《圆与圆的对称性-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）（解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆与圆的对称性-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）（解析版).pdf（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第04讲圆与圆的对称性二*【学 习 目 标】1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；公【基础知识】一.圆的认识（1）圆的定义定义：在一个平面内，线 段 O A 绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆.固定的端点O 叫做圆心，线段O A 叫做半径.以。点为圆心的圆，记作读 作“圆 O”.定义：圆可以看做是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的
2、弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.（3）圆的基本性质：轴对称性.中心对称性.二.垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）垂径定理的推论推 论 1：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.三.垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
3、弦所对的两条弧.（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.四.圆心角、弧、弦的关系(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧.(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相
4、等，所对的弦相等，三 项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.五.点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系有3种.设 的 半 径 为r,点P到圆心的距离O P=d,则有：点P在圆外 点P在圆上=d=r 点P在圆内(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.(3)符号读作”等价于”，它 表 示 从 符 号 的 左 端 可 以 得 到 右 端，从右端也可以得到左端.【考点剖析】一.圆 的 认
5、识(共5小题)1.(2 0 2 2兴化市模拟)如图所示，MN为0。的弦，N N=5 2 ,则N A/O N的度数为()A.3 8 B.5 2 C.7 6 D.1 0 4【分析】根据半径相等得到OM=OM则/M=N N=5 2 ,然后根据三角形内角和定理计算NMON的度数.【解答】解：.ZM=ZN=52,./M ON=180-2X52=76.故选：C.【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）.2.（2020秋东丽区期末）已知0 0 的半径是6 a m 则0。中最长的弦长是（）A.6cm B.12cm C.16cm D.20cm【分析】利
6、用圆的直径为圆中最长的弦求解.【解答】解：圆的直径为圆中最长的弦，O O 中最长的弦长为12cm.故 选:B.【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）.3.（2020秋白云区校级期中）如图，在 RtZXABC中，以点C 为圆心，8 C 为半径的圆交AB 于点。，交 AC 于点 E,ZBCD=4Qa,则乙4=20.【分析】由半径相等得C B=C D,则/B=N C O 8,在根据三角形内角和计算出/8=2（180-ZBCD）=70,然后利用互余计算/A 的度数.【解答】解：C8=C,:.N B=/C D B,：Z+ZCB+ZBCD=
7、180,A ZB=1（180-ZBCD）=i （180-40）=70,V ZACB=90Q,：.ZA=90-/B=2 0 .故答案为20.【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）.也考查了三角形内角和定理.4.（2019秋宜兴市期中）如图所示，AB为0 0 的直径，C。是0。的弦，AB,的延长线交于点E,已知AB=2Z）E,NAEC=20.求NAOC的度数.C_【分析】连接OO，如图，I 1 AB=2DE,4 8=2 0 0得到OO=OE,根据等腰三角形的性质得NOOE=NE=20,再利用三角形外角性质得到NC0O=4O,加上N C=
8、/03C=40,然后再利用三角形外角性质即可计算出NAOC.【解答】解：连接0D，如图，：AB=2DE,而 AB2OD,：.OD=DE,.NOOE=NE=20,A ZCDO=ZD0E+ZE=4（）0 ,ifii OCOD,/.ZC=ZODC=40,A ZAOC=ZC+ZE=60.O B E【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）.也考查了等腰三角形的性质.5.（2021春巨野县期末）已知。0的半径是6 a m则Q。中最长的弦长是 12 cm.【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解.【解答】解：二圆的直径为圆中最长的弦，二。中最长的弦长
9、为2X6=12（cm）.故答案为：12.【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）.二.垂 径 定 理（共3小题）6.（2022南沙区一模）如图，。的直 径 为1 0,弦A8=8,P是 弦AB上一动点，那么O P长 的 取值范围是3 W O P W 5【分析】因为。的直径为1 0,所以半径为5,则O P的最大值为5,O P的最小值就是弦A B的弦心距的长，所以，过点。作弦A B的弦心距0”，利用勾股定理，求出O M=3,即0 P的最小值为3,所以3 W O P W 5.【解答】解：如图：连接。4,作。与M,:。的直径为1 0,二半径
10、为5,；.O P的最大值为5,与 M,：.AM=BM,；A 8=8,：.AM=4,在 R t z X A O M 中，0 M=V 52-42=3,O M的长即为O P的最小值，.3 W O P W 5.【点评】解决本题的关键是确定0 P的最小值，所以求O P的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为4,这条弦的弦心距为“，则有等式/=晨+(0)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个.27.(2 0 2 1秋鼓楼区校级期末)如图，A B是。的直径，弦于点E,若BE=5,C D=6,求A
11、 E的长.A【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出A E的长即可.【解答】解：如图，连接0 C,JCDLAB,A B 是直径，：.C E=D E=C D=3,在R t Z C O E中，设半径为r,则0 E=5-r,O C=r,由勾股定理得，OE+CEOC2,即(5 -r)2+3212,解得r=3.4,：.AE=AB-8 E=3.4 X 2 -5 =1.8,答：A E的长为1.8.-【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提.8.(2 0 2 2南京一模)如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、。四点.已知 A (6,0),B
12、 (-2,0),C (0,3),则点。的坐标为(0,-4).AX【分析】设圆心为P，过点P作P E _ L 4 8于点E,P凡L C O于点片 先根据垂径定理可得E A=E 3=4,F C=F D,进而可求出O E=2,再设尸(2,山)，即可利用勾股定理表示出P C2,PA1,最后利用以=以列方程即可求出加值，进而可得点。坐标.【解答】解：设圆心为P,过点P作P E L A B于点E,PF CD于点F,则E A=E B=券=4,FC=FD,：.E(2,0),设 P(2,m),则 F(0,m),连接PC、PA,在 RtCPF 中，PC1 2=(3-;n)2+22,1 7，OD=OF+DF=+g=
13、4,2 2AD（0,-4）,故答案为：（0,4）.【点评】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程.三.垂径定理的应用（共 3 小题）9.（2020秋伊通县期末）在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB=1 6 0C7,则油的最大深度为405？.在 RtZXAPE 中，B42=W2+42,：PA=PC,(3-m)2+22m2+42,.,.?=+1(舍 正)，：.F(0,-i),【分析】连接0 A，过点。作 OE_ L A 8,交 A8于点M,由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出O M的长，进而可得出M
14、 E的长.【解答】4 0 a x 解：连接O A,过点。作 O E L A B,交 AB 于点M,/直径为 2 0 0 皿，A B=1 6 0CT C,OA=O E=1 OOc/n,A M=80 cm,：.O M=y/OA2-A M2=8米（C为A B的中点，。为弧A B的中点）.（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩E F支撑，求桥墩的高度.【分析】（1）设弧A 8所在的圆心为0,。为 弧 的 中 点，于C,延长）C经过。点，设。的半径为R,利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出A0的长，再求出E F的长即可.【解答】解：（1）设弧A 8所在的圆心
15、为0,。为 弧 的 中 点，于C,延长D C经过。点，设0。的半径为R,D在 R t Z OBC 中，OB2=O C2+CB2,，R2=（R-8）2+1 62,解得R=2 0；（2）O H L F E 于 H,则 O =C E=1 6-4=1 2,O F1=R=2 0,在 R t Z 。“尸中，V 2 02-1 22=1 6,：HE=O C=O D-C D=2 0 -S=2,E F=H F -H E=1 6-1 2=4（米）,在离桥的一端4米处，桥墩高4米.【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键.四.圆心角、弧、弦的关系（共 3小题）1 2.（2 0
16、2 1 秋临邑县期末）如图，A8是。O 的直径，点 C、。是。上的点，若/。B=2 5 ,则NAO C 的度数为（）A.6 5 B.5 5 C.6 0 D.7 5【分析】由48为。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得/A CB=90 ,又由N CA B=2 5 ,得出NB 的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得/AO C 的度数.【解答】解：为。的直径，：.ZACB=90 ,：Z C A B=2 5,A Z/1 BC=9O-Z C A B=6 5 ,./A OC=/4 BC=6 5 .故选：A.【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.
17、13.（2021秋鼓楼区校级月考）下列说法中，不正确的是（）A.在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60C.在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大D.若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理对各个选项进行判断即可.【解答】解：A、在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等，正确；8、在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60,正确；C、在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大，正确；。、若两弧的度数相等，则这两条弧不一定是等弧，错误.故选：D.【点评】本题考查
18、的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，注意在同圆和等圆中这个条件不能忽略.14.（2022玄武区一模）如图，在A A B C中，E是2 C边上的点，以A E为直径的。与AB,BC,AC分别交于点F,D,G,且。是气的中点.（1）求证 A B=A C；（2）连接O F,当。/A C时，若A8=10,B C=U,求CE的长.【分析】（1）连 接A D,根据圆周角定理得到/E D 4=90,根据圆心角、弧、弦之间的关系得到进而证明N 8=N C,根据等腰三角形的判定定理证明结论;（2）连 接DF,D G,证明A E CSDGC,根据相似三角形的性质求出A
19、 E,根据勾股定理求出D E,进而求出CE.【解答】（1）证明：连接4），.乂 是。的直径，./EDA=90,是吊的中点，丽=D G，.ZBADZCAD,；N8+N84O=90,NC+NC4O=90,：.ZB=ZC,：.AB=AC（2）解：连接。R DG.AB=AC,ADLBC,：.BD=CD,.A8=10,BC=12,：.AC=O,CD=6,由勾股定理得：AD=y/AC2-CD2=8,VDF/7AC,.BF BDFA DC:.BF=FA,在 RtZAB 中，AB=10,BF=FA,.*.OG=CF=；AB=5,：.DG=DF=5,V ZC=ZC,ZCDG=ZCAE,/.AECADGC,：.A
20、C=AE,即r1n1一0=AE,DC DG 6 5解得：4=孕在 RtZsAOE 中，ZADE=90,AE=售，A=8,DE=y/AE2-A D2=（【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据4E C s/“GC求出AE是解题的关键.五.点与圆的位置关系（共 3 小题）15.（2021秋沐阳县期末）若。0 的直径为1 0,点 A 到圆心O 的距离为6,那么点A 与。的位置关系是（）A.点A 在圆外 B.点 A 在圆上 C.点 A 在圆内 D.不能确定【分析】根据题意得O。的半径为5 c m,则点A 到圆心。的距离小于圆的半径，则根据点与圆的
21、位置关系可判断点A 在O O 内.【解答】解：。的直径为10，二。的半径为5,而圆心O 的距离为6,.点A 在。外.故选：A.【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设。的半径为八点P 到圆心的距离OP=d,则有点P 在圆外点P 在圆上=r：点 P 在圆内16.（2022常州模拟）如图，4,B,C 是某社区的三栋楼，若在4 c 中点。处建一个5G【分析】根据勾股定理的逆定理证得4 8 C 是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得8。的长，然后与300,“比较大小，即可解答本题.【解答】解：AB=300cm,BC=400cm,AC=500cm,：.AB2+BC2=AC2,.ABC是宜角三角
22、形，.NA8C=90,点。是斜边4 c 的中点，：.AD=CD=250cm,BD=/C=250a,V 250000,点A、B、C 都在圆内,这三栋楼中在该5 G基站覆盖范围内的是A,B,C.故选：D.【点评】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到。点的距离.1 7.（2 0 2 1秋赣榆区期中）如图，在A A B C中，A B=4 C=2百，B C=4,点。是4 8的中点，若以点。为圆心，r为 半 径 作 使 点8在。内，点C在。外，试求/的取值 分析 连接C D,过点A作A E L B C于点E.过点D作D F L B C于点F,显然DF/AE,解直角三
23、角形求出8,即可判断.【解答】解：连接C Q,过点A作于点 过点。作。于 点 凡 显 然Q F/AE,：AB=A C 2 y 5,BC=4,：.BE=BC=2,：.AE=yjAB2-B E2=4,.点。是4 3中点，即。尸是中位线：.DF=2,BF=2BE=1,：.CF=3,：.CD=y/DF2+CF2=g，又 D B=；A 8=V 5,的取值范围是EB【点评】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.【过关检测】一、单选题1.（2021 江苏泰州市）。的半径为4cm，点P到圆心。的距离为5cm，点尸与
24、。O的位置关系是（）A.点P在。内 B.点 尸 在 上 C.点P在。外 D.无法确定【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系即可得.【详解】解：.54,，点P在OO外，故选：C.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键.2.（江苏泰州市八年级期中）如图，。的弦AB=6,M是AB上任意一点，且OM最小值为4,0 0的半径为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【分析】当OMLAB时值最小.根据垂径定理和勾股定理求解.【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM_LAB时，为最小值4,连接OA,根据垂径定理，得：BM=yAB=3,根据勾股定理，
25、得：OA二 屈 不=5,即。的半径为5.【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径.特别注意能够分析出0M的最小值.3.（2020 射阳县第二初级中学）平面内，若。0的半径为3,0 P=2,则点P在（）A.0 0内 B.0 C.0 0外 D.以上都有可能【答案】A【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d V r时，点在圆内.【详解】V0P r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d Q,，弦四所对的圆心角Z4OB=120,故答案为：120。.【点睛】此题考查直角三角形直角边等于斜边一
26、半的性质，圆的半径相等的性质，等腰二角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键.12.（2020 扬州市江都区国际学校八年级期中）如图是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为10cm,则徽章内的菱形的边长为 cm.【答案】5【分析】连接圆心和矩形邻边的两个中点，易得一个矩形，那么菱形的边长为圆的半径.【详解】如图，连接圆心和矩形邻边的两个中点，根据垂径定理，可得过圆心的这两条线段，分别垂直于矩形的两边，则组成的四边形是矩形,因为矩形的对角线相等，所以徽章内的菱形的边长等于半径的长，即 5
27、cm.故答案为：5.【点睛】此题主要考查垂径定理、矩形的判定和性质等知识点，难点是作出辅助线，构造出矩形.13.（2020 苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB为。的直径，弦CO A 3于 点H,若 AB=10,8=8,则 如 的 长 度 为.【答案】3【分析】连接0 C,由垂径定理可求出C H 的长度，在 R t O C H 中，根据C H 和。的半径，即可由勾股定理求出0 H 的长.【详解】连接0 C,由勾股定理，得：0 H=yjoC2-C H2=7 52-42=3；即线段0 H 的长为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾
28、股定理.1 4.（2 0 2 0 苏州市吴江区盛泽第二中学）已知。的半径为1 3 优，弦 的 长 为 1 0 c m 则圆心。到 4?的距离为 cm.【答案】1 2【分析】如图，作 O C L A B 于 C,连接0 A,根据垂径定理得到A C=B C=A B=5,然后利用勾股定理计算0 C 的长即可.【详解】解：如图，作 O C L A B 于 C,连接0 A,贝 I A C=B C=-A B=5,在 R t/X O A C 中，0 C=7 1 32-52=1 2.所以圆心0到 A B 的距离为1 2 c m.故答案为：1 2.【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦
29、所对的两条弧.1 5.（2 0 1 7 江苏盐城市东台市实验中学八年级月考）如图，在a A B C 中，N C=9 0 ,A C=4,B C=2,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在 x轴上运动时，点 C随之在y轴上运动.在运动过程中，点 B到原点的最大距离是_【答案】2+2 收试题解析：如图，取 C A 的中点D,连接O D、B D,姝 BA x由勾股定理得，1 =后”=20，所以，点 B到原点的最大距离是2+2 夜.1 6.（2 0 1 9 沐 阳县修远中学八年级期末）已知以点C （a,b）为圆心，半径为r 的圆的标准方程为（x a）2+（y-/,）2=式例如：以 4 （2,3）为圆心，半
30、径为2的圆的标准方程为（-2）2+（y-3）2=4,则以原点为圆心，过点。（1,0）的圆的标准方程为一.【答案】*+了=1【详解】因为原点为圆心,过点夕（1,0）的圆即是以（0,0）半径为1 的圆，则标准方程为：（x-0）2+（y-0）2=1,即 f+/=l,故 答 案 为：+/=1.1 7.（2 0 1 9 江苏扬州市八年级期中）如图，在Z i A B C 中，Z A C B=9 0 ,A C=8,B C=6,P是直线A B 上的动点（不与点B重合），将4 B C P 沿 C P 所在的直线翻折，得到B C P,连接B A,B A长度的最小值是m,B A长度的最大值是n,则 m+n 的值等于
31、.【答案】1 6【分析】先判断出8/长度的最大值与B A 长度的最小值相应的位置，然后进一步计算即可.【详解】如图，以C点为圆心，B C 长为半径画圆，交 A C 于 N点，延长A C 交圆于M点，,点P是直线AB上.的动点，B C P 沿 C P 所在的直线翻折得到 B CP,.点B落在以点C为圆心，B C 为半径的圆上，；.C M=C N=B C=6,圆外一点到圆上的点的距离最大和最小的点是圆外一点过圆心的直线与圆的交点，二4 长度的最小值 m=A N=A C-C N=8-6=2,且 B A 长度的最大值n=A M=A C+C M=8+6=1 4,.m+n=1 6,所以答案为1 6.【点睛
32、】本题主要考查了三角形动点问题与圆的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.1 8.(2 0 2 1 江苏八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，A(8,O),8(0,6),以点A为圆心，A B 长为半径画弧，交 轴的负半轴于点C,则点C的坐标为.【答案】(一 2,0)【分析】根据勾股定理求出A B 的长，由A B=A C 即可求出C点坐标.【详解】解：A(8,0),B(0,6),.0 A=8,O B=6,AB=VOA2+OB2=V82+62=10-,.A C=A B=1 0,二点C的横坐标为：8-10=-2,纵坐标为：0,.点C的坐标为（-2,0）,故答案为（-2,0）.【点睛】本题考查了勾股定
33、理、同圆半径相等和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出0C的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.19.（2021 江苏盐城市）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12,AD=5,点P为DC边上的 动 点（点P不与点D,C重合，将纸片沿AP折叠，则C D 的 最 小 值 为.【答案】8【分析】先分析出点小的运动轨迹是以A为圆心，5为半径的圆弧，要求C。的最小值，只要求出点C到圆心的距禽再减去半径即可.【详解】解：折叠，AD=AD=5,点以的运动轨迹就是以A为圆心，5为半径的圆弧，V AB=n,AD=5,由勾股定理得AC=13,.C%=A C-A O =13-5=8故答案
34、是：8.【点睛】本题考查矩形与折叠，线段最值的求解，解题的关键是分析出动点的轨迹，再根据点到圆上一点最短距离的求解方法进行求解.三、解答题20.（2020 苏州市吴江区盛泽第二中学）己知四边形被力为菱形，点 反F、G、分别为各边中点，判 断 反F、G、四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由.B【答案】点E、F、G、H四点是以AC,BD的交点0为圆心的同一个圆上，证明见解析.【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、I I 到。点距离都等于定长即可.【详解】解：如图，连接A C,B D 相交于点0,连接0
35、E,O F,0 G,0 H,.四边形A B C D 是菱形，；.A B=A D=C D=B C,A C B D,点E 是 A B 的中点，.O E=y A B,同理：O F=1 B C,O G=|C D,O H=y A I）,.O E=O F=O G=O H,.点E、F、G、H四点是以A C,B D 的交点。为圆心的同一个圆上.8【点睛】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质,熟练掌握其性质是解题的关键.2 1.（2 0 2 0 苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在A B C 中，已知已A C B=1 3 0 ,N B A C=2 0。，B C=2,以点C为圆心
36、，C B 为半径的圆交A B 于点D,求弦B D 的长【答案】【分析】作 C E A B 于 E,在 R t A B C E 中利用3 0 度性质即可求出B E,再根据垂径定理可以求出 B D.V ZB=1800-ZA-ZACB=1 80 -2 0 -1 3 0=3 0 ,在 R t B C E 中，,/Z C E B=90 ,N B=3 0 ,B C=2,.C E=-B C=1,BE=8CE=6，V C E 1 B D,I)E=E B,.B D=2 E B=2 6.【点睛】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形3 0 度角性质，属于基础题
37、，中考常考题型.2 2.(2 0 2 0 苏州市吴江区盛泽第二中学)如图，也 是。的直径，弦 C D 1 AB,垂足为如果仍=1 0,0)=8,求线段46 的长.【答案】2【分析】连接0 C,利用直径A B=1 0,则 0 C=0 A=5,再由CDAB,根据垂径定理得CE=I)E=1 CD=4,然后利用勾股定理计算出0 E,再利用AE=O A-O E 进行计算即可.【详解】连接O C,如图，；AB是。0的直径,AB=1 0,/.0 C=0 A=5,V CD1 AB,.*.CE=DE=y CD=y X 8=4,在 Rt O CE 中,0 C=5,CE=4,.*.0 E=7O C2-C E2=3,
38、.AE=O A-0 E=5-3=2.B【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是关键.2 3.(2 0 1 9 江苏扬州市八年 级 期 中)(1)发现：如 图 1,点 A 为一动点，点 B 和点C 为两个定点，且 BC=a,AB=b.(a b)填空：当点A 位于 时，线段A C 的长取得最小值，且 最 小 值 为(用 含 a,b的式子表示)(2)应用：点 A 为线段BC外一动点，且 BC=3,AB=1,如图2 所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE 长的最小值.如图3所示，分别以AB
39、,AC 为边，作正方形ADE B和正方形ACF G,连接CD,BG.图中线段CD,BG 的关系是,线段B G的最大值是.【答案】(1)线段BC上，a-b；(2)BE=CD,证明见解析；2；相等且垂直，&+3.【分析】(1)根据点A 为一动点，且 BC=a,AB=b,可得当点A 位于线段CB上时，线段AC的长取得最小值，且最小值为BC-AB=a-b；(2)根据等边三角形ABD和等边三角形ACE,可得ACAD0)的图像经过点A,求 A 的值.XL(2)将(1)中的y =-(x 0)的图像绕坐标原点(0,0)按顺时针方向旋转45 ,如图2,x旋转后的图像与x轴相交于点6,若直线下3 后与旋转后的图像
40、交于点c 与 点 求 比的面积.(3)在(2)的情况下，半径为6 的。必的圆心M 在 x 轴上，如图3,若要使质刃完全在。M的内部，求。.的圆心M 横坐标心的范围(直接写出结果，不必写详细的解答过程).图2图3【答案】（1）5：（2）1 2-4 75;（3）3 72-2 x/7xj W 0）上点 绕原点。顺时针方向旋转4 5 ,得到点8,过 点 作 品 1 才轴，X设 E（a,9）,利用旋转的性质得到 F=O F,列得a=*,求 出 a 的值得到仍的长；设CDaa交 X 轴于点，弥 是 由 绕 点。顺时针方向旋转4 5 得到的，得到4（3,3）,求出直线版V 的解析式，得到材（1,5）,利用勾
41、股定理求出或的长，即可利用三角形面积公式求出答案；（3）分别计算点M 在直线面左侧及右侧时的位置，即可得到答案.【详解】解：（1）点 4的坐标为（-5,1）,将点力绕坐标原点（0,0）按顺时针方向旋转9 0 ,得对应点H（1,5）,V 反比例函数y=X 0）的图像经过点4,X 左=1 x 5 =5；（2）设y =*（尤 0）上点“绕原点。顺时针方向旋转4 5 ,得到点8,过点 作 阻 x 轴，X设 风 屋），aZ E O F =4 5 ,:.EF=OF,5解得 q =y5,a2=-V5 （舍去），OB =OEylEF2+OF2=V1 0 ；设 切 交x轴 于 点 尼 a R是由 绕 点。顺时针
42、方向旋转4 5 得到的,(3,3),/直线班的解析式为尸x,楙工0 E,：.设直线,邮的解析式为y=-x+b,将点/V的坐标代入，得4 6,直线MV的解析式为片H 6,当x+6 =一时，得用=1,x 2=5 (舍 去)，X/.片T+6=5,.,.1/(1,5),-OC=OMyl2+52=72 6 CR=yl0 C2-0 R2=J 2 6-(3 V2)2=2&，*6 7 2 Ca 4 /2 ,.四的面积=；X(32-Vi o)x 4 /2 =1 2-4 75(3)当点M在直线切左侧，且。恰好经过点G 时，连接加侯6,CR=2 42 -MR=yjMC2-CR2=6。-Q及=2不，O M =0 R-M R =3近-2册；当点M在直线切右侧，且0 恰好经过点方时，连接加；/CR=2 72 .M R =6+M-3 6 ,C M =-JMR2+CR2=J(6+而 一3正产+(2 0尸=12M7 2及7 2有+72 6,此时，点C、在。内部，O M=V1 0 +6,综上，的圆心 横坐标右的范围为3 0-2 5与河+6.【点睛】此题考查旋转的性质，勾股定理，求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数解析式，圆的半径相等的性质，解题中运用分类思想思考问题，这是一道较难的几何图形类综合题.