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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷(一)第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知命题 p:V x c R,s i nx W l,则()A.p:3 x G R ,s i a x lB.p：X/xE R ,s i nx lC.1/2 ：3XG R ,s i nx l 不能D.-p:V x G R ,s i nx l2 .己知平面向量a=(1,1),1 3(1,-1),则向量一ab=(2 2A.(2,1)B.(2,1)C.(1,0)D.(-1,2)否/输 出”结束6.已知抛物线y 2 =2 p%（p 0）的焦
2、点为F,点Pi （九i，y i）,P2（切，”），P3（M，丫3）在抛物线上，且2元2=的+、3，则 有（）A.F Pt +F P2 =F P3 B.由+质=解C.2阀|=|冏+网|D.|嘀=间.阀 7.已知x 0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则 包 士 蛆 的 最 小 值 是（）cd8.9.A.0 B.1 C.2已知某个几何体的三视图如下,A.C.D.4根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）幽cn?3c 8000B.-3cm32 0 0 0 cm3cos 2a.7 1sin a 【41 0.曲线丁=1”在点9 ,A.-e 年 B.2D.4
3、0 0 0 cm3侧视图72，贝ijcosa+sin a的 值 为(2俯视图1B.-21C.一2（4,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）4 e2,C.2 e2 D.e21 1 .甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭2 0次，三人的测试成绩如下表若)A.也2甲的成绩环数78 9 1 0频数5555乙的成绩环数78 9 1 0频数64 4 6丙的成绩环数78 9 1 0频数4 664S”S2,S 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则 有（）A.S3S 1S2 B.S2S 1S3 C.S|S2S3 D.S2S3Si1 2.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱
4、柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各2侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为九,4，则 4 ：4：力=（）A.G：l:l B./3:2:2 C.V3:2:V2 D.石：2:6第 II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分。1 3 .已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为=1 4 .设函数/（x）=（x+D（+a）为奇函数,贝。x-5+1 0/1 5.i 是虚数单位，-。（用 +力的形式表示，a,be R）3 +4 z1 6.某校安排5 个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个
5、工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7 .（本小题满分1 2分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与 D。现测得ZB CD=a,ZB DC=（3,C D=s,并在点C测得塔顶A的仰角为3,求塔高A B。31 8 .(本小题满分1 2分)如图，在三棱锥SA B C中，侧面S A B与侧面S A C均为等边三角形，N B A C =9 0,0为B C中点。(I )证明：S。J-平面A B C；(I I )求二面角A SC B的余弦值。1 9 .(本小题满分1 2分)在平面
6、直角坐标系H)，中，经过点(0,J5)且斜率为k的直线1与椭圆,+尸=1有两个不同的交点P和Qo(I )求k的取值范围；(II)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使 得 向 量 而+而 与而共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。420.(本小题满分12分)如图，面积为S 的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M 的面积：在正方形mABCD中随机投掷n 个点，若 n 个点中有m 个点落入M 中，则 M 的面积的估计值为一S,假设正方形nABCD的边长为2,M 的面积为1,并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的
7、点的数目。(I)求 X 的均值EX；(II)求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(一0.03,0.0 3)内的概率。A附表：P(Z)=WCooooXO.25 x0.75i00Tz=0K2424242525742575P(k)0.04030.04230.95700.959021.(本小题满分12分)设函数 f(x)=ln(x+a)+x2(I)若当广一1 时，f (x)取得极值，求 a 的值，并 讨 论 的 单 调 性；(II)若 存 在 极 值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于In52 2.请考生在A、B、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作
8、答时，用 2 B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。A(本小题满分1 0 分)选 修 4 一4：坐标系与参数方程O O i 和。2的极坐标方程分别为p =4 co s ,p =-4 s i n8。(1 )把。和。2的极坐标方程化为直角坐标方程；(1 1)求经过。0 1,。2交点的直线的直角坐标方程。B(本小题满分1 0 分)选 修 4 一5；不等式选讲设函数/(x)=憎x+l 1 T 彳一4|。(I )解不等式/(x)2；(I I )求函数y=/(x)的最小值。62017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）参考答案一、选择题1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C7.
9、D 8.B 9.C1 0.D 1 1.B 1 2.B二、填空题13.3 14.-1 15.l+2i1 6.24 0三、解答题1 7 .解：在 B C O 中，ZCBD=n-a-/3由正弦定理得BC CDsin NBDC 一 sin ZCBD所以8C=CD sin Z.BDC _ s-sinsin ZCBD sin(a+/3)在 中，AB=BC tan ZACB=t a nS1sin(a+B)18.证 明：（I）由 题 设AB=AC=SB=SC=SA,连 结。4,ABC为等腰直角三角形，所以5QA=0 8=0C=J S 4,且AO_LBC,又ASBC为等腰三角形，故SO_L8C,25且 SO=J
10、 s a,2所以SOA为直角三角形，SO LAO又 AOnBO=O.所以SO _L平面ABC(II)解法一：取 SC 中点 M,连结 AM,由(I)知 SO=OC,SA=A C,得OM _L SGAM A.SC：./O M A为二面角A-S C-B的平面角.7由 A O J.B C,A O L S O,5 0口3。=。得4 0 _1平面5 8。所以 AOJ.OM,又 A M=Y S A,2故 s i n NA M O =A O _ 2 _ 46而一耳一丁所以二面角A S C B的余弦值为立解法二：以。为坐标原点，射线0 8,04分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系0 -xyz.设
11、 3(1,0,0),则。(一 1,0,0),A(0,l,0),5(0,0,1)SC 的中点 M,而=（；,0,一3雨=（；,1,_ 3克=（_1,0,_ 1）M O-SC =0,M A SC =0故M O L S C,MALS C,雨，凉等于二面角AS C 8的平面角.cos=丝 丝 ,所以二面角A S C B的余弦值为 3 31 9.解：（I）由已知条件，直线/的方程为 =自+0,代入椭圆方程得、+（依+&）2 =1整理得（；+F）f+2直 质+1 =0 8直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 =8公一+%21=4公 _2 0,解得攵-或-.即Z的取值范围为 8,-U-,+82 2 I
12、2)I2(II)设P(X 1,yj,Q(X2,y2),则 OP+OQ=(XI+工2，y+必)，由方程，X +入2 =-2又%+%=&(尤1 +%2)+2 7 2而 A(而)，S(0,l),AB=(-V2,l)所 以 而+而 与 通 共 线 等 价 于 +%=-J5(y+%)，将代入上式，解得&=一2由(I)知 或注，故没有符合题意的常数攵2 22 0.解：每个点落入M中的概率均为p=L依题意知X 8(10000,；(I)EX=lOOOOx=25004(II)依题意所求概率为“0.03 -x 4-l 0.03I 10000-0.03-x 4-l 0.03 I =P(2425 X 2575)100
13、00=E /。*0.25义0.753叱92574 2425=E C；0 0 0 0 x O.2 5*x O.751 0 0 0 0-C,x O.2 5 x O.751 0 0 0 0-1=2426t=0=0.9 5 70-0.0 42 3=0.9 1 472 1.解：(I )ff(x)=l-2 x ,x+a3依题意有/(一 1)=0,故a =从而/(x)=2X2+3X+(2X+1)(X+1)3-二 3X d-X d-2 2/（X）的定义域为（|,+8）当 一 *0；当 i%时，r（尤）-g时，f x）0从而，/（X）分别在区间（一|,一1 1 一；,+8）单调增加，在区间（一1,一g）单调减少
14、（II）/（X）的定义域为（”,+8）,2x2+2a x+1x+a方程+2依+1 =0的判别式 =4/_ 8（i）若A0,即一 行 。0,故/（x）的极值（i i）若 =0 ,则 Q V 2 或 =-V 2若a =6,XG（5/2,4-）,/（尤）=（垃x|）X+y/2当工=一方-时，/（x）=0,当-立，-%U 一 三，+8 时，r（x）0,所以/（X）无极值10若a =-6,x e(J 5,+8),/”)=(恒二厂0 ,/(x)也无极值x-J 2(i i i)若 (),即a正 或a 0,则2/+2 a x +l =0有两个不同的实根 =一 一，-a +yja2-2x2-一 2当a 行 时，
15、斗 -a,x2&时，xx-a,x2-a,/(x)在/(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知/(X)在X=Xp X=%2取得极值.综上，/(X)存在极值时，a的取值范围为(、历,+8)/(%)的极值之和为/(%1)+f(x2)=ln(x)+a)+x；+ln(x2+a)+x22=In 4-t z2-1 1 -In 2 =In 2 22 2.A解：解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。(I )x=pcosO ,y=p s i n 0f 由/7=4cos 6得p?=4pcos，所以+J=4x即Y +y 2 -4尤=0为。q的直角坐标方程。同理V
16、+y 2 +4y =0为。02的直角坐标方程。x2+y2-4x=0,(II)由1x +y +4y =0Xj -0,x?2解得、X=0，1%=-2II即。a,。2交于点(0,0)和(2,-2)过交点的直线的直角坐标方程为y =-xB 解：(I )令 y =|2 1 +1|-4|,则3x 3,x +5,V 121 ，x 2的解集为(T O,-7)U停+8(II)由函数丫=悟+1 卜上一4|的图像可知，当x =；时，y =|2 x +l|-k-4|取得最小值一g122017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷(二)一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，满 分6()分。在每小题给出的四
17、个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知函数尸2而(3*+4)(3 0)在区间0,2口的图像如下：那么3=(A.1 B.2 C.1/2 D.1/37 2 z2、已知复数z =l-i,则-=()z-1A.2 i B.-2 i C.2 D.23、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(A.5/1 8 B.3/4 C.V3/2 D.7/84、设等比数列 4的公比4 =2,前n项和为S,则 邑=()1 5 1 7A.2 B.4 C.D.2 25、右面的程序框图，如果输入三个 实 数a、b、c,要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的()A.c
18、x B.x c C.c b D.b c6 已知q 0，则使得(1一工)2 0,则 4 =14、过 双 曲 线 工-上=1 的右顶点为A,右焦点为F。过 点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线9 16交于点B,则4A F B 的面积为15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为二，底面周长为3,那么这个球的体积为8-16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25根棉花的纤维长度(单位：m m),结果如下：甲品种：27127328028528528729229429530130330330730831031431932332532532
19、8331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图:根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：_甲乙3 1277 5 5 02845 4 2292 58 7 3 3 1304 6 79 4 0312 3 5 5 6 8 88 5 5 3320 2 2 4 7 97 4 13313 6 7343235614三、解答题：本大题共6小题，满分7 0分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17、（本小题满分12分）
20、已知数列 4是一个等差数列，且%=1，6=一5。（1）求 。”的通项（2）求 4前n项和5“的最大值。18、（本小题满分12分）如图,(1)(2)已知点P在正方体A B C D A B C D的对角线B D i上，Z PD A=6 0 。求D P与CG所成角的大小；求D P与平面A A 1D.D所成角的大小。1519、(本小题满分12 分)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和 X 2。根据市场分析，X I 和 X 2的分布列分别为X5%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在 A、B两个项目上各投资10 0 万元，丫1和丫2 分别表示投资项目A和 B所获得
21、的利润，求方差 D Y 、D Y2；(2)将 x (0 W x 2。182017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（二）参考答案一、选择题1.B 2.7.C 8.二、填空题BD3.9.DA4.C1 0.D5.A1 1.A6.B1 2.C1 3.31 4.3 21 51 5.4-K31 6.1 .乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更
22、大）.3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为3 07mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为3 1 8 m m.4 .乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（3 5 2）外，也大致对称，其分布较均匀.三、解答题1 7.解：（I ）设 q 的公差为d,由已知条件，a,+d=1 八，解出 a=3,d =2.q +4 d =-5所以=1 +(l)d =2 +5 .(I I)Sn=na+d =-n2+4=4 一 (一 2.所以 =2时，S取到最大值4.1 8.解:如图，以。为原点，D4为单位长建立空间直角坐标系。-q z.UUUUUUL则 DA=(
23、1,0,0),CCf=(0,0,1).连结8 0,BD.在平面3 5 7 5 7)中，延长DP交BD 于H.uuu设 DH =(m,0),ACuuu uuu由已知 =60 ,uun uui ruun uui ruun uuu*由 DAgPH =DA DH c o s 可得=N 2 m 2+1 .19uuir解得 m -.，所以 D H =-,1 .2(2 2 Jumr ULIU*(I )因为 c o s =V 2 V 2 x0 +-x O +l xl221 x7 2V 2VULU4 UU U所以 =45.即0P与C C 所成的角为45 .UUU(I I)平面A ArDrD的一个法向量是D C=
24、(0,1,0).UULT UUUF因为 c o s =V 2 V 2 x0 +xl +l xO 12 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=1i xV 2 -5u u u u u u所以=60 .可得。尸与平面AA:DD所成的角为3 0 .1 9.解：（I ）由题设可知X和匕的分布列分别为Y510P0.80.2y22812p0.20.50.3EY,=5 x0.8 +1 0 x0.2 =6,D Y=(5-6)2X0.8+(10-6)2X0.2=4,现=2 x0.2 +8 x0.5 +1 2 x0.3 =8,=(2-8)2 x0.2 +(8-8)2X0.5 +(1 2-8了x0.3 =1 2
25、 .(I I)f(x)=D1 0 0 -x1 0 0 21 0 0-x1 0 02I DY24T o o741+3(1 0 0-尤)2 1 0 02(4x2-60 0 x+3 xl 0 02),慕S +当X=”=7 5时，/(x)=3为最小值.2 x4202 0.解：(I)由 C2：丁=4x 知居(1,0).设M(X，%),M在G上，因为|研|=(,所 以x+l=g,殂 一 2 _ 2底得百=w M在G上，且椭圆G的半焦距c=i,于是J _ +_8_=1 荷 十方 一 消去/并整理得/=/_ 19a4-3 7 a2+4=0,解得a=2 不合题意，舍去).3故椭圆G的方程为1x2 +女v2=LU
26、 U U UUUU1 UU U(I I)由M +g =MN知四边形Mf；N6是平行四边形，其中心为坐标原点。,因为/M N,所以/与。M的斜率相同，276故/的 斜 率 上=告 =.3设/的方程为y=C(x 加).3/+4/=12,由 消去y并化简得y=9x2-1 6nu+8m2-4 =0.设 4网，y),B(X2,%)，16m 8m2 -4%+%=丁，九i%2=UUL UUU因为。4 J_ 0 3,所以玉X2+X%=0.xx2+y%=xx2 +6(玉一加)*2-m)=7XX2-6m(x+x2)+6m221-8 z?-4 ,1 6 m,2=7 g-6 mg-+6 m -2 8)=0.所 以 加
27、=近.此时 =(1 6 m)2-4 x 9(8 m 2 -4)0 ,故所求直线/的方程为丁 =瓜一 2e，或y =x+2百.2 1.解：(I )(幻=1(x+b)2。=1,b=L于是4解得41(2+b)2或，9a=f47 8b-3因 a,be Z,故/(x)=x+-.x-1(H)证明：己知函数弘=，必=工都是奇函数.X所以函数g(x)=x+L也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.X而/(x)=x-l+一+l.x-1可知，函数g(x)的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数/(X)的图像，故函数/(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(1 、(III)证明：在曲线上任取一
28、点/，/+、X。一由/(x )=l-(工0-1)2知，过此点的切线方程为令彳=1得丫=宫 里无。-1切线与直线尤=1交 点 为1,3k%0 -1 /令y =%得 丁 =2%-1,切线与直线y =x交点为(2%-1,2%-1).直线x =1与直线y =x的交点为(1,1).22从而所围三角形的面积为,2|2 x0-2|=2 .所以，所围三角形的面积为定值2.2 2 .解：（I ）G是圆，C2是直线.G的普通方程为九2 +丁=1，圆心（0,0）,半径 =1.。2的普通方程为九一）+收=0.因为圆心G到直线九一 y+啦=o的距离为1，所以G与 只有一个公共点.（II）压缩后的参数方程分别为x-cos
29、 0,c/：1 （。为参数）；C；：y-sm O且2旦4.XyV 2,（r为参数）.1 B化为普通方程为：C：一+4）,2=1,c；：y=2X+2 联 立 消 元 得+2 JLc +1 =0,其判别式A =（2行并一 4 x 2 x l=0,所以压缩后的直线C；与椭圆C：仍然只有一个公共点，和C,与C2公共点个数相同.4 尤 4,2 3 .解：(I )/(%)=8.图像如下：(H)不等式|x-8 1 T x-4|2,即/(九)2,由 一 2 x +1 2 =2 得 x =5.由函数/(x)图像可知，原不等式的解集为(8,5).232017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷(三)第I
30、卷一，选择题：(本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。1.已知集合4=1,3,5,7,9,8=0,3,6,9,12,则41 CNB=(A)1,5,7(B)3,5,7(C)1,3,9(D)1,2,3后共3+2i 3-2z2.复数-=2-3 i 2+3i(A)0(B)2(C)-2i(D)23.对变量x,y有观测数据理力争(玉，y)(i=l,2,，10),得散点图1；对变量u,v有观测数据(物,V,)(i=l,2,-,10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断。w闻25Sol20 4 .1 5,M.,o i i 3 4$6 fl cr-(A)变量X与y正相关
31、，u与V正相关(C)变量x与y负相关，u与v正相关X2 y24.双曲线一.=1的焦点到渐近线的距离为4 12(A)2 G (B)2(C)也5.有四个关于三角函数的命题：n C.2 X 2 X 1Pi：XG R,sin +cos=1 2 2 2 2p3:V xe 0,cos2x=5加 p4:sin其中假命题的是(A)P,p4(B)p2,p4(3)Pi,p2x+y 46.设 x,y 满足 x+y=3 Pi PAx-2 y 0),则f (x)的最大值为(A)4 (B)5 (C)6(D)7第H卷二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。13 .设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(l,0),直 线1
32、与抛物线C相交于A,B两点。若A B的中点为(2,2),则直线，的方程为.14 .已 知 函 数y=s i n (Ox+夕)(d)0,-7T 的图像如图所示，则25（p=_15.7 名志愿者中安排6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3 人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）。16.等差数列。“前 n 项和为。已知S2“I=38,则 m=三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）为了测量两山顶M,N 间的距离，飞机沿水平方向在A,B 两点进行测量，A,B,M,N 在同一个铅垂平 面 内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A,B 间的距离，
33、请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤。_d_ A18.（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训1（称为B类工人），现用分层抽样方法（按 A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；（I I）从 A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1 和表2.表 1：表 2：生产能力分组100,110)110,
34、120)120,130)130,140)140,150)人数48X53生产能力分组110,120)120,130)130,140)140,150)人数6y3618（i）先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）266英 立EG ffi#大小：299 K B尺 寸890 x 1252。索0020001604)120008000484O62B4O62I8T44433Z221OO00000000000 100 110 120 130 140-,-100 110 120
35、 130)40 150:S I A IS：，美工人生L 合 力 的 分3 A方引（ii）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）1 9.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCO的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的正倍，P 为侧棱SD上的点。（I）求证：AC1SD；（II）若SD1.平面P A C,求二面角P-AC-D的大小（III）在（II）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC。若存在，求 SE：EC的值；若不存在，试说明理由。2720.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心为直角坐标
36、系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(I)求椭圆C的方程；(I I)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=入，求点M的轨迹方程,OM并说明轨迹是什么曲线。21.(本小题满分12分)已知函数 f(x)=(丁+3/+a x+b)e-x(I)如。=一3,求/(x)的单调区间；(ID若/*)在(,a),(2,)单调增加，在(a,2),(,+oo)单调减少，证明万一a 6.282 2.（本小题满分1 0 分）选修4 4：坐标系与参数方程。x =8 c o s 6,一，（。为参数）。y =3 s i n 6,已知曲线C ：-45.已知命题8：函数y=
37、2*-2-x 在 R为增函数；p2：则在命题 0：V/?,%:A p,%：(-ip)、(A)%,%(B)%,%(C)%,q46.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1000粒种的种子数记为人则小的数学期望为沁0F 4函数了 =2*+2一*在R为减函数，和%：P i人(一 2)中，真命题是(D)%，%对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补(B)200(C)300(D)400307.如果执行右面的框图，输入N =5,则输出的数等于5(A)-44(B)-5(C)-5(D)-68.设偶函数/(%)满足/a)=d -8(x2 0),则 。-2)0=(A)xx 4(B)xx 4(C)xx 6)
38、(D)xx 2 9.若c o sa =_ 9,51是第三象限的角，则1 +t a n2.,a1 -t a n2(A)_2(B)22(C)2(D)-21 0.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为2(A)a-(B)-7K er2(-C)1 1 兀 a23(D)5/|l g x|,0 x 1 0.(A)(1,1 0)(B)(5,6)(C)(1 0,1 2)(D)(2 0,2 4)1 2 .已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线/与E相交于A,B两点，且A B的中点为N(1 2,-1 5),则 的方程式为(A)E 3 69 2(/B、)-
39、九-y =114 5第n卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。1 3.设y =/(x)为区间 0,1 上的连续函数,2 2,、x y 1(D)=15 4且恒有0 /(X)1,可以用随机模拟方法近似计算积分31先产生两组(每组N 个)区 间 0,1上的均匀随机数乱看,x,v和 x，%，%，由此得至UNJ 0个点(须，X)(i=L 2,，N),再数出其中满足y /(%)(i=1,2,-,N)的点数N,那么由随机模拟方案可得积分公 的近似值为。14.正 视 图 为 一 个 三 角 形 的 几 何 体 可 以 是(写 出 三 种)15.过点A(4,l)的圆C 与直线x-y=0相切于点B(2,1),
40、则圆C 的方程为16.在AABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=-DC,ZADB=120,A D=2,若aADC 的面积为3-百，2则 N BAC=三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤17.(本小题满分12分)设数列 4 满足 =2,an+-an=3攵2T(1)求数列 a,的通项公式；(2)令b.=na”,求数列的前n 项和S“1 8.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，A B nCD,A CBD,垂足为H,PH 是四棱锥的高，E 为A D 中点(1)证明：PE1BC(2)若 NAPB=NADB=60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值321
41、9.（本小题1 2 分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法调查了 5 0 0 位老年人，结果如下:男女需要4 03 0不需要1 6 02 7 0（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有9 9%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：0.0500.0100.001k3.&416.63510.828(a+bYc+cXb fd j332 0.(本小题满分12分)设4,K分别是椭圆E:二+与=1(。匕0)的左、右焦点，过片斜
42、率为1的直线i与E相交于A,Ba b两点，且|A J,|A B|，WK|成等差数列。(1)求 的离心率；(2)设点p(0,-l)满足|PA|=|P 8|,求E的方程2 1.(本小题满分12分)设函数 f(x)=ex-x-a x2 o(1)若a=0,求/*)的单调区间；(2)若当xNO时/(x)2 0,求。的取值范围34请考生在第（2 2）、（2 3）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2 B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。2 2.（本小题满分1 0 分）选修4-4：坐标系与参数方程x =1 +t c o s a f x =c o s 0已知直线（t 为参数），C2 （
43、6为参数），y=tsna y =si n。T T（I ）当&=一时，求 Cl 与 C2 的交点坐标；3（H）过坐标原点。做 G 的垂线，垂 足 为 二 P 为 0 A 中点，当a变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。2 3.（本小题满分1 0 分）选修4-5,不等式选项设函数/（x）=2 x 4/+1（I ）画出函数y =/（x）的图像（H）若不等式/（x）Wax的解集非空，求 a的取值范围。2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷(四)参考答案一、选择题(1)D (2)A (3)A (4)C(5)C(6)B(7)D (8)B (9)A (1 0)B (1 1)
44、C(1 2)B二、填空题(1 3)乂(1 4)三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分)N(1 5)(x-3)2+y2=2(1 6)6 0 三、解答题(1 7)解:(I )由已知，当nl时，+i=K%+i )+(4 -4-)+.+%=3(221+223+.+2)+2_ 22 0)I m则 D(0,m,0),E(-,-,0).-1 7 7 Z可得 P E =B C =-7 7 7 7 7 7因为 P E B C =+0 =02 2所以 P E L B C(I I )由已知条件可得 m =-,n =,L C(-,0,0)3 30(0,一 坐,0),品，一 g,0),P(0,0,1)3 2 o设=
45、(%,乂尤)为平面P EH 的法向量n H P =因此可以取=(1,廊)，由 西=(1,0,-1),可得c o s5所以直线P A与平面P E H所成角的正弦值为 4(1 9)解:(1)调查的5 0 0 位老年人中有7 0 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7与0=1 4%5 0 0 犬2 _ 5 0 0 x(4 0 x 2 7 0-3 0 x 1 6 0)2八 2 0 0 x 3 0 0 x 7 0 x 4 3 09.9 6 7。由于9.9 6 7 6.6 3 5,所以有9 9%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(HI)由(II)的结论知
46、，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年37人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.（20.）解：（I）由椭圆定义知|A居|+|Bj|+|A B|=4 a,又21A M=恒 周+忸段,得=I的方程为y =x+c ,其中c =J a2-h2。设B（x2,y2）,则A、B两点坐标满足方程组y=x+c工+L2 b2=1化简的(/+匕2)+2 a 2cx+/(,2 一 /)=o-2a2c则 X 1+%2 =F-T,=-Z 7 2 a2+b2 1 2 a
47、2+b2因为直线A B斜率为1,所以|A B|=&昆 一|=,2(%+%)2-4 5 234 4a b2 2得一 二-5-7，故/=2b3 a2+b2LLt、l 、*C J/2所以 E 的离心率e=-=a a 2（I I）设A B的中点为（%,%），由（I）知x.+X)-a2c 2 c/=-=%=%+0 =。2 a +b 3 3*|PA|=|PB|,得 kpN=-l,即&1=_ 1%得c =3,从而。=3血 乃=3f 2故椭圆E的方程为一+2=1。18 9(21)解:38(1)=0 时,/(x)=ex 1 x,f(x)=ex 1.当 x e(-8,0)时，f(x)x-la x=(1-2a)x,
48、从而当 1一2。2 0,即“wg时，/V)0 (x 0),而/(0)=0,于是当x 2 0时，/(x)0.由e*l+x(xH 0)可得e-*1-%*0 0).从而当。；时，f x)ex-l+2a(e-x-l)=e-x(ex-X)(ex-2a),故当xe(0,ln 2a)时,f(x)0,而/(0)=0,于是当xe(0,22a)时,f(x)0.综合得a的取值范围为(ro,g.(22)解:oc (I)当 3时，的普通方程为y =JJ(X-l),C2的普通方程为f +y 2=。联立方程组y=y/3(x-l)x2+y2=1解得G与G的交点为(i，)(II)C,的普通方程为xsi n a-y c o sa
49、-si n a =0。A 点坐标为(si n?a-c o sa si n a),故当a变化时，P点轨迹的参数方程为:f 1 .2 2 (a为 参数)y =si n a c o sar 239故 P 点 轨 迹 是 圆 心 为 半 径 为;的 圆。(2 3)解:)由于一 2x+5,x 2则函数y=/(x)的图像如图所示。/W =,(II)1由函数y=/(与函数y=的 图 像 可 知，当且仅当 2 或。1 =P3:a-b 1 0,yj其中的真命题是()(A)片，4(B)P R:卜 +1 Q(子/P4:|a-Z?|1 (C)P2,P3(D)P2,P4(1 1)设函数/(x)=s i n(a)x+8)
50、+c o s(a)x+9)(0 O，M|g的最小正周期为，且 f(-x)-fx,则()(A)/(x)在(0,J单调递减(C)/(x)在(0 卷 单调递增(jr 3 7 r )(B)在 芦,匕 单 调 递 减14 4；(jr 3 7 r )(D)/(九)在 2,把单调递增14 4；(1 2)函数y=-1 的图像与函数y=2 s i n%x(2Wx W4)的图像所有焦点的横坐标之和等于()x-1(A)2 (B)4 (C)6 (D)8二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分。(1 3)若变量x,y满足约束条件3 2 x+y 久则 =%+2 了的最小值为6 x-y 9,(1 4)在平面直角坐标系尤0y