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1、知识点大全函数、基本初等函数的图象与性质1. 高考对函数的三要素， 函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下 .2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容， 对图象的考查主要有两个方面：一是识图， 二是用图， 即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大1 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2 函数的性质(1) 单调性：单调性是函数在其定义域
2、上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、 下结论 复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2) 奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性(3) 周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数满足f(ax) f(x)(a不等于 0)，则其一个周期T|a|. 3 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1) 指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质， 分 0a1 两种情况，着重关
3、注两函数图象中的两种情况的公共性质(2) 幂函数yx的图象和性质，分幂指数0，0且a1，b0 且b1，M0，N0) 提醒： logaMlogaNloga(MN) ，logaMlogaNloga(MN) 5 与周期函数有关的结论(1) 若f(xa) f(xb)(ab) ，则f(x) 是周期函数，其中一个周期是T|ab|. (2) 若f(xa) f(x) ，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T2a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页知识点大全(3) 若f(xa) 1fx或f(xa) 1fx，则f(x) 是周期函数，
4、 其中一个周期是T2a. 提醒：若f(xa) f( xb)(ab) ，则函数f(x)关于直线xab2对称 . 考点一函数及其表示例 1 (1) 若函数yf(x) 的定义域是 0,2，则函数g(x) fxln x的定义域是( ) A0,1 B0,1) C0,1) (1,4 D (0,1) 答案D 解析由函数yf(x) 的定义域是 0,2得， 函数g(x) 有意义的条件为02x2且x0，x1，故x(0,1) (2) 已知函数f(x) log3x，x02x，x0，则f(f(19) 等于( ) A4 B.14C 4 D14答案B 解析因为190，所以f(19) log319 2，故f(2) 2214.
5、 (1) 求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式( 组)即可，函数f(g(x) 的定义域应由不等式ag(x) b解出实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义(2) 求函数值时应注意形如f(g(x) 的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式) 问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解(1) 若函数f(x)2x，x4，fx，x0 时，f(x) exa，若f(x) 在 R上是单调函数，则实数a的最小值是 _答案(1)C ( 2)1 解析(1) 由题意知a0，又 log1
6、2alog2a1 log2a. f(x) 是 R上的偶函数，f(log2a) f( log2a) f(log12a) f(log2a) f(log12a) 2f(1) ，2f(log2a) 2f(1) ，即f(log2a) f(1) 又因f(x) 在 0 ， ) 上递增|log2a| 1，1log2a1，a12，2 ，选 C. (2) 依题意得f(0) 0. 当x0 时，f(x)e0aa1. 若函数f(x) 在 R上是单调函数，则有a10，a 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页知识点大全因此实数a的最小值是 1
7、. 考点三函数的图象例 3 (1)(2013 北京 ) 函数f(x) 的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x) 等于( ) Aex1Bex1Cex1Dex1(2) 形如yb|x| a(a0，b0) 的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”若当a1，b1 时的“囧函数”与函数ylg|x| 图象的交点个数为n，则n_. 答案(1)D (2)4 解析(1) 与yex图象关于y轴对称的函数为yex. 依题意，f(x) 图象向右平移一个单位，得yex的图象f(x) 的图象由yex的图象向左平移一个单位得到f(x) e( x1)ex1. (2) 由
8、题意知，当a1，b 1 时，y1|x| 11x1x0且x，1x 1x0.若|f(x)| ax，则a的取值范围是( ) A( ， 0 B ( ， 1 C 2,1 D 2,0 答案(1)D (2)C (3)D 解析(1) 若点 (m，n) 在函数yxln x的图象上，则nmln m，所以nmln (m) ，可知点 ( m，n) 在函数yxln( x) 的图象上，而点 (m，n) 与点 ( m，n) 关于原点对称，所以函数yxln x与yxln( x) 的图象关于原点对称(2) 方法一由于log2| x|xlog2|x|x，所以函数ylog2|x|x是奇函数，其图象关于原点对称当x0时，对函数求导可
9、知，函数图象先增后减，结合选项知选C. 方法二0 x1时，y1 时，根据ylog2x与yx的变化快慢知x时，y0 且y0. 故选 C. (3) 函数y |f(x)| 的图象如图当a0 时， |f(x)| ax显然成立当a0 时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0 使 ln(x1)ax在x0 上恒成立当a0 时，只需在x0，log12x，xf( a) ，则实数a的取值范围是( ) A( 1,0) (0,1) B ( ， 1)(1，)C( 1,0) (1， ) D ( ， 1)(0,1)(2) 已知a 5log23.4 ，b5log43.6 ，c
10、15log30.3 ，则有( ) AabcB bacCacbD cab答案(1)C (2)C 解析(1) 方法一由题意作出yf(x) 的图象如图显然当a1 或 1af( a) 故选 C. 方法二对a分类讨论：当a0时， log2alog12a，即 log2a0，a1.当alog2( a) ，即 log2( a)0， 1alog33131,0log43.6(15)log30.35log43.6 ，即acb. (1) 指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、 性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力(2) 比较指数函数值
11、、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页知识点大全调性进行比较； 二是采用中间值0 或 1 等进行比较； 三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较(1) 已知f(x) ax，g(x) logax(a0 且a1)，若f(3) g(3)0 ，则f(x) 与g(x) 在同一坐标系内的图象可能是( ) (2)(20 12天津 ) 已知a 21.2，b120.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为( ) AcbaB cabCbacD bc0
12、且a1，所以f(3) a30. 因为f(3)g(3)0 ，所以g(3)0 即 loga30，所以 0a1，则指数函数f(x) ax单调递减，对数函数单调递减，所以答案选C. (2) 利用中间值判断大小b12 0.8 20.821.2a，c2log52 log522log55120.8b，故cb0. 则有( ) Af(0.32)f(20.3)f(log25) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页知识点大全Bf(log25)f(20.3)f(0.32) Cf(log25)f(0.32)f(20.3) Df(0.32)f(
13、log25)f(20.3) 答案A 解析由已知可知f(x) 在( ， 0) 上递增，又f(x) 为奇函数，故f(x) 在(0 ， ) 上递增，0.3220.3log25. f(0.32)f(20.3)0 时，f(x)lg x，则f f1100的值等于( ) A.1lg 2B1lg 2Clg 2 D lg 2 答案D 解析当x0，则f( x) lg( x) 又函数f(x) 为奇函数，f( x) f(x) ，所以当x0 时，f(x) lg( x)所以f1100 lg 1100 2，f f1100f( 2) lg 2. 3已知函数f(x) log2x，x1，xc，xbaB bcaCacbD abc答
14、案D 解析设alog361log3211log23，blog5101log5211log25，clog7141log7211log27，显然abc. 5若函数f(x) x2|xa| b在区间 ( ， 0 上为减函数， 则实数a的取值范围是 ( ) Aa0 Ba0 Ca1 Da1答案A 解析当a0 或者a1 时，显然，在区间( ， 0 上为减函数，从而选A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页知识点大全6 设定义在 2,2 上的偶函数f(x) 在区间 0,2上单调递减，若f(1 m)f(m) ，则实数m的取值范围是
15、( ) A 1，12) B( ， 1 (12，)C( 1，12) D( ， 1)(12，)答案A 解析f(x) 是偶函数，f( x) f(x) f(|x|) ，不等式f(1 m)f(m) ?f(|1 m|)|m| ，21m2，2m2，解得 1m0，可排除选项B；当x2 时，y1，当x4 时，y45，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0， ) 上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项 D.故选 C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页知识点大全8 已知直线ymx与函数f(x) 213x，x0，12x2 1，x0的图
16、象恰好有3 个不同的公共点，则实数m的取值范围是( ) A(3， 4) B(2，)C(2， 5) D(3，22) 答案B 解析作出函数f(x) 213x，x0，12x21，x0的图象，如图所示直线ymx的图象是绕坐标原点旋转的动直线当斜率m0时，直线y mx与函数f(x) 的图象只有一个公共点；当m0 时，直线ymx始终与函数y213x (x0)的图象有一个公共点，故要使直线ymx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线ymx与函数y12x21 (x0)的图象有两个公共点，即方程mx12x21 在x0 时有两个不相等的实数根，即方程x22mx20 的判别式4m2420，解得m2. 故所求实
17、数m的取值范围是(2， ) 二、填空题9 设函数f(x) x(exaex)(xR) 是偶函数，则实数a的值为 _答案1 解析因为f(x) 是偶函数，所以恒有f( x) f(x)，即x(exaex) x(exaex) ，化简得x(exex)(a1)0. 因为上式对任意实数x都成立，所以a 1. 10(2012安徽 ) 若函数f(x) |2xa| 的单调递增区间是3 ， ) ，则a_. 答案6 解析利用函数图象确定单调区间f(x) |2xa| 2xa，xa2，2xa，xa2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页知识点大
18、全作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为a2，a2 3，a 6. 11已知函数f(x) asin xbx35，且f(1) 3，则f( 1) _. 答案7 解析因为f(1) 3，所以f(1) asin 1 b53，即asin 1 b 2. 所以f( 1) asin 1 b5 ( 2) 57. 12已知奇函数f(x) x2 2xx，ax2bxx，给出下列结论：f(f(1) 1；函数yf(x)有三个零点；f(x) 的递增区间是1 ， ) ；直线x1 是函数yf(x) 图象的一条对称轴；函数yf(x1) 2 图象的对称中心是点(1,2) 其中，正确结论的序号是_( 写出所有正确结论的序号) 答案
19、解析因为f(x) 是奇函数，所以x0 时，f( x) x22x，即f(x) x22x. 可求得a 1，b 2. 即f(x) x22x，x0，x22x，x0.f(f(1) f(1) f(1) 1，正确； 易知f(x) 的三个零点是2,0,2 ，正确；当x( ， 1 时，f(x) 也单调递增，错误；由奇函数图象的特点知，题中的函数f(x) 无对称轴，错误；奇函数f(x) 图象关于原点对称，故函数yf(x 1)2 图象的对称中心应是点( 1,2) ，错误故填.13给出下列四个函数：y 2x；y log2x；yx2；yx. 当 0 x1x2fx1fx22恒成立的函数的序号是_答案解析由题意知满足条件的
20、图象形状为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页知识点大全故符合图象形状的函数为ylog2x，yx. 14已知定义在R 上的偶函数满足：f(x4) f(x) f(2) ，且当x0,2 时，yf(x) 单调递减，给出以下四个命题：f(2) 0；x 4 为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x) m在 6， 2 上的两根为x1，x2，则x1x2 8. 则所有正确命题的序号为_答案解析令x 2，得f(2) f( 2) f(2) ，又函数f(x) 是偶函数，故f(2) 0；根据可得f(x4) f(x) ，可得函数f(x) 的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x 4 也是函数yf(x) 图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在8,10上单调递减，不正确；由于函数f(x) 的图象关于直线x 4 对称，故如果方程f(x) m在区间 6， 2 上的两根为x1，x2，则x1x22 4，即x1x28. 故正确命题的序号为.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页