安庆大学实变函数期末考试试卷.pdf

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1、安庆大学实变函数期末考试试卷一.选择题1 .设。是R中有理数的全体，则在R中。的导集。是()(A)Q(B)。(C)R(D)R-Q2 .设优 是一列闭集，尸=自工，则/一定是()二1(A)开集(B)闭集(C)G,型集(D)匕型集3.设E是R中有理数全体，则加E=()(A)0(B)l (C)+8(D)-84 .下面哪些集合的并组成整个集合的点()(A)内点，界点，聚点(B)内点，界点，孤立点(C)孤立点，界点，外点(D)孤立点，聚点，外点5 .设尸是Ca n to r集，则()(A)P与R 对等，且P的测度为0(B)P与R 对等，且P的测度为1(0 尸与R 不对等，尸的测度为0(D)p 与R 不对

2、等，尸的测度为16 .设/(x)与g(x)在E上可测，则是()(A)可测集(B)不可测集(C)空集(D)无法判定7 .设/(x)在可测集E上有定义，0,存在开集GnE,使加(G-E)9.设/(x)=sin 0,1 1(2l +2 x,x e 0,l -(2则 上 仍 心=()(A)1 (B)2 (C)3(D)41 0.设 九 是E上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意 0,有下面条件成立，贝 U /“(x)依测度收敛于f(x).()(A)J im w E|j/,1(x)-/(x)|c r 0(B)J im mEfn(x)-f(x)c r 0(C)J im mEfn(x)-f(x)=c r =0

3、二、定理叙述题1 .鲁津定理2 .F a to u 引理三、判断改正题1 .若E与它的真子集对等，则E一定是有限集.()2 .凡非负可测函数都是L 可积的.()3.设A 为“空间中一非空集，若 不 则 又 以 ()4 .设E为可测集，则存在G j 型集F,使得夕u E,且?(E-E)=0.()5 ./(x)在卜力 上L可积，则/(x)在a,司/?可积且1/(x)d x =(R)f/(x)d x ()四、证明题1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集.2.R上全体有理数点集的外测度为零.3.设函数列$在E上依测度收敛了 ,且力于E,则/于E.4.设/(x)在上可积，贝 i邛 j/(

4、x +f)-/(x)|Jx=O .一.单项选择题1、1、下列各式正确的是()_ 00 00 00 00(A)nlimc oA,t=u n A ;(B)l im A=n u A.;n=k=n/T O O?:=1 k=n_ CO 00 CO 00(C)l im A,=c u A ;(D)l im A =n n A.;“T 8 =1 k=n n=k=n2、设 P 为 Ca n to r集，则下列各式不成立的是()(A)P=c (B)mP=Q(C)P=P(D)P=P3、下列说法不正确的是()(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(0 开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设

5、 力(必是E上的a e 有限的可测函数列，则下面不成立的是()(A)若力(x)n/(x),则/“(x)-/(x)(B)sup(x)是可测函数n(C)呼 力(x)是可测函数；(D)若力(x)n/(x),则/(X)可测5、设 f(x)是他,加上有界变差函数，则下面不成立的是()(A)/(x)在 a,句上有界(B)“X)在他,加上儿乎处处存在导数(C)/(X)在 a,切上 L 可 积(D)/(x)dx=f(b)-f(a)二.填空题1、(CsA u CsB)n(A-(A-B)=2、设 是 0,1 上有理点全体，则/=,=,=.3、设E是R 中点集，如果对任一点集T都有，则称E是L 可测的4、/(x)可

6、测的 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为 a,可 上 的 有 限 函 数，如 果 对 于 a,句 的 一 切 分 划，使_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,则称/(X)为 可 上 的 有 界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.1、设E u*,若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若石=0,则E 一定是可数集.3、若(x)l是可测

7、函数,则/(x)必是可测函数。4.设/(x)在可测集 E 上可积分，V x eE,/(x)0,Wlj/(x)0四、解答题1、设光)=，则在 0上是否R-可积，是否乙-可积，若可积，求出积分Lx为有理数值。2 求 lim 皿 理-、cosxdxn J)n五、证明题1、证明 0上的全体无理数作成的集其势为c.2、设/(x)是(-8,+8)上的实值连续函数，则 对 于 任 意 常 数=是闭集。3、在 a,可上的任一有界变差函数/(x)都可以表示为两个增函数之差。4、设mE n),H lJ linmn-men=0.5、设/(x)是E 上a e 有限的函数，若对任意b 0,存在闭子集月u E,使/(x)

8、在工上连续，且m(E-F QO2、设 P 为 C a n t o r 集，则 P=,mP-,P=3、设 S,是一列可测集，则“M S,4、鲁津定理：_5、设F(x)为 凡句上的有限函数，如果 则称F(x)为,可上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.1、由于 0,1 -(0,1)=0,1,故不存在使(0,1)和 0,1 之间1-1对应的映射。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、ae收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题1、设=F，则/(x)在 0上是否R-可积，是否乙-可积，若可积，求出积分值。l,x为有理数

9、2、求极限 l i m :,s i n)nxdx.“T e e%1 +X五.证明题1.设f(x)是(-8,+8)上的实值连续函数，则对任意常数C,E=x(x)c 是一开集.2.设0,m开集G n E,使机*(G E)0,必 存 在 E上 的 连 续 函 数 0(X),使一、单项选择题1、设4=己,2 +(=，则()n(A)l i m A,=0,1 M00(B)l i m A,=(0,1 一 8(C)国 4=(0,3 H00(D)由 4,=(0,3)HOC2、设E是0,1 上有理点全体,则下列各式不成立的是()(A)E=0,1 (B)E=0(C)云=0,1 (D)mE=3、下列说法不正确的是()

10、(A)若AuB,则(B)有限个或可数个零测度集之和集仍为 零 测 度 集(C)可测集的任何子集都可测(D)凡开集、闭集皆可测4、设 回 是一列可测集，Ex z E2 z -z E,z ,且加E +8,则 有()(A)m c =l i m m (B)I n=l)Toom l En J l i m mEnn-xc(C)m nEn f(x)单项选择题1 .设 P 为C a n to r 集，则(A)No (B)mP=1 (C)P=P(D)P=P2.下列说法不正确的是()(A)4 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则q是E 的聚点(B)4 的任一领域内至少有一个E 中异于综的点，则匕是E 的聚点(C)

11、存在E 中点列 2 ,使匕-玲，则凡是E 的聚点(D)内点必是聚点3 .设/(x)在E 上L 可积，则下面不成立的是()(A)/(x)在E 上可测(B)/(x)在E 上 a.e.有限(C)/(x)在E 上有界|/(刈在E 上L 可积4.设 “是一列可测集，EiE2三三E三，则 有()。(A)m I u E|l i mmE(B)m u|=XimmEnyn=j 8 J(C)f n =l i mmE;(D)以上都不对I n=l J nfg5.设/(x)为 凡例上的有界变差函数,则下面不成立的是()(A)/在&切上L 可积(B)在他，切上R 可积(0 7 。)在口向上心可积(D)/(x)在他,切上绝对

12、连续二.填空题1、设 A“=2 ,=1,2,.-，则 A“=oH f t n oo02、设 匚/?,若后匕瓦则E 是 集；若E uE,则E 是 集；若E=E,则E 是集.3、设 图 是一列可测集，则 心 S,1 g m S,4、鲁津定理：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _5、设/(x)为 a,目上的有限函数，如果对于 a,句 的 一切划分，使,则称“X)为 a,可上的有界变差函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明

13、之;若不成立,则说明原因或举出反例.1、A 为可数集，B 为至多可数集，则A u B 是可数集.2、若mE=0,则加左=0.3、若(x)l 是可测函数，则/(x)必是可测函数4.设/(x)在可测集E 上可积分，若V x w E,/(x)0,则 f/(x)0JE四.解答题1、设，则/(x)在 0 上是否R-可积，是 否)可积，若可积，求出积分1/为有理数值。2、求 lim f ln（x+）eT cosxdxA *）五.证明题1、设/(X)是(-8,+8)上的实值连续函数，则对于任意常数a,E=x(x)N a 是闭集。2.设 0 J 开集G n E,使m*(G E)，则 E 是可测集。3.设/“(

14、X)为E上可积函数列，lim/“(x)=/(x)a.e.于E，旦，k 为常数，则/(x)在E上可积.4.设函数列/“(x)(=1,2,)在有界集E 上“基本上”一致收敛于/(x),证明：力(x)ae收敛于/*).5.试用F a to u 引理证明Lev i 定理.一、填空题1.设4=一,2,“=1,2，则l i m A“=-n J *82.(a,b)S，+8),因为存在两个集合之间的一一映射为c o s,1 w 03.设 是 心 中 函 数y=的图形上的点所组成的 集合，则0,x =0.OE，=,E=.4.若集合E uR 满足E uE,则E为 集.5.若(a,4)是直线上开集G的一个构成区间，

15、贝满足：,-6.设E使闭区间 a,可中的全体无理数集，则加 =.7 .若 机 /。)/4/(%)=。，则说 力(x)在E上8.设E u僧，/e R ,若，则 称/是E的聚点.9.设 0,有则称 力（）在E上依测度收敛于/（X）.1 0.设 力（%）n/（x）,x w E ,则 三 力（必 的 子 列 九 ,使得二 判断题.正确的证明，错误的举反例.1.若 4 5 可测，AuB 且 则m2.设E为点集，尸史E,则。是 的外点.3.点集 二12,，的闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若EuR,满足加Z=+o o,则E为无限集合.三、计算证明题1,证明:A_（5_C）=（A_5）U（An C）2.设M是K空间中以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的球的全体，证明M为可数集.3.设E u H、E u瓦且与为可测集，i=l,2.根据题意,若有(/-oo),证明 E 是可测集.ln(l+x)4.设 P 是 Cantor 集，八 )=2%，xe Px e0,l-P,315.设函数/(%)在Cantor集此中点x上取值为Y,而在外的余集中长为三的1构成区间上取值为数,(=1,2)，求f(x)dx6.求极限:lim(R)-sin3 nxdx”-8 Jo l+nzx