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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析8：不等式的综合考查考点透析【考点聚焦】（解、用、证）（两小半大）考 点 1：不等式的性质与重要不等运用考点2：不等式的解法考点3：不等式的应用问题考点4：不等式的综合问题【考题形式】1 小题与集合，函数定义域、值域结合；（1 小是肯定的）2.不等式组与线性规划。3 o大题形式多样与其他知识结合，不会出现单独的不等式题。【问题1】不等式的解法1 .已知 R 为全集，A=x|l o gj.(3-x)2-2 ,B=x|枭 1),CRA A B=(B )(A)-2 x-l (B)-2 x-l 或 x=3(C)-2 Wx T (D)-2 xWl2 .设 a 0,则关
2、于x 的不等式4 2 x2+a x-a 2 x-3 B.5 1一尤 +11、C 0 1C.X+-2 D.log%+-()X 2 2(X2-3X+2)(X-4)2-4.不等式-0的解为(D )x+3A.-1%1 或 x2 2 B.x-3 或 1WXW2C.x=4 或一3 aW 1 或 x2 2 D.44 或 x 3 或 1 W x W 25.（山东卷）设yu）=2/1 2 的解集为l o g3(x-V),x2,(A)(1,2)D(3,+8)(B)(V1 0 ,+8)(C)(1,2)D(7 1 0 ,+8)(D)(1,2)2解：令 2 e*T 2 (x 2),解得 l x 2 (x 2)解得 xe
3、 (V1 0 ,+)选 C【精例 1】已知=乜 +2：1-8 2 0 ,8=4,9-3;(:4 5/2 犬 +1 9b C =x x2-4 a x+3a2 o ,若 A c B 工C,求实数a的取值范围.解：由题意可得，A=小 一 4 或 x2 2 B=x|2x 3 则 A r B=x|2 x 3 ,a 2,而 C=i|(xa)(x3)0,且 ，得。”,2.3tz3【精例 2】解不等式 l o gi(x+l)+l o g2 J l o g 1 2.Q 2 分)-o x-2 2,.,J -l o g2(%+l)-l o g2(6-x)-l o g2 1 2l-log2(x+l)(6-x)0,x3
4、 曲 2 1 I 1L+l0 且 6-x0 l-lx6 l-lx6o -1 x 2或3 x 6.,原不等式的解集为:田1 x 2 北 x 0解：(1 )t=-1 时,f(x)g(x),即为 l g(x+1)0 x+l 0(2)xG 0,l 时，加 恒 成 立，；.xe 0,l W，2 x+f 0 恒成立，x+1 4 (2 x+f)x+1 0；.xe 0 时，t -2x 恒成立，即 xe 0,i时，t -2 x +ylx+l恒成立，于是转化为求2 X +J 7 T T (xcio.l j)的最大值问题.令=J x+1,则 x=i?-l,由 xW 0,l,知 u G l,亚./.2 x+J x +
5、1 =2 (u21)+u=-2(u-)2+4 8当 u=1 时，即 x=0 时,2x+Wx+1 有最大值为1.的取值范围是点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法；而恒成立问题，除了运用分类讨论的方法外，还可采用分离参数的方法.精例6 解关于X的不等式：I log”)IV log4 1+2(0,且 W 1)点拨与提示：用换元法将原不等式化简，注意对a的讨论.解：设l o g“x=r,原不等式化为 I l+2 t I-I t I 2(1)当寸，-l-2 t+t 2,22(2)当 0 时，1 +2 t+t 2,t ，/.02 3 2(3)当 t)0 时,l+2 t-t 2,A t l,J OWt
6、 Vl综上可知：-3 V f 1 时，x a,当 0 a V l 时，ax aa3所 以 当 时，原不等式的解集为 x|-L x 4 ,当 O V q V l 时，原不等式的解集为 x Ia3ax0,用定义证明f(x)在 -1,1 上是增函数；(2)解不等式：f(x+2)m+n 若 能 为 22或+1 对所有x C -1,1 ,a G T,1 恒成立，求实数t 的取值范围，【思路分析】；(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1 ”是点睛之笔；(1)证明：任取 X X 2，且两，%2e 1，1 ，则人勺)一/(X 2)q/(X|)-
7、巧)=X (%X2)Xl-x2；-1 WXI0,又 为 一X 20,X -x2加1)一段2)0，即 危)在 -1，1 上为增函数.解:，加)在 -1,1 上为增函数,-1%+-!2-1 1x-11 1x+0,g(l)2O,解得，W-2 或 r=0或 自 2.的取值范围是：川 2 或片0 或 f 22.点评：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力.它主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问 题(2)、(3)要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.【问题4】线性规划 精 例 10不等式|2 x+y +m l
8、3 表示的平面区域包含点(0,0)和点(-1,1),则m的取值范围 是(A )A.-2 m 3B.Q m 6C.-3 m 6 D.0 m 3【精例11】已知点（3 ,1）和 点（一4,m =0 的两侧，则（B ）A.m 2 4 B.7 m 06)在 直 线 3 x-2y【精 例 12】在约束条件)亚 下，当3 4 x 4 5 时,y-xsy+2x4目标函数z =3 x+2 y 的最大值的变化范围是A.6,1 5 B.7,1 5 C.6,8 D.7,8 精 例 13 已 知 aw(0,2),当 a 为 何 值 时，直线Z,:ax-2y=2a 4与。：2x+a2_ y =2a2+4 及 坐 标轴围
9、成的平面区域的面积最小？(12分)解：:y-2 =-|(x-2)./恒 阴(2,2),4父 轴 分 别 为 B(2一一,0),C(0,2-6r)a2_4/2：y-2 =一一7(%-2)./2恒过工(2,2),交 轴 分 别 为。(6r2+2,0),C(0,2+),a4-=2=a+4=3-y+,.当a=g 时,(SACOD)inin=3.【问题4】不等式的实际应用问题对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.【精 例 13(天津卷)某公司一年购买某种货
10、物400吨，每次都购买X吨，运费为4 万元/次，一年的总存储费用为4 x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=吨.解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买X吨，则需要购买上也次，运费为4 万X元/次，一年的总存储费用为4 x万元，一年的总运费与总存储费用之和为上色 4+4%万元,X-4 +4 x 1 6 0,当 四=4 x 即x=2 0 吨时，一年的总XX运费与总存储费用之和最小。精 例 13某人在一山坡处观看对面山项上的一座铁塔.如图 所 示，塔 及 所 在 的 山 崖 可 视 为 图 中 的 竖 线 0 C,塔高BC 80(米)，山 高 防 220(米)，0A 200(米
11、)，图中所示的山坡可视为直线,且点尸在直线/上，/与水平地面的夹角为a,tana=.试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角N6W最大（不计此人的身2高）？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A（20Q0）,5（0,220）,C（0,300）.直线/的方程为y=（x-20。t a n a,即y=尸；0 0设点P的坐标为（x,y）,则P（x,；）（X 200）由经过两点的直线的斜率公式-2 0 02-300 x-8 0 0 x 2xx 200-220kpBx 640 x 2x2由直线PC到直线PB的角的公式得160tanBPC=kpB-L =_2x_ _ _1 +kPBkPC-)1 x-8
12、00 x-640 x2-28&v+160 x6402x 2x64 6 0 x 6 4 0(x200)-288x要使tan 3PC达到最大，只须x+竺iAH二 x 6上4。一288达到最小.x1 An x 640)-160 x 640由均值不等式x+-288 27160 x 640 一 288.当且仅当尤=时上式XX320 700取等号.故当x=320时tanBPC最大.这时，点P的纵坐标y为y=土上了竺 =60.TT由此实际问题知，0 N B PC J lo g,矶其中为大于2的整数，log,川表示不超过2 3 n 2log2的最大整数.na设数列 a“的各项为正，且满足q =帅 0)M“-_
13、,n=2,3,4,一证明an 2b2+/?flog2 n,n=3,4,5,(I I)试确定一个正整数N,使得当,N时,对任意人0,都有a“L5(I )八 na,_,1 n+a,.1 1解：(I)证法 1：.当 2 20寸,0 ,于 是 有-2不，-a a“T n a2 al 2 4 a2 3 an an_x n1111 1所有不等式两边相加可得-2+3+n由已知不等式知，当n 2 3时有,1 1 1 ri-log,n.an G 2/b,.1 1+lr.log12na,b 2_ 2+/?log2 n 2b*2+用og2 m(U)；2b log2/?10,=n2=1024故取N=1024,可使当n
14、N时，都有a“.【课后训练】一、选择题：1、不等式 x-f x解 集 是()A(0,2)B(2,+8)c(2,4 D(-=,0)U(2,+0)2.函数/(x)=-的定义域为()log2(-x2+4x-3)A.(1,2)U(2,3)B.(-0 0,1)u(3,+o o)C.(1,3)D.1,33、(06上海)若关于x的不等式(1+女2)x W/+4的解集是M,则对任意实常数女，总有()A.2GM,OGM；B.2cM,0M；C.2WM,。任M；D.2CM,OEM.4.若函数/（x）是定义在R上的偶函数，在（-8,0 上是减函数，且/（2）=0,则使得/（幻 0的的取值范围是()A.(-o o,2)
15、B.(2,+o o)C.(-o o,-2)U(2,+)D.(2,2)5、（0 6年江苏）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）(A)a-ba+a a(C)a-b+-2a-b(D)J a +3 yja+1 “+2 yfa6.（重庆卷）不等式组x-2l的 解 集 为（C ）(A)(0,V3)；(B)(A/3,2)；(C)(V3,4)；(D)(2,4)7、若不等式|xa成立的充分条件是0 x l B、a 3 C、a l D、a 3r 18 .集合 A=x-0=,B=xx-ba,若=1”是“AGBW。”的充分条件,x +1则b的取值范围是()A.-2 W b V0 B.0 Vb W
16、 2 C.-3 b -l D.-l b 0）上变化，则无？+2 y的最大值为（）4 bA+4（0 匕4）,+4（0/?2）二、填空题：1 1.（上海卷）三个同学对问题“关于X的 不 等 式 丁+25+|丁5号 内在口，上恒成立，求实数。的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说：“把不等式变形为左边含变量X的函数，右边仅含常数，求函数的最值丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”.参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 .解：由 丁+25 十|1 一 5 一|x,l x a x+|X2-5X|,而Xx+笈 N
17、2 X 笈=1 0,等号当且仅当x=5el,12时成立；且5 x|,等号当且仅XXX当 x=5el,12时成立；所以，a 0 且 a(K c)+A=4-2 则 2K 4 c 的最小值为13、已知点(xo，y)在直线ax+by=O,(a,b 为常数)上，则(王)-4 尸+(y()尸 的最小值为.14 设 a,b GR!,且 a+b=l,则 J2+1 +J2Z?+1 的 最 大 值 是.三、解答题：15、已知函数/)=依+人 的图象与羽y 轴分别相交于点A、B,血=2；+2彳分别 是 与 轴正半轴同方向的单位向量)，函数g(x)=%2%6.(1)求左力的值；(2)当X满足/(x)g(x)时，求函数
18、g)+l的最小值/(尤)16、已知正项数列 a,J满足ai=P(OPl),且。“+=4 求数列的通项an；1 +4(II)求证：幺+”+”+一 +人1.234+117.设/W 是定义在-1,1上的奇函数，g(x)的图象与/W 的图象关于直线4 1 对称，而当x G 2,3 时，g(x)=-x2+4x-4.(1 )求f(x)的 解 析 式；(2)对 于 任 意 的xx2 e 0,1.!x2,求 证：|/(x2)-/(%1)|2|X2-x j;(3)对 于 任 意 的再，了 2 且为。工 2,求证：|/。2)-/(为)|41(14分)18.已知/(x)=k)g(x+l),点 P 是函数y=f(x)
19、图象上任意一点，点 P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数y=g(x)的图象.(1)当 0。l,x 0,l)时，总有母+g(x)2机恒成立，求机的范围.点拨与提示:利用对称性求出g(x)的解析式，加 r)+g 2 加恒成立，即例W 2f(x)+g(x)min.利用重要不等式求出尸=孙)+g(x)的最小值即可.2219.解关于x 的不等式：x|x-a|0)分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数。进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。当解:x N a时，不 等 式 可 转 化 为x a
20、 x a9心-”2/即19 r-9 ax-2a2 04 x-x2 0,解此不等式组可得x的范围.4 x-x2 0 1X33、A.方 法1：代入判断法，将x=2,x=0分别代入不等式中，判断关于左的不等式解集是否为R；方 法 2：求出不等式的解集：(1+22 W F+4 x X(*2+1)+2m i n=2 占一 2d+1 k2+/+1 m，n4.D 提示：.函数/(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0上是减函数，且/(2)=0,.1(-2)=0,在(8,0上/(x)0的x的取值范围是(-2,0,又由对称性 0,+8),.在R上f(x)0,得x的取值范围为(-2,2)5.C 提示：因为|。一人
21、|=|(a-c)-(b-c)归|a -c、|+g-c|,所 以(A)恒成立；在(B)两 侧 同 时 乘 以 得a +1 2/+a =(a4-/)+(1-a)N O=1)-(a-1)20 b时，恒成立，a b时，不成立；2 2(D)中，分子有理化得 广恒成立，故 选(C).Ja +3+Ja +l yla+2+yJa6.C7.B提示：t=|x-1|在 x0,4的最大值为3,故 a23.8.D 提示：由题意得：A：axa+b由a=l是 A C B W 0”的充分条件.则 A：-1 X 1 与 B:b-l x 1+b 交集不为空.所以-2 b 2,检验知:一1 4。V 2-l,故选 C.10.A 提示
22、：设 x=2cos a,y=bsin a，贝 Ij x2+2y=4cos2 a+2bsin a=-4sin2 a+2bsin a+4,2b 2 b2=-2(sin a bsin a-2)=-2(sin a )+4+,2 2.f+2 y的最大值沏4+W 0 4二、填空题：11.解：由?+25+|九 3 5 尤 2|2 ax,l x a x+|X2-5X|,而x工+善2卜 誉 1,等号当且仅当x=5l,12时成立；且|/_ 5 刈“，等号当且仅当 x=5 cl,1 2 时成立；所以，a x+|x2-5 x|m in=1 0,等号当且仅当x=5 w l2 时成立；故“(8/0 ；12 若 a.h,o
23、 O 且 a(a+b+c)+bc=4 2代，所 以。？+。屏 a&生 2 r ,4 2/3=。+cih+ac+he=(4。-+4-cib+4-cic+2bc+2bc)W (4Q +4-cih+4-cic+2bc+h+c)4 4(2 6-2)2 W(2a+Z?+c)2,则(2a+/?+c)2 2 6-2 ,13.yJa2+b2 提示：最 小 值 为 匕 丝”=必寿“c A 抻-2a+l+j2 b +l.l(y/2a+l)2+(y/2b+l)214.2 V2 提木：-g(x),得 X+2X2-X-6,即(x+2)(x-4)0,得-2x 0,则因在”口壬3淇中等号当且仅当x+2=l,即x=-l时 成
24、 立 二跳工工1的最小值是/(x)/(%)-3.16 解：(1)由 己 知 得 an+i an=an111rh -1 I/1、1an+i.-=1,由。=，得 =I-(A Z-1)=an-.-。用册 册 P n+l_iP(2)证明：0 p 0=-：-P H+-1 P&+&+幺+J-L+_L+-L+2 3 4 n+2x1 3 x 2 4 x 3.111111-1-F-F2 2 3 3 4n n+rt+117.解析:由题意知 f(x+l)=g(l-x)=/(x)=g(2-x)当一I M x M O H寸,2M 2 XM 3,/(X)=(2 X)2+4(2-X)-4 =-X2当 0 V x V 1H寸
25、,一1 M x 0 /(x)=x2,由于 f(x)是奇函数二 /(x)=x2一、-x2(-l x0),-/U)=S,x2(0 xl)(2)当X1,%2 E班I W时。为 +工2 2,.-.|/(x2)-/(xI)|=|x22-x)2|=|(x2-X1)(x2 4-X,)|2|X2-x j(3)当司,工2 。1班 工 工2时，为2 l,0X22 l/.-l X22-X 12 log(l-x),V 0 a 0,0=(x+1)2 4 1 xx -i，x -1 x 0-3 x l,且 x(1,0 时恒成立.记1-x“咱Og.C则问题等价于加=(x+l)2(X-1)2-4(X-1)+4而-=-4=(l-x)-4 +jX1 X一X令 1=(1-x),tG(O,l,可证得 H(x)=r +：4在 r e(0,1 上单调递减.H的最小值为H(1)=1,又 a L，F(x)的最小值为0,故机的取值范围为m0