《2022-2023年艺术生新高考数学讲义 第33讲 直线方程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023年艺术生新高考数学讲义 第33讲 直线方程.pdf（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第33讲直线方程【知识点总结】一、基本概念斜率与倾斜角我们把直线y虹b中k的系数k(k ER)叫做这条直线的斜率，垂直千x轴的直线，其斜率不存在。x轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角GEO，冗），规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0,倾斜角不是王的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用K表示，即k=tan a。2 当k=O时，直线平行千轴或与轴重合；当kO时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；当k 0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于（)A.2 B.2-2 C.2-1 D.2+1 例4.(2022全国高三专题练习）（多选）设点P(-4,2),Q
2、(6,-4),R(l2,6),S(2,12)，则有（)A.PQ/1 SR B.PQ.lPS C.PS!IQS D.PR.lQS 例5.(2022全国高三专题练习）已知直线l1:x y+3=0,直线l:x-y-1=0,若直线A关于直线l的对称直线为I2，则直线l2的方程为例6.(2022上海高三专题练习）坐标原点(0,0)关千直线x-2y+2=0对称的点的坐标是.例7.(2022全国高三专题练习）直线t1:3x+4 y-7=0与直线l2:6x+8y+2=0之间的距离为.例8.(2022全国高三专题练习）已知两条直线/1:mx+8y+n.=0和l2:2x+my-1=0,试分别确定m,n的值，使：(
3、l)l1与h相交千一点P(m,1);(2)f/12且k过点(3,-1);(3)l1.LI2且h在y轴上的截距为l例9.(2022全国高三专题练习）已知心ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,l),C(-2,3),BC中点为D点，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线的方程例10.(2022全国高三专题练习）已知直线l经过点P(4,3)，且与x轴正半轴交千点A,与y轴正半轴交千点B,0为坐标原点(I)若点0到直线l的距离为4,求直线l的方程；(2)求60AB面积的最小值【技能提升训练】一、单选题1.(2022全国高三专题练习）若图中
4、的直线l1,h,3的斜率分别是k1,k2,k3,则有（)y 3 X A.k1 k2k3 C.k3k2k1 B.k齐伈k2D.k2k3O时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；当kO时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角K随的增大而减小；二、基本公式I.P1(x1,Y1),P/x2,Y2)两点间的距离公式IP1 P2 I=i-x2)2+(yI-y2)2 2.P1(x1,y1),P2(x2,y)的直线斜率公式k=1 y-y勹2 22 L=tana(x1*x2,a*乌X-X 2 1 2 3直线方程的几种形式(1)点斜式：直线的斜率K存在且过(x0,y。),y-y。=k(x-x。)注：CD当k=O时，
5、y=y。:当K不存在时，X=X。(2)斜截式：直线的斜率K存在且过(0,b),y虹b(3)两点式：y-y,x-x=1,不能表示垂直千坐标轴的直线。Y2-y1 x2-x,注：(x2-x1)(y-y1)=(x-x,)(y2-yl)可表示经过两点P(x1,y),Q(x2,y2)的所有直线(4)截距式：王+兰=1不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。a b u(5)一般式：Ax+By+C=(XA2+B2*0)，能表示平面上任何一条直线（其中，向量n=(A,B)是这条直线的一个法向矗）三、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定两直线方程平行垂直/1:A 1x+B 1y+C 1=0 A.1 B.2-
6、A.2 B.1=0且/2:A2x+B 2y+C 2=0 Blg-B2cl士0AAl 2+B.1 8_2=0 1 y-kx+b1.-I（斜率存在）l2:y=k2x+b2 k,=k2,b1丑b2或k览1或kl与k2中有一个l:x=x x=x.I.x=x.2.x.l-:t-x 2 为O,另一个不存在I,I（斜率不存在）I 2.X=X 2 四、三种距离1.两点间的距离平面上两点P1(x1,Y1),P/x2,Y2)的距离公式为IP店I=(y1-y2)2 特别地，原点0(0,.0)与任一点P(x,y)的距离IOP|嘉丁了了2.点到直线的距离点P。Cxo,Y)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=I Ax,
7、+By,+CI OJO卢特别地若直线为l:x=m，则点P。(xo,Y。)到l的距离d寸mX。|，若直线为l:y=n，则点P。(x。,y。)到l的距离d=ln-y。|3两条平行线间的距离已知ll,l2是两条平行线，求l,，l2间距离的方法：(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离|C-C|(2)设ll:AX+By+C=0,2:AX+By+C 2=0，则l1与L2之间的距离d=1 2 J矿B2注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等【典型例题】例I.(2022全国高三专题练习）直线l经过点A(l,2)，在X轴上的截距的取值范围是(-3,3)，则其斜率k的取值范围是（)A.(-1,
8、-)B.(-1C.（心，l)u臣00)【答案】DD.（心，1）,+CJ:)【详解】设直线的斜率为k,则直线方程为）2=k(xl)，直线在X轴上的截距为1-，2 k 2 令31-3,解不等式得k一k 2 故选：D.例2.(2022全国高三专题练习（文）设mER，直线x+my+l=O恒过定点A，则点A到直线mx-y-2m+2=0的距离的最大值为（)A.I【答案】D【详解】B.石c.石D.汇x+my+l=O恒过的点为A(-1,0)，百线mx-y-2m+2=0变形为y-2=m(x-2)，恒过点B(2,2)，所以点A(-1,0)到自线I呕y2m+2=0的距离最人值即为IABI的长，其中IAB|了了了：了
9、13故选：D 例3.(2022全国高三专题练习）已知点(a,2)(a 0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等千()A.五B.2五c.2l【答案】C【详解】解：由题意得la-2+31 归1.解得a=l+4；或a=-1-2-顶O,:.a=-1五故选：C.D.五:+l 例4.(2022全国高三专题练习）（多选）设点P(-4,2),Q(6,-4),R(l2,6),S(2,12)，则有（)A.PQ/SR C.PSI/QS【答案】ABD【详解】B.PQ.l_PS D.PR.l_QS 依题意，且线PQ,SR,PS,QS,PR的斜率分别为：kPQ=一，ksR=,-42 3.12-6 3 6+4 5 2
10、12 5 12-2 5.12+4.6-2 I k PS=-,kQS=-4,kPR=,2+4 3 2-6 l2+4 4 由kQ=ksR*从得PQI/SR，由k,Q从l得PQ.LPS，由kPR-kQs=-1得PR.LQS,而k,s*kQs得PS与QS不平行，即选项ABD正确，选项C不正确故选：ABD 例5.(2022全国高三专题练习）已知直线/1:X-y+3=0,直线/:x-y-1=0,若直线A关于直线l的对称直线为I2，则直线h的方程为【答案】x-y-5=0.【详解】由题意知lll/l2，设白线右x-y+m=O(m-:f:.3,m-:f:.-1)，在白线l1卜取点M(0,3),设点M关于直线l的
11、对称点为M(a,b),b-3 xl=-1 则三三3_l=0，解得a=4.b=-I.2 2 即M(4,-1),将 M.(4,-1)代入l2的方程得4+1+m=0,m=-5,所以直线l2的方程为x-y-5=0.故答案为：Xy-5=0 例6.(2022上海高三专题练习）坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2=0对称的点的坐标是.【答案】（一，一4 8 5 5)【详解】解：设原点(0,0)关于直线x-2y+2=O对称的点的坐标是(a,b),则中点坐标为(1立）在直线x-2y+2=0上，直线x-2y+2=O的斜率为12 2 2 8-5 _ b.,8一54-5,-4一5_(a是得标解坐，的、丿点8-5。_
12、,2的4-5+T称L-i对：b-2 为x 2l-2的-x求案耍答a-2b-a,4则i故【点睛】本题考查f中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，屈千中档题例7.(2022全国高三专题练习）直线11:3x+4y7=0与直线4:6x+8y+2=0之间的距离为.【答案】8 5【详解】化简直线/1:3x+4 y-7=0为/1:6x+8 y-14=0,根据平行线间的距离公式，可得1-14-21-8=-森58 即直线11:3x+4 y-7=0与直线l2:6x+8 y+2=0之间的距离为5 故答案为：一8 5 例8.(2022全国高三专题练习）已知两条直线11:mx+8y+n=0
13、和/2:2x+my-1=0,试分别确定m,n的值，使：(l)l1与/2相交千一点P(m,I);(2)lIIIl2且k过点(3,-1):(3)L,上l2且h在y轴上的截距为l.【解析】(I)解：由千l，与l2相交十一点P(m,l)，故把点P(ni,I)代入LI占的方程可得矿n8=0，联立解得m=,n=竺2m+m-l=0 3 9(2)解：当m=O时，可得l1:8y+n=O和右：2x-l=O,此时不满足ll/Il2;当mO时，因为ll/Il2呾过?.(3,-1)，可得厂岊：3m-8+n=0 解得m=4,n=-4或1n=-4,n=20.2m+8m=O(3)解：由ll.ll2目h在y轴上的截距为l,可得
14、1,解得m=0,n=8一一 l8 例9.(2022全国高三专题练习）已知“ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,l),C(-2,3),BC中点为D点，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线的方程【解析】3-1 l I l=-.:.Cl)k BC=-故BC边所在直线的力程为：y-2-2 2 2 化简得到x+2y-4=0.(x-2),(2)BC中点D为（气与2)，即(0,2)故厂。:(-03)气2 故AD所在直线的方程为y=x+2,即2x-3y+6=03 l(3)knc=，故垂白平分线的斜率为k=2,中点为(0,2),2 故垂直平分线
15、的方程为y=2x+2,即2x y+2=0例10.(2022全国高三专题练习）已知直线l经过点P(4,3)，且与x轴正半轴交千点A,与y轴正半轴交于点8,0为坐标原点(1)若点0到直线l的距离为4,求直线l的方程；(2)求60AB面积的最小值【详解】解：（l）由题意可设直线l的方程为y-3=k(x-4)，即kx-y-4k+3=0,则d=1-4k+31=4,解得k=7 芦24.7 7 故直线l的方程为一x-y-4x()3=0,即7X+24 y-JOO=0;24.24(2)：直线l的方程为kx-y-4k+3=0,臼4,0l,B(O,-4k+3),依题意i+40，解得k0 l l 3 1 9 则c,O
16、AB的面积为S=-=-I OA I OB I=-:-(-;-+4).(-4k+3)=-:;:-(-:-16k+24).2 2 k 2 K 9 9 3 则16k寸一）（16k)=24（当且仅当k=时，等号成立）K K 4 l 故c,OAB面积的蔽小值为x(24+24)=24.2【技能提升训练】一、单选题1.(2022全国高三专题练习）若图中的直线ll,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则有（)y 3 X A.如k2k3C.k3k齐k1【答案】D【分析】B.k3k,k2 D.k2k齐k1根据图像可知勾0,k20,k3k2进而得到结果【详解】巾图可知k10,fs O,k30,且直线A的倾斜角大
17、千直线/2的倾斜角，所以从k2综上可知朽tskl.故选：D2.(2022全国高三专题练习）已知直线l的方程为x五y+4=0,则直线l的倾斜角为()A.30 B.60 C.120 D.150【答案】D【分析】五由直线方程可得斜率k=-，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小3【详解】3 由题设，直线l斜率k=_，若直线l的倾斜角为a，则tana=一，$3 3:aeO，动，5兀:.a=.6 故选：D 37 3.(2022全国高三专题练习）已知直线l的倾斜角为，直线A经过点A(3,2)和B(a,-1)，且直线l与尸平4 行，则实数a的值为（)A.0【答案】C【分析】B.1 C.6 求出直线l的与M的
18、斜率，利用两个斜率相等列方程即可求解【详解】玩3兀因为口线l的倾斜角为，所以肛线l的斜率为tan=l4 4 1-2 因为直线l1经过I坟A(3,2)和B(a,-l)，所以直线LI斜率为二二一，a-3 因为直线l与ll平行，所以故选：C.-1-2=-l,解得：a=6,a-3 D.0或64.(2022全国高三专题练习）若直线m的斜率kE（女，l)U(l，五，则直线m的倾斜角的取值范围是()A（于中归）c.(%吵:i)【答案】B【分析】B(；扛甘甘D门中（气根据斜率的取值范围，结合k=tana来求得倾斜角的取仙范围【详解】设倾斜角为a,因为kE(-oo,-1)U(l，妇，且k=tana，所以aE(王
19、立中（巴王2 4 4 3 故选：B5.(2022全国高三专题练习）已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+l,2),D(l,0)，且直线AB与CD平行，则m的值为（)A.-I B.0 C.1 D.0或1【答案】D【分析】分直线AB与 CD的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时巾斜率相等建立关于m的关系式，解之即可【详解】当直线AB 与CD的斜率不存在，即m=O时，直线AB的方程为：x=O,直线CD的方程为：x=l,显然ABI ICD,满足题意m+4-3 m+l 当直线AB与CD的斜率存在，即mO时，白线AB的斜率kl=-，且线CD的斜率2m-m m 0-2-从2 2=l-(m+l)-
20、m m m+l 2 要使直线AB与CD平行，须kl=k2即一恤，解得：m=l或m=O（舍）m m 当m=l时，直线AB的方程为：y=2x+I,直线CD的力程为：y=2x-2,显然ABIICD,满足题意故m=l.综上所述，m=O或m=l故选：D.6.(2022全国高三专题练习）已知两点A(-2,4),B(2,3)，过点p(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围是（)A.（女，3U-1,+oo)C.-i叫【答案】D【分析】根据直线的斜率，利用数形结合法求觥【详解】如图所示：B.（女，3D.（女，订U3,+oo)A-4-3-2).2 3 4 5 x 由图象知：过点p(l,0)的直
21、线l为白线PA,PB之间任意一条直线，4-0 4.3-0 而-=-,k,.B=3 -2-1 3 2-1 因为直线l与线段AB有公共点，所以k,3或k,全，4 3 故选：D 7.(2022全国高三专题练习）已知点A(l,3),B(-2,l)若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交，则k的取值范围是()1 A.k.B.k,-2 2 l l C.k.或k,-2 D.-2融2 2【答案】D【分析】直线l:y=k(x-2)经过定点P(2,l)，利用斜率计算公式可得：k阳，kPB,根据直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交，即可得出【详解】解：直线l:y=k(x-2)+1经过定点P(2,l),3-
22、1 _.-1-1 l:k,A=-2,k,.n=-,l-2-2-2 2 又直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交，X-4-2,1-2 k 劲2.i 故选：D.8.(2021云南昆明模拟预测（理）若等边三角形一边所在直线的斜率为3$，则该三角形另两条边所在直线斜率为（、丿A.C.孚五5宁孚B.D.打一，4 -,2 五2五4【答案】C【分析】根据题怠，设三角形另两条边所在直线的斜率为k,m,且mOk,山直线的到角公式即可求出【详解】根据题总，设二角形另两条边所在肖线的斜率为k,m,则有tan60=3$-k m-33=1+33k 1+33m=$,解得k=-，$5 且mO 1,k08 -1,所以直线
23、AB的倾斜角大千135,B正确；因为求出直线方程可判断C、D.【详解】4 U、J.因为灿2 1,kOB 0，所以直线x-y=O与线段AB尤公共点，A错误；42 1 因为KAR=-=一1,所以直线AB的倾斜角大丁135,B正确；-3-1 2 因为线段BC的中点为（沪），所以BC边上的中线所在直线的方程为y=2,C正确；4 因为长4,所以BC上的高所在直线的方程为y-2=-:-(x-1)，即x-4y+7=0,D正确-3+2 4 故选：BCD2而33.(2022全国高三专题练习）（多选）若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=O之间的距离为，则实l3 数c的值是()A.2 C.5【答案】AD
24、B.-4 D.-6【分析】根据两直线平行先计铭参数a的值，再运用两平行线间的距离公式计算参数c的伯即可【详解】依题意知6 a C 3-2-I-#,解得a=-4,-2,即且线6x+ay+c=O可化为3x2y+=0,2 2而又两平行线之间的距离为，根据两平行线间的距离公式可得：13+l 2=2扣，解得c=2或6选项AD正确，选项BC错误卢13故选：AD.34.(2022全国高三专题练习）已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2)、B(4,-2)等距离，则直线l的方程为()A.x+2y+2=0 B.2x-y-2=0 C.2x+3y-18=0 D.3x-2y+18=0【答案】BC【分析】1-2k-
25、2+4-3kl 14k+2+4-3k l 设所求直线的方程为y-4=k(x3)，解方程芦芦【详解】设所求直线的方程为y-4=k(x-3)，即lex-y-3k+4=0,|2k2+4-3k I I 4k+2+43kl 由已知及点到直线的距离公式可得=芦芦2 解得k=或k=2,3 即所求直线方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0,故选：BC.即得解35.(2022全国高三专题练习）过点A(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（)A.3x-2y=O【答案】AC【分析】B.2x-3y=0 分截距为零和不为零两种情况讨论即可【详解】C.x+y=5 D.x-y=-1 3 当截距为0时，过点A(2
26、,3)和原点，肖线方程为Y=-;-X,即3x-2y=O,2 x y 2 3 当截距不为0时，设且线方程为+=1,可得1，a a a a:.a=S,所以自线方程为x+y=5,故选：AC.36.(2022全国高三专题练习）与直线/:3x-4 y-1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（)A.3x-4y-11=0 C.3x-4y+ll=0 B.3x-4 y+9=0 D.3x-4y-9=0【答案】AB【分析】设所求直线方程为3x4y+m=O,由平行线间距离公式求得参数值，得自线方程【详解】I m-(-1)I 解：设所求直线方程为3x4y+m=O,由题意得二=2解得m=9或11.故选：AB.三、填空
27、题37.(2022全国商三专题练习）若直线经过点A(石，3),且倾斜角为直线3x+y+I=O的倾斜角的一半，则该直线的方程为.【答案】3 x-y+6=0.【分析】山题设可得已知直线的倾斜角为120,即知所求直线的斜率，结合所过的点，应用点斜式写出直线力程【详解】巾3x+y+l=O得此直线的斜率为石，：倾斜角为120,从而所求直线的倾斜角为60,故所求直线的斜率为f3，又直线过点A(3，3)，:所求直线方程为y-3=J5(x+)，即3x-y+6=0故答案为：$xy+6=0 38.(2022江苏高三专题练习）若经过A(m,3),B(l,2)两点的直线的倾斜角为45,则m=_.【答案】2【分析】由斜
28、率公式与斜率的定义求解即可【详解】由题意可得：解得m=2,故答案为：2 2-3 tan 45=-,1-m 39.(2022全国高三专题练习）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为.【答案】和3.【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为a,得到k=tana,得出对角线所在直线的斜率为tan(a乌，4 结合两角和的正切公式，求得tana=-，再结合两直线的位翌关系，即可求解【详解】设仆方形一边所在直线的倾斜角为a,具斜率k=tana,冗则其中一条对角线所在直线的倾斜角为a+，具斜率为tan(a+)，冗4 4 冗tan a+tan 冗根据题意值tan(
29、a+.:.)=2，可得4 tana+1 l=2,解得tana=,4 冗1-tana,.3 l-tana tan 4 I 即正方形其巾一边所在直线的斜率为，3 又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为3.1 故答案为：和3.3 40.(2022全国高三专题练习）已知点A(2,3),B(-3,2)，若直线l过点P(l,1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围1【答案】k:;,;或k224【分析】求出PA,PB的斜率，利用PA,PB的斜率可求出结果【详解】如图：x _4 3-1 _.2-1 l kPA=2 kP8=-2-1-3-1 4 因为直线l过点P(l,l)与线段AB相交，所以k
30、:s;或K：24 故答案为：k:-:;或k2.24 41.(2021上海市建平中学高二阶段练习）直线x-2y+2=0和直线3x-4y+l=0夹角的余弦值为.【答案】115 25【分析】由百线方程可得两直线斜率，l 3 k,=tan0,=-:-2,k2=tan02=-:-,4 利用tan0=tan(02-0,)求出夹角正切仙，再结合同角三角函数可求其余弦仙【详解】设x-2y+2=0的斜率为kl由x-2y+2=0得Kl=tanQ=-,I 2 设3x-4y+1=0的斜率为k2山3x-4y+l=0得伈tan02=,3 4 设两直线夹角为0则tan0=tan(0,-0,)=tan02一tanO，K2-k
31、,2 n石I+tan 0,tan 0.I+k,=一，则cos0=.itan01 l+k,fs II,-.-25 故答案为：一-11石25 42.(2022全国高三专题练习）若点A(4,-1)在直线l1:ax-y+l=O上，则A与l2:2x-y-3=0的位置关系是【答案】垂且【分析】由点A(4,-I)在直线l1上，求出0的值冉验证两直线的位置关系，可得答案【详解】由点A(4,-I)在直线l1应y+l=O卜，得4a+1+1=0,解得a=-1 2 所以直线ll l I：一一x-y+l=O,则kll=-2 2 又右：2x-y-3=0，则仅2则k,x k,2=-1,所以l1上l2故答案为：垂直43.(2
32、022上海高三专题练习）已知直线/1:3x-y+2=0,/2:3x+3y-5=0，则直线l1与右的夹角是.【答案】冗3【分析】将直线力程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可【详解】解：将直线方程化为斜截式方程得l,:5$I:y=3x+2,l2:y=-3x+=0,3 冗21所以直线l1的倾斜角为，直线l2的倾斜角为,3 3 冗所以且线l卫式的夹角是一3 故答案为：冗3 44.(2022全国高三专题练习）已知点A(l,2)和点8(2,4),p是直线x-y=O上的一点，则IPAl+IPBI的最小值是【答栥】3【分析】山题意可得A,B两点在直线x-y=O的同侧，求出点A关丁直线x-y=O的对
33、称点A,所以当点P为直线x-y=O与直线AB的交点时，IPAl+IPBI取得最小值为IABI【详解】如图，可得A,B两点在直线x-y=O的同侧，设点A关十直线x-y=O的对称点A,则IPAI+IPBI=IPAI+IPBI;:.:IAB卜所以忱+IPBI的垃小值为JABI因为A(l,2)，直线为Xy=O，所以A(2,l)，所以IABl=4-1=3,所以伊J+IPBI的戴小值是3故答案为：3 y B tA X 45.(2022全国高三专题练习）如图，已知A(4,0),B(O,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是.y
34、X【答案】2j飞【分析】求廿，P关于且线AB和Y的对称点，由两个对称点间距离得结论【详解】设点P关千直线AB的对称点为D(x,y),白线AB方程为x+y=4,因此言：=4解叶言，即D(4,2),P关丁y轴的对称点为C(-2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD=210.故答案为：210.46.(2020全国高三专题练习）已知直线l:2x“一3y+l=O,点A(-1,-2)，则直线l关千点A对称的直线的方程为【答案】2x3y9=0【分析】在l上任取两点，求出其关千点A的对称点坐标，再利用两点式即可求出直线l关于点A对称的直线的方程【详解】法在I：红3y+l=O上任取两点如 M(I,I),N(
35、4,3),则M,N关千点A的对称点M,N均在白线/I:易知M(-3,-5),N(-6,-7),山两点式可得l的力程为五3y-9=0.法二设p(x,y)为I上任意一点，则p(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2X,-4-y),:p在直线l上，2(-2-x)-3(-4-y)+l=O,即2x一3y-9=0.故答案为：2x3y9=0.【点睛】本题考查直线关千点的对称直线，关键是对称点的求解，是基础题47.(2022全国高三专题练习）直线釭y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关千 M点对称的直线方程为.【答案】2x+3y+12=0【分析】根据直线过定点的求法可求得M点坐标，根
36、据关千M对称的两条直线平行，且到 M点距离相等可构造方程求得结果【详解】由（zx+y+3a-1=0得：(x+3)a+(y-1)=0，当X=-3时，y=l,:.M(-3,1):设直线2x+3y6=0关J-M点对称的直线方程为2x+3y+C=O,|6+3-61 _ l-6+3+Cl.=，解得：C=l2或C=-6（舍），卢卢直线2x+3y 6=0关千M点对称的直线方程为2x+3 y+12=0.故答案为：2x+3y+l2=0.48.(2022上海高三专题练习）直线x-y-2=0关千直线x-2y+2=0对称的直线方程是.【答案】x-7y+22=0【分析】先求得两条直线的交点Q坐标，再在直线x-y-2=0
37、上取一个点P，求得点P关千直线x-2y+2=O的对称，点即可利用内个点的坐标求得其对称点的白线方程【详解】因为直线x-y-2=0与直线x-2y+2=O x-y-2=0 所以联立直线方程可得，解方程组可得x=6 X-2y+2=0 y=4 即两条直线的交点Q的坐标为Q(6,4)在直线x-y-2=0上取一个点P(0,-2)，设P(0,-2)关千直线x-2y+2=0的对称点为P(m,n)，由中点坐标公式及斜率关系可得l/l+2=0，解方程组可得1/所以P(昙）14 则直线PQ方程的斜率为k=6(厂由点斜式可得白线PQ的方程为y-4=-E;(x-6)化简可得x-7y+22=0即自线x y2=0关于百线x
38、-2y+2=0对称的直线方程为x-7y+22=0故答案为x-7y+22=0【点睛】本题考查了直线交点坐标的求法，点关千肖线的对称点求法，两条垂盲直线的斜率关系点斜式方程的用法，屈丁基础题匹、解答题49.（202I黑龙江哈尔滨三中高三学业考试）已知A(-2,0),B(0,4)，线段AB的垂直平分线为直线l.(1)求直线l的一般式方程；(2)若点C在直线l上，且IACl=Jw,求点C坐标【答案】(I)x+2y-3=0(2)(1,1)或(-3,3)【分析】(I)由题意，求出线段AB的中点坐标及直线l的斜率k,一，然后利用点斜式写出直线方程，化简即k AB 可得答案；(2)设点C坐标为(a,b)，山题
39、意，列出关千a,b的方程组求解即可得答案(1)解：闵为A(-2,0),B(0,4)，所以线段AB的中点为(-1,2),k 0-4 AB=-=-:-=2,-2-0 1 1 又线段AB的垂直平分线为直线I,所以勾=-,k AB 所以且线l的方程为y-2=丿(x+l)，即x+2y-3=0,2 所以直线l的般式方程为x+2y-3=0;(2)解：设点C坐标为(a,b),2 山越意有:：而们得言飞：33,所以点C坐标为(1,1)或(-3,3).50.(2022全国高三专题练习）已知直线/1:2x+y+3=0,2:x-2y=O.(1)求直线h关千x轴对称的直线h的方程，并求b与I3的交点P;(2)求过点P且
40、与原点0(0,0)距离等千2的直线m的方程【答案】(1)2x-y+3=0,P(-2,-l);(2)3x+4y+l0=0或x=-2.【分析】(1)由对称关系求直线I3的方程，联立b与h的方程，求点P的坐标，（2）当直线m的斜率存在时，设直线m的点斜式方程，山 点到直线距离公式列方程求斜率，山此可得直线m的方程，再检验过点P的斜率不存在的直线是否满足婓求【详解】()由题总，百线I3与直线h的倾斜角互补，3 从而它们的斜率互为相反数，且h与h必过x轴上相同点（一，0)2：直线h的力程为b-y+3=0,2x-y+3=0 x=-2,由X-2y=0,，解得y=l:.p(-2,-J).(2)当直线m的斜率存
41、在时，设直线m的方程为y+l=k(x+2),即虹y+2k-l=O,I 2k-l I:原点0(0,0)到直线m距离为2,解得k=,3 卢4:直线m方程为3x+4y+10=0,当直线m的斜率不存在时，直线x=-2满足题意，综上直线m的方程为3x+4y+l0=0或x=-2.51.(2022上海高三专题练习）两平行线li,A分别过点F;(2,0)与片(0,9).Cl)若l1与A距离为2,求两直线方程；(2)设ti与A之间距离是d,求d的取值范围【答案】(l)t,:x-2=0,l2:x=0或l1:77x+36y-154=0,l2:77x+36y-324=0:(2)de(O，森勺【分析】Cl)根据百线的夹
42、角的定义，结合点到直线的距离公式、盲线的方向向旦、锐角二角函数定义进行求解即可；(2)根据平行线的几何性质进行求解即可【详解】(l)|RE|恙，设直线印片与这两平行直线的夹角为0，则2 9 sin0=cos0=-设直线P.P2的一个方向向掀为(2,9)忘忘取内平行线的一个方向向械为(a,b),9 12a-9b I 则cos0=忘嘉二了知a(77a+36b)=0,当a=O时，I,:X2=0,/2:x=O:当77a+36b=O时，取平行线的一个方向向址为(36,77)x-2 y-0 则ll:=77X+36 y-J 54=0,36-77 x-0 y-9 右：77x+36y-324=0,36-77 综
43、上，L,:x-2=0,l2:x=O 巨戈11:77x+36y-154=0,12:77x+36y-324=0;(2)当平行线l1,l2与直线p2乖直时，两平行线的距离最大，即仁1RE|厄，所以，dE(O，森引【点睛】木题考查了已知平行线间的距离求平行线问题，考查（平行线问题距离最值问题，考查了数学运算能力52.(2022全国高三专题练习）已知直线l:x+2y-2=0.(l)求直线11:y=x-2关千直线l对称的直线h的方程；(2)求直线l关于点A(l,l)对称的直线方程【答案】(I)7x-y-14=0;(2)x+2y-4=0.【分析】(I)先求出两直线的交点P(2,0)，再求出位，即得且线b的方
44、程(2)白线关千点A(l,I)对称的白线和白线平行，所以设所求的直线方程为x+2y+m=O,求出m的值即得解【详解】(I)由y=X-2解得交点P(2,0).x+2y-2=0 l 在h上取点M(O,-2),M关于1的对称点设为N(a,b),则勹/-2厂14 解得N(12 14-O 5=7 5 5），所以从12-2 5 又直线b过点P(2,0),所以直线h的方程为7x-y-14=0(2)直线l关千点A(l,1)对称的直线和直线1平行，所以设所求的直线方程为x+2y+m=O.在l上取点B(0,1)，则点B(O,I)关千点A(l,1)的对称点C(2,l)必在所求的直线上，所以2+2xl+m=O，所以m
45、=-4,即所求的直线方程为x+2y-4=0.【点睛】本题主要考查点和直线的对称问题，考查臼线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平53.(2022上海高三专题练习）已知直线/1:4x+y+6=0和直线/2:3x-5 y-6=0,若直线l被杠吐截得的线段AB的中点恰为坐标原点，求直线l的方程【答案】x+6y=O【分析】设l父A的交点为A(x。,y。)，则l父l2的交点为B(-书,-y。)，联立方程得到X。+6y。=0，根据直线的法向昂得到答案【详解】设l交l1的交点为A(x。,y。)，则由条件l交l2的交点为B(X。,y。),则A在A上，B在I2上，即4x。+y。+6=0，故x0+6y。=0.-3x。+5y。-6=0又l过原点，则直线l的一个方向向量为（书为），则直线l的一个法向噩为(1,6).所以直线l的方程为x+6y=O.