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1、高考模拟测试数学试题（满分：150分 考试时间：120分钟）第 I 卷（选择题，共 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知复数z =s i n q +i c o s。，则 目=（）A.4 B.3 C.2 D.12.已知全集为R,集合A =x|2x 0 ;命题q：若 ab,则一 6B.k lC.k SD.k 97 若a2b=eL c=log3 e,则()A.a b cB.b a cC.a c b8.已知函数x)=sin|s +27r（0 0）在-肛 句 上的图象如图所示,D.c a b则/（x）的最小正周期
2、是（）31A.274C.644B.3n 2%D.39.直线X+y+2=0分别与X轴、y轴交于A,8两点，点P在圆（x 22=2上运动，则八旬卯面积的最小值为（）A.6B.4C.2D.4-2 应1 0.如图，AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB 1.C D,若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥A BCO的体积为4百，则该圆柱的侧面积为（）C.1 2 乃D.14 万1 1 .已知双曲线/一 2=i左、右焦点分别为耳，0，点 A 在 双 曲 线 上 且 丽 丽=0,若 46用的内 切 圆 的 半 径 为()A.6-近B.6 +0C.V3+1D.73-11 2 .已知函数/(x)=l n x,g
3、(x)=x-s i n x,若存在x ，c l,司(x1Hx 使得|/(x J_/(X 2)|=/(x)图象关于直线x =l 对称，且“x+l)+/(x)=0,若 1)=-1,则7(2 0 2 2)=_ _ _ _ _ _.1 6.已知正方形A B C O 的边长为2,A 8 中点为E,现将AA)与 B E C 分别沿E D,EC 向上翻折，使 A,8重合于O 点，则三棱锥O D K C等外接球的表面积S=三、解答题：本大题共6个小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.在 AASC1 中，角 4,B,C 的对边分别为小 6，c 且 6 c o s A s i n
4、 C +a s i n B c o s C =/.2(1)求角B的大小；(2)若AABC为锐角三角形，h=3,求 a+c的取值范围.1 8 .为了响应国家节电号召，某小区欲对全体住户进行节电设施改造.在大规模改造前，为预估改造效果，现在该小区中抽取了 1 0 0 户进行改造，并统计出了这1 0 0 户在改造前后的月均用电量(单位：度)，得到的频数分布表如下：改造前这1 0 0 户月均用电量频数分布表月均用电量25,75)75,125)125,175)175,225)225,275)275,325)频数1 21 83 02 21 26改造后这1 0 0 户月均用电量频数分布表月均用电量25,75
5、)75,125)125,175)175,225)225,275)频数1 22 44 01 6825 75 125 175 225 275 月用电量/度频率/组距0.0080-0.0072-0.0064-0.0056-0.0048-0.0040-0.0032-0.0024-0.0016-0.0008-(1)补全改造后这1 0 0 户的月均用电量的频率分布直方图；(2)利用以上数据估计该小区在改造完成后，月均用电量低于1 5 0 度的概率；(3)该小区现有2 0 0 0 户，若全部改造完成后，估计一个月能节约多少度电？(同一组的数据以这组数据所在区间的中点的值作代表)1 9.已知底面为菱形 四棱锥
6、P A5CD 中，R 4 D 是等边三角形，平面B 4 T _ L平面A B C。，E,尸分别是棱PC,A B 上的点.(1)从下面中选取两个作为条件，证明另一个成立；F是 A8的中点；E 是 P C的中点；BE 平面P F D (只需选择一种组合进行解答即可)(2)若 =2，Z Z M B =6 0,P E =EC,求三棱锥P 的体积.2 0 .已知直线/的抛物线C：/=4y交于A,8两点，M 是线段AB的中点.(1)若直线A B的斜率为1,求点M 的横坐标；(2)若|A B|=8,求点M 纵坐标的最小值.2 1 .已 知 函 数=w R).(1)若/(x)存在唯一极值点，且极值为0,求。的
7、值；讨论函数/(x)在区间 l,e 上的零点个数.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用 25铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为x=2 c o s 0 一 ；(。为参数)直线/的极坐标方程为0CO S。一 0s i n 6+君=().y=s m 6(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；己 知 加 卜 6,0),直线/与曲线C 交于A,8两点，求 向 +向的值.选修4-5：不等式选讲23.已知a,b,c 都是正数
8、.(1)证明：a+b+c y/ab+/bc+/ac；1113(2)若。+。+。=3,证明：-+-+-a+b h+c c-a 2答案与解析第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=s i n(+i c o s(,则 忖=()A.4 B.3 C.2 D.1 答案D 解析 分析 根据向量模的计算公式计算可得；详解 解：因为 z=s i n t +i c o s?,所以|z|=J s i i?g+c o s?=1故选：D2.已知全集为R,集合A =x|-2 x l ,集合8 =同 一/+0；命题q
9、：若a b,则,0;因为A =1 -4=3 b,则一 6 B.k l C.k s D.k 9 答案 C 解析 分析 根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据程序运行结果为2 8,即可得出正确答案.详解 根据程序框图，运行程序：sk“是”或“否”11 0是1 19是2 08是2 87否故选：C217 若 a =（G）3,匕=涓，。=1 吗0,则（）A.a h cB.h a cC.a c bD.c a h 答案A 解析 分析 根据基函数及对数函数的性质判断即可;详解 解：因为（g,=（6,=3；，）=）在（0,+“）上单调递增，所 以3：.=1，所以a b ；因为0 =l og3 1 l og3 e
10、l og3 3 =l,即0。b c；故选：A8.已知函数4x）=si n Mx+g 3 0）在 一匹句上的图象如图所示，则/（力 的最小正周期是（）3万A.27万C.64 7 rB.32万D.3 答案B 解析3 9 分析 结合已知条件和图像，求出口=k,k e Z,然后再利用图像求出最小正周期的范围，进而求2 2出口的范围，从而求出口，然后利用周期公式求解即可.4 7 r 4 7 r 2 7 r 4 7 r 详解 由图像可知，/(-)=s in(-+-)=0,且/(X)的图像在 =I处具有上升趋势,9 9 3 94 7 r 2 万 3 9从而-o)-=215,ZwZ,即。=-k f k JZ,
11、9 3 2 2又由图像可知,1 T 4、T -g-(一 万)T/4万、,1 8 9 _ 3 T 7T ()，协以 6 9 1X2V2XV 2=2,故选：C.1 0.如图，A B,C。分别是圆柱上、下底面圆幽直径，且4?_LC。，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥A 3CZ）的体积为4石，则该圆柱的侧面积为（）A.94 答案CB.10万C.12万D.14 解析 分析 分别取上下底面的圆心为、F,连接EC、E D、E F,可得AB，平面ECD，设圆柱上底面圆的半径为明三棱锥4一3 8的体积为丫=；5/,。46=4 6,求出，由圆柱的侧面积公式可得答案.详解分别取上下底面的圆心为、F,连接EC、E D
12、、耳1，则EFLCD,因为 AC=CB、B D=A D,所以 CE_LAB、E D =A B,且 C E c E D =E,所以AB _L平面E C D,设圆柱上底面圆的半径为a,则A3=8=2a,三棱锥 A-BCD 的体积为 V=-SiCDAB=-x x 2ax2x 2a=4/3,解得a=6,该圆柱的侧面积为27rax2a=12乃，故选：C.11.已知双曲线V V=i的左、右焦点分别为耳，尸2,点4在 双 曲 线 上 且 丽 玄 =0,若鸟的内 切 圆 的 半 径 为()A.V 3-V 2 B.6 +0C.6 +1 D.7 3-1 答案 A 解析 分析 利用双曲线定义知|A4|一 1|=2,
13、再利用垂直关系知|Af；+1 A F?5=&,再 结 合 百用的等面积法即可求解.详解 由点A在双曲线上，由双曲线定义知|然|一|A5|=2a=2,又 福.正=(),.AKAB，A F +A F2|2=(2C)2=8：.(AFl-AF2=S-2 A Ft-AF21=4,即 21Azi-|Af；1=4.,.(IM I+|A g|)2=8+2|A G|A E I=12,.|A6|+|A g|=2G设耳心的内切圆的半径为r,由 4 4 耳心幽等面积法知 A Ft-A F2|=|(|A f；|+|A|+2 c)-r.I A K H 4 K I 2 1 =万 Q A F,+A F2+2C 2 百+2 后
14、 G +夜即6的内切圆的半径为J J 正，故选：A1 2.已知函数/(x)=l nx,g(x)=x-s inx,若存在西，%1,司(工9)使得|/(x J _/(X 2)|，根据“X),g(尤)的单调性，将不等式等价于/(x J /(X 2)H g(x J-g(X 2)，即/(石)一依&)、(二、=，令 网x)=x(l-c o s x),求出导函数，分析其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，由此可求得实数上的范围.详解 解：X|W w l,乃(王。W)，不妨设司%2，因为g(x)=l-c o s x 0,所以g(x)=x s i n尤在 1,4 上单调递增，所以g(x j g(w),又/
15、(x)=l n x在(),+8)上单调递增，所以 为)()，所以不等式|/(内)-/(%2)|唯(占)-8(X 2)|等价于/(5)-/(%2)人口(3)-8(&)，即/(石)一 侬(石)，所以需(x)=/(x)-依(X)在 1,可 上单调递减，X (x)=l n x-(x-s i n x),所以在 1,句上,需(x)=4(1 一c o s x)0,所以 F(x)=x(l-c o s x)在 1,可 上单调递增,所以 0 1-c o s 1=F(l)F(x),E C向上翻折，使A,B重合于。点，则三棱锥ODEC等外接球的表面积S =.林19 19万 答案 二-%#3 3 解析 分析 依 题 意
16、 可 得 平 面。O C，即可求出AOC。的外接圆的半径，再设三棱锥。一。EC外接球的半径为R,则(2R)2=OE 2+(2)2,即可求出4H2,即可得到外接球的表面积；详解 解：依题意 O_ L OC,E O 1 O D,ODOC O,O。,O Cu平面Q O C,所以Q E _ L平面。OC,又O C =O D=C D =2、OE=LAB=1,所以 OC O的外接圆的半径r=2 二7 =2 6，设三棱锥2 3 3。DEC的外接球的半径为R,则(2/?y=O 2+(2r)2,所以4H?=+手=,所以三棱锥。一。EC等外接球的表面积S=4IR2=7319故答案为：713三、解答题：本大题共6个
17、小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在 AABC中，角 4,B,C的对边分别为“，b,c且b c o s As i n C +a s i n 8c o s c =3/?.2(1)求角8的大小；(2)若AABC为锐角三角形，b=3,求a+c的取值范围.答案(1)8=或$；(2)(373,61解析 分析(1)由正弦定理将边化角，即可求出c o s B以及B的值；利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换得到a +c =6s i n(A+),再根据正弦函数的性质求出a+c6的取值范围.小 问1详解解：在ABC中，由/?c o s As i n C +a s i n 3
18、c o s c =-，2利用正弦定理可得s i n Bc o s As i n C +s i n As i n Bc o s C =-s i n B，2G因为s i n BwO,所以c o s As i n C +s i n Ac o s C =s i n(A+C)=s i n B=E ,又8(0,),所以8=工 或 营；3 3 小问2详解71解：若AABC为锐角三角形，由(1)知 8 =，且 8=3,3-=，=上=亘=2 6由正弦定理得s i n A s i n C sin B 6，T所以。+c =26(s i n A+s i n C)；因为A +C =-,3所以 a +c =2 G s i
19、 n A+s i n(-A)=2 G x(s i n A+c o s A)=6s i n(A+),3 2 2 67t 7C又 ABC 为锐角三角形，则0A 一,且 0Cv ,22n 2 万 ,.n .7r _兀.兀 2 万又 C =一-A,则一 A 一,所以一A +-；3 6 2 3 6 3所以 ，=，=三种情况讨论，根据线面平行的判定定理及性质定理证明即可;(2)取AO的中点G,连接PG，根据面面垂直的性质得到PG，平面ABC。，再根据P-BDE V/S-P D E =万 B-PDC=P-BCD 计算可得；小 问1详解解：=，因为尸是A6的中点，E是PC的中点，取 尸。的中点M,连接A/E，
20、MF网ME/CD,且又四边形ABC。为菱形，所以3F7/OC且5/=D C,所以BF/EM且BF=EM，所2 2以 四 边 形 尸 为 平 行 四 边 形，所以BE/FM,BE Z平面PDF,f M u平面PD尸，所以BE平面PDF；(2)=，取PD的中点M,连接ME、M F,因为E是PC的中点，所以ME/CD,ELME=-CD,2又 BF/CD,所以 BF/ME,因为 BE/平面 PDF，平面 BEMF Q 平面 PDF=MR，BE u 平面 BEMF,所以BE/MF,所以四边形3EMR为平行四边形，所以BF=ME，即3尸=,。，所以F是AB的中2点；(3)=，取。C的中点N,连接NB、N
21、E,因为F是 的 中 点，所以BF/DN且BF=DN,所以3N。/7为平行四边形，所以BN/D F,因为8NU平面P尸，D F u平面PDF，所以8N 平面P D F,又BE平面PDF，BECBN=B,BE,BN u平面B E N,所以平面PDF平面BEN,因为平面BENCl平面PCD=E N,平面尸E万0平面尸CD=P。，所以EN/PD,所以E是尸C的中点;小问2详解解：取A O的中点G ,连接尸G ,因为 AP O为等边三角形，所以PGL A O,又平面P A D_ L平面A B C D，平面 P 4 n平面 A 8 C D =A。，所以 P G _ L平面 A BCD,又 A B =B
22、C =C D=A D =P A =P D =2,所以 P G =2 xs i n 6 0 =JL 又 L e=；x2 x2 xs i n 6 0 =6,因为 E是 P C 的中点，所以Vp_BDE=VH-PI)E=y VH-PDC=匕-BCD=g x(x 百X 百=g2 0.已知直线/的抛物线C:Y =4 y交于A,2两点，M是线段A 8的中点.(1)若直线4 B的斜率为1,求点M的横坐标；若|A却=8,求点M纵坐标的最小值.答案 2 (2)3 解析 分析 设4(和x)，3(士,%)，代入抛物线的方程中作差可得答案(2)设直线A B的方程为y =H+r,与抛物线的方程联立，根据弦长公式求得r4
23、_/_左4-1+1，再由中点坐标公式和基本不等式可求得答案.小 问 1 详解解：设3(孙 必)，贝 卜2工=?,所以(3-9)(%+%2)=45-%)，即$+=4?言x2=y2一人2又直线A B的斜率为1,所以西+%2=4 x l=4,所以线段A B的中点M的横坐标为2；小问2详解解：设直线A B的方程为y =,+f,与抛物线C:/、=4y联 立 整 理 得 4-4 f =0,则,x,+x一7 =4kx1x2=-A t所以 I=，+L2 Ja+x j-x/=J l +1-J 1 6 俨+1),又|AB|=8 ,所以 7 1 +A:2-J 1 6(公+。=8 ,整理得(1 +公+。=4,解得,=
24、一 公=公；1 +攵 1+Z/、4-2 6 4 4+廿+4设线段A 8的中点M的坐标为(小,%)，则/=2左，所以贝,=h(2%)+仁 2 公+人 J=二=公+工=(1+女 2)+3_122、(1+%2).3 1 =3,当且仅当1+女 2=/下，即 公=1 时取等号,1+k2 )+k2 V 1 l+k2 l+k2所以点M纵坐标的最小值为3.2 1.已知函数/(x)=l n x-g a r 2(a w R).(1)若/(x)存在唯一极值点，且极值为0,求。的值；(2)讨论函数/(力 在区间 l,e 上的零点个数.,1 答案(1)。=一e(2)当a 4 0 或a ,时，/(X)在 l,e 上无零点
25、；e2当0 a0两种情况讨论了(X)的单调性，然后可得答案；(2)分类讨论/(x)在区间 l,e 上的单调性，每种情况下结合/(x)的函数值的符号判断其零点个数.小 问1详解由已知，可得尸(无)=1一 旧1(%0).则当x e(0,+oo)时，/(力 0,“X)在(0,+“)上单调递增此时/(X)不存在极值点，不符合题意；当。0时，贝岫r(x)=0得x =，口 或x (舍).V a N a.当时，.f(x)0,函数/(x)单调递增；当调递减；/(X)存在唯一极大值点x=e.1 ”1 (“丫 1 .1 c 狼殂 _ 1(Va J Y a 2 3al 2 2 e 小问2详解 当a vo时，r(x)
26、0在 l,e上恒成立，.,(X)在 l,e上单调递增/(l)=l nl-g a =-；a 0,/(e)=l ne-g a e2=1 J a e?0,由零点存在性定理知函数/(x)在区间 l,e上无零点.(2)当0 a时，、口/，由 知/(x)在 l,e上单调递增，e V c iV/(l)=-1 0,由零点存在性定理知函数/(x)在区间 i,4上有一个零点.当/1时，知/(x)在 1,上单增，在当 A a 义 时，：0 e e 2 1 v 1 2 2、时，r(x)0,由零点存性定理知函数/(X)在区间 l,e上有一个零点.当时，,*/(1)=-0,/(e)=l-a e2 0,e e 2 I y
27、a J 2 2 2由零点存在性定理知函数/(x)在区间 l,e上有两个零点.当 1。时，=/J-=-l n6/-0,/(e)=l-a e2 0,e 2 2由零点存在性定理知函数/(x)在区间 l,e上没有零点.(4)当媳2 1时，?八由(1)知/(x)在 l,e上单调递减，由零点存在性定理知函数/(x)在区间 l,e上没有零点.综上，当或时，/(x)在 l,e上无零点；e2当0 a为参数)，y-s i n 6*r2所以曲线C的普通方程为三+V =1,4 -因为直线/的极坐标方程为夕cos 6-x?s i ne+6=0,所以直线/的直角坐标方程为x y +J 3 =小问2详解因为点“卜6,0)在
28、直线/上，x-A/3+/所以直线/的参数方程为 广2母,y 二2t代 入!+y 2=l中，得(曰”6 +45一2 诟-2=0，rr KI 2/6 2所以 f +I 2=,=.-斫 以1 +1 -1 +1 团+用 所以阿+|阿/口旧一/+/2)24串20.（/为参数），J t J=4 ,12 Tl ik i l_ I 2 5 _ 5 _4 2 5选修4-5：不等式选讲23.已知a,h,c都是正数.(1)证明：a+b+cab+s/bc+4ac;1113(2)若a+力+c =3,证明：-+-1-.a+b b+c c+a 2 答案(1)具体见解析：(2)具体见解析.解析 分析 将左边化为a +8 +c
29、 =；(a +他+c)+(a +c),进而利用基本不等式证明问题;根据条件得到(a+8)+仅+c)+(c+a)=6,进而左边化为1 (a +Z7)+(+c)+(c +a)(a +Z?)+(Z?+c)+(c +a)(a +)+(Z?+c)+(c +a)+6-a+b-b+c-c+a,进一步得到1 (b+c a+b c+a a+b c +a 0 +一 一，一 心，、=-3 +-+-+-+-+,然后用基本不等式证明问题.6 a+b b+c a+b c+a b+c c+a)小问1详解因为己知m b,。都是正数，所以，左边=g(。+3 +9+c)+(+c)之 (2/ab+2fbc+2ac=-fab+bc+
30、Jac,当且仅当 a =/?=c时取即 a +c 2 y/ah+bc+/ac 成立.小问2详解因为已知a,b,c都是正数，a +c =3,所以(Q+b)+(b +c)+(c +a)=6 ,则左边=!(a +)+(Z?+c)+(c +a)(a +/7)+(Z?+c)+(c +Q)(a +/?)+(Z?+c)+(c +a)a+b b+c C+Q1 (b+c a+b c +a a+b c +a b+c=-3 +-+-+-+-+-+-6 v a+b b+c a+b c+a b+c c +。1 c Ib+c a+b-lc-kaa+b-Ic+a Z 7 +c )3-3 +2 J-x-+2 j-x-+2 j-x-=-6(V a+b b+c v a+h c+a b+c c+aJ 2即 一+一+一z 3成立.a+h h+c c+a 2b+c _ a+ha+h h+cc+a a+b当且仅当，-=-=a=。=c=1 时取a+b c+ac+a _ b+cb+c c+a