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1、2022年高考数学二轮复习：函数的图象与性质 考情分析j I.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的性质及函数的图象等，主要考查求函数的定义域、求分段函数的函数值或分段函数中求参数问题及函数图象的识别，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.考点一函数的概念与表示【核心提炼】1 .复合函数的定义域(1)若7(x)的定义域为 w,n,则在 0,即 2*1,即 x 0.的定义域为(-8,0).函数“守 中，有解得x l且x W -1.x+1 1 x+lWO,故函 数 喷 D的定义域为(-8,-1
2、)U(-1,1).x2+2 a,xl9答 案(-2,-1)U(O,+o o)解 析 当时，1 一。1,1+。(1 +。)2 +2 ，化简得 6?2+3 +2 0,第1页 共1 4页解得一2 一1,又。0 时，1一1,（1 a）2-2a（1 +），化简得解+2 0,解得。R,又。0,（0,+）,综上，实数。的取值范围是（一2,1）U（0,+）.规律方法 形如 0,故C不 是“H函数”；D中，y=/2x=（x1）21 2一1,其值域不关于原点对称，故D不 是 函 数”.考点二函数的图象【核心提炼）1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
3、2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.第2页 共1 4页例 2(1)(2021德州模拟)函数yu)=：二在 一兀,兀 的图象大致为()cos X I X答 案 c解析.2sin(x)+3(x)2sin x+3x大 )cos(%)+(x)2 cos x+x2fix),.,/)是奇函数，故 A 错误;2sin兀+3兀 3兀故 B,D 错误.解析 要想由y=/(x)的图象得到y=-/(x+l)的图象，需要先将y=/(x)的图象关于x 轴对称得 到 y=-/U)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y=-A x+l)的图象，根据上述步骤可知C 正确.规 律 方 法(
4、1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.求解两个函数图象在给定区间上的交点个数第3页 共1 4页问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察.跟踪演练2（1）（2021太原模拟）函数1 x）=（j q l）sinx的图象大致是（）r2(l+e)-2L 1 +ex1 sin(x)=（言 T）g x）=_U_7+?Jsin x=lT+?-1Jsin x=所以函数7（x）是偶函数，其图象关于y 轴对称，
5、排除C,D；当x=2 时，火2）=（皆 -l）sin 2 fifi)f _ 1=2,故可排除D；X I 1 X1 U I 1 U 1不一 2 1 当x=2 时，火2）0,若=l n,展 尸 叫 在 不=ln g 0,若,W）=In-=ln|0,故可排除 A.-2-1第4页 共1 4页考点三函数的性质【核心提炼】1 .函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有r)是偶函数u贸一x)=/(x)=/(园)：,/(x)是奇函数 /(x)=.(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇函数是偶函数).2 .函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.3 .函数的周期性若函数
6、7(x)满足/(x+a)=/(x 或|x+2 a)=y(x),则函数y=7(x)的周期为2 1 a l.4 .函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数式为满足关系式X a+x)=2%-/(a-x),则函数y=/(x)的图象关于点(a,力对称.(2)若函数 x)满足关系式 0 时，要满足求x 1)0,则五x 1)2 0,得 1WXW3.故满足项 1)2 0 的x的取值范围是-考向2 奇偶性、周期性与对称性第5页 共1 4页例 4 (2 0 2 1 新高考全国H)已知函数兀r)的定义域为R,於+2)为偶函数，2 x+l)为奇函数,则()A./(一)=0 B./(-1)=0C.2)=0 D.1 4)=
7、0答 案 B解析 因为函数y(x+2)为偶函数，则,K 2+x)=/(2-x),可得./(x+3)=/U-x),因为函数次2 x+l)为奇函数，则X I 2 x)=-/(2 x+l),所以式1 x)=-/(x+l),所以兀v+3)=-兀v+1),即x)=/(x+4),故函数式x)是以4为周期的周期函数，又1 1)=0,故式-1)=加5)=/(1)=0,其他三个选项未知.二 级 结 论(1)若y(x+a)=式 x)(或 以 +幻=点，其中式x)W 0,则/(X)的周期为2 1 a l.(2)若y(x)的图象关于直线x=a和x=h对称，则y(x)的周期为2|一 例.(3)若式x)的图象关于点3,0
8、)和直线x=b对称，则火x)的周期为4a-b.跟踪演练3 (1)(2 0 2 1 驻马店质检)已知於)是定义在R 上的奇函数，且满足於+4)=一/)，当 x W 0,2 时，段)=/，则式2 0 2 1)十 4 2 0 2 2)等于()A.-5 B.3 C.3 D.5答 案 A解 析.7U+4)=一 x x),的周期为8,.瓜 2 0 2 1)=X 5)=-A D=-l,次2 0 2 2)=7(6)=-/2)=-4,：.fi2 0 2 1)+7(2 0 2 2)=-5.(2)(2 0 2 0-全国HI)关于函数式x)=si n x+有如下四个命题：/(x)的图象关于y 轴对称；A x)的图象关
9、于原点对称；U)的图象关于直线 尸 制 称；A x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.答 案 解析.7(x)=si n x+前三的定义域为 x|x h t,kQZ,一 尤)=si n(x)+奈si n x si n x 4 )第6页 共1 4页，段)为奇函数，关于原点对称，故错误，正确.V/(T x)=co s x+-,J 2 J co s x/f?+x)=co s x+一 一，八2 )co s x，咯-x)=“+x),.JW 的图象关于直线x=T 对称，故正确.当0)时,於)0,且 3 1 W 1,故 3*1 一1,且 3 工 一 1 w 0,故尸一 1 或)0.故值域为(-8,-l)U
10、(0,+8),不满足题意；工-1-1 2对于 D,=-=1+7,定义域为(-8,1)0(1,+0 0),值域也是(一8,1)U(1,+8).X1 X12.(2 0 2 1 兰州模拟)下列函数中，在(0,+8)上单调递增且图象关于坐标原点对称的是()A.y u)=x+1 B.於)=2，C./(%)=l o g2|x|D.jixyx3答 案 D解析 选项B为非奇非偶函数，选项C 为偶函数，排除B,C,对于A,函数1 x)=x+：在(0,+8)上先减后增，不符合题意，故选D.Kx3),无 2 0,3.(2 0 2 1 赣州模拟)已知函数於)=彳 ,l o g2(x)+1,X 0,故当xe(o,时，危
11、)=3 c：2,排除C,故选口.1 -Y5.(2 0 2 1 全国乙卷)设函数灯)=不，则下列函数中为奇函数的是()A./(x-l)-l B.y(x-l)+lC.y(x+l)l D.逃 x+l)+l答 案 BA_、j _ e、，1-x 乙 1(x-1)2-x,1(x+1)-x解 析 方 法 一 因 为 危 尸 而,所以危1)=不1=丁,/+1)=7 干=壬.2 x 2 2Y对于A,F(x)=/(x 1)1=1=,定义域关于原点对称，但不满足F(x)=-F(x)；2 x 2对于B,G(x)=r 1)+1 =丁 二+1=不 定义域关于原点对称，且满足G(x)=-G(x)；x xx2 2 x H 2
12、对于C,7 U+1)1=*一1=匚 厂=-FT，定义域不关于原点对称；x+2 x+2 x+2 X _r|y I 2 2对于D,1+1)+1=甘+1=产尸=不，定义域不关于原点对称.八x+2 x+2 x+21 Y 2(x 1)2方 法 二,x)=W=+、.=像7,为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=/(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=/(x第8页 共1 4页-1)4-1.6.(2 0 2 1 银川模拟)已知府)是定义在R 上的满足式1+防=犬-1 一x)的函数，且於)的图象关于点(1,0)对称，当x G 0 时，4 x)=2 2，则人0)+贝
13、1)+负2)+人2 0 2 1)的值为()A.-2 B.-1 C.0 D.1答 案 D解 析：式 1 +防=*-l-x)=,Ax)=X-X),又人X)的图象关于点(1,0)对称，.fix+2)=-jx)=/(x)=x+4)=/(x+2)=兀r),二危)的周期为4,由函数解析式及性质易知，/0)=1,4 1)=0,fi2)=-1,。，记 隼?,书P cX2x 0.2，sin 1辱,，的大小关系为()A.ahcB.bacC.cab D.cb0,则 由 皿 m幽0,得 到 r 很)0,化 简 得 等 片,X 2 X 才1 才2令函数 g(x)=，即得 g(X|)g(X 2),则得函数g(x)T在(0
14、,+8)上单递调减,因为./U)是定义在R上的奇函数,所以cIn 3/_ ln 3)_/U n 3)In 3-ln3 因为 0 0.23=3 s i n ll,l=ln e ln 3,即得 0.2 3 s i n lg(s i n l)g(ln 3),即 cb 0 时，y（x）=/2 x+3,则下列结论正确的是（）A.网 尤）|2 2B.当 x 0 时，J（x）=%22x 3c.直线X=1 是 图 象 的 一 条 对 称 轴D.段）在（一8,1）上单调递增答 案 A B D解析 当 x 0,所以#一 x）=（-x +2 x+3 =/（x）,所以火x）=x22%3,122x I-3,x 0,C
15、：作出式外的图象如图所示.X22x 3,x 0,由图象可 知/）6（8,-2 U 2,+8）,所以欧）|2 2,故 A正确；当 x 2/（工则称函数7 U）具有H性质.则下列函数中具有性质的是（）A.於)=(C.人 工）=好（、2 0）B./(x)=l nxD.於)=t a n答 案 A C D解析 若 对 定 义 域 内 任 意 的 X 2（X|W X 2）,有段 1）+负必）?/（2 则点（羽，於 1），（以加 2）连线的中点在点（审，心9）的上方，如图（其中 尸 心 阴，明3）.根据函数/）=（3 ，y（x）=l n x,/）=/。2 0）,y u）=t a n 0 W x 或）的图象可
16、知，函数第1 1页 共1 4页12.（20 21.青岛模拟）定义在R上的函数式x）满 足:x为整数时，犬 尤）=2 0 21；x不为整数时,式 ）=0,则（）A.左）是奇函数B./U）是偶函数C.VxSR,胆 x）=2 0 21D.处0 的最小正周期为1答 案 BC D解析 A 中，对于函数y（x）,有人1）=2 0 21，式-1）=2 0 21,所以y（x）=-/U）不恒成立，则函数7 U）不是奇函数，所以A不正确；B 中，对于函数./U）,若 x为整数,则一X也是整数，则有y（x）=/（-x）=2 0 21,若 x不为整数,则一X也不为整数，则有式x）=/（x）=0,综上可得大-x）=/（
17、x）,所以函数负x）是偶函数，所以 B 正确；C中，若 x为整数，则/（x）=2 0 21,若 x不为整数，则式x）=0,综上，函数y（x）是整数，则 欢 x）=2 0 21,所以C正确；D 中，若 x为整数，则 x+1 也是整数，若 x不为整数，则 x+1 也不是整数，总之有7（x+l）=J l x）,所以函数大外的周期为1,若也是人x）的周期，则 x和 x+川可能一个为整数,另一个不是整数，则有兀v+加），所以函数 x）的最小正周期为1,所以D正确.三、填空题13.（20 21 唐山模拟）有以下两个条件：定义域不是R；偶函 数.写出一个同时满足以上条件的函数7（x）=.答 案 上（答案不唯
18、一）14.（20 21 石嘴山模拟）已知危）满足对Vxd R,式 x）+式一x）=0,且 x2 0时，fix）ex+m（m为常数），则八一I n 5）的值为.答 案 一 4解析 V V x G R,兀v）+（x）=0,；.左）为奇函数，/0）=0,当 x?0 时，_ A x）=e*+,，第1 2页 共1 4页.y(0)=eo+/M=0,解得7=1,：.J(_ ln 5)=-/(ln 5)=-(eln 5-l)=-4.1 5.已知函数人好二厘一屋 sin 2 x,若/(“一2)+y(2a)0,则实数a 的 取 值 范 围 是.答 案 修+8)解 析 7U)的定义域为R,又,*-x)=e -e，+
19、sin 2x=(eAe-vsin 2x)=/x),危)为奇函数，又/U)=ev+e2cos 2 x 2/ev-e-r2cos 2x=22cos 2x20,，函数Hx)在 R 上单调递增，又不等式1 42)+A2a)0可化为人2)一/(-2)=4 -a+2),:.2a。+2,2解得ay实数a 的取值范围是停，+8).1 6.已知定义在R 上的偶函数段)，满足犬x+4)=r)+y(2),且在区间 0,2 上单调递增，则函数7U)的一个周期为4；直线X=-4 是函数y(x)图象的一条对称轴；函数火幻在-6,5)上单调递增，在-5,-4)上单调递减；函数式x)在 0,100 上有25个零点.其 中 正
20、 确 命 题 的 序 号 是.(注：把你认为正确的命题序号都填上)答 案 解 析 令 x=-2,得大-2+4)=/(2)+42),得八-2)=0,由于函数y(x)为偶函数，故人2)=/(一 2)=0,所以负x+4)=x),所以函数式x)是周期为4 的周期函数，故正确；由于函数应。为偶函数，故火-4+x)=_/(4_x)=/(48x)=/(_4_x),所以直线x=-4 是函数图象的一条对称轴，故正确；根据前面的分析，结合函数在区间 0,2 上单调递增，可画出函数的大致图象如图所示.第1 3页 共1 4页Vf由图可知，函数在-6,4 上单调递减，故错误;根据图象可知，fi.2)=/6)=y(1 0)=/9 8)=0,所以式x)在 0,1 0 0 上共有2 5 个零点，故正确，综上所述，正确的命题有.第1 4页 共1 4页