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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知命题 p:D x c R,s i nx W l,则()A.i/7:G R ,s i ax lB.-np：Vx G R ,s i l LC lC.p:G R ,s i nx l 不能D.p:Vx e R ,s i nx l2 .己知平面向量a=(1,1),b(1,-1),则向量36=(2 2)A.(2,1)B.(2,1)C.(1,0)D.(1,2)7T T T3 .函数y =s i n 2x一一在区间一一,兀 的简图是（）0）
2、的焦点为F,点 P i（X,y,）,P2（M，刃），P3 5,为）在抛物线上，且2元2=两+犬3，则 有（）A.附+阀|=|冏 B.|咐+芥=|附2C.2|R|=|%|+|R|D.|阳=I 阿 附|7.已知 x0,y0,x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则（a +bY的最小值是（）cd8.A.0 B.1 C.2已知某个几何体的三视图如下,D.4根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）A.幽而38000B.-3cm39.C.2000cm3cos 2asin a-(4D.4000cm3，则cos a+s m a的 值 为（2若)A.五2B.21C.一2DY
3、10.曲线y=e 5 在 点（4,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.-e2 年 B.4e2,C.2e2 D.e2211.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20 次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664S|,S2,S 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则 有（A.S3S 1S2 B.S2S|S3 C.S iS 2S3 D.S2S3Sj12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都
4、相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为九,K,，则%：4：a=（）A.V 3:1:1 B.6:2:2 C.6:2:血 D.V 3:2:5/3第I I卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 o14.设函数/（x）=5生 为 奇 函 数，贝 l a=。X15.i 是虚数单位，5+1。，=。（用 +力的形式表示，a,b&R ）3+4z-16.某校安排5 个班到4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演
5、算步骤。17.（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高A B 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与 D。现测得NBCD=a,NBDC=0 ,CD=s,并在点C 测得塔顶A 的仰角为。，求塔高AB。1 8 .(本小题满分1 2分)如图，在三棱锥S A B C中，侧面S A B与侧面S A C均为等边三角形，N B A C =9 0 ,0为B C中点。(I )证明：S O J _平面A B C；(I I )求二面角A S C B的余弦值。1 9 .(本小题满分1 2分)2在平面直角坐标系2)，中，经过点(0,五)且 斜率为k的直线1与椭圆：+y 2 =1有两个不同的交点P和Q。(1
6、 )求k的取值范围;(H)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量。P+OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。20.(本小题满分12分)如图，面积为S 的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD中随机投掷n 个点，若 n 个点中有m 个点落入M 中，则 M 的面积的估计值为一 S,假设正方形nABCD的边长为2,M 的面积为1,并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以 X 表示落入M 中的点的数目。()求 X 的均值EX：(I I)求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在
7、区间(一0.03,0.0 3)内的概率。附表：P(Z)=Z c；000Gx 0.25x O i0000-r=0K2424242525742575P(k)0.04030.04230.95700.959021.(本小题满分12分)设函数 f(x)-ln(x+a)+x2(I)若当户一1时，f(x)取得极值，求。的值，并讨论了(X)的单调性；e(II)若f (x)存在极值，求“的取值范围，并证明所有极值之和大于I n 。2 2.请考生在A、B、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。A(本小题满分10分)选 修 4一4：坐标系与参数方程
8、O O,和 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 夕=4cos夕 夕=T s in 6。(1 )把。01和。2的极坐标方程化为直角坐标方程；(H)求 经 过 交 点 的 直 线 的 直 角 坐 标 方 程。B(本小题满分10分)选 修 45；不等式选讲设函数/(幻=|2+1上一4|。(I)解不等式/(%)2；(I I)求函数产/(x)的最小值。2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷(一)参考答案一、选择题1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C7.D 8.B 9.C二、填空题10.D 11.B 12.B13.3 14.-1 15.l +2i16.24 0三、解答题17 .解
9、：在 B C D 中，NCBD=Ti-a /3由正弦定理得BC CDs i n NBDC-s i n ZCBD所以B C =CD s i n Z.BDC _ s-s i n 4s i n ZCBD s i n(a +/3)在 中，AB=BC t a n ZACB=ta n 6，Iings i n(a +0)18 .证明：()由题设A B二AC二S B=S C =S A ,连结O A,A B C为等腰直角三角形，所以Q A =O B =OC=也S A,且十上C ，又宽 为等腰三角形，故S O _ L 8 C,且S O =也S 4,22从而。4 z+5 0 2%2所以 S 0 4为直角三角形，SO
10、YAO又 AO BO=O.所以S O J平面A B C(I I )解法一：取 S C 中点 M ,连结 A M,OM ,由(I )知 S O =O C,SA=A C,得ISC,AM.ZOMA为二面角A-S C-B 的平面角.由 AO J.8C,AO 1 SO,SO BC=O 得 A。，平面 SBC所以 A O J _ O M,又 AM=&S A,2 /人 八 力。0瓜故 sin ZAMO=-=r=AM C 3所以二面角A SC-3 的余弦值为正3解法二：以。为坐标原点，射 线。5,。4 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O-xyz.设 5(1,0,0),则 C(l,Q0),
11、A(0,l,0),5(0,0,1)sc 的中点MO=(；,0,SC=(-1,0,-1)：.MO*SC-O,MA*SCO故MOJ_SG MA A.SC,也A 等于二面角A SC-3 的平面角.cos=叱 =B,所以二面角A-S C-B 的余弦值为|MO|-|M A|3 31 9.解：(I)由已知条件，直线/的方程为y=+&,2代入椭圆方程得 +(依+3)2 =12整理得(-+k2x2+2y2kx+l=o(2)直线/与椭圆有两个不同的交点P和。等价于 =8父 4上+%2 =4公 _ 20,12 解得z 1.即的取值范围为2 2(n)设 p(%,乂。(工2，%)，则 OP+OQ=(%+%2，y +%
12、)._xn/46k由方程，%+=-A又y +%=彳+4而 A(6 0),3(04),43=(-71)所以OP+O。与4 5共线等价于玉+w=-0(y+%)，将代入上式，解 得 左=也2由(I)知k立或k)立,故没有符合题意的常数Z2 0.解：每个点落入M中的概率均为=,依题意知X 10000,；)(I)X=10000 x1=25004(V(I I)依题意所求概率为P-0.03-x4-l0.03【10000P -0.03-x4-l0.03=P(2425 X 2575)I 100002574=E G1o5八o八JooXOZSxOi0000-f=2 4 2 6=Z x 0.25 X O.7 50 0
13、 0 0-2；c；x 0.25(x O.7 510 0 0 0-f=24 26 t=0=0.9 57 0-0.0 4 23=0.9 14 72 1.解：(I)ff(x)=!+2%，x-a3依题意有/(-1)=0,故。=/2%2+3x+13-X H-2从而广(幻(2x4-1)(x4-1)3x+-2/(X)的定义域为1g,+8),当 一|0；当一 lx-g 时，f(x)0从而，/分别在区间(|，一1)，卜;,+8单调增加，在区间1 1,一；卜 调 减 少(I I)/(X)的定义域为(4 +8),/1)=岂二吆竺1x+a方程2 d +2 a x+1 =0的判别式 =4 合 一8(i)若 0,所 以
14、无 极 值若a=_五,x(Ja +8),r(x)=l=1匚 o,/(x)也无极值X-A/2(i i i)若 (),即Q0或av血，则2?+2 5+1=0有两个不同的实根 =一 一 一2,2 a+Ja 2 2*2=2当&时，x,-,七 也 时，xt-a,占 a,/(X)在/(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知/(X)在X=X,%=工2取得极值.综上，/(x)存在极值时，a的取值范围为(、/2,+8)/(x)的极值之和为/(X,)+/(毛)=l n(X +a)+x；+l n(w +a)+x=I n +a2-1 1 -I n 2=I n 2 222.A解：解：以极点为原点，极轴为x轴正
15、半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。(I )x-pcosff,y=p s i n 0,由 Q=4COS。得=4/7 c o s 6所以V+V=4%即d+y 2-4 x =0为。q的直角坐标方程。同理幺+y 2+4 y =0为Q的直角坐标方程。x2+y2-4 x =0,(I I)由，r+V+4 y =0解得 Xi,0,x,2=2J=，1 2=-2即。q,。Q交于点(0.0)和(2,-2)过交点的直线的直角坐标方程为y =-XB 解：(I )令 y =|2x+l|-|x-4|,则.1-x-5,X 5，2y 3x 3,x 4.作出函数y =|2x+l|-|x-4|的图象，它与直线y
16、=2的交点为(7,2)和(1,2)所以|2 x+l|x 4|2 的解集为(f,7)(|，+，|1Q(I I)由函数、=|2%+1|上一4的图像可知，当x=时，y=|2 x+l 1 T x 4 取得最小值一2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满 分6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、己知函数丫=2M（3*+0）在区间 0,2 叫 的图像如下：那么3=（）A.1 B.2 C.1/2 D.1/3z?2 z2、已知复数z=l i,则-=（）z-1A.2 iB.-2 i C.2 D.-23、如果等腰三角形的周
17、长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A.5/1 8B.3/4 C.7 3/2 D.7/84、设等比数列 q 的公比4 =2,前 n 项和为S“，则 区=（）a25、A.2B.41 5C.2右面的程序框图，如果输入三个实数中，应该填入下面四个选项中的（1 7D.2a b、c,要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框)A.c xB.x cC.c bD.b c6 已知44%0,则使得（l-a,x）2 0,则;1 =2 214、过 双 曲 线 二-二=1 的右顶点为A,右焦点为F。过 点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线9 16交于点B,则4A F B 的面积为15、一个六棱柱的
18、底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为二9，底面周长为3,那么这个球的体积为816、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25根棉花的纤维长度(单位：m m),结果如下：甲品种：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图:甲乙3 1277 5 5 02845 4 2
19、292 58 7 3 3 1304 6 79 4 0312 3 5 5 6 8 88 5 5 3320 2 2 4 7 97 4 13313 6 73432356根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
20、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三、解答题：本大题共6 小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17、(本小题满分1 2分)已知数列 4 是一个等差数列，且4=1,仆=5。(1)求 4”的通项(2)求 q 前 n项和5“的最大值。1 8、(本小题满分1 2分)如图，已知点P在正方体A B C D ABCD的对角线B D i 上，N P D A=6 0。(1)求 DP与 C
21、G所成角的大小；(2)求 DP与平面A A i D j D 所成角的大小。1 9、(本小题满分1 2分)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1 和 X 2。根据市场分析，X i 和 X 2的分布列分别为XI5%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在 A、B两个项目上各投资1 0 0 万元，Y i 和丫2分别表示投资项目A利 B所获得的利润，求方差 D Y|、D Y2；(2)将 x (0 W x /,0)的左、右焦点分别为a bF2O F 2也是抛物线C 2：y 2=4 x 的焦点，点 M 为 C|与 Q 在第一象限的交点，且|行|=|。求G 的方程；皿U U
22、 U 3ULI ULB1(2)平面上的点N满足=+M F2,直线/MN,且与C i 交于A、B两点，若。4 0 8=0,求直线/的方程。21、(本小题满分1 2分)设 函 数/(x)=x +!3,6 e Z),曲线y =/(x)在点(2,/(2)处的切线方x+b程为y =3。(1)求y =/(x)的解析式；(2)证明：曲线y =/(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y =/(x)上任一点的切线与直线x =l和直线y =x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应
23、的题号涂黑。2 2、（本小题满分1 0 分）选修4 一4：坐标系与参数方程已知曲线C i：F=c s。（。为参数），曲线C 2：y =s in。x=旦 一 应2 。为参数）。忆（1）指出C l,C 2 各是什么曲线，并说明C l 与 C 2 公共点的个数；（2）若 把 C 1,C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线G，c2 写出G,。2 的参数方程。G与。2 公共点的个数和C i与 Q 公共点的个数是否相同？说明你的理由。2 3、（本小题满分1 0 分）选修4 一5：不等式选讲已知函数/（x）=|x-8|-|x 4|。（1）作出函数y =/（x）的图像；(2)解不等式|x 8|
24、-|%一4|2。2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（二）参考答案一、选择题1.B 2.7.C 8.二、填空题BD3.9.DA4.C 5.A1 0.D 1 1.A6.B1 2.C1 3.31 4.3 241 5.7 131 6.1 .乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.2 .甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.3 .甲品种棉花的纤维长度的中位数为3 0 7
25、m m,乙品种棉花的纤维长度的中位数为3 1 8 mm.4 .乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（3 5 2）外，也大致对称，其分布较均匀.三、解答题 0),UL1L1 U U U由己知 =6 0 ,u u n u u ir u in u u ir u u n u u ir由 D A g P H =D A D H co s 可得 2 =J 2 m 2+1.解 得 机=92,所 以 朋=(交，交2 I 2 2 J72 0u u r u u ir?*+丁x +l x l(I )因为 co s =上-%-l x V 2UUU ULIU
26、所以 =4 5.即。P与C C 所成的角为4 5.LILU(H)平面AA D D的一个法向量是D C=(0,1,0).V 2 72uui r uui i *+x 1 +1 x .因为co s =上-=l x V 2 2UUU ULUU所以 ,OC =6 0.可得O P与 平 面 所 成 的 角 为30.19.解：(I )由题设可知乂和天的分布列分别为E Y=5x 0.8+10 x 0.2=6,以=(5 6)2 x 0.8+(10-6)2x 02=4,E Y2=2x 0.2+8x 0.5+12x 0.3=8,DY2=(2-8)2 x 0.2+(8-8)2 x 0.5+(12-8)2 x 0.3=
27、12.(x(II)f(x)=D Y.+DU 0 0 )100-x100 100-x、1002I DY2=磊1+3(100-1)24 ,=W O7-60 0 x+3x 100)，当x =&=7 5时，/(x)=3为最小值.2x 420.解：(I)由G：V=4无知名(IQ).设MU，y),M在G上，因为|M居|=g，所以玉+1=|,组 一 2 一 26倚土=,x =-“在G上，且椭圆G的半焦距c=i,于是X+A=i 2=12,由 2，%)，16 m 8m2-4%+%=丁，玉 元2=.ULI UUU因为。4 _L 0 8,所以玉工2 +丁1%=。.X W +yxy2 9 +6(%m)(x2 m)=7
28、XIX2-6 m(xt+9)+6 m2_ 8m2-4 /16 m/2=7 g-6 i g-一+6 m-=-28)=0.所以/n =V 2.此时 =(16 m)2-4 x 9(8m2-4)0,故所求直线/的方程为丁=瓜 一2 6,或 丁 =逐 工+2 6.21.解：(I )f x)=a-(x+b)于是J 1ci-(2+b)21,-1)或，9C l =一,4,8b=3a=解得b-因a,Z?e Z,故/(x)=x-.x-(H)证明：己知函数y=x,%=,都是奇函数.X所以函数g(x)=x +，也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.X而/(X)-X-1+1-1 .x-l可知，函数g(x)的图
29、像按向量a =(1,1)平移，即得到函数/(X)的图像，故函数/(X)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(HI)证明：在曲线上任取一点%,x 0+、由/(/)=1二 知，过此点的切线方程为(%-IP(尤 一 玉)切线与直线X =1交点为令 X =1 得 y=&!1 T令y =x得y =2玉)一1,切线与直线y=x交点为(2x0-L2x0-l).直线x =1与直线y =x的交点为(L1).从而所围三角形的面积为2匚?-l|2x0-l-l|=-2|2x0-2|=2.2 XQ-1 2 XQ-1所以，所围三角形的面积为定值2.22.解：(I )G是圆，G是直线G的普通方程为/+丁=1,圆心G
30、(0,0),半径r =l.G的普通方程为y+夜=。因为圆心G到直线x y +&=0的距离为1,所以。2与6只有一个公共点(II)压缩后的参数方程分别为G：x=co s 0,1（。为参数）;y =s i n。2=也”及，2 G为参数).4C；：y化为普通方程为：C；：f+4 y 2=l,C：y=j_%+也联 立 消 元 得+2 c x+1=0,其判别式 =(2垃 另-4 x 2x 1=0,所以压缩后的直线C；与椭圆C；仍然只有一个公共点，和C,与C2公共点个数相同.23.解：（I ）f（x）=-4,2x +12,-4x W4,4 8.图像如下:(II)不等式|x 8|x 4|2,即/(x)2,由
31、2x +12=2得工=5.由函数/(x)图像可知，原不等式的解集为(-8,5).2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（三）第 I 卷一，选择题：（本大题共12题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。1.已知集合4 =1,3,5,7,9,6=0,3,6,9,12,则 41.3=(A)1,5,7(B)3,5,7(C)1,3,9(D)1,2,32.复数3+2/2-3/3-2/2+3;(A)0(B)2(C)-2i(D)23.对变量x,y 有观测数据理力争（X，y ）（i=l,2,，10）,得散点图1；对变量u，有观测数据（,匕）（i=l,2,，10）,得
32、散点图2.由这两个散点图可以判断。（A）变量x 与 y 正相关，u 与 v 正相关（C）变量x 与 y 负相关，u 与 v 正相关（B）变量x 与 y 正相关，u 与 v 负相关（D）变量x 与 y 负相关，u 与 v 负相关4.双曲线工-匕=1的焦点到渐近线的距离为4 12(A)2/3(B)25.有四个关于三角函数的命题：r c 2 X 2 X 1p.：3X GR,sin+cos=1 2 2 2V X”,后等=sinx其中假命题的是(C)y/3(D)1p,:m x、y GR,sin(x-y)=sinx-siny71p4:sinx=cosy=x+y=(A)p、,p4(B)p2,p4(3)P i
33、，“3(4)p2,“42x+y 46.设 x,y 满足,x-y N-l l z =x+yx-2 y 0),则 f(x)的最大值为(A)4 (B)5 (C)6 (D)7第 H 卷二、填空题；本大题共4 小题，每小题5 分。1 3 .设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(l,0),直 线 1 与抛物线C相交于A,B两点.若 AB的中点为(2,2),则直线Z 的方程为.1 4 .已知函数丫=$皿(cox+9)(6 9 0,-乃K夕 Sz m T=3 8,则 m=三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。17 .（本小题满分12分）为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点
34、进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平 面 内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤。18 .（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中25 0名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外7 5 0名工人参加过长期培训1（称为B类工人），现用分层抽样方法（按 A类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B 类工人；（I I）从 A类工人中的抽
35、查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1 和表2.表 1:表 2：生产能力分组100,110)110,120)120,130)130,140)140,150)人数48X53生产能力分组110,120)120,130)130,140)140,150)人数6y3 618（i）先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）0(0(0(6 JPC英 皇 JPEG ffi#大小：299 K B00200-016001200080004/心一,上一 一3一 一”,-、100 11
36、0 120 130 140 150 FK力04)4800440 0400X)36003200280X)21002000160X)1200080-0010-1-100 110 120 130 HO 150?艮力ffi l 4 类二人生产gj 秀-7。H 万作S 2 8 类I：人重产0 力的率分布只方茁（ii）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）1 9.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABC。的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的血倍，P 为侧棱SD上的点。（I）求证：AC_LSO；（II）若S D，平
37、面P A C,求二面角PAC-。的大小（III）在（I I）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PACo若存在，求 SE：EC的值；若不存在，试说明理由。2 0 .(本小题满分12 分)已知椭圆C的中心为直角坐标系x O y 的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和 1.(I )求椭圆C的方程；(I I)若 P 为椭圆C上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，2 4 =入，求点M 的轨迹方程,O M 并说明轨迹是什么曲线。2 1.(本小题满分12 分)已知函数/(x)=(Y +3 d +b)e-x(I)如。=力=3,求/(x)的单调区间;(I I)若/
38、(x)在(-0 0,a),(2,夕)单调增加,在(a,2),(尸,+o o)单调减少,证明下一a 6.2 2.（本小题满分10 分）选修4 4：坐标系与参数方程。,x=-4+co sf,f x=8 co s6,八，已知曲线C ：（t为参数），c2：4 （。为参数）。y=3+sin l,y=3sin 0,（1）化 C C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；7 T（2）若 C 1上的点P 对应的参数为f =5,Q 为 C 2 上的动点，求 P。中点M 到直线x=3+2/,一（t为参数）距离的最小值。y=2 +f2 3.（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲如图，O 为数轴的原点
39、，A,B,M 为数轴上三点，C为线段O M上的动点，设 x 表示C与原点的距离，y 表示 C到 A 距离4倍与C道 B 距离的6倍的和.（1）将 y 表示成x 的函数；（2）要使y 的值不超过7 0,x 应该在什么范围内取值？O H B M20302017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷(四)第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 4 =刈1|2,1 /?,3=%|0=(A)x x 4(B)x|x 4(C)x|x vO或x 6(D)x x241 +t a n 9.若c o s a =-一，a是第三象限的角
40、，则-复=5 1 1 .-t aan 21 1(A)-(B)-(C)2(D)-22 210.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A)710：2 (B)7 a2 (C)F1 1 兀 C T2 (D)5-万 2|l g x|,0 x 10.I 2(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)12.己知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线/与E相交于A,B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程式为(A)匚3 62 2x y.(B)=14 5(C)6 3(D)5 4第n卷二、填空题：本大题共4小题
41、，每小题5分。13.设y=/(x)为区间 0,1上的连续函数,且恒有1,可以用随机模拟方法近似计算积分f fx)dx,先产生两组(每组N个)区 间 0,1上的均匀随机数不9,和X，%，%,由此得到NJ0个点(%,X)(i =1,2,N),再数出其中满足y W J G)(i =1,2,N)的点数2 ,那么由随机模拟方案可得积分：/(x)公的近似值为。14.正视图为一个三角 形 的 几 何 体 可 以 是 (写出三种)15 .过点A(4,l)的圆C与直线x-y=O 相切于点B (2,1),则圆C的方程为16.在A A B C 中，D 为边 B C 上一点，B D=-D C,N A D B=120,
42、A D=2,若A A D C 的面积为3-,2则 N B A C=三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤17.(本小题满分12分)设数列 a,满足q =2,%+1 4=3 22-1(1)求数列 叫的通项公式；(2)令b“=n a”,求数列的前n 项和18.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-A B C D 的底面为等腰梯形，A B C D.A C 1 BD,垂足为H,P H 是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：P E I B C(2)若N A P B=N A D B=60 ,求直线P A 与平面P E H 所成角的正弦值19.(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供
43、帮助，用简单随机抽样方法调查了 5 00位老年人，结果如下:男女需要4 03 0不需要1 6 02 7 0(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有9 9%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附:2 0.(本小题满分1 2 分)设斗眉分别是椭圆七：二+1=1(。0)的左、右焦点,过百斜率为1 的直线，与我相交于43a b两点，且1M忸周 成等差数列。(1)求 E的离心率；(2)设点p(0,1)满足|P A|=|P 6|,求 E的方程2 1.(
44、本小题满分1 2 分)设函数/(x)=e*-l-x-a r2,(1)若。=0,求/(x)的单调区间；(2)若当x NO时/(x)N O,求 a的取值范围请考生在第(2 2)、(2 3)中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2 B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。2 2.（本小题满分1 0 分）选修4-4：坐标系与参数方程-二 +,f x=1 +1 cos a 一，fx=cos 0已知直线C （t 为参数），C2 4 （6为参数），y=fsina y=sin。T T（I ）当a =时，求 Ci与 C2 的交点坐标；（H）过坐标原点。做 C 的垂线，垂 足 为 匚 P为 0
45、A 中点，当a变化时，求 P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。2 3.（本小题满分1 0 分）选修4-5,不等式选项设函数 f（x）=2x-4/+l（I）画出函数y=/（x）的图像（I I）若不等式/（x）W依 的解集非空，求 a的取值范围。2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷(四)参考答案一、选择题(I)D(2)A (3)A (4)C(5)C(6)B(7)D (8)B (9)A (1 0)B (1 1)C(1 2)B二、填空题N(1 3)(1 4)三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分)N(1 5)(x-3)2+/=2 (1 6)6 0 三、解答题(1 7)解：(
46、I)由已知，当nl时，=(+|-J +(a-_ 1)+(2-!)+1=3(22-+n3+2)+2_ 22(/?+!)!而 q=2,所以数列%的通项公式为q=2?”T。(II)由 0”=n 知S=1-2+2-23+3-25+/7-22,_|从而22-Sn=l-23+2-25+3-27+n-22,+l-得(l-22)-S=2+23+25+22n-|-n-22,+1。即 S=1(3n-l)22n+,+2(1 8)解:以为原点，H A,H B,H P分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(l,0,0),8(0,1,0)(I )设 C(2,0,0),P(0,0,)(z 0
47、,n 0)则。(0胆，心,；夕，-1 7 7 7 -可得 PE =(-Tn n C=m(-,1因为P EB C=丝 上+0 =02 2所以 P E L B(1 1)由已知条件可得 加=、二,=1,故C(-,0,0)3 30(0,一f ,O),E(g o),P(O,O,l)3 2 6设 =(x,y,x)为平面PE”的法向量n-H E /.lx-,y=o则 即 6 H P=/.z =0因此可以取=(1,商)，由 2 4 =(1,0,1),所以直线P A与平面P E H所成角的正弦值为立4(1 9)解：(1)调查的5 0 0位老年人中有7 0位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人
48、7 0的比例的估算值为诉=1 4%KJ 5 0 0 x(4 0 x 2 7 0-3()x 1 6 0)2 =9.9 6 7。2 0 0 x 3 0 0 x 7 0 x 4 3 0由于9.9 6 7 6.6 3 5,所以有9 9%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(H I)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.(2 0.)解：(I)由椭圆定义知|你|+忸 闾+|AB|=4
49、a,又2 1 ABi =|然|+忸 用,得网苧/的方程为y =x +c,其中“扬 。设A(西,y j,B(w，%)，则A、B两点坐标满足方程组y=x+cr 2 y 2片+至-1化简的(4 2 +/b 2 +2。2c x+/1 2 一。2)=0-2a2c a2(c2-h2)则“+%=I，中2 足+冒因为直线A B斜率为1,所以|=0民-%|=如 斗+切 工论得=故3 a2+b2LL7 八4、-c yja2-b2 V 2所以E 的离心率e =-=a 2(ID设A B的中点为N(x(),%),由(I)知x.+x7-crc 2 c不。=七 二 工7 7 =干，y0=x0+c=-o2 。+。3 3由 陷
50、=|叫得kpN=l，即久1 =一1得C =3,从而a =3垃,。=3故椭圆E的方程为三+汇=1。1 8 9(2 1)解:(1)a =0时，/(x)=ex l x,f x)=ex 1.当 X (8,0)时，f x)0.故/(九)在(一8,0)单调减少，在(0,+8)单调增加(II)f x)=ex 2ax由(D知 炉Nl+x,当且仅当x =0时等号成立.故f x)x-2ax=(l-2a)xf从而当 1一2。(),即时，f x)0(x 0),而/(0)=0,于是当x 2 0时，/(x)0.由e*l +x(x/0)可得l x(x，0).从而当a g 时，f x)e -l+2a(e-x-1)=e-x(e