《2022-2023年艺术生新高考数学讲义 第17讲 数列求和.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023年艺术生新高考数学讲义 第17讲 数列求和.pdf（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第17讲数列求和【知识点总结】求数列前n项和的常见方法如下：(1)公式法：对千等差、等比数列，直接利用前n项和公式(2)错位相减法：数列的通项公式为a，少，或生的形式，其中包为等差数列，b，为等比数列b,(3)分组求和法：数列的通项公式为a,，b的形式，其中a,，)和九满足不同的求和公式常见千a,，l为等差数列，也为等比数列或者a,与b,分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律(4)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项(S)倒序相加：应用千等差数列或转化为等差数列的数列求和【典型例题】1 例1.(2022全国高三专题练习）数列a,的通项公式an=，它的前n项
2、和S,=9，则n=()勾十五A.9 B.10 C.99 D.100 例2.(2022全国高三专题练习）在公差大于0的等差数列忆中，2a7-a13=，且1,a3-1,a6+5 成等比数列，则数列(l)一1a,的前21项和为（)A.12 B.21 C.11 D.31 例3.(2022全国高三专题练习）已知数列a,满足：a.II+1=a,I-a,rl（定2,nEN),a1=l,ai=2,S,为数列a叶的前n项和，则S2021=C)A.3 B.2 C.1 D.0 l l 例4.(2022全国高三专题练习）已知等差数列all的前n项和为S,a3=3,S4=10,则一.+=s.s Sn 例5.(2021全
3、国高三专题练习）已知数列a,1的前n项和s,.=22-4(nE尺），函数f(x)对一切实数Xl 2 nl 总有f(x)+f(lx)=1，数列丸满足b11=f(O)+f()+f()+-+f()+f(l)分别求数列all、bn的n n n 通项公式例6.(2022全国高三专题练习）已知忆为等差数列，丸为等比数列，且满足a,=l,b1=2,a4=4（生飞），b4=4(b3责）(I)求伈和忱的通项公式；(2)对任意的正整数n,设C，a,，九，求数列c,的前n项和s.,.例7.(2022全国高三专题练习）数列a,1的前n项和为S,a1=1,a,+1=2S,+1.(1)求anSn:a l l(2)设丸-，
4、数列九的前n项和为T证明：一，Tn-.snS,1+1 4 3 例8.(2021福建永安市第三中学高中校高三期中）已知数列a,1是前n项和为s,.=2+1-2(1)求数列a,的通项公式；(2)令b,=a,+log2 a,，求数列位，的前11项和Tn.【技能提升训练】一、单选题1.(2021全国高三专题练习（文）已知函数f(x)=(x-13+l,利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+f(O)+f(6)+f(7)()A.25 B.26 C.13 25_2 D 2.(2022全国高三专题练习）已知记数y=f(x)满足f(x)+f、(1x)=1,若数列a,满足1 a
5、ll叮(0)+f(）主）f尸）订(1)，则数列a,的前20项和为（)n1 nJ n A.100 B.105 C.110 D.115 3.(2020全国高三专题练习）已知函数f(x)=x+sin冗x-3,则山岛）气。217)飞。)+f（言）的值为A.4033 C.8066 B.-4033 D.-8066 4.(2021全国高三专题练习（文）已知等比数列a11)的前n项和为S11,若S3=7,S6=63,则数列na11)的前n项和为()A.-3+(n+l)x211 B.3+(n+l)x2 C.l+(n+l)x2 D.l+(n-l)x2 5.(2022全国高三专题练习）化简S,=n+(n-l)x 2
6、+(n-2)x22+-+2x2-2+2n-l的结果是()A.2+1+n-2 B.21+1-n+2 C.211-n-2 D.2n+I-n-2 6.(2022全国高三专题练习）根据预测，某地第n(nEN.)个月共享单车的投放量和损失量分别为a,1和b,（单位：辆），其中a,l=匋l5,1平:,b11=n+5,则该地第4个月底的共享单车的保有量为（)-10n+470,n 4 A.421 B.451 C.439 D.935 二、填空题7.(2022-上海高三专题练习）已知数列a,，满足3a,+3飞3也.+3飞n(nEN*)，则数列log3a,/llog3a,1+1的前n项和S，为.8.(2022江苏高
7、三专题练习）已知数列a,1的通项公式a,=sin.2 n冗4,nEN，其前n项和为S,，则S2020=I I I 9.(2022上海高三专题练习）设数列丸有a,=Jogr,+ii 2006,则+=.a1 a2 a 2005 三、解答题10.(2022全国高三专题练习）已知数列a11的前n项和为S,a1=5,nS,+1-(n+l)S,=n2+n.(1)求证：数列:为等差数列：(2)令b,=2如，求数列b,的前n项和T,I11.(2022河北高三专题练习）已知数列忆的前n项和为S,，且Sn+i=Sn+a,+l，一请在0a1+a7=13;a1,a3,a1;成等比数列；s1 0=65,这三个条件中任选
8、一个补充在上而题干中，并解答下面问题(I)求数列a,的通项公式；(2)求数列气的前n项和T”2 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分12.(2022-全国高三专题练习）有一正项等比数列a,1)的公比为q,前n项和为S11,满足aia4=64,S3=14.设b,=log2a11(nEN).(1)求a1,a2的值，并求出数列a,)的通项公式；(2)判断数列b,)是否为等差数列，并说明理由；l(3)记C,，=，求数列c11)的前n项和T,.b,b,计113.(2022全国高三专题练习）已知数列a,满足2a1+5生8生十+(3nl)a,=n(n+1),2.(1)求数列a,的通项公式；(2)设
9、九2(311-l),3a11 n(3n+2)+，求数列丸的前n顶和T.14.(2022全国高三专题练习）已知数列a,的前n项和为S,r，且满足2a,=S,+n(n EN).(I)求证：数列a,+!)是等比数列；I(2)记C,=log2(a,+I)-log2(a,.2+I)，求数列c,的前n项和T”15.(2022全国高三专题练习）已知数列忆的前n项和为Sn且满足2all旯l(neN*).a./l+1 2(l)求数列叶的通项公式：(2)设丸，数列丸的前n项和为Tn，求证卫(an+i-t)(a,+2一1)3三兀I.16.(2022全国高三专题练习）在Sn=2an-2;2a3=ci,+a4-4;S3
10、,S2+2,Sl成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：数列a,l)是各项均为正数的等比数列，前n项和为S,a,=2，且(I)求数列a,.的通项公式；2(2)若九本二十五(neN)，求数列b,的前n项和T,.，.17.(2022全国高三专题练习）设数列包的前n顶和为凡，已知al=2且数列:是以上为公差的等差数列(J)求数列叶的通项公式；(2)设b,，a 2 了十I_数列九的前n项和为T5，求证：T O，前n项的和为Sn,S3=2a4,a,a3+2,2a4成等比数列(1)求a,1的通项公式；(2)若b,=(-1)(2n+5)，求数列丸的前100项的和1()()a,a,+1
11、 24.(2022全国高三专题练习）已知数列all满足a1=2,a(1)证明：数列忖为等差数列；1 1 1(2)设b,，生，证明：飞.+22b1房b211+1 a.,=2a.+2.II+l II 25.(2021全国高三专题练习）设an)是等差数列，（n已V);丸是等比数列，公比大于0,其前n项和为Sn(nEN)已知b1=1,b3=b2+2,b5=a3+a5,b产山2a6.(I)求S,，与a,;(2)若c,，=回|，求数列动的前n项和兀26.(2021全国全国模拟预测）已知数列忆满足a,+an+2=2a,+1,n E N，且a1=1,a5+a1=22(1)求数列a,，的通项公式；(2)记在区间
12、(3111,3+1)(mEN.）上，忆的项数为b,求数列九的前m项和27.(2021海南二中高三阶段练习）递增等差数列a,，中，a3化16,a4+a6=0.(I)求数列a,1的通项公式；(2)求数列28+0+an前n项和S,，28.(2021河南高三阶段练习（文）已知3,1,3,5中的3个数为等差数列忆的前3项，且99不在数列忆中，101在数列a,，中(1)求数列忆的通项a,，;(2)设b,=(4nl)2 a,+,a11+2，求数列仇的前n项和S,尸29.(2021全国高三专题练习）设数列忆是公差大千零的等差数列，已知a1=3,a;=a4+24(1)求数列a,的通项公式；(2)设数列b满足b,
13、=sin a,冗(n为奇数）cosa,冗(n为偶数）求bl+b2+h2021-30.(2021全国高三专题练习（文）已知数列all中，a1=2,a,，十I=2Q11.(1)求a,;(2)若b,=n+an,求数列b,的前5项的和S5.第17讲数列求和【知识点总结】求数列前n项和的常见方法如下：(1)公式法：对千等差、等比数列，直接利用前n项和公式(2)错位相减法：数列的通项公式为a，少，或生的形式，其中a,为等差数列，位，为等比数列b”(3)分组求和法：数列的通项公式为a,，b的形式，其中a,，)和九满足不同的求和公式常见千a,，l为等差数列，也为等比数列或者a,，与b,分别是数列的奇数项和偶数
14、项，并满足不同的规律(4)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项(S)倒序相加：应用千等差数列或转化为等差数列的数列求和【典型例题】1 例1.(2022全国高三专题练习）数列all的通项公式an=，它的前n项和S,=9，则n=(勾iA.9【答案】C【详解】B.10 数列忆的通项公式a,=C.99 D.100 勾J五言石，则凡（5中(3-2）（汇盂）汇I1=9.解得n=99故选；c.例2.(2022全国高三专题练习）在公差大千0的等差数列a,中，2a1-a13=l,且a1,a3-1,a6+5 成等比数列，则数列(l)-1a,的前21项和为（)A.12【答案】B【详解
15、】B.21 c.11 由题意，公差d大千0的等差数列a,中，2a7-a13=1,可得2Cli+12d-(Cli+12d)=1,即al=l,由al，生1,a6+5成等比数列，可得(a11)2=Cli(a6+5)3 即为(1+2d-1)2=1+Sd+5，解得d=2或d=（舍去），4 所以数列a,的通项公式a,=1+2(n-1)=2n-1,nEN勹D.31 所以数列(-l)1-la,1的前21项和为：S21=a1飞化a4+a19一生oI=(l-3)+(5-7)+.+(37-39)+41=-2xl0+41=21.故选：B.例3.(2022全国高三专题练习）已知数列a11满足：（如1=a11-a，！一l
16、（心2,nEN),a1=L a2=2,S,！为数列a,)的前n项和，则S2021=C)A.3【答案】C【详解】B.2 C.l D.0:a,+1=a,-a,_,a,=l,a2=2,:.a3=J,a4=-l,as=-2,a6=-I,a7=),as=2,.,故数列an)是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0,故S2021=336xO+a2011+a201g+.+a2021=a什U2+u3+a叶as=l+2+1+(-1)+(-2)=l.故选：C.I 1 例4.(2022-全国高三专题练习）已知等差数列all的前n项和为S,“生3,S4=10,则+.-s.s S,【答案】2n n+l【详解】解：设公
17、差为d,因为生3,S4=10,所以a1+2d=3，解得al=1，所以an=n所以S11=4a1+6d=10 d=1 2 1 2 _(1 1 所以瓦=n(l+n)=2（了言i,I I I _(_ I _(I I _(I I 所以了飞页2尸）2厂）2仁言T)=2(1曰！尸上）2(1上）五2 2 3 n n+ll n+I J n+l 故答案为：一一2n n+l 例5.(2021全国高三专题练习）已知数列a,，的前n项和Sn=21+24(ne N,.),函数f(x)对一切实数Xl 2 n-l 总有f(x)+f(l-x)=l，数列(b,满足b,=f(O)八）f（）+f()王f(l)分别求数列屯、b，)的
18、n n n 通项公式【详解】当n=l,al=Sl=2l+24=4 当n2.2,a,=S,-S,一I=(2n+2-4)-(2+1-4)=2n+I n=l时满足上式，故a,=2+1(n E N);.f(x)+f(l-x)=l.f汇（勹）l.b=f(0)+f(/(;+f（干I(1)(j):.b,=I(1)+I（于尸（宁）寸(l)+f(O)丛D+，得边，n+l:.b,n+l 2 例6.(2022全国高三专题练习）已知a 为等差数列，位为等比数列，且满足a1=1,b1=2,a4=4（生飞），b4=4(b3上）(I)求a,，和九的通项公式；(2)对任意的正整数n，设c,=a,，九，求数列c,，的前n项和S
19、,.【详解】(I)设芍差数列a,的公差为d,等比数列丸的公比为q,由CLi=l,a4=4(化一生），则1+3d=4d,可得d=I,所以a,=I+n-l=n,因为bl=2,b4=4(b3责），所以2矿4(2矿2q)，整理得(q2)2=0，解得q=2,所以b,=2 X 211-1=2;II(2)c.=n-2 II,S,=lx2+2x22+3x23+L+n-2,2S,=lx22+2x23+3x24+L+n-2计I,两式相减，得2(1-2)-S.,=lx2+22+23+24+L+2-n 2+1=-n 2+1=(1-n)2+1-2,1-2 所以S,=(n-)x2n+I+2.例7.(2022全国高三专题练
20、习）数列a,的前n项和为S,a,=l,an+I=2S,+l.Cl)求a,s.;a,l(2)设丸，数列b,的前n项和为T证明：一，T,-l S,S,i+1 4 3【详解】(1)._.an+I=2S,+1:.an=2S,一1+l(n2)O-得：a,+1=3a,(n 2)令n=l时，a2=2a1+1=3=3a1满足上式:.a,+I=3an(n l)数列a,是a，为酋项，3为公比的等比数列:.a,=a,q一I=3一1S,=a,(tq)_ l-3 _ 3-1=1-q 1-3 2(2)证明：由O得：a,=3n-l,S 3-I,n 2 3n+l-l:.s,，十，2.b,=a 4 3-1 2(1 l 言(3-
21、l)(31+l-l)=3（h-三兀b1+b2+bn 2(I J l I=-(-+-+-I 3 2 8 8 26 3”-1 3”+l l-l)1 2=3 3+2-3 l-3 T“.又；兀为递增数列.T,2飞4 3(3,1)(9l)4，一Tn -4 3 例8.(2021福建永安市第三中学高中校高三期中）已知数列a,，是前n项和为S,=2n+I-2()求数列a,的通项公式；(2)令b,=a,+log评，求数列丸的前n项和T,.【详解】(I);Sn=2+1-2 4n 之2时，a,=S,.S,-I=2n+l2-(22)=2 当n=l时，a1=2满足上式，所以数列a,的通项公式为a,=2(2)由（I)得，
22、九2+log2(2)=2+n,则兀(2+l)+(22+2)+(23+3)+.-+(2+n)=(2+22+23+2)+(+2+3+.-+n)2(1-2勹n(l+n)=+1-2 2 勹n-+n=21+1+2-2.【技能提升训练】一、单选题1.(2021全国高三专题练习（文）已知函数f(x)=(x-1)3+I,利用课本中推导等差数列的前11项和的公式的方法，可求得j.(5)+f(-4)+.+/(0)+f(6)+J(7)()A.25 B.26 C.13 25-2 D【答案】C【分析】先根据已知条件求出f(x)+f(2-x)=2,再利用倒丿子相加法求和即可【详解】解：:f(x)=(x-1)3+l,f(2
23、x)=(2x)3十I=(lx)3+l,即f(x)+f(2-x)=2,设t=f(-5)+f(-4)+f(-3)+f(O)+J(6)+f(7),CD 则t=f(7)+f(6)+f(5)+f(O)+f(-4)+f(5),则O+得：2t=f(-5)+f(7)+f(-4)+f(6)+f(7)+f(-5)=2x13=26,故t=l3.故选：C.2.(2022全国高三专题练习）已知函数y=f(x)满足f(x)+f(l-x)=l,若数列a,满足a,l叮（O)+f(炒飞f(勹）叮(I)，则数列忆的前20项和为（)A.100 B.105 C.110 D.115【答案】D【分析】根据函数y=f(x)满足f(x)+f
24、(l-x)=l,利用倒序相加法求出仇，再求前20项和【详解】厌为函数y=f(x)满足f(x)+/(1-x)=l,all=/(0)心）飞）f（气）门(l)CD,an叮(1)+f（二尸尸）平）叮(0),n n n 由0+可得2a,，n+l,.a,=,n+l 2 20+1 所以数列(a,是首项为I,公差为占的等差数列，具前20项和为20(l+2一了)=115故选：D.【点睛】木题主要考查函数的性顶及倒序相加法求和，屈了基础题3.(2020全国高三专题练习）已知函数f(x)=x+sin冗X3则j.（心）气。217)气。扂）的值为A.4033 C.8066【答案】D【详解】B.-4033 D.-8066
25、 试题分析:f(x)+J(2-x)=x+sin1lx-3+2-x+sin(2冗J(X)-3=-4，所以原式（4)4033=8066 考点：函数求值，倒序求和法【思路点睛】本题主要考查函数求值与倒序相加法注意到原式中第一个自变炽加上最后一个自变噩的伯为2，依此类推，第二个自变攒加上倒数第个自变散的伯也是2,故考虑f(x)+/(2-x)是不是定伯迎过算，可以得到f(x)+f(2-x)=-4，每两个数的和是-4，其中f(l)f(l)-4,f(l)=-2,所以原式等价于4033个 立即8066.4.(2021全国高三专题练习（文）已知等比数列a,)的前n项和为S/1，若S3=7,S6=63,则数列na
26、,)的前n项和为（)A.-3+(n+l)x211 B.3+(n+l)x2 C.l+(n+l)x211 D.l+(n-l)x211【答案D【分析】利用已知条件列出方程组求鲜即可得aI,q，求出数列a11)的迪项公式，再利用铅位相减法求和即可【详韶】设等比数列伽的公比为q，易知qfl,S3=a1(1矿）=7 所以由题设得11-q a1(J矿）s 6=63 1-q 两式相除得l+q3=9,解得q=2,进而可得a1=l,所以a,=a1q11-1=2气所以na,=nx211-1.设数列na叶的前n项和为T,则T,=lX护2x21+3x2气nx2丸2Tn=l x2 1+2x22+3 x23+.+nx2见1
27、-2 两式作差得T,=I+2+2气2111-nx211=.:._:_-nx211=-I+(I-n)x2,1-2 故T,=l+(n-l)x2.故选：D.【点睛】本题主婓考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题屈千较易题5.(2022全国高三专题练习）化简S,=n+(n-l)x2+(n2)x2巨+2x2-2+2-1的结果是（)A.2+1+n-2 B.2+1-n+2 C.2-n-2【答案】D【分析】用错位相减法求和【详解】D.2n+I-n-2 S,=n+(n-l)x2+(n-2)x22+2x2-2+2-1,(1)2S,=nx2+(n-l)x22+(n-2)x 23+.-+2x 2-
28、1+2,(2)(2)-(1)得：2(1-2)S=-n+2+22+2？一I+2n=-n+=-n+2n+I-2=2+I-n-2.1-2 故选：D.6.(2022全国高三专题练习）根据预测，某地第n(n.EN.)个月共享单车的投放量和损失量分别为a,和b,（单位：辆），其中an=矿15，区n三3,b,n+5，则该地第4个月底的共享单车的保有揽为（lOn+470,n 2 4、丿A.421【答案】DB.451 C.439 D.935【分析】根据题意求出前四个月的共享单车投放赘，减去前四个月的损失散，有扯【详解）由题慈可得该地第4个月底的共享单车的保有岱为(ai+a2飞a4)-(b1+b2+b三）=(20
29、+95+420+430)-(6+7+8+9)=965-30=935 故选：D.二、填空题即为第四个月底的共享单车的保7.(2022上海高三专题练习）已知数列忆满足3a,+3飞33+-+3an=n(nEN*)，则数列log3a,1 og3a,1+1的前n项和S，为.【答案】S,n n+l【分析】由3a1+3飞33a3+.-+3 a,=n(n e N*)I=n nEN与3a1+32a2+3飞+3-1a,一I=n-1两式相减，得出a=-3 进而得出1 的通项公式，再山裂项相消法求和即可log3 a,log3 a,+l【详解】当n2:2时，由3a1+32a2+3飞3a,=n(neN*)，得3a,+3飞
30、33a3+3一1a,_1=n-1,两式相减，得a,j=1 3 l l l 又q=-，适合，所以an=3 -.,-3n 1 I I 所以=-=-log3 a,-log3 a,+1 n(n+l)n n+l 日斤以S,=(1-l)+(l-)+.+(l-)=l-=i 故答案为：s=II n n+I 8.(2022江苏高三专题练习）已知数列a,，的通项公式an=sin2【答案】1010【分析】计算前4项，结合周期得出S2020【详铲】n冗I-cos 1 n冗1a=2=-cos+-2 2 2 2 2冗周期T=4 冗2 勹冗 勹冗?3冗.l a,=sm2=,a2=sin2压sin2=,a.4=sin2冗 0
31、4 2 2 4 2 S2020=S心505=505(L+1+1+0)=10lO 2 2 故答案为：【点眙】1010 n冗4 ,nEN*，其前n项和为S,，则s2020=关键点靡解决本题的关键在千推狸得出数列a,.是周期数列，再由周期性得出52020.I l 9.(2022上海高三专题练习）设数列动有a,=log伲1)2006,则一=.a1 a2 a2oos【答案】log20062006!【分析】根据对数性质化简计算即可【详娇】l I:a,=log11+t)2006:.=log all log(n+I)2006 g2006(n+1)1 1 1 所以+=log20062+log2006 3+log
32、2006 2006 a1生生005=log2006(2 x 3 x x 2006)=log2006 2006!故答案为：【点睛】log2006 2006!本题考查利用对数性质进行化简，考查基本分析化简能力，屈基础题三、解答题JO.(2022全国高三专题练习）已知数列a叶的前n项和为S,a1=5,nS时1-(n+l)S11=n2+n.(I)求证：数列尸为等差数列；n(2)令仇2如，求数列b11的前n项和T,I【答案】（I)证明见解析；(2)T,=0,:.a3=8.:S3=a1+a2+G3,:.a1+a2+8=14,:,a1+a1q=6,8 卧JGI(l+q)=6,.亏（l+q)=6,团3q2-4
33、q-4=0,q 2 解得q=2或q=-（舍去）3:,a1=2,ai=4,a,=2x2n-1=211(nEN).(2)数列(b,为等差数列理山如下：由（I)知a11=211,:.b11=log2a11=log如11,:.b11+1=n+1,:.妇b,.=I又仇I,二b11是以1为首项，l为公差的等差数列l l l l(3)由（2)可知，b，1=n,.c/1=-吵，i+Jnn+I)n n+I 兀c心如c，十分（；开（计(-nl卢n:13.(2022全国高三专题练习）已知数列忆满足2a1+5a2+8生十+(3n-l)a,=n(n+1)II 2 (1)求数列忆的通项公式；(2)设丸2(3,I-l)(,
34、“3all n(3n+2)+，求数列丸的前n项和兀【答案】(I)n l 3 a=;(2)T,=2”+l_ _ 3n-l 3n+2 2【分析l(l)由2a1沉8生（3n-l)a11=,可得当n之2时，2a1+5a2+8生（3n-4)a,一1=n(n-1)，两式相减化简可得an l II=(n2)，再验证al=是否满足，2 3nl 2(2)由(l)得b11=2+(1 1 3n-l 3n+2)，然后利用分组求和和裂项相消求和法求T”【详解】解：（l)数列a,满足2a1+5a2+8a3+(3n-l)a11=n(n+1)3+(3n-l)a11=TQ)n(n-1)当n 22时，2a1+5生8生+(3n-4
35、)a11_1=,2 n(n+l)n(n1)0，得：(3n-l)an=-=n,2 2 故a,=(n2);3n-1 l 当n=l时，解得4=，首项符合通项，2 故all=n 3n-1(2)由(l)得：九2(311一la,+3an n(3n+2),I 3 l l=2+(3n-l)(3n+2)=2”+(3n-l-3n+2 所以兀（i1+22+2”)+（口奇i+.l-l-3n1+2)2x(2-1),1 l=+-2-1 2 3n+2=2+1 I 3.3n+2 2 14.(2022全国高三专题练习）已知数列a,的前n项和为Sn且满足2a,S,n(nEN.）(I)求证：数列a,+I是等比数列；(2)记c,=l
36、og2(a.+I)-log2(a,.2+1)，求数列en 的前n项和Tn【答案】（l)证明见解析；（2)一3 2n+3 4 2(n+l)(n+2)【分析】(I)先求出a,=I，然后当n.2时，a,=Sn-S,一1化简可得an=2all一I+1,两边加l可得a,+1=2(a11一I+I)从而可证得数列a,+I)是等比数列：I l I(2)由（I)得a.+l=2,则可得c,=一(-)，然后利用裂项相消求和法log2(a,.+I)log2(a.2+I)2 11 11+2 可求得Tn【详解】(1)证明：I打2a,，S,n(nEN.)，可得2a1=S,+l=a,+l,解得a,=1,n.2 A寸，an=S
37、n-S,_1=2an n-2a,，一I+n-J,可得a,.=2a11_,+I,则a,+1=2(a,-I+I)所以数列a.,+I是首项和公比均为2的等比数列；(2)由（1)可得a,+1=2,I 1 l 1.1 l 则C=，+2=(-)log2(a,+l)log2(a.2+1)log22-log22 n(n+2)2 n n+2 所以兀l(l+JI Ill l l l l-+-+.+-+-)2 3 2 4 3 5 n-1 n+I n n+2 1.1 l 1.3 2n+3 一(1+-)2 2 n+l n+2 4 2(n+l)(n+2)15.(2022全国高三专题练习）已知数列包的前n项和为S,，且满足
38、2a,.-Sn=1(n EN*).(1)求数列a,的通项公式：(2)设九a,+1，数列九的前n项和为T求证(a,+1-t)(a,+2-1)【答案】(1)a,=2兀I;(2)证明见解析【分析】(I)利用an=s l,n=l S11-S,_1,n立，求得数列a,的通项公式2 3 5 T,l.2(2)求得数列丸的通项公式，进而利用裂项求和法求得T,结合数列的单调性证得:;T,1 3【详解】(I)解：2a,，Sn=1,令n=l，解得a1=l,n 2时，2a,一i-S,一I=l(nE N)两式相减，得a,=2a11_1 数列a,，是以a1=l为首项，q=2为公比的等比数列，所以0,=2”l;2”(2)证
39、明b=（a+I-l飞;+2-l)=(2-l)(2l+l-l)言2-l:.Tn=b,+b2+bn=(-22l)飞2-l-23-l)+(2n-l-2+-1)=l2n+l-l l-21+！l单诩递增，所以1了与书1)且pT,E扣）16.(2022全国高三专题练习）在S11=2a11-2;2a3=a2+a4-4;S3,S2+2戊成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：数列a11)是各项均为正数的等比数列，前n项和为S,a,=2，且(I)求数列a11的通项公式；2(2)若b,，=五了可五二i(nEN)，求数列b,的前n项和T,.【答案】(1)a,=2;(2)兀五=言-I.【分析】
40、(I)若选，由S,，=2a,，2，有S,_1=2a，一1-2(11：2)，两式相减，可得数列为等比数列，再由首项可求通项；若选，由2生a2+a44,得q=2,再由首项可求通项；若选，由S3,S2+2,成等比数列，得q=2冉由首项可求通项(2)先带入化简，冉裂项求和即可【详解】a(I)若选，由S11=2a11-2，有S，/_1=2a,_,-2(n z 2)，两式相减并整理有生2(nz 2),an-I 可知数列a,，)是首项为2,公比也为2的等比数列，所以a,，=2x2I-l=2勹若选，因为数列a,是等比数列，且首项为2,由2a3=a2+a44,有2a矿a1q+a矿4,即4(q2十I)=2q(q2
41、十I)，得q=2,所以数列a,，）是首项为2,公比也为2的等比数列，所以a,.=2x 2,-I=2飞若选，由S3,S2+2,SI成等比数列，有2(S2+2)=SI+S3 即2(a产生2)=a1+a1+a1+生，因为有a1=2,所以有4q+4=2q+2矿，解得q=2,q=-1（舍），数列a,，是首项为2,公比也为2的等比数列，所以a11=2 X 2n-l=211,2 2(2)因为(l,，=2”,b,=五拉了三言=2（三言）（已言）（三)二卢，所以T,=b,+b2+b3+.-+b,卢五亡石言五亡了十五言十十五卢二I,17.(2022全国高三专题练习）设数列忆，的前n项和为S,，已知al=2且数列:
42、是以；为公差的等差数列(1)求数列叶的通项公式；(2)设九a 2/1+l,数列九的前n项和为T5，求证：T,n+:=:-.a11 a,+i ,.I 2【答案】(1)a11=n+(neN):(2)证明见解析【分析】l 3(1)山题意可得S,，n,2+n，再利用all=S1,n=l 2 2 凡-S,1-l,n22可求出数列叶的通项公式；(2)山（1)可得丸(n+2)2，化简后利用裂项相消法可求得T再利用放缩法可证得结论(n+l)(n+3)n【详解】s(1):a,=2,-=2,1 S 1 1 3 l 2 3:.:.!.=2+-;:-(n-1)=-;:-n+，即S,，=-n+-n n 2 2 2 2
43、2 l 3 1 l 当n2时，S一1=(n1)2+(n-1)=n2+n-1 2.2.2 2:.an=SIi-S,_I=n+l(n 2 2)当n=l时，al=2，符合上述通项，所以a,=n+I(n EN勹=(n+2)2 a2(2):b,=_:.:!1 a11 a11+2(n+l)(n+3),l 1 1 l=+=+-()(n+l)(n+3)2 n+l n+3 111 1 1.5.Tn=n+-(-+-)0,所以a,，占汇2;3 3(2)因为=a+a11+1 石芦了石T芦卢所以S,五ji+石五j5打.+百言;万，故S产石习l22.(2022全国高三专题练习）设等差数列a,，的前n项和为S,，数列九为正
44、项等比数列，其满足al=bl=2s4=a5+b3a3+b2=8.(1)求数列忆和b的通项公式；(2)若，求数列动的前n项和T.l a,+2 在CDC,，-b,t,c/l=a少，I c，尸这三个条件中任一个补充在第(2)间中；并对其求aa,+1=-11-,-11=a11a11+1b11+1 解注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(I)a,=n+I,b,=2;(2)见解析【分析】(I)由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项(2)根据所选的数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相泪法可求Tn【详解】(I)设等差数列的公差为d,公比为q,则4x2罕:=2+4d+
45、2q厂2+2d+2q=8 q=2 lq=-3 解得d=1或d=6(舍），故a,=2+(n-l)x 1=n+l,b,=2 x 2-1=2 1.l 1(2)若选(D,c,=+2-+2(n+l)(n+2)-n+l n+2 故TI J.l I.l I.2(I-2)I I=-+-+-+=-+2叶-2,“2 3 3 4 n+l n+2 1-2 2 n+2 若选，则c,1=(n+1)2,故T,=2x2+3x22+4x23+(11+!)2,所以2飞2x21+3x23+4x24+(n+1)2+1,所以1;,=4+22+23+.+2-(n+l)2n+I=-n.21即T,=n2+1 若选，则en=n+3 l I(n
46、+1)(n+2)2t+l=(n+1)2一(n+2)21+1,l l l l 故T,=+l l 1 2x23x22 3x22-4x23(n+1)21-(n+2)21+，飞一(n+2)21+l【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法23.(2022全国高三专题练习）已知等差数列伈满足公差dO，前n项的和为Sn,S3=2a4,a,a3+2,2a4成等比数列(l)求a,的通项公式；(2)若b=(-l)(2n
47、+5)a,a,+1，求数列丸的前100项的和IOO【答案】(1)a,=2n+4;(2)-25 309.【分析】(I)根据题中条件，列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；(-1)(2n+5)(2)根据（I)的结果，得到b,，=，利用裂项相消法，即可求出结果4(n+2)(n.+3)【详解】(1)由S3=2a4及a1,a3+2,2a4成等比数列得&=2a4 2 2a1a4=(a3+2)即坑3d=2a,1+6d 2a1(a,+3d)=(a,+2d+2)2 2 解得d=2(d=-含去），a1=6,ll 所以a,=a1+(n-l)d=6+2(n-l)=2n+4;(2)b,=(I)”(2n+5)=
48、(l)”(2n+5)乌尸上，a,a,f+l 4(n+2)(n+3)4 n+2 n+3)所以l;oo叶-(i+i)+（i4)-（i+i)（点盂）（盂十1点）(1点）32059题【点睛】结论点睛：裂项柜消法求数列和的常见类和：(1)等差型己三匠亡），其中all是公差为d(d-:;:.0)的等差数列；(2)无理型l卢i=丘JK;(3)指数型(al)a=a+1-a:(4)对数型log卢二Jogaa,+1-Joga a,a,24.(2022全国高三专题练习）已知数列忆满足a1=2,a,+1=2a,+2+1(1)证明：数列厂叶为等差数列；2 l 1 1(2)设b尸生，证明：亏亏十+22b1 b2 b,?【
49、答案】（l)证明见解析（2)证明见解析【分析l-?:-=I,结合等差数列的定义可证结论；(I)根据a,1+1a 2+1 2 I 1 1(2)由(I)知，b=l+(n-l)xl=n,根据勹b II n-1 n【详解】(I)因为a n+I a.2a+2,.1 a a.a II、-=II II II 211+1 2-=+l-=I,211+1 211 211.-2 所以数列尸是首项为l，公差为1的等差数列2(2)由（1)知，b=l+(n-l)xl=n,I I 1 I I I I 所以下=-.，当n;?:2时，下=勹=-b,n2_,ac.,.,.,b,n2(n-l)n n-1 n (n2)放大后裂项求和
50、，可证不等式成立l l l l l l l l l 所以一一+7,O.由b1=l,b3=b2+2,可得矿q-2=0,1-2 因为qO,可得q=2,所以Sn=2-l.1-2 所以b7=a4+2a6=3a1+13d=64，解得dl=10 从a3江24+6d=16 a=-22 a,=IOn-32.(2)因为a,=lOn-32,前n顶和为K=n(-22+10n-32)“=5n2-27n,2 当n:;3时，an0,日斤以兀回la-i|+忆|a,|=-(a1+a2 生）包a”)=-K3+(K,-K3)=K,-2K3=5n2-27n+72 所以兀5n2+27n,（n三3)5n2-27n+72,(n 4)26