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1、2019年山东省潍坊市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共12小题，共 36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3 分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0 分）1.（3 分）2019的倒数的相反数是（A.-2019 B.-20192.（3 分）下列运算正确的是（）A.3aX 2Q=6QC.-3 （a-1）=3-3。C.-J D.20192019B.a8-ra4=a2D.（i a3）2=.La93 93.（3 分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截止去年9 月底，各地已累计完成投资1.002X10”元.数 据 1.002义I
2、O”可以表示为（）A.10.02 亿 B.100.2 亿 C.1002 亿 D.10020 亿4.（3 分）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体.将小正方体移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（）A.俯视图不变，左视图不变B.主视图改变，左视图改变C.俯视图不变，主视图不变D.主视图改变，俯视图改变5.（3 分）利用教材中时计算器依次按键下:则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A.2.5 B.2.66.（3 分）下列因式分解正确的是（）A.3 a/-6ax=3（ax2-2ax）C.2.8 D.2.9B.x2+y2=（-x+y）（-x-y）C.a2+2ah-4b2=(a
3、+26)2 D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)27.(3 分)小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：成 绩（分）94959798100周 数（个）12241这 10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（）A.97.5 2.8 B.97.5 3C.97 2.8 D.97 38.（3 分）如图，已知乙1 0 5.按照以下步骤作图:以 点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交N ZO 8的两边于C,。两点，连接CD.分别以点C,。为圆心，以大于线段O C的长为半径作弧，两弧在N/0 8 内交于点E,连接 CE,DE.连 接 OE交 CD于点M.下列结论中错误的是（）C./O C D=
4、/EC DB.CM=MDD.S 四边形OCEO=&Z)0E29.（3 分）如图，在矩形/B C D 中，AB=2,B C=3,动点P 沿折线BCD从点8 开始运动到点。.设运动的路程为x,/。尸的面积为y,那么y 与x 之间的函数关系的图象大致 是（B1 0.（3分）关于x的一元二次方程/+2 a+加2+加=。的两个实数根的平方和为1 2,则加的 值 为（）A.m-2 B.m=3 C.m=3 或加=-2 D.加=-3 或 加=21 1.（3分）如图，四边形4 5 C D内接于。0,4 B为直径,A D=C D,过点。作于点E,连接Z C交。E于点尸.若s i n/C/8=W,D F=5,则8
5、c的 长 为（）A.8 B.1 0 C.1 2 D.1 61 2.（3分）抛 物 线=$+版+3的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方程/+法+3-f=0 （t为实数）在-lx V 4的范围内有实数根，则f的取值范围是（）A.B.C.6 /1 1 D.2 6二、填 空 题（本题共6 小题，满 分 18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3 分。）1 3.（3 分）若 20）与y=3（xV 0）的图象上，则 tan/SNO的值为16.（3 分）如图，在矩形N8C。中，/。=2.将 N/向内翻折，点”落在8C 上，记为4,折痕为。E.若将4 8 沿 E 4 向内翻折，点 8 恰好落在。E 上，
6、记为B,则4817.（3 分）如图，直线y=x+l与抛物线y=/-4 x+5 交于4,8 两点，点 P 是y 轴上的一个动点，当尸4 8 的周长最小时，S&PAB=.18.（3 分）如图所示，在平面直角坐标系X。,中，一组同心圆的圆心为坐标原点。，它们的半径分别为1,2,3,按 照“加 1”依次递增；一组平行线，I o,h，b，3,都与 x 轴垂直，相邻两直线的间距为/,其中/（）与了轴重合若半径为2 的圆与/在第一象限内交于点尸1，半径为3 的圆与6 在第一象限内交于点尸2，半径为+1的圆与。在第一象限内交于点P”，则点P”的坐标为.（为正整数）1y 八三、解 答 题（本题共7小题，共 6
7、6 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）1 9.（5分）己知关于x,y的二元一次方程组 2*-3尸 5 的解满足 外 求人的取值范 x-2y=k围.20.（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1 所示的坡路进行改造.如图2 所示，改造前的斜坡 4 8=2 0 0 米，坡度为1：；将斜坡4?的高度NE降低/C=2 0 米后，斜 坡 改造为斜坡C Z）,其坡度为1：4.求斜坡。的 长.（结果保留根号）21.（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2,3,4,5.小明打算
8、自由转动转盘1 0 次，现已经转动了 8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：（1）求前8 次的指针所指数字的平均数.次数第 1 次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次 第 6次 第 7次 第 8次 第 9次 第 1 0 次数字35233435（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这 1 0 次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由.（指针指向盘面等分线时为无效转次.）22.(1 0分)如 图，正方形N8CD的边C。在正方形ECG尸的边CE上，连接。G,过点/作 4 H D G,交
9、BG于点、H.连接，尸，A F,其中/产交EC于点(1)求证：尸为等腰直角三角形.(2)若月8=3,E C=5,求E M的长.23.(10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1元，批发销售总额比去年增加了 20%.(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一
10、天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其它费用忽略不计.)24.(13分)如 图1,菱 形 的 顶 点 N,。在直线上，N BA D=60 ,以点工为旋转中心将菱形/8C。顺时针旋转a(0 a30),得 到 菱 形C D,B C交对角线/C于点M,C D 交直线/于点N,连接MV.(1)当MN B D 时，求a的大小.(2)如图2,对 角 线 夕D 交 A C 于点H,交直线/与点G,延长C B 交 4 B于点、E,连接当A HEB的周长为2时，求菱形/8C Z)的周长.2 5.(1 3分)如 图，在平面直角坐标系x o y中，。
11、为坐标原点，点/(4,0),点B4),4 8 0的中线Z C与y轴交于点C,且。阳经过O,A,C 三点.(1)求圆心A/的坐标；(2)若 直 线 与0 相切于点/,交y轴于点。，求直线/D的函数表达式;(3)在过点5且以圆心加为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作P E y轴,4 D 于点E.若以P E为半径的OP与直线4。相交于另一点尸.当 尸=4再寸,(0,交直线求点P2019年山东省潍坊市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）1.（
12、3分）2 0 1 9 的倒数的相反数是（）A.-2 0 1 9 B.一 C.一 D.2 0 1 92019 2019【分析】先求2 0 1 9 的倒数，再求倒数的相反数即可；【解答】解：2 0 1 9 的倒数是 ，再 求 相 反 数 为-_；2019 2019 2019故选：B.【点评】本题考查倒数和相反数；熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键.2.（3 分）下列运算正确的是（）A.3 a x2 a=6。B.a84-a4=a2C.-3 （a-l）=3-3 a D.&3）2=。3 9【分析】根据单项式乘法法则，同底数幕的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解.
13、【解答】解：/、3 a x2 a=6 层，故本选项错误；B、*+/=/,故本选项错误；C、3 （f l -1）=3-3。，正确：D、（L?）2 =16,故本选项错误.3 9故选：C.【点评】本题考查了单项式乘法法则，同底数基的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质.熟练掌握法则是解题的关键.3.（3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截止去年9月底，各地已累计完成投资1.0 0 2 X 1 0 元.数 据 1.0 0 2 X 1 0”可以表示为（）A.1 0.0 2 亿 B.1 0 0.2 亿 C.1 0 0 2 亿 D.1 0 0 2 0 亿【分析】利用科学记数法的表
14、示形式展开即可【解答】解：1.002X1011=1 002 000 000 00=1002 亿故选：C.【点评】本题主要考查科学记数法的展开，科学记数法是指把一个数表示成a x 10的次基的形式（lW aa x3(a x2-2 ox)B.x2+y2=(-x+y)(-x-y)C.a2+2a h-4b2=(a+2 6)D.-a x2+2a x-a=-a(x-1)【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可.【解答】解：4、3 a x2-6a x3a x（x -2）,故此选项错误；B、/+/，无法分解因式，故此选项错误：C、a2+2a b-4h2,无法分解因式，故此选项错误；D、-a+
15、la x-a-a（x -1）2,正确.故选：D.【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.7.（3分）小莹同学1 0 个周综合素质评价成绩统计如下:成 绩（分）9 49 59 79 81 0 0周 数（个）12241这 1 0 个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（）A.9 7.5 2.8 B.9 7.5 3C.9 7 2.8 D.9 7 3【分析】根据中位数和方差的定义计算可得.【解答】解：这 1 0 个周的综合素质评价成绩的中位数是空空=9 7.5 （分）,平均成绩为-X (9 4+9 5 X 2+9 7 X 2+9 8 X4+1 0 0)=9 7
16、 (分)，10.这组数据的方差为-X (9 4 -9 7)2+(9 5 -9 7)2X 2+(9 7 -9 7)2X 2+(9 8 -9 7)2X 4+（1 0 0 -9 7）2=3 （分 2）,故选：B.【点评】本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义.8.（3分）如图，已知N4O 2.按照以下步骤作图：以 点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交NHO 8的两边于C,。两点，连接CD.分别以点C,。为圆心，以大于线段0 C 的长为半径作弧，两弧在N 4 0 8 内交于点E,连接 CE,DE.连 接 0 E 交 CQ于点M.下列结论中错误的是（）A.NCEO=NDEO B
17、.CM=MDC./O C D=NECD D.S 四 边 形2【分析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可.【解答】解：由作图步骤可得：O E是/Z 0 8 的角平分线,J.ACEO AD EO,CM=MD,S 四 边 形 0=攵。石，2但不能得出NOCD=NECD,故选：C.【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.9.（3 分）如图，在矩形,8 8 中，AB=2,8 c=3,动点P 沿折线8 8 从点8 开始运动到点 .设运动的路程为x,的面积为y,那么y
18、 与 x 之间的函数关系的图象大致 是（）BC.由此即可判断.【解答】解：由题意当0WxW3时，夕=3,当 3 c x=5+3=8,NADE=NDBE,N4ED=/BED,:A A D ESADBE,:.DE：BE=AE：D E,即 8：BE=4：8,：.BE=16,.,.8=4+16=20,在 RtZ/8C 中，；s in/G 4 8=K=【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.12.（3 分）抛物线y=/+bx+3的对称轴为直线x
19、=l.若关于x 的一元二次方程，+云+3-f=0”为实数）在-1X4的范围内有实数根，贝丸的取值范围是（）A.2W fVll B.C.6 r ll D.2W t=7 -2%+3在 4=1 时有最小值2；.2W t6；故选：D.【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键.二、填 空 题（本题共6 小题，满 分 18分。只要求填写最后结果，每小题填对得3 分。）13.（3 分）若 2、=3,2y=5,则 2/=15.【分析】由2、=3,2y=5,根据同底数事的乘法可得#+=22 A 继而可求得答案.【解答】解：；2=3,2y=
20、5,.2巾=2”=3*5 =15.故答案为：15.【点评】此题考查了同底数幕的乘法.此题比较简单，注意掌握公式的逆运算.14.（3 分）当直线y=（2-2%）x+k-3 经过第二、三、四象限时，则人的取值范围是 k 3 .【分析】根据一次函数夕=履+k 0,6V 0 时图象经过第二、三、四象限，可得2-2k 0,k-3 0,即可求解：【解答】解：夕=（2-2k）x+八 3 经过第二、三、四象限，：.2-2k 0,3l,k 3,：.k 3；故答案为1在X0）与y=二L （尤 0)与y=W _(x V 0)的图象上，X X:.SRBDO=J S 力0。=二，2 2V ZAOB=90,ZBOD+ZD
21、BO=ZBOD+ZAOC=90,/DBO=/AOC,:.BDOs/OCA,_5SBOD=(0B)2=5,2AOAC A 2,.察=亦OA*tan N BA O=OA故答案为：A/5-【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质.解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.16.（3 分）如图，在矩形中，A D=2.将 向 内 翻 折，点/落 在 8 c 上，记为/,折痕为。E.若将N 8 沿 E H 向内翻折，点 8 恰好落在。上，记为夕，则/8=Q【分析】利用矩形的性质，证 明/40：=/4。=/4。=3 0,ZC Z AB D=9 0 ,推出0
22、 8 4 名OC4,C D=B D,设/8=O C=x,在中，通过勾股定理可 求 出 的 长 度.【解答】解：四边形/B C D 为矩形，.N A D C=N C=/8=90,H B=DC,由翻折知，/AB E/AB E,/AB E=ZB=NAB D=9 0 ,A Z A E D=Z AE D,Z AE B=Z AE B,B E=B E,Z A E D=Z AE D=ZAEB=LX 180=60,3A Z ADE=9 0-4 E D=3 0 ,/4。=90-NHE8=30,N 4 D E=NADE=N4DC=30 ,又,.,N C=/4 8 D=9 0 ,DADA,：./DB A/DCA(AA
23、S),：.DC=DB,在 RtZ/ED 中,ZADE=3Q,AD=2,./=3=V3 3设 AB=DC=x,则 BE=BE=x-3：AE2+AD2=DE2,.（2 愿.）2+2 2=（x+x _ 2Vs.）2,3 3解得，X l=二/1 （负值舍去），X2=J&3故答案为：Vs.【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明ZAED=ZAED=ZAEB=60.1 7.（3分）如图，直线y=x+l 与抛物线y=x2-4 x+5 交于4,8两点，点 P是y轴上的一个动点，当 48的周长最小时，SAPJg=_ ll_.【分析】根据轴对称，可以求得使得 P 4 8 的周长
24、最小时点P的坐标，然后求出点尸到直线N8的距离和N8的长度，即可求得 P/8 的面积，本题得以解决.【解答】解：yv=x+1,Ly=x-4 x+5解得，（x=l或（x=4,ly=2（y=5.点4的坐标为（1,2）,点 B 的坐标为（4,5）,J、（5 2）2+（4一 产3近,作点4关于y轴 的 对 称 点,连接8与y轴的交于尸，则此时 P 4 8 的周长最小，点/的 坐 标 为（-1,2）,点 8的坐标为（4,5）,设直线Z 8的函数解析式为y=H+6,J-k+b-2 得15l4k+b=5 卜工，.直线，8的函数解析式为夕=旦什/，5 5当 x=0 时，5即点P的坐标为（0,E）,5将 x=0
25、 代入直线歹=工+1 中，得y=l,直线y=x+l 与y轴的夹角是4 5 ,.点P到 直 线 的 距 离 是：（W-l）Xsin 4 5 =&乂 返=2 返，5 5 2 5研又堂 12.尸/8的面积是：-丝，2 5【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.1 8.（3 分）如图所示，在平面直角坐标系x o y 中，一组同心圆的圆心为坐标原点。，它们的半径分别为1,2,3,按 照“加分依次递增;一组平行线，./i，%，b，都与x轴垂直，相邻两直线的间距为/,其中/（）与丁轴重合若半径为2的圆与/在第一象限内交于点P ,
26、半径为3 的圆与，2 在第i 象限内交于点尸 2，半径为勿+1 的圆与1,1在第一象限内交于点P”,则点P”的坐标为（，亚 a?）.（为正整数）1y八【分析】连 O P i，OP 2,OP 3,1、&、/3与 X 轴分别交于小、4 2、4 3，在 R t O/l P 中，OAi=,O P =2,由勾股定理得出小P|=J o p 2 _ 0 A 2=J ,同理：A2P 2=近，43P 3=瓜，得出修 的坐标为（1.J&）,七 的坐标为（2,、尺），2 的坐标为（3,夜），得出规律，即可得出结果.【解答】解：连接。P|,OP2,O P 3,八、%、，3与X 轴分别交于小、4 2、小，如图所示：在
27、R tZ O 4 P 中，0 小=1,OP i=2,PI=J0 P 2 _ 0 A 2=、22_ 12=V 同理：42P 2=d 32 -2 2=43P 3=4 4 2 .32=5/,.，二尸1 的坐标为（1,2 2 的坐标为（2,遍），尸 3的坐标为（3,77）,.,按照此规律可得点P”的坐标是（”，d（n+l）2 -2），即（小 V 2 n+1）故答案为：（，V 2 n+1【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理;由题意得出规律是解题的关键.三、解 答 题（本题共7小题，共6 6分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）1 9.（5分）己知关于x,y的
28、二元一次方程组（尸5的解满足x求人的取值范x-2 y=k围.【分析】先用加减法求得x-y的 值（用含2的式子表示），然后再列不等式求解即可.【解答】解：（2 x-3尸p x-2 y=k 得：x-y=5-k,*xy,.*.x -y 0.A 5 -A 0.解得：k 5.【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得x-y的 值（用含左的式子表示）是解题的关键.2 0.（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡4 8=2 0 0米，坡度为1：V 3；将 斜 坡 的 高 度Z E降低Z C
29、=2 0米后，斜 坡 改造为斜坡8,其坡度为1：4.求斜坡8 的 长.（结果保留根号）【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得Z E的长，进而得到C E的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得C D的长.【解答】解：/Z E 8=9 0 ,4 8=2 0 0,坡度为1：如,ta nZ AB E=-3 ,a-3A Z AB E=30,：.AE=lB=00,2:/C=2 0,：.CE=S0,V Z C D=9 0 ,斜坡CA的坡度为1：4,.生 小.施 工，即里I E D-4解得，红）=3 2 0,-CD=J&（）2+3 2 0 2=8 ，答：斜坡8 的长是8 0 j 百米.
30、【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.2 1.（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2,3,4,5.小明打算自由转动转盘1 0 次，现已经转动了 8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：次数第 1 次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次 第 6次 第 7次 第 8次 第 9次 第 1 0 次数字35233435（1）求前8次的指针所指数字的平均数.（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这 1 0 次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3
31、.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程：若不可能，说明理由.（指针指向盘面等分线时为无效转次.）【分析】（1）根据平均数的定义求解可得：（2）由这1 0 次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5 知后两次指正所指数字和要满足不小于5 且不大于7,再画树状图求解可得.【解答】解：（1）前 8次的指针所指数字的平均数为1X（3+5+2+3+3+4+3+5）=83.5；（2）这 1 0 次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5,后两次指正所指数字和要满足不小于5 且不大于7,画树状图如下:2 3A A3 4 5 2 4 54 5A A2 3 5 2 3
32、4由树状图知共有1 2种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，所以此结果的概率为国-=2.1 2 3【点评】本题考查的是利用树状图求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.2 2.(10分)如 图，正方形/8 C Z)的边C D在正方形E C G尸的边C E上，连接。G,过点工作A H/D G,交8 G于点，.连 接“凡A F,其中/尸交E C于点(1)求证：为等腰直角三角形.(2)若 4 8=3,EC=5,求 E A f 的长.【分析】(1)通过证明四边形/G。是平行四边形，可得4 H=D G,A D=H G=C D,由 S4 S 可证OC G丝 4 GF,可得 QG=/F,Z
33、HFG ZHGD,可证 N/_ L4 F,A H=HF,即可得结论；(2)由题意可得O E=2,由平行线分线段成比例可得趴=旦匕=旦，即可求EW的长.D M A D 3【解答】证明：(1).四 边 形 四 边 形E C G F都是正方形J.DA/B C,A D=C D,F G=C G,N B=NCG F=9 0：AD/B C,AH/DG四边形A HGD是平行四边形:AH=DG,A D=HG=C D:C D=H G,/E C G=NCG F=9 0 ,F G=C G：.QC Gg丛H G F (SAS):DG=H F,4 HF G=/H G D：.AH=H F,NHGD+/DGF=90：.NHF
34、G+NDGF=9G：.DGHF,.AH/D GJ.AHLHF,K AH=HF/为等腰直角三角形.（2）：AB=3,EC=5,：.AD=CD=3,DE=2,EF=5:AD/EF，史=EF=5,且。E=2DM AD-34【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键.23.（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1 元，批发销售总额比去年增加了 20%.（1）已知去年这种水果批发
35、销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为 41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3 元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计.）【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1-20%）=1 2 万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为（x+i）元，可列出方程：12000。ooooo=O 0 0,求得
36、x 即可X x+1（2）根据总利润=（售价-成本）X 数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值.【解答】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是X元，则去年的批发价为（x+1）元今年的批发销售总额为10 (1-2 0%)=1 2 万元 120000 100000-n-=ioooX x+1整理得 X2-19 x-12 0=0解得x=2 4 或 x=-5 (不合题意，舍去)故这种水果今年每千克的平均批发价是2 4 元.(2)设每千克的平均售价为，元，依题意由(1)知平均批发价为2 4 元，则有w=(z n -2 4)(q I F X 18 0+3 0 0)=-6 0 m 2+4
37、2 0 0”？-6 6 2 4 03整理得 w=-6 0 -3 5)2+7 2 6 0-6 0 0.抛物线开口向下，当加=3 5 元时，w取最大值即每千克的平均销售价为3 5 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7 2 6 0 元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润X 销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.2 4.(1 3 分)如 图 1,菱 形 的 顶 点 Z,。在直线上，N B A D=60 ,以点/为旋转中心将菱形/8 C D
38、 顺时针旋转a (0 a 则。=典sin/CDA sin a=1 0,则点。(0,-8),将点4。的坐标代入一次函数表达式：、=机/并解得:直 线 的 表 达 式 为：y=2 x-8；(3)抛物线的表达式为：y=a(x-2)2+1,将点8坐标代入上式并解得：a=l,4故抛物线的表达式为：卜=当2 -3 x4-4,4解得：P E=5,设点 P(x,当2_3X+4),则点 E(X,2 x-8),4则 PE=1JC2-3x+4-2x+8=5,解得或2（舍去2）,3则点 p（1 1,1 1）.3 3【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和
39、几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.初中数学重要公式1、几何计数：当一条直线上有 个点时，在这条直线上存在 条线段.平面内有n个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在 条直线.（3）如果平面内有“条直线，最多存在 个交点.如果平面内有n条直线，最多可以将平面分成 部分.（5）、有公共端点的 条射线（两条射线的最大夹角小于平角），则存在 个角.2、AB/CD,分别探讨下面四个图形中/加个与/为8、NR力的关系。3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等（简记为）.b.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和
40、其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那 么 位 似 图 形 对 应 点 的 坐 标 的 比 等 于.5、边形的内角和等于;多 边 形 的 外 角 和 都 等 于.6、在四边形的四个内角中，最多能有3_个钝角，最多能有一3_个 锐 角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加 180度.4.n边形有 条对角线.5、用、完全相同的一种或几种 进行拼接，彼此之间不留空
41、隙，不重叠的铺成一片，就 是 平 面 图 形 的.注意要实现平面图形的镶嵌，必 须 保 证 每 个 拼 接 点 处 的 角 恰 好 能 拼 成 .总结平面图形的镶嵌的常见形式用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或 个正四边形或 个正六边形.用两种正多边形镶嵌用正三角形和正四边形镶嵌：个正三角形和 个正四边形；用正三角形和正六边形镶嵌：用 个正三角形和 个正六边形或者用个正三角形和 个正六边形；用正四边形和正八边形镶嵌：用 个正四边形和 个正八边形可以镶嵌.用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形，则有60m+90n
42、+：120k=3 6 0,整理得,因为m、n、k为整数，所以,n=,k=,即用 块正方形，块正三角形和 块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法：7、如 图：R Q A 8 C中,则 有：(1)、ZA C D=ZB(2)由 Rt4 8c s由 M A BC s由 RtA/lCD s乙AC8=90,CD L A B 于 D,N D C B=N ARtACD 得到A(J2=A D,A BRtACBD 得至UB C=BD -A BRtACBD 得到=A D B D、由等积法得到AB x CD=AC x B C8、若 将 半 圆 换 成 正 三 角 形、正方形或任意的相似形,9、在解直角三角形时常用
43、词语：1.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视 线 在 水 平 线 上 方 的 叫 做，视线在水平线下方的叫做.2.坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h和水平宽度I之比叫,用字母i表示，即i=,11、特殊锐角三角函数值把坡面与水平面的夹角叫做3Q、45、60_ _ _ _ _ _ _ _,记作a,于是i=tan a,显Sin aj_2A/2V3V然，坡度越大，a角越大，坡面就越陡.Cos a正22工21 0.正多边形的有关计tan aET1V3算边 长：an=.180Cot a显1V33乙 y T y j s 1 rin周 长：Pn=n an边 心 距：rn=工 1积：Sn=-an rn n.n
44、2 X内角：n180Lli 360外 角：n180 hRn cos 面n.1360中 心 角：-n12、某 些 数 列 前n项之和l+2+3+4+5+6+7+8+9+.+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+ll+13+15+.+(2n-l)=n22+4+6+8+10+12+14+.+(2n)=n(n+l)13、平行线段成比例定理(1)平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理：三 条 平 行 线 截 两 条 直 线，所得的对应线段成比例。如 图：a匕c,直 线A与6分 别 与 直 线a、b、c相 交 与 点A、B、C和。、E、-A B D E A B D E B C E F则 有 一=,=
45、,=0B C E F A C D F A C D F(2)推 论：平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截 其 他 两 边(或 两 边 的 延 长 线)，所得的对 应 线 段 成 比 例。如 图：4BC中，DE/B C,D E与A B、AC相 交 与 点。、E,则有：A D _ A E A D _A E _ D E D B _ E C14、极差、方差与标准差计算公式：极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；方差：数据再、X2.,居的方差为$2,标准差：数据X、x2.,X“的标准差S,贝 is=1n一X+%2
46、 X2+2+x.-x一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。15、求 抛 物 线 的 顶 点、对称轴的方法 公 式 法：y-a x2-b x+c -+-+4 a C-b,I.顶点是4。b 4a c -b-,2Q4a-）,对称轴是直线x=-22a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为N=4（X-）2+左的形式，得到顶点为（人，左），对称轴是直线*=力。运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（2/）、（工2，y）（及y值相同）,则对称轴方程可以表示为：X二 五 上216、直线与抛物线的交点y轴与抛物线y=4/+bx+C得交点为
47、（0,c）0抛物线与x轴的交点。二次函数歹=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X、x2,是对应一元二次方程ax?+云+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点o（A 0）o抛物线与x轴相交；b有一个交点（顶点在x轴上）o（=0）=抛物线与x轴相切；c没有交点=（0）=抛物线与x轴相离。平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为左，则横坐标是a/+次+0=左的两个实数根。一次函数y=kx+nk片0）的图像/与二次函数y=a x2+b x+c（a H 0）
48、的图像G的交卢，由方程组p -M?的解的数目来确定:y-a x+bx+ca方程组有两组不同的解时。/与G有两个交点；b方程组只有一组解时=/与G只有一个交.点：c方程组无解时o/与G没有交点。抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=a x2+bx+c与x轴两交点为 4（卬0）S（x2,0）,则 48=一人|图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的 相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 h.二、线段垂直平分线1.性质：线 段 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 与 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离.2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
49、段的 t.点拨线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：1.定义：有两 相等的三角形是等腰三角形.2.性质：等 腰 三 角 形 两 个 腰.等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角(简 写 成 等 边 对 等 角).等 腰 三 角 形 的 顶 角,底边上的,底边上的_ 互相重合.等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.注意(1)等腰三角形两腰上的高相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.等
50、腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1.定义法.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).注意(D一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.(3)一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形1.等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60.等边三角形是轴对称图形，并且有 条对称轴.注意等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2.等边三角形的判定三条边相等的三角形叫做等边三角形.