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1、第12讲方差*【学 习 目 标】了解方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征.体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法.公【基础知识】.方差（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用5 2 来表示，计算公式是：S 2=3 （x i-jc）2+（X 2-X）2+-+（X n-x）2J （可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则
2、它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.二.计算器-标准差与方差由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作.以如图的计算器为例说明：首先，按键，再按所/c（清零）键，即进入统计状态，右上角有业 显示.接着，进入数据输入存储状态，输入一个数据后按M+键，即对数据进行储存，可显示1,表示输入了第一个数据,依次再输入，显示2,为第二个数据.数据输入完成后，就可进行计算，按 2 必再 按 即 显 示 为 平均值，其他同此.先 按 键 再 按 其 他 键，表示选择的是该键上方的功能.W【考点剖析】方 差（共 9小题）1.（2 0 2 2 贵阳模拟）七年级某班甲、乙、丙、丁四位同学
3、准备选一人参加学校“跳绳”比赛.经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟1 8 0 个，方差分别是s 甲 2=65,s /=5 6.5,5 丙 2=5 3,s 2=5 0 5,你认为派哪一个同学去参赛更合适（）A 甲 B.乙 C.丙 D.T【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.【解答】解：；他们的平均成绩都是每分钟180个，622=65,s 乙 2=56.5,s 丙 2=53,s丁 2=50.5,：.S 2S 丙 2Vs 甲 2 s 乙 2,射击成绩最稳定的是丁；故选：D.【点评】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动
4、越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.2.（2022春北仑区期中）用如下算式计算方差：52=%（XI-2）2+（X2-2）2+（-2）2+（切-2）T 上述算式中的“2”是这组数据的（）A.最小值 B.平均数 C.中位数 D.众数【分析】根据方差的定义即可得出答案.【解答】解：S2=（XI-2）2+（%2-2）2+（%3-2）2+-+（X-2）2 中的“2”是这组数据的平均数，故选：B.【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义.3.（2022春温州期中）现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数均为1.82米
5、,方差分别为52=3.7,5 2=4.2,则身高较整齐的球队是 甲 队.甲 乙【分析】根据方差的意义解答.【解答】解：。甲 2V s乙 2,.身高较整齐的球队是甲队.故答案为：甲.【点评】本题考查J方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.4.（2022春朝阳区校级期中）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：甲 乙 丙 丁平均数(分)9.29.59.59.2方差3.63.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定
6、的选手参加射箭比赛，应该选择()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【分析】根据平均数的概念、方差的性质判断即可.【解答】解：成绩好的选手是乙、丙，成绩发挥稳定的选手是甲、乙，二成绩好且发挥稳定的选手是乙，应该选择乙参加射箭比赛，故 选:B.【点评】本题考查的是平均数、方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.5.(2 0 2 2春诸暨市期中)已知数据x i,X 2,后 的平均数是5,方差是2.则数据2 x i-3；2 x 2-3；2 x 3 -3的平均数是 7 ,方差是 8 .【分析】根据方差和平均数
7、的变化规律可得：数据2*-3,2 m-3,2 x 3-3的平均数是2X 2-3,方差是2 X 2 2,再进行计算即可.【解答】解：数据X I,X 2,X 3的平均数是5,数据 2 x i-3；2 x 2-3；2 x 3-3 的平均数是 2 X 5-3=7；:数 据X I,X 2.X 3的方差是2,.数据为7；2 x 2-3；入3-3的方差是2 2*2=8；故答案为：7,8.【点评】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有个数据，X I,X2,X”,若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍.76.(2 0 2 2春嘉兴期中)一组
8、数据1,2,a，3的平均数是3,则这组数据的方差是-.【分析】先根据算术平均数的定义求出”的值，继而根据方差的定义求解即可.【解答】解：根据题意知=3 X 4 -(1+2+3)=1 2-6=6,这组数据为1、2、3、6,该组数据的方差为乙 x f (1 -3)2+(2-3)2+(3-3)2+(6-3)2=44 27故答案为：.2【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握方差和算术平均数的概念.7.（2 0 2 2 春龙港市期中）某研究员随机从甲、乙两块试验田中各抽取1 0 0 株杂交水稻苗测试高度，经测量、计算平均数和方差的结果为=1 2 c z,%7=1 2 ,=3W,S2=8.
9、6?,则杂交水稻长势比较整齐的是 甲 试 验 田.（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.【解答】解：%7=12,S 中 2=3.2,S 乙 2=8.6,甲 乙；.S 甲 2 1.3 4 0.21 0.1 6,，乙的方差最小，成绩最稳定的是乙，故选：B.【点评】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.5.（2022盐池县二模）甲、乙两人5次数学考试成绩如表：则以下判断中正确的是（）甲8 4 8
10、68 58 38 7乙8 4 8 58 68 58 5A.X甲=X S S；B.x 毕S 赢 s J.故 选:A.【点评】本题考查了平均数，方差的意义.平均数表示一组数据的平均程度；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.二.填 空 题(共 7 小题)6.(2022乌海一模)某超市销售五种饮料，单价分别为(单位：元)3,3,x,5,7.若这组数据的平均数是2 x,则这组数据的方差为 3.2.【分析】根据平均数的计算方法可以求得x=2,然后可以求出平均数为4,再利用方差计算公式计算即可.【解答】解：.飞，3,x,5,7 这 5 个数的平均数为2x,3+3+X+5+7-=2x95 工=2,这组数据的平
11、均数是4,这组数据的方差是g (3-4)2X2+(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2=3.2,故答案为：3.2.【点评】本题主要考查平均数和方差，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解答此题的关键.7.(2022遵义模拟)若数据2,1,a,3,0 的平均数是2,则这组数据的方差是 2.【分析】先根据平均数的定义确定出x 的值，再根据方差的计算公式计算可得.【解答】解：由平均数的公式得：(O+l+2+3+a)+5=2,解得。=4；方差=(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)24-5=2.故答案为：2.【点评】此题考查了平均数和方差的定义.平均数是所有数据的和除以数据的
12、个数.方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.8.(2022兴宁区校级模拟)2022年冬奥会将在北京市和张家口市联合举行，北京成为奥运史上第一个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市.为了激发同学们对冬奥会的热情，某校开设了冰球选修课，1 2名同学被分成甲、乙、丙三组进行训练，经过5次测试，若甲、乙、丙三组的平均成绩相同，且方差SV=O.7 5,S/=O.5 S.2=O.9,则应选择乙组参加全市中学生冰球联谊赛.【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.【解答】解：甲 2
13、=0.7 5,S乙 2=0 5,s丙 2=0.9,乙 2 s：.（填“”，或“=”）【分析】根据方差的定义列式计算即可.解 答 解：通,=1 +1 2+.+1 4+1 6=3,a=1 2+1 2+:+1 4+1 4=3,；.S 甲 2=/x (1 0-1 3)2+(1 2 -1 3)2+(1 3 -1 3)2+(1 4-1 3)2+(1 6-1 3)2=4,s/=1 x 2 X (1 2 -1 3)2+(1 3 -1 3)2+2 X (1 4-1 3)2=0.8,57 7 S 甲 S 乙，故答案为：.【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义.1 1.(2 0 2 2 铜仁市一模)甲
14、、乙二人五次数学考试成绩如下：甲：1 3 5,1 3 4,1 3 2,1 3 8,1 3 6；乙：1 3 4,1 3 5,1 3 5,1 3 5,1 3 6.则甲、乙两人成绩比较稳定的是乙.【分析】根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案.【解答】解：甲的平均数是：(1 3 5+1 3 4+1 3 2+1 3 8+1 3 6)+5 =1 3 5,则甲的方差是：|X f(1 3 5 -1 3 5)2+(1 3 4 -1 3 5)2+(1 3 2 -1 3 5)2+(1 3 8 -1 3 5)2+(1 3 6-1 3 5)2 =4,乙的平均数
15、是：(1 3 4+1 3 5+1 3 5+1 3 5+1 3 6)+5=1 3 5,1则乙的方差是：-x (1 3 4 -1 3 5)2+(1 3 5 -1 3 5)2+(1 3 5 -1 3 5)2+(1 3 5 -1 3 5)2+(1 3 6-1 3 5)2=0.4,V 0.4 b 8.8 c=0.0 0 5；(2)你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由.【分析】(1)依据中位数、平均数、方差的定义即可求解；(2)去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响.【解答】解：(1)方式一：不去掉任何数据，这组数据的
16、中位数为：殳 警=8.8；方式二：去掉一个最高分和一个最低分，平均数为(8.8+8.8+8.9+8.7)=8.8,4方差为：C=j x (8.8 -8.8)2+(8.8 -8.8)2+(8.9 -8.8)2+(8.7 -8.8)2=0.0 0 5,故答案为:8.8,8,8,0.0 0 5；（3）方式二：去掉 个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计更合理，理由：这样可以减少极端值对数据的影响.【点评】本题主要考查了平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小：反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.1 4.（2 0 2 2 宛
17、城区一模）北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了 2 0 名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满 分 1 0 0 分,共分成五组：A.x 8 0,B.8 O W x 8 5,C.8 5W x 9 0,D.9 0 W x 3 1.4,乙校的成绩较为稳定，乙校志愿者测试成绩较好；（3）根据题意得：甲校2 0 名志愿者成绩在9 0 分以上的人数为：2 0 X（4 5%+2 0%）-1=1 2,2 0 名志
18、愿者成绩在9 0 分以上的人数为1 3,1 2 1 2；.2 0 0 x 与+3 0 0 X 元=1 2 0+1 9 5 =3 1 5（人），答：成绩在9 0 分以上的志愿者有3 1 5 人.【点评】本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法.1 5.（2 0 2 2 春如皋市期中）八年级某老师对一、二两班学生进行了一次“安全知识竞赛”，并将成绩进行了统计，绘制了如图图表（满 分 1 0 分，学生得分均为整数）.班级 平均分 中位数 众数 方差一班 7.1 6 6 2.6 9二班 6.9 8 8 5.8
19、 9（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了 7分，在我们班中排名属中游略偏上!”观察表可知，小亮是 甲 班 学 生（填“一”或“二”）；（3）甲同学依据平均分推断，一班学生安全知识水平更好些.乙同学不同意甲的推断，请给出两条支持乙同学观点的理由.【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得一班的中位数和二班的众数，从而可以解答本题；（2）根据两个班的中位数可以判断小亮在哪个班；（3）根据表格中的数据可以写出支持乙同学的两条理由.【解答】解：（1）一班学生的成绩共1 0 个数据，从小到大排列排在第2 0、2 1 两个数都是 6,.中位数为6分：二班学生成绩值8出现次数最多，故众数为8；故答案为：6；8；
20、（2）.一班的中位数是6,二班的中位数是8,6 8,二小亮是一班同学,故答案为：甲：（3）支持乙同学观点的理由：二班学生的众数高于一班；二班学生的中位数高于一班.（答案不唯一）.【点评】本题考查条形统计图、加权平均数、方差、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.1 6.（2 0 2 2 春朝阳区校级月考）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x,），于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20 人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：注“”表示患者，“”表示非患者.根据以上信息，回答下列问
21、题：（1）在这4 0 名被调查者中，指标y低于04的有 9 人:将 20 名患者的指标x的平均数记作号，方差记作s/,20 名非患者的指标尤的平均数记作石，方差记作s B 则得”，=”或“”）；（2）来该院就诊的5 0 0 名未患这种疾病的人中，估计指标x 低于0.3的大约有 1 0（）人:（3）若 将“指标x低于0.3,且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的有 12 5人.【分析】（1）根据图象，数出直线y=0.4 下方的人数即可；根据图象，可知20 名患者的指标x的取值范围是0 Wx V 0.5,且 有 1 6 名患者的指标x 0.3；2 0 名非患者的指标x的取
22、值范围是0.2Wx S 22.故答案为：V,;（2）5 0 0 x =1 0 0 （人）.故答案为：1。0；（3）根据图象，可 知“指标x 低于0.3,且指标y 低于0.8”的 有 1 5 人，而患者有20 人,则发生漏判的概率是：1-基=/发生漏判的有：5 0 0 x =1 25 （人），4故答案为：1 25.【点评】本题考查了平均数、方差的意义，利用样本估计总体，以及概率公式，准确识图，从图中获取有用信息是解题的关键.1 7.（20 22春拱墅区期中）八年级举行锡越子比赛，每班推出5名学生参赛，按团体总分排列名次.下表是成绩最好的甲班和乙班各5名学生的比赛数据（单位：个）.由于两班的总分、
23、平均分都相等，数学老师提出：可否对所得数操作进一步处理，得出其他统计量作为评定的参考？同时，给出下列问题请你回答.1 号2 号3 号4号5号总分甲班1 0 09 81 1 08 91 0 35 0 0乙班8 91 0 09 51 1 99 75 0 0（1）计算两班比赛数据的中位数；（2）计算两班比赛数据的方差；（3）根据以上新统计量，作为团体，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？请简单地说明理由！【分析】（1）中位数，就是一组数按从小到大的顺序排列，中间位置的那个数，如果有偶数个数，那就是中间的两个数的平均数；（2）方差是各变量值与其均值离差平方的平均数；（3）理解各数据表达的含义.【解答】
24、解：（D甲班的中位数为1 0 0,乙班的中位数为98；1(2)甲班平均分为：-x(100+98+1104-894-103)=100,S 甲 2=x1(100-100)2+(98-100)2+(110-100)2+(89-100)2+(103-100)25=46.8；1乙班平均分为：-X(89+100+95+119+97)=100,乙班的方差为：-x(86-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(119-100)2+(975-100)2=114；(3)应该把冠军奖状发给甲班.因为两班的平均分相同，但甲班的优秀率比乙班高，比赛数据的中位数也比乙班大，甲班比赛数据的方差比乙班小，说明甲班的成绩比乙班稳定，综合分析，甲班成绩好，所以应该把冠军奖状发给甲班.【点评】本题考查了中位数、加权平均数、方差，理解它们的意义是解题的关键.