拟题分类汇编之三角形一.选 择 题（共 22小题）1.（20 22临潼区二模）如图，在 A BC中 8。是NAB C 的角平分线,A E L B D,垂足为点F.若N 4 BC=3 5 ,Z C=5 0 ,则/C C E 的度数为（）A.5 0 B.4 7.5 C.4 5 D.4 0 2.（20 22碑林区校级模拟）如图，在 Rt Z X A BC中，N BC4=90 ,AC=BC,C。为 A B 边上的中线，AE为 C D边上的中线，若 B C=4,则AE的 长 为（）A.V 6 B.V?C.=2,则A 2的 长 为（）C.4&D.67.（2022延安二模）如图，在 RtZ
2、ABC 中，ZC=90,ZB=30,AO 是ABC 的角平分 线.若 C D=M，则8。的 长 为（）C.273D.3 a8.（2022碑林区校级三模）如图，ZVIBC的中线A E、B F 交于点O,且A E L B F,点 是O B的中点.若 OE=3,O F=4.则A O的 长 为（）C.213D.59.（2022碑林区校级模拟）如图，ZVIBC中，C D 1 A B,垂足为。，E为B C边的中点，AB=4,AC=2,D E=M，则NACZ）=（）A.1 5 B.3 0 C.22.5 D.4 5 1 0.（20 21 碑林区校级四模）如图，在 Rt Z X A BC中，/C=90 ,线段A
3、8 的垂直平分线交B C 于点。，交 4B 于点E.若 A C=6,8 c=8,则 AO 的 长 为（）1 1.（20 21 濯 桥区模拟）如图，在 A B C 中，N 8A C=90 ,AO 是 B C 边上的高，B E 是AC 边的中线，C F 是NAC B 的角平分线，C F交 4。于点G,交 B E 于点、H,下面说法正确 的 是（）A BE 的面积=4 B C E 的面积；N f A G=N F C B；A F=A G；B H=C H.（20 21 碑林区校级三模）如图，在 4 8C中，4D是NB AC 的角平分线，力于点E,Z B=3 0 ,Z C=4 5 ,B E=M，则 C O
4、 长 是（）1 3.（20 21 富平县二模）如图，点 E是a AB C 内一点，Z A B=90 ,AE平分N BA C,D是边A B的中点,延长线段D E交边B C于点F,若AB=6,EF=1,则线段AC 的长为（）cE.A.7 B.1 4.（20 21 陕西模拟）如图,生 C.8 D.92在 A BC中，A B=A C,ZBAC=20,线段AC 的垂直平分线交B C 于点F,交 AC 于点E,DB F CA.4 B.31 5.（20 21 濡桥区校级模拟）如图,交 54的延长线于点D 若 D E=3,则 B F=（）C.2 D.V 3 A BC中，AB=AC,A。是 A BC的中线，E是
5、 AC 的中点，连接 DE,若 3 C=6,A D=2,贝 i j ）E=（）AzZXB D CA.2 B.叵 C.匡2 2 21 6.（20 21 韩城市模拟）如图，在 A BC中，。是 AC 的中点,D.我E是 AB 的中点，且AO=2,则C D的 长 为（AC,连接。E,BC=6 crAAB -、CA.9.5 cm B1 7.（20 20 乾县一模）如图,n,A C=l c m,则 A T O的周长等于（）.7cm C.10cm D.1 0.5 c mB O 是 4 8C的角平分线，O f是 8 c的垂直平分线，N A=90 ,）1 8.（20 20 雁塔区校级模拟）如图，AD是等边 A
6、 BC底边上的中线，AC 的垂直平分线交4c于点E,交 A。于点尸，若 AB=6,则。厂长为（）1 9.（20 20 碑林区校级三模）如图，直线“儿 R t A B C 的直角顶点A落在直线。上，点B 落在直线b上，若N l =1 5 ，/2=25 ,则NA8 C 的大小为（）20.（20 20 岐山县三模）把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若/1=3 2,则N2 的度数为（）A.20 B.1 8 C.1 5 D.1 3 21.（20 20 碑林区校级模拟）如图，已知 A BC中，A B=2 娓,Z B=4 5 ,ZACB=6 0 ,C M平分乙4 c 8,则 C M的 长 为（
7、）c.qD.422.（20 20 渭滨区一模）如图，点。为 A BC边 AC 的中点，连接B。并延长到点。，连接AD.C D,若 BQ=1 2,A C=8,N A OZ）=1 20 ,则四边形 A 8C 的面积为（）A.27 3 B.27 2 C.V 1 0 D.2 4M二.填 空 题（共 1小题）23.（20 22榆阳区一模）勾股定理是一个基本的几何定理，中 国 周髀算经记载了勾股定理的公式与证明.相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理.我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”.西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1
8、 的勾股数：如 3,4,5；5,1 2,1 3；7,24,25；9,4 0,4 1；，如设勾为 2+1 （n=l,2,3,4,5,.）,则弦为，用含的式子表示）.三.解 答 题（共 7 小题）24.（20 21 雁塔区校级模拟）如图，在四边形A BC。中，A B/C D,连 接 B D,点、E 在 BD上，连接 C E,若N 1 =N 2,A B=E D,求证：DB=CD.25.（20 21 金台区二模）如图，ACLBC,DC1EC,AC=BC,DC=EC,A E 与 8。交于点F.求证：AE=BD.EB26.（2021 濡桥区校级三模）如图，等边ABC中，。是 AB上一点，以 C。为边向上作
9、等边C D E,连接AE.（1）求证：BCD四ACE；（2）求证：AE/BC.27.（2020碑林区校级三模）如图，A、C、。三点共线，4BC和落在A。的同侧,AC=CE,Z B=Z B C E=Z C D E.求证：AB=CD.28.（2020雁塔区校级模拟）如图，点 4,B,C,。在同一条直线上，CEDF,EC=BD,A C=F D.求证：AE=FB.E29.（2020雁塔区校级一模）如图，在四边形4BCD中，4O B C,点 M 为对角线4 c 上一点，连接 8 M,若 4C=8C,N A M B=N B C D,求证：AOC也CMB.3 0.（2020莲湖区模拟）如图，已知A5=AC,
10、E 为 AB上一点，ED/AC,E D=A E.求证:BD=CD.三年陕西中考数学模拟题分类汇编之三角形参考答案与试题解析一.选 择 题（共 22小题）1.（2022临潼区二模）如图，在a A B C 中 80 是/A B C 的角平分线,AE_ LBD,垂足为点F.若ZABC=3 5 ,Z C=5 0,则 N C D E 的度数为（）A.5 0 B.4 7.5 C.4 5 D.4 0【考点】三角形内角和定理.【专题】三角形；推理能力.【分析】先计算出NA8O=NEB=17.5 ,再证明BA=B E,则可判断B D 垂直平分AE,所以D A=D E,则NZ)AE=N E4,所以/C D E=2
11、/D 4 E,然后计算出N D 4E 即可.【解答】解：是N A B C 的角平分线，A Z A B D=Z E B D=Z A B C=17.5 ,2：AE1BD,:.NAFB=NEFB=90 ,，N B A F=NBEF,：.BA=BE,垂直平分AE,：.DA=DE,J.Z D A E Z D E A,：.Z C D E=Z DAE+Z E D A=2 N Z M E,:乙 4 BC=3 5 ,Z C=5 0,A Z B A C=180 -3 5 -5 0 =95 ,V Z BAF=90 -ZABF=90-17.5 =72.5 ,：.Z D A E=9 5Q-72.5 =22.5 ,A Z
12、CD E=2X22.5=45.故选：C.【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180.2.（2022碑林区校级模拟）如图，在 RtZXABC中，ZBCA=90,AC=BC,CD为AB边上的中线，AE为 CD边上的中线，若 8 C=4,则AE的 长 为（）A.A/6 B.V?C.V Io D.3【考点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线.【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.【分析】根据勾股定理求出4 8,根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得 出 CD=4O=8）=LB=2&,C D 1.A B,求出O E,再根据勾股定理求出4 E 即可.2【解答】解：ZBCA
13、=90,AC=BC=4,:-A B VAC2+BC2 V 42+42 4 2；NACB=90,AC=BC,C。是斜边AB上的中线，：.CD=AD=BD=1AB=2如,CDLAB,2：.ZADE=90,是 CD边上的中线，：.DE=CE=CD=y22：-A E=VA D2+D E2=V（2V2）2+（V2）2=故选：C.【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键.3.（2022雁塔区校级模拟）如图，ZVIBC中，AB=AC=5,BC=6,ADLBC,AC边上中线 BE交 4 力于点O,则ABCE的面积为（)
14、A【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用：推理能力.【分析】由题意可得ABC是等腰三角形，从而可得点。是 BC的中点，则有C=3,利用勾股定理可求A=4,则可求得/IBC的面积，再由三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，从而可求aB C E 的面积.【解答】解：A8=AC=5,ABC是等腰三角形，；BC=6,AD1BC,；.CO=JLBC=3,2;MD=VAC2-CD2=V 52-32=4 AD=；AC边上中线BE交 4。于点O,S iBCE=S/xABC=6.2故选：c.【点评】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答的关键是由勾股定
15、理求得的长度.4.（2022蒲城县二模）如图，在4B C 中，NABC=45,点”是高4。和 B E的交点，ZC4D=30,C D=4,则 线 段 的 长 度 为（）AA.6 B.473 C.8 D.4遥【考点】全等三角形的判定与性质；含 30度角的直角三角形.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】根据题意易证O B H g4D 4C(4S4),可得BH=AC,根据含30度角的直角三角形的性质可得AC=2CQ,即 可 求 出 的 长.【解答】解：点”是高A。和BE的交点，：.ADLBC,BE1AC,:.NBDH=NADC=90,V ZABC=45,；.N BAD=45
16、,：.DB=DA,:NBHD=NAHE,ZBDH=ZAEH=90,，ZDBH=ADAC,在O8H和ZMC中，Z DBH=Z DAC DB=DA Z BDH=Z ADC：./DBH/DAC(ASA),：.BH=AC,VZCAD=30,C)=4,：.AC=2CD=S,:.BH=8,故选：C.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解决本题的关键.5.(2022榆阳区二模)如图，在 RtZXABC 中,ZACB=90Q,5 c=16,8 c=1 2,点 D、E、下分别为边A3、BC、AC的中点，连 接CD、EF,CO与EF相交于点P,则CP的长为()A
17、.8 B.7 C.6 D.5【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】连接Q E、D F,根据勾股定理求出A B,根据直角三角形斜边上的中线的性质求出C。，证明四边形。EC尸为平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可.【解答】解：连接拉E、DF,在 RtZABC 中，NACB=90,AC=16,B C=U,贝i j A B /AC2+BC2=V162+122=2 0,.。是A 8的中点，.CO=LB=IO,2.点。、E、尸分别为边AB、B C、A C的中点，：.DE/AC,D E=A C=C F,2四边形D E C F为平行四
18、边形，；.CP=LC D=5,2故选：D.【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，证明四边形。E C F为平行四边形是解题的关键.6.（2022雁塔区校级模拟）如图，在A8C 中，/ACB=90,ZA=22.5,CO1.A8 于点。，点E为A B的中点，连接C E,若C D=2,则4 B的 长 为（）A.4 B.2&C.4&D.6【考点】直角三角形斜边上的中线.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得C E=A E,从而可知/O E C=45,根据C D L 4 B,用勾股定理可得C E的长
19、，进一步即可求出A 8的长.【解答】解：/ACB=90,点E为A B的中点，CE=AE,.NEC4=NA,V ZA=22.5,A Z E C A=22.5 ,A Z D C=45 ,：CDAB,：.Z C D =90 ,A Z D C =45 ,：.4 D C E=ZDEC,：.DC=DE,：CD=2,：.DE=2,根据勾股定理，得CE=W L.A8=2CE=4A/2故选：C.【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.7.（2022延安二模）如图，在 RtZ4BC 中，ZC=90,/8=30,AO 是ABC 的角平【考点】勾股定理；角平分线的性
20、质；含30度角的直角三角形.【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.【分析】根据已知条件可知/C4O=30,根 据 含3 0 角的直角三角形的性质可得AO的长，再证明B D=A D即可.【解答】解：在 RtZVIBC 中，ZC=90,ZB=30,：.ZCAB=60,：A D是aA B C 的角平分线，./C4=N M O=30,:CD=M，:.AD=I43,:N B=4BAD,：.BD=AD=2-/3,故选：C.【点评】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边等，熟练掌握这些性质是解题的关键.8.（2022碑林区校级三模）如图，ZSABC的中线AE、交于点O,且点。是OB的 中 点.若 OE=
21、3,O F=4.则 AD的 长 为（）【考点】三角形的重心；勾股定理.【专题】三角形；推理能力.【分析】先根据三角形的重心将三角形的中线分成2：1 的两部分求出4 0、8。长，再根据点D 是 O B的中点求出0 D长，最后根据勾股定理求出A D长.【解答】解：AE、8。是A3C的中线，：.AO=2OE=6,BO=2OF=8,；点。是。8 的中点，.。=8 0=8 +2=4,JAELBF,.在 中，=/62+42=7 5 2=2A/13.故选：C.【点评】本题主要考查三角形的重心，解题关键是掌握三角形的重心将三角形的中线分成 2：1 的两部分.9.（2022碑林区校级模拟）如图，ABC中，C D
22、 1 A B,垂足为D,E 为 BC边的中点，AB=4,AC=2,D E=a，则N A C Q=（）【考点】直角三角形斜边上的中线.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出8 c=2O E=2我，再利用勾股定理的逆定理得出NAC8=90,由AB=2AC可求解NA8C=30,然后根据同角的余角相等即可得出NAC=/ABC即可求解.【解答】解：,：CDAB,E 为 BC边的中点，D E=M，：.BC=2DE=2-/3,；AB=4,AC=2,A。2+蜡=4+12=16=A”，ABC是直角三角形，且NAC8=90,且NA8C=30,NACD+N3
23、CD=90,V ZABC+ZBCD=90,.NACD=NABC=30.故选：B.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，证明ABC是直角三角形是解题的关键.10.（2021碑林区校级四模）如图，在 RtZVIBC中，ZC=90,线段AB的垂直平分线交B C 于点D,交 A B 于点 若 AC=6,B C=8,则 AD的 长 为（）AE X /B-DCA.5 B.7 C.3 J5 D.至4【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.【分析】根据线段垂直平分线的性质得出8=A。，根据勾股定理可得出答
24、案.【解答】解：.线段A 8的垂直平分线交8 c 于点 ,：.BD=AD,设 则 C Q=8-x,：A D2=C D2+AC2,，/=（8-x）2+62,解得x=.4故选：D.【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.11.（2021淹桥区模拟）如图，在4B C 中，ZBAC=90,A O 是 8 c 边上的高，B E 是4 c 边的中线，C F是N4CB的角平分线，C F交 4。于点G,交 B E 于点H,下面说法正确 的 是（）A8E 的面积=Z8CE 的面积；N F A G=/F C B；A F=A G；B H=C H.A
25、.B.C.D.【考点】角平分线的性质.【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】根据三角形的面积公式进行判断，根据三角形的内角和定理求出N M G=NA C B,再判断即可，根据三角形的内角和定理求出N A FG=N A G F,再根据等腰三角形的判定判断即可，根据等腰三角形的判定判断即可.【解答】解：BE是 AC边的中线，：.AE=CE,:ABE 的面积=/x AE X AB,ABCE 的面积=/XC E XB,.二 ABE的面积=ZBCE的面积，故正确；：A。是 8 c 边上的高，A ZADC=90Q,VZBAC=90 ,：.ZDAC+ZACB=9
26、0,ZFAG+ZDAC=90,二 ZFAG=NACB,：CF是NAC8的角平分线，N4CF=NFCB,ZACB=2ZFCB,朋G=2N F C B,故错误；:在 ACF 和OGC 中，N8AC=NAOC=90,NACF=/FCB,：.ZAFG=180-ABAC-ZACF,ZAGF=ZDGC=1800-NADC-NFCB,：.ZAFG=ZAGF,：.AF=AG,故正确；根据已知不能推出N H B C=N/7C B,即不能推出H 8=H C,故错误：即正确的为，故选：D.【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此
27、题的关键.12.（2021碑林区校级三模）如图，在4B C中，AD是N8AC的角平分线，。&LAB于点E,ZB=30,/C=4 5 ,B E=4 3,则 CD 长 是（）A.1 B.V2 C.V3 D.2【考点】角平分线的性质；含 30度角的直角三角形.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】根据锐角三角函数可以得到Q E 的长，然后根据平分线的性质，可以得到。E=D F,再根据/C=4 5 ,即可得到C 的长，本题得以解决.【解答】解：:O E L AB于点E,B E=,/8=3 0 ,.,.DE=B E t an 3 0 =料 又 返=1,3作。尸 J_AC于点F,：A D 是N
28、 B A C的角平分线，：.DE=DF,：.DF=,VZ C=4 5 ,【点评】本题考查角平分线的性质、含 3 0 角的直角三角形，锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.1 3.（2 0 2 1 富平县二模）如图，点 E 是 A 8 C 内一点，Z A E B=9 0Q,AE 平分/8 4 C,D是边A B的中点,延长线段D E交边B C于点F,若 A B=6,E F=,则线段A C的长为（）【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线.【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.【分析】延 长 BE 交 AC于 ，证明 H A E g a B A E,根据全
29、等三角形的性质求出A 4,根据三角形中位线定理解答即可.【解答】解：延长BE交4 c于，,.AE 平分 NBAC,.,.ZHAEZBAE,在HAE和BAE中，ZHA E=ZB A E=2,则C D的 长 为()【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力.【分析】根 据 角 平 分 线 的 定 义 得 出 根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 出CD=B D,根据等腰三角形的性质得出N C=/C B D,求出N C=N C BO=NOBA=30,根据含3 0 角的直角三角形的性质求出即可.【解答】解：；B D是 A 8 C的角平分线,：.Z C B D=Z
30、D B A,是8 c的垂直平分线，：.CD=BD,：.Z C=Z C B D,：.Z C=Z C B D=Z D B A,：Z A=9 QQ,.*.NC=NC8=N）B A=LX90=3 0 ,3：A O=2,：.BD=2AD=4,：.CD=BD=4,故选：D.【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，含3 0。角的直角三角形的性质等知识点，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键.1 8.（2 0 2 0雁塔区校级模拟）如图，AO是等边 A 8 C底边上的中线，AC的垂直平分线交A C于点E,交A O于点F,若A B=6,则。尸长为（）A.1 B.&C.V
31、3 D.2【考点】等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质.【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力.【分析】连接CF,根据等边三角形的性质得出A B=B C=A C=6,Z A C B=ZBAC=6 0 ,根据线段垂直平分线的性质得出A F=C F,根据勾股定理求出A。，求出N Q C F,根据含3 0 角的直角三角形的性质求出C F=2 Z）F,即可得出3 F=A O,代入求出即可.【解答】解：连接C凡 BD：ZVIBC是等边三角形，：.AB=BC=AC=6,NACB=NBAC=60,是等边ABC底边上的中线，：.BD=DC=3,N O A C=/8 A C=3 0
32、 ,ADLBC,由勾股定理得：AD=-/AB2-BD2 V 62-32=3A/3：AC的垂直平分线交AC于点E,交 A于点F,；.AF=C/，NCA=NAC尸=30,：.ZFCD=60-30=30,V ZADC=90Q,：.CF=2DFAF,即 3D F=AD=3M，解得：DF=M，故选：C.【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，含 3 0 角的直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.19.（2020碑林区校级三模）如图，直线a 6RtABC的直角顶点A 落在直线a 上，点8 落在直线6 上，若N l=15,N2=25,则NABC的
33、大小为（)A.40B.45C.50D.55【考点】三角形内角和定理；平行线的性质.【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；应用意识.【分析】如图，作 CK/证明NAC8=N1+N 2 即可解决问题.【解答】解：如图，作 CK/:a/b,CK/a,：.CK/b,/.Z 1 =Z3,Z 4=Z 2,A ZA CB=Z1+Z2=15+25=40,9：ZCAB=90,A ZABC=90-40=50,故选：C.【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题.20.（2020岐山县三模）把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若N l=3
34、2,则N 2 的度数为（）【考点】等腰直角三角形；平行线的性质.【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.【分析】过点。作。尸A 8,则 0 P A8C。，由平行线的性质得得N1=N3,Z 2=Z4,再由等腰直角三角形的性质得N3+N4=45,则N l+N 2=45。，即可求解.【解答】解：如图，过点。作 OPA 3,则 OPABC。，AZ1=Z3,Z 2=Z 4,V Z3+Z4=45,N1+N2=45,N2=45-Z l=45-32=13.故选：D.【点评】本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利 用“两直线平行，同位角相等”证出N1=N3,N 2=N 4 是解题的关键.21.（202
35、0碑林区校级模拟）如图，已知A8C中，AB=2娓,NB=45,NACB=60,CM平分N A C B,则 CM的 长 为（）A.2A/3 B.4 M C.D.43【考点】勾股定理；角平分线的定义.【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.【分析】过 C 作 CDJ_AB于。，过 4 作 AEJ_BC于 E,在 中 根 据 勾 股 定 理 求 出A E,在 RtzACE中根据勾股定理求出A C,由全等三角形的判定证得AOC丝MCC,根据全等三角形的性质即可证得CM=AC.【解答】解：/B=4 5 ,ZACB=60,./8A C=180-60-45=
36、75,过 C 作 CO_LAB于。，过 A 作 AEJ_8c于 E,则NBAE=45,ZCAE=30,ZBCD=45,/4C D=15,：.AC=2CE,BD=CD,AE=BE,AE+BEAB2,:AB=2 娓,：.(2 C )2=5+(2 7 3)2：.CE=2f AC=4,CM平分NACB,NACM=30,V ZAMC=450+30=75,A ZCAM=180-30-75=75,Z A M C=Z C A M,：.CA=CM,：.Z D C M=ZACD=5 0,在AOC和MOC中，fZDC M=ZA C D CE=6 0 ,Z B C A -Z A C D=N D C E -ZACD,即
37、/3 C=NA CE,A A B C和 OCE是等边三角形，：.BC=AC,DC=EC,在 B OC与 A CE中，B C=A C-ZB CD=ZA CE D C=E C：./BCD/ACE（SA S）；（2）由（1）知，A B CD A A CE,：.Z B Z C A E,；.N B=/C A E=N B A C=60 ,/.Z C A E+Z B A C ZB A E=1 2 0 ,.NB+/B 4 E=1 8 0 ,：.AE/BC.【点评】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证出N B=N C A E=/8 A C,熟练掌握三角形全等的判定与
38、性质定理.2 7.（2 0 2 0碑林区校级三模）如图，A、C、。三点共线，A B C和E 中，ZA=ZE CD-ZB=ZCD E A C=CE.ABC丝COE(AAS),J.ABCD.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键.28.(2020雁塔区校级模拟)如图，点 A,B,C,。在同一条直线上，CE/DF,EC=BD,A C F D.求证：AE=FB.E【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】几何图形.【分析】根据CE。尸，可得N A C E=/O,再利用SAS证明ACE四F O B,得出对应边相等即可.【解答】证明：CEF,Z A C E Z D,在
39、AACE和FOB中，A C=F D ZA CE=ZD-E C=B D:.ACEQXFDB(SAS),：.AE=FB.【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.29.（2020雁塔区校级一模）如图，在四边形A 8 C D中，AD/B C,点M为对角线A C上一点，连接 若 AC=2C,N A M B=N B C D,求证：AOC丝CM8.【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；推理能力.【分析】根据平行线的性质求出N D 4 C=N M C B,求出/A C ,根据全等三角形的判定定理求出即可.【解答】证明：.Z
40、 D A C=Z M C B,；/A M B=N B C D,Z C B M+Z A C B ZAMB,Z A C B+Z A C D ZBCD,；.N C B M=ZACD,在 4D C和 C M B中，rZA CD=ZCB M A C=B C，ZD A C=ZM CBA（ASA）.【点评】本考查了平行线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定定理等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.30.（2020莲湖区模拟）如图，已知AB=AC,E为A B上一点，ED/AC,E D=A E.求证:B D=CD.【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角
41、三角形：推理能力.【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得N W=N D 4 C,由“S45”可证4DB之 AOC,可得 BD=CD【解答】证明：；AC,：.ZEDAZDAC,：ED=AE,：.NEAD=/EDA,：.NEAD=ZDAC,在AOB和AOC中，A B=A C-ZB A D=ZCA DA D=A D.ADBAADC(SAS),：.BD=CD.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明AOB之AOC是本题的关键.考点卡片1.数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等
42、等.平时要注意多观察，留意身边的小知识.2.规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.3.角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.（2）性质：若。C是乙4 0B的平分线
43、则/A O C=或/A O B=2 N A O C=2/BO C.2（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践.4.平行线的性质1、平行线性质定理定 理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.2、两条平行线之间的距离处处相等.5.三角形的面积(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即$=上X 底X 高.2(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部
44、分.6.三角形的重心(1)三角形的重心是三角形三边中线的交点.(2)重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.重心和三角形3 个顶点组成的3个三角形面积相等.重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形)7.三角形内角和定理(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0且小于1 8 0 .(2)三角形内角和定理：三角形内角和是1 8 0 .(3)三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.直
45、接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.8.全等三角形的判定(1)判定定理1：S S S-三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2：S A S-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3：A S A-两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4：A 4S-两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5：H L-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若己知两边对应相等，则找它
46、们的夹角或第三边：若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.9.全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工 具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.10.角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图中有角平分线，
47、有垂直角平分线的性质语言：如图，在N A 0 8的平分线上，CDLOA,CE OB：.C D=C E11.线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分 线（中垂线）垂直平分线，简 称“中垂线”.（2）性质：垂 直 平 分 线 垂 直 且 平 分 其 所 在 线 段.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等.12.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等.【
48、简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.13.等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任
49、意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.14.含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，3 0 角所对的直角边等于斜边的一半.（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.（3）注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时，要注意找准3 0 的角所对的直角边，点明斜边.15.直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果
50、一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.该定理可以用来判定直角三角形.16.勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是“，b,斜边长为C,那 么/+必=。2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式/+庐=,2的变形有：a=c2 _b2,Tc2_a2及 c=+b2.（4）由于所以c “，同 理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.17.勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的.先利用拼图的方法,然