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1、实变函数一、 判断题（每题 2 分，共 20 分）1. 若 A是 B 的真子集，则必有BA。（）2. 必有比a小的基数。（）3. 一个点不是 E 的聚点必不是 E 的内点。（）4. 无限个开集的交必是开集。（）5. 若E，则0*Em。（）6. 任何集nRE都有外测度。（）7. 两集合的基数相等，则它们的外测度相等。（）8. 可测集的所有子集都可测。（）9. 若)(xf在可测集 E上可测，则)(xf在 E的任意子集上也可测。（）10.)(xf在 E上可积必积分存在。（）1. 设 E 为点集，EP，则 P是 E的外点 . （ ）2. 不可数个闭集的交集仍是闭集. （ ）3.设nE是 一列 可测集
2、,且1,1,2,nnEEn则1()lim().nnnnmEm E（）4. 单调集列一定收敛 . （）5. 若( )f x在 E 上可测 , 则存在F型集,()0FE m EF,( )f x在 F上连续 . （ ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页二、填空题（每空2 分，共 20 分）1. 设 B 是1R 中无理数集，则Bc。2. 设1,1,31,21, 1RnA， 则0A，A0。3. 设,2, 1 , 0),11,11(nnnAn，则nnA0)1 , 1(，nnA10。4. 有界变差函数的不连续点构成的点集是至多可列
3、集。5. 设 E 是 1 ,0上的 Cantor 集，则 mE0。6. 设A是闭集，B是开集，则BA是闭集。7. 闭区间,ba上的有界函数)(xfRimann可积的充要条件是)(xf是,ba上的几乎处处的连续函数。8. Rimann函数是Rimann可积也是Lebesgue可积的。三、计算题（每题10 分，共 20 分）1. 计算dxnxxnnxRn1032221sin1)(lim。 （提示：使用 Lebesgue 控制收敛定理）解：设nxxnnxxfn32221sin1)(),2 ,1(n，则（1）因)(xfn在 1 ,0上连续，所以是可测的；（2） 1 , 0,0)(limxxfnn；得分
4、阅卷人精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页（3）因为xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF显然)(xF在1 ,0上可积。于是由 Lebesgue控制收敛定理，有0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn2. 设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf, 01,;1,)(2试计算2,0)(dxxf。解：因为有理数集的测度为零，所以2)(xxf.ea于1 , 0，xxf)(.ea于2, 1。于是2, 1 1,
5、02, 0)()()(dxxfdxxfdxxfdxxdxx211026112331四、证明题（每题8 分，共 40 分）1. 证明：)()(11nnnnAAAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页证明：)(1nnAA(AnnA1c)(1cnnAA=)(1cnnAA)(1nnAA2. 设 M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M 是至多可列集。证明：由有理数集的稠密性可知， 每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间
6、组成的集合M是一一对应的。则 A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。3. 证明：若0Em，则 E 为可测集。证明：对任意点集 T ，显然成立着)()(cETmETmTm。另一方面，因为0Em，而EET，所以EmETm)(，于是)(ETm0。又因为cETT，所以)(cETmTm，从而)()(cETmETmTm。总之，)()(cETmETmTm。故 E是可测集。4. 可测集 E 上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合)(rxfE是可测集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页一、填空题（
7、每小题2 分，共 10 分）（ D ）1、A BCAB C 成立的充分必要条件是（）A、 AB B、 BAC、 AC D、CA（ A ）2、设 E 是闭区间 0,1 中的无理点集，则（）.A1mE.B0mE.C E 是不可测集.D E 是闭集（ C ）3、设 E 是可测集， A是不可测集，0mE，则 EA是（ ）.A 可测集且测度为零.B 可测集但测度未必为零.C 不可测集.D 以上都不对（ B ）4、设 mE，nfx是 E 上几乎处处有限的可测函数列， fx 是 E 上几乎处处有限的可测函数，则nfx几乎处处收敛于 fx 是nfx依测度收敛于 fx 的（ ）.A 必要条件.B 充分条件.C
8、充分必要条件.D 无关条件（ D ）5、设 fx 是 E上的可测函数，则（）.A fx 是 E上的连续函数.B fx 是 E上的勒贝格可积函数.C fx 是 E上的简单函数.D fx 可表示为一列简单函数的极限设( )f x是(,)上 的 实 值 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 意 常 数a，|( )Exf xa是一开集，而|( )Exf xa总是一闭集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页证明：若00,()xEf xa则，因为( )f x是连续的，所以存在0，使任意(,)x，0|( )xxf xa就有， (5 分
9、) 即任意00U(, ),U(, ),xxxExE E就有所以是开集（10 分）若,nxE且0(),()nnxxnf xa则， 由 于( )f x连 续 ，0()lim()nnf xf xa，即0 xE，因此 E是闭集。（1） 设2 121( 0 , ) ,( 0 , ) ,1 , 2 ,nnAAn nn求出集列nA的上限集和下限集证明：limnnA（5 分）设(0,)x， 则存在 N，使xN， 因此nN时，0 xn， 即2nxA，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多nA，得limnnxA，又显然limnnnnAA所以（ 7 分）limnnA（ 12 分）若有limnnxA，则存在 N，使任意nN，有nxA，因此若21nN时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页211,0,00nxAxnxn即令得，此不可能 ，所以limnnA（15 分）（2）可数点集的外测度为零 。证明：证明：设|1,2,iExi对任意0，存在开区间iI，使iixI，且|2iiI（ 8 分）所以1iiIE，且1|iiI，由的任意性得*0m E（15精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页