复变函数期末考试试卷.pdf

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1、复变函数期末考试试卷模拟试卷一一.填 空 题 1.1 1 i iz 7.,则 I=.2.1=zc e s i n z dz,其 中 c为 z a 0 的正向3 .t a n z 能否在0 z R内展成Lr a u r e n t 级数？4 .其中c为 z 2 的正向：zc 21s i n l z dz=5.已知F二 选 择 题 s i n ，贝 ij f t 二1.f z z R e z 在何处解析(A)0(B)1(C)2(D)无2.沿正向圆周的积分.z 2s i n z z 2 1二(A)2 i s i n l.(B)0.(C)i s i n l.(D)以上都不对.3 .41 n z 1 n

2、 的收敛域为(B)l z 2 e(C)l z 1 2.n (A).4定 z 1 4.(D)无法确4.设 z=a 是 f z 的 m 级极点，则 f zf z 在 点 z=a的留数是.(A)m.(B)-2m.(C)-m.(D)以上都不对.三.计 算 题 l.u2.设函数f z 与分别以z 书 为 m 级 与 n级极点，那么函数f z g.在 z=a 处极点如何？f z u i v为解析函数，u v x 3 xy 3 xy3 22y3，求3 .求下列函数在指定点z O 处 的 T a y l or 级数及其收敛半径。f zl z2,z O 14 .求拉氏变换f t s i n 6 t （k为实数）

3、5.求方程y 4 y 3 y e四.证明题L 利 用 e的 T a y l or 展式，证明不等式2.若 F /f t （azt满足条件y 0 y 0 1 的解.e 1 ezz1 z e1z为非零常数)证明：部f a t a F a模拟试卷一答案一,填空题L i 2.0 3.否 4.1/6 5.选择题1.(D)2.(A)3.(A)4.(C)三.计算题10.5,f t 0,0.25,t It It 1 二.1.u 3 xy y c1z 2 23 2.函数f z g z 在 z=a 处极点为m+n 级 3.zn In z 1 n 1R 164.s 2 3 65.y t 34 e 3 t 74 e

4、t 12t e t.模拟试卷二填空题L C为 z 1 正向，则 c 2.f z my 3 2z dz 3=2 n xy i x Ixym,n 分别为.s h z 3.R e s z 2,0为解析函数，则 1,4.级数n 1 z 2 n n 2.收敛半径为5.-函数的筛选性质是二.选择题1.f t e u t 1,则 f tt(A),s 1(B)e s 1s 1(C)2e s 1s 1 (D)以上都不对2.部 f t F2(A)F 2F(C)i F 2Fe s 1，则部 t 2 f t.(B)F 2F.(D)以上都不对3 .C 为 z 3 的正向，c dz z 3 z l 0 2(A).1(B)

5、2(C)0(D)以上都不对4 .沿正向圆周的枳分s i n zz 2 z 2 2-(A).0.(B).2(C).2+i.(D).以上都不对.三.计算题1.求 s i n(3+4 i).2.计 算 z az b ，其 中 a、b为不在简单闭曲线c上的c dz复常数，a b.3 .求函数f z ,z O 1在指定点z O 处 的 z Iz IT a y l or 级数及其收敛半径。4 .求 拉 氏 变 换 f t e（k为实数）k t四.证明题n l.C收敛，而n 0 C n 发散，证 明 n O C n z n 收敛半径为1 n 02.若 出f t F s ,(a 为正常数)证明：3 s f a

6、 t F a a 1模拟试卷二答案填空题1.2 i 2.1 n 3,m 13.1 4.15.t f t dt f 0-二.选择题1.(B)2.(C)3.(C)4.(A)三.计 算 题 e 4 3 i e2i 4 3 i l.2.当 a、b均在简单闭曲线c 之内或之外时 z a z b 0,c dz当 a在 c 之内，b在 c 之外时 z a z b c dz 2 i a b2 ia b,当 b在 c之内，a在 c 之外时 z a z b c dz ,3.z f z 1z 11n O n z 12 n 1R 2.14.s k模拟试卷三一.填空题41.z=0 为 f z z1 R e s,02.z

7、 2 z 3 2 e z 2 1 的级零点，b c b c 3.a,b,c 均为复数，问a 与 adz 一定相等吗？.4.每个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？5.c os z=c二.选择题1.设 u和 v 都是调和函数，如果v 是 u的共规调和函数，那 么 v 的共甄调和函数为.(A)u.(B)-u.(C)2u(D)以上都不对。2.级 数 n.n 1(A).发 散.(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)无法确定3 .C为 z 2 的正向，e i n 则 z 2c e dz z z 2 9 .(A).1 (B)2(C)2 i 1(D)以上都不对 94.部 f t(A)对三 计 算 题 F e

8、i F ，则 皆 f 1 t i (B)F e (C)F e i (D)以上都不1.计算f zz Idz z 2,从而证明5 01 2c os 5 4 c os 0.2.求在指定圆环域内的La u r e n t 级 数 f z z 1z 2,z 1 1.3 .利用留数计算定积分：2 d02 c os .4.求拉氏变换f t t e k t (k 为实数).四.证明题1.说明Ln z 2 2Ln z 是否正确，为什么？2.利用卷积定理证明牝tO f t dt F ss模拟试卷三答案一.填空题1.4 2.1 3.不一定 4.否二.选择题1.(B)2.(A)3.(C)4.(D)三.计算题1.f z

9、 dzz 2 0,z 12.zz 1z 21 n 1 n 1z 11.n 023.34.1s k 26 5.0模拟试卷四一.填空题1.复数Z2.21 i l i 三角表示形式.2 设 u xn 0 y n xy 为调和函数，其共辄调和函数为3.c nz=2+3 i 发散.6 s i n z z 3 3 4.z 0 为 f z5.卷积定理为二.选择题 z 6 6的级极点1.F 2 则 f t =(A).7(B)1(C)2(D)以上都不对2.若 1 3 i n 1 3 i n,n 为整数.n=(A)6 k (B)3 (C)3 k (D)63 .C是直线O A,0 为原点，A 为 2+i,贝 ij

10、R e z dz=z i 能否在z=-2i 处收敛而c(A).0.(B)(1+i)/2.(C).2+i.(D 以上都不对.4.设 ft s i n t ,则 31 3 ss 25C f t 11 s 2(A).21三.计 算 题(B)21 s(C)2s 3 e 3 s (D)以上都不对1.求在指定圆环域内的La u r e n t 级 数 7f z s i n zz,0 z .2.设函数f z 与分别以z 二 a为 m 级 与 n级极点，那么函数f zg z .在 z 二 a极点如何？E,0 t 5;f t 傅氏变换。0,其他2t 3.求 4.求拉氏变换f t e四.证明题1.若 1,1,求证

11、 s i n 6 t.1 12.若 F 部f t ，证明：.f t c os O t F 21 0 F 0模拟试卷四答案一.填 空 题 1.c os 222 i s i n2 2.y x2 2xy c3.否4.155.略.选择题81.(B)2.(C)3.(C)4.(C)三.计算题1.f z 1n 0 n n 1 z2n 2n 1 !2.当 mn时，z=a为 f z的 m-n级 极 点 g z当 mn 时，z=a为 f z的可去奇点g z3.4.2Ee5 j2sin5 2 6s 2 2 36.四.证明题1.略2.略模拟试卷五一.填空题1.z2 4iz 4 9i 0 根为，z2.z 2 z和 z

12、4 z是否相等3.叙述傅氏积分定理9 z4.拉氏变换的主要性质二.选择题1.已知c(A).4 10 1,cn n!nn,c n 1 12 In.则 n cn z 2 n 的收敛圆环为 z 2 4.(B)12z 2 e(C)1 z 1 2.(D)无 法 确 定 2.w z将 z 平面上x y 4 映射成w 平面上的(A).直 线(B)u+v=l(C)u v 1 (D)以上都不对 2221413.z=0是 f z z2ez什么奇点(A).可去(B)本性奇点(C)2 级极点(D)以上都不对4.t t的傅氏变换为0(A)1 (B)e三.计算题1.解方程e i 0.z i t0(C)ei tO(D)以上

13、都不对2.利用留数计算定积分：3.利用能量积分求4.求 F s 1s2 cosxx 322dx sinxx22dx 的拉氏逆变换.s 1四.证明题1.试证argz在原点与负实轴上不连续.2.下列推导是否正确？若不正确，把它改正：101lz 32z z 1 dz z 32 1 zdz 2 i z 1 z z 1 2 i.模拟试卷五答案一.填空题1.2 2 2 i 和-2 22 i2.相等3 .略4 .略二.选择题1.(B)2.(C)3.(B)4.(B)三.计 算 题 1.z 2k 2 i.2.3 e 33.4.e t s i n xx22dx t 1复变函数与积分变换试题(本科)11 一、填空题

14、(每小题2 分，共 12分)1、设 z 22 2 i,则其三角表示式为；2、满足|2+3|-忆-1|=0的 2 的轨迹是；3、Ln (3 i);4、5e j a t 的傅氏变换为；5、6 1s s 2的拉氏逆变换为.f(z)1z 15、在 z O 0 处展开成界级数为二、选择题(每小题2 分，共 10分)1、设 f(z)C O S Z,则下列命题正确的是()A、f(z)|是有界的；B、f(z)以 为周期；C、f(z)2、设 z i e i z e 2 i z；D、f(z)在复平面上处处解析。的 值 等 于()，则z 4 8 z 2 1 z l OA、1；B、-1；C、i；D、i o3、设 C是

15、正向圆周口 2,则 c|z|d z ()A、4 i；B、2 i；C、2 ；D、4 4、z=0 是 1z s i n z 的孤立奇点的类型为()A、二阶极点；B、简单极点；C、可去奇点；D、本性奇点。1 2 5、若 嘉 级 数 c n z n 在 z ln 0 1 i 处发散，则该级数在z=2 处的敛散性为()A、绝对收敛；B、条件收敛；C、发散；D、不能确定；三、已知调和函数u x并求 f 2 y x y,f (i)1 i 2,求解析函数 f(z)u i v,(z)。(8 分)2四、设 f(z)x i x y,试确定f(z)在何处可导，何处解析，并求可导点处的导数。(6分)五、求下列函数的积分

16、(每小题6 分，共 2 4 分)1、沿 y x算出积分2、s i n z2 I z|3 1 i O(x i y)d z 2 的值；3、1 c o s z l d z d,其中|a|1,a 0 0 5 3 c o s 4、|z|I c o s z z(z a)2 2 d z六、将下列函数展开为级数(每小题7 分，共 1 4 分)1、将函数f(z)其收敛区间。2、将函数f(z)为洛朗级数。七、求微分方程y z l z 1 在 z 0 1 处展开成嘉级数，并指出2 z(z i)2 以 z i 为中心的圆环域内展开4 y 3 y e,y (0)y (0)1 t的解。(6分八、求下列函数的积分变换(每小题6 分，共 1 2 分)1、求 e t s i n t,t O f(t)t 0 02 t 的傅氏变换。2、求 f(t)t ec o s 7 t 的拉氏变换1 3 九、证 明题(每小题4分，共 8分)1、设复数 z,z l 2,.z n 全部满足 Rs (z)0.i 且 z 和 z都 i n 2 nn I n 1收敛，证 明 I z 卜也收敛。2n 12、已知f (z)在内解析,且l i mf(z)z O z f (z)1,证明z=0 是的一级极点，并求其留数。1 4