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1、2019年山东省潍坊市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共1 2小题，共3 6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）1.（3分）2 0 1 9的倒数的相反数是（）A.-2 0 1 9 B.20192.（3分）下列运算正确的是（）A.3 X2=6C.-3 （z-1）=3-3 C.1 D.2 0 1 92019D.(-L a3)2=-L a93 93.（3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截止去年9 月底,各地已累计完成投资1.0 0 2 义1 01 1元.数 据 1.0 0 2 X
2、 1 01 1可以表示为（）A.1 0.0 2 亿 B.1 0 0.2 亿 C.1 0 0 2 亿 D.1 0 0 2 0 亿4.（3分）如图是由1 0 个同样大小的小正方体摆成的几何 体.将小正方体移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（）A.俯视图不变，左视图不变B.主视图改变，左视图改变C.俯视图不变，主视图不变D.主视图改变，俯视图改变5.（3分）利用教材中时计算器依次按键下:则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A.2.5 B.2.66.(3 分)下列因式分解正确的是()A.3 a t2-6“x=3 (a t2-2 a x)C.2.8 D.2.9B.x+y2(-x+y)
3、(-x-y)C.c+lab-Ab1=(a+2b)2D.-a)r+2ax-a=-a(x-1)27.（3 分）小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下:成 绩（分）94959798100周 数（个）12241这 10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（）A.97.5 2.8 B.97.5 3C.97 2.8 D.97 38.（3 分）如图，已知N A O B.按照以下步骤作图：以 点 O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交/A O B 的两边于C,D两点，连接CD.分别以点C,D为圆心，以大于线段O C的长为半径作弧，两弧在N A 08内交于点E,连接CE,DE.连 接O E交C D于点
4、M.下列结论中错误的是（）C.N O C D=N E C D D.S OCED CD*OE29.（3 分）如图，在矩形ABC。中，AB=2,B C=3,动 点 P 沿折线BCD从点B 开始运动到点。.设运动的路程为x,尸的面积为），那么y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（）B1 0.（3分）关于x的一元二次方程/+2处;+团2+小=0的两个实数根的平方和为1 2,则加的值 为（）A.tn=-2 B.m=3 C.?=3 或m=-2 D,m=-3 或m=21 1.（3分）如图，四边形A 3 C D内接于。，A 3为直径，A D=C D,过点。作O E L A 8于点、E,连接4 C交C E于点
5、F.若s i nNC 4B=W,DF=5,则B C的 长 为（）5A.8 B.1 0 C.1 2 D.1 61 2.（3分）抛物线、=/+公+3的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方程f+Zw+B -f=0（，为实数）在-l x 4的范围内有实数根，则r的取值范围是（）A.2Wf V ll B.C.6/=5,则 2 =.1 4.（3分）当直线=（2-2）%+%-3经 过 第 二 三、四象限时，则k的 取 值 范 围 是.1 5.（3分）如图，Rt Z A O 8中，/A O B=90,顶点4,B分别在反比例函数 =工（x0）x与y=3 （x 0）的图象上，贝ij t a n/8A O的值为
6、.x1 6.（3分）如图，在矩形A B C。中，4 0=2.将/A向内翻折，点4落在B C上，记为4,折痕为DE.若将N 8沿E 4 向内翻折，点B恰好落在。E上,记为8,则A8=.1 7.（3分）如图，直线y=x+l与抛物线y=7-4x+5交于A,B两点，点尸是y轴上的一1 8.（3分）如图所示，在平面直角坐标系xo y中，一组同心圆的圆心为坐标原点0,它们的半径分别为1,2,3,按 照“加1”依次递增;一组平行线,lo,1,/2,/3,都与x轴垂直，相邻两直线的间距为/,其中/o与y轴重合若半径为2的圆与A在第一象限内交于点P i，半径为3的圆与/2在第一象限内交于点22,，半径为+1的圆
7、与/“在第一象限内交于点尸,“则点P 的坐标为.（为正整数）三、解 答 题（本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）1 9.（5分）己知关于x,y的 二 元 一 次 方 程 组 的 解 满 足 乃 求的取值范围.Ix-2y=k20.（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡A B=200米，坡度为1：、石；将斜坡A 8的高度A E降低A C=2 0米后，斜坡A 8改造为斜坡C Q,其坡度为1：4.求斜坡CO的 长.（结果保留根号）图12 1.（9分）如图所示
8、，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2,3,4,5.小明打算自由转动转盘1 0次，现已经转动了 8次，每一次（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生”这1 0次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由.（指针指向盘面等分线时为无效转次.）2 2.（1 0分）如图，正方形A B C。的边C D在正方形E C G尸的边C E上，连接。G,过点A作A”O G,交B G于 点、H.连接”尸，A F,其中A尸交E C于点M.（1）求证：为等腰直角三角形.(2)若 4 8=3
9、,E C=5,求 E M 的长.2 3.（1 0分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1 0 0 0千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1元，批发销售总额比去年增加了 2 0%.（1）已知去年这种水果批发销售总额为1 0万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为4 1元，则每天可售出3 0 0千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出1 8 0千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大
10、，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计.）2 4.（1 3分）如 图1,菱形A 8 C O的顶点A,。在直线上，Z B A D=6 0Q,以点A为旋转中心 将 菱 形 顺 时 针 旋 转a （0 a 时，求a的大小.（2）如图2,对角线8 D交A C于点H,交直线/与点G,延长C B 交A 8于点E,连接E H.当 HE B的周长为2时，求菱形A B C D的周长.2 5.(1 3分)如 图，在平面直角坐标系xo y中，。为坐标原点，点A (4,0),点B (0,4),A B O的中线A C与y轴交于点C,且经过。，A,C三点.(1)求圆心M的坐标；(2)若直线A O与 相 切 于
11、点4交)，轴于点。，求直线AO的函数表达式；(3)在过点8且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作P E y轴，交直线AO于点E.若以P E为半径的0P与直线A。相交于另一点尸.当E F=4加 时，求 点P2019年山东省潍坊市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共1 2小题，共3 6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）1.（3 分）2 0 1 9 的倒数的相反数是（）A.-2 0 1 9 B.-1 C.1 D.2 0 1 92019 2019【分析】先求2 0 1 9 的倒数，再
12、求倒数的相反数即可；【解答】解：2 0 1 9 的倒数是 ，再 求 二 的 相 反 数 为-二 _；2019 2019 2019故选：B.【点评】本题考查倒数和相反数；熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键.2.（3 分）下列运算正确的是（）A.3a乂2a=6a B.8-=-a4=a2C.-3 （a -1）=3-3 a D.（X a3）2=Xa93 9【分析】根据单项式乘法法则，同底数幕的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质,对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解：A、3 a x 2 a=6/,故本选项错误;B、a8 a4=a4,故本选项错误；C、-3 （a -1）=3 -3 a,正确
13、；D、（L b 2=_k（76,故本选项错误.3 9故选：C.【点评】本题考查了单项式乘法法则，同底数幕的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质.熟练掌握法则是解题的关键.3.（3分）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截止去年9月底,各地已累计完成投资I.0 0 2 X 1 01 1元.数 据 1.0 0 2 X 1 01 1可以表示为（）A.1 0.0 2 亿 B.1 0 0.2 亿 C.1 0 0 2 亿 D.1 0 0 2 0 亿【分析】利用科学记数法的表示形式展开即可【解答】解：1.002 X10=l 002 000 000 00=1002 亿故选：C.【点评】本
14、题主要考查科学记数法的展开，科学记数法是指把一个数表示成“X 1 0 的次暴的形式（1=ZECD,故选：C.【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.9.（3分）如图，在矩形A8C。中，A8=2,B C=3,动 点P沿折线BC从点B开始运动到点。.设运动的路程为x,AQP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）B此即可判断.【解答】解：由题意当0WxW3时，y=3,当 3 c x 内接于。0,A 8为直径，A D C D,过点。作 E_LAB于点、E,连接
15、AC交。E 于点F.若 sin/CA 8=W,D F=5,则 BC的 长 为（）5A.8 B.10 C.12 D.16【分析】连 接 8 D,如图，先利用圆周角定理证明NAOE=ND4C得 到 F Z)=1=5,再根据正弦的定义计算出E F=3,则 AE=4,D E=8,接着证明AQES A C BE,利用相似比得到B E=1 6,所以A B=2 0,然后在RtZVIBC中利用正弦定义计算出BC的长.【解答】解：连接B。，如图，.AB为直径，/.ZADB=ZACB=90,ZAD C D,：.ZD A C ZD C A,而 NCA=NABO,ZDAC=A ABD,JDEA.AB,：.ZABD+Z
16、BDE=90,而/A)E+NB)E=90,ZABD=ZADE,：.ZAD EZD AC,.,.FD=FA=5,在 RtZAEF 中，.sin/C 48=E=W,A F 5：.EF=3,：.A E J2 2=4,OE=5+3=8,Z A D E=N D BE,N A E D=ABE D,：.丛AD E s 丛D BE,：.D E：BE=AE：D E,即 8：BE=4：8,.BE=16,.4 8=4+1 6=2 0,在R t ZA 8 C中，.飞访/。8=区=之，AB 5.8 C=2 0 X?=1 2.5故选：C.【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
17、弧所对的圆心角的一 半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.1 2.（3分）抛物线y=f+6 x+3的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方程W+3 -f=0 G为实数）在-l x 4的范围内有实数根，则f的取值范围是（）A.2 W Y 1 1 B.f 2 2 C.6 r ll D.2 0 6【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为），=f -2 x+3,将一元二次方程/+公+3 7=0的实数根可以看做y=W -2 x+3与函数y=f的有交点，再 由-l x 4的范围确定y的取值范围即可求解；【解答】解：.y=/+b x+3的对称轴
18、为直线x=l,：.b=-2,-2 x+3,二一元二次方程f+b x+3 7=0的实数根可以看做y=7 -2 x+3与 函 数 的 有 交 点，.方程在-l x 4的范围内有实数根，当 x=-1 时，y=6；当 x=4 时，y=ll；函数-2 x+3在x=1时有最小值2；，2&=15.【分析】由 2、=3,2,=5,根据同底数幕的乘法可得2户=242）,继而可求得答案.【解答】解：2*=3,2y=5,.2+丫=2*.2,=3乂5=15.故答案为：15.【点评】此题考查了同底数哥的乘法.此题比较简单，注意掌握公式的逆运算.14.（3 分）当直线y=（2-2 左）x+Z-3 经过第二、三、四象限时，
19、则 k 的取值范围是k3.【分析】根据一次函数丫=履+4女 0,人 0 时图象经过第二、三、四象限，可得2-2Z 0,A-3 V 0,即可求解；【解答】解：尸（2-2k）x+A-3经过第二、三、四象限，.2-2A 0,k-3,k3,：.k3i故答案为1Z 0）X与 =X（x O=NACO=90,顶点A,B 分别在反比例函数y=L (x 0)与 尸 三(x =/4。=/4。=3 0,ZC=ZAfiD=90,推出OBA丝OCA,C D=B D,设 A B=Q C=x,在中，通过勾股定理可求出A B 的长度.【解答】解：.四边形A8CO为矩形，A ZADC=Z C=ZB=90,AB=DC,由翻折知，
20、AEZ)也ZWE。，ABE丝ABE,ZABE=Z B=ZABD=90,；.NAED=NAED,NAEB=NAEB,BE=BE,：.ZA E D Z A E D Z A E B X 180=60,3ZADE=900-ZAED=30,ZADE=900-ZAEB=30,ZADE=ZADE=ZADC=30 ,又,.,NC=NABQ=90,DA=DA,：./D BA/D C A,(AAS),：.DC=DB,在 RtAAED 中,ZADE=30 ,AD=2,.E=_=叵V3 3 _设 A B=D C=x,则 BE=B E=x-空 i3VAE2+AD2=DE2,.（冬 区）2+22=（x+x-空 i）2,3
21、 3解得，用=二 巨（负值舍去），X 2=J 5，3故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明Z A E D=E D=ZA EB=60.1 7.（3分）如图，直线y=x+l 与抛物线y=7 -4 1+5 交于A,B 两 点,点尸是y轴上的一个动点，当 的 周 长 最 小 时，SAMB=_ _【分析】根据轴对称，可以求得使得附8 的周长最小时点P的坐标，然后求出点尸到直线A8 的距离和A8 的长度，即可求得布B的面积，本题得以解决.y=x+l【解答】解：丫 ，y=x2-4 x+5解得，卜=1或 卜=4,1 y=2 y=5.点A的坐标为（1,2）,点 8
22、 的坐标为（4,5）,AB=4（5-2 产+（4-1）2=3M，作点A关于y 轴的对称点A,连接A 8 与 y 轴的交于P,则此时以8 的周长最小，点 A的坐标为（-1,2）,点 B的坐标为（4,5）,设直线A 8 的函数解析式为=区+6,（-k+b=2,得I4k+b=5直线A 8 的函数解析式为y=l x+H,5 5当 x=0 时，5即点P的坐标为（0,竺），5将 x=0 代入直线y=x+l 中，得 y=l,.直线y=x+l 与 y 轴的夹角是4 5 ,二点P到直线AB的距离是：（至-1）X s i n 4 5 3V2X，以8 的面积是：-5W2.5.-1 2 y5=8 亡&=4&2故答案为
23、：丝.【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.1 8.（3分）如图所示，在平面直角坐标系x o y 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O,它们的半径分别为1.2,3,，按 照“加 1”依次递增；一组平行线，lo,1,12,h,都与 x轴垂直，相邻两直线的间距为/,其中/o 与 y轴重合若半径为2 的圆与A在第一象限内交于点P，半径为3的圆与/2在第一象限内交于点22,，半径为+1 的圆与/“在第一象限内交于点外，则点办的坐标为（，扃 不）.（为正整数）y八【分析】连 OPl，OP2,0P3,4、/2、/3与 X轴分别交
24、于Al、A2、4 3,在 R tO A iPi中，0 4 =1,OPi=2,由勾股定理得出 A iP i=o p 2 _ 0 A 2=遮,同 理：A2P2=泥，A3P3=VT .，得出尸1的坐标为（1，遂），尸 2的坐标为（2,疾）,23的坐标为（3,V 7）,，得出规律，即可得出结果.【解答】解：连接OP1，0 尸 2，0 尸 3，11、12、/3与 X轴分别交于4、A2、A3，如图所示:在 RtZXOAiPi 中，041=1,OP1=2,1 尸产 J o p i 2_A2=Q 22-1 2=M,同理：AiP?=4呼_/=遂,A3P3 r q 2 _ 3 2=d i，.,的坐标为（1,V 3
25、）P2的坐标为（2,V 5）,P3的坐标为（3,V 7）,.,按 照 此 规 律 可 得 点 的 坐 标 是（，V（n+1）2-n2）,即（亚 启）故答案为：（，V2n+1【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理;由题意得出规律是解题的关键.三、解 答 题（本题共7 小题，共 66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）19.（5分）己知关于x,y的二元一次方程组 2x-3y=5的 解 满 足 求k的取值范围.I x-2 y=k【分析】先用加减法求得x-y的 值（用含Z的式子表示），然后再列不等式求解即可.【解答】解：（2x-3尸 管）I x-2 y=k
26、 -得：x-y=5 -k,xyf 亢-y0.A 5-k0.解得：k5.【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得x-y的 值（用含A的式子表示）是解题的关键.20.（6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡48=200米，坡度为1：加；将斜坡A 8的高度A E降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡C D,其坡度为1：4.求斜坡8 的 长.（结果保留根号）【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得A E的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得
27、C D的长.【解答】解：/AEB=90,A B=2 0 0,坡度为1：tan/4B E=,V3-3A Z ABE=3 0,A AE=J-AB=100,2：AC=20,，CE=80,VZCED=90,斜坡C）的坡度为1：4,CE 1,-Z 2-,D E 4即题ED 4解得，0=3 2 0,-CD-2 0+3 2 0 8 O V T 7米，答：斜坡c。的长是8 o v r?米.【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意,利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.2 1.（9分）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2,3,4,
28、5.小明打算自由转动转盘1 0次，现已经转动了 8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：次数第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第1 0次数字35233435（1）求前8次的指针所指数字的平均数.（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这1 0次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由.（指针指向盘面等分线时为无效转次.）【分析】（1）根据平均数的定义求解可得；（2）由这1 0次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5知后两次指正所指数字和要满足
29、不小于5且不大于7,再画树状图求解可得.【解答】解：（1）前8次的指针所指数字的平均数为工义（3+5+2+3+3+4+3+5）=3.5；8（2）这1 0次的指针所指数字的平均数不小于3.3,且不大于3.5,.后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7,画树状图如下:A AA A3 4 5 2 4 5由树状图知共有1 2种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，所以此结果的概率为g=2.12 3【点评】本题考查的是利用树状图求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.2 2.(1 0分)如 图，正方形A B C D的边C D在正方形E C G F的边C E上，连接。G,过点A作4”)
30、G,交B G于 点、H.连接”尸，A F,其中A尸交E C于点M.(1)求证：为等腰直角三角形.(2)若 A B=3,E C=5,求 E M 的长.【分析】(1)通过证明四边形A”G O是平行四边形，可得4 4=O G,A D=H G=C D,由“S A S”可证DCG丝”GF,n T W D G=H F,Z H F G=Z H G D,可证 A H=H F,即可得结论；(2)由题意可得O E=2,由平行线分线段成比例可得上旦=里金，即可求EM的长.DM A D 3【解答】证明：(1).四边形A 8 C D,四边形E CGF都是正方形J.DA/BC,A D=C D,F G=C G,NB=NCG
31、F=90：AD/BC,AH/DG二四边形A H G D是平行四边形：.AH=DG,A D=H G=C D CD=HG,NECG=NCGF=90 ,F G=C G:.DCGQ/HGF(S A S)：.DG=HF,Z H F G Z H G D：.AH=HF,：ZHGD+ZDGF=90：.NHFG+NDGF=9Q：.AHHF,S.AH=HF .?!/为等腰直角三角形.（2）：A B=3,E C=5,.A O=CZ）=3,DE=2,EF=5：AD/EF.=里旦 且。E=2DM A D 3：.EM=-4【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等
32、知识点，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键.23.（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了 10 0 0千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1元，批发销售总额比去年增加了 20%.（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为4 1元，则每天可售出30 0千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出18 0千克，设水果店一天的利润为卬元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大
33、，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计.）【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1-20%）=12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：120 0 0 0 10 0 0 0 0 口0 0 0,求得X即可x x+1（2）根据总利润=（售价-成本）X数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值.【解答】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元今年的批发销售总额为10 （1-20%）=12万元.120 0 0 0 10 0 0 0 0-n=10 0
34、0Xx+l整理得了-19 x-120=0解得x=2 4 或 x=-5 (不合题意，舍去)故这种水果今年每千克的平均批发价是24 元.(2)设每千克的平均售价为小元，依题意由(1)知平均批发价为24 元，则有w=(w-24)18 0+30 0)=-60/772+4200W-6 6 24 03整理得 w=-6 0 (m -35)2+7 26 0-6 0 0 抛物线开口向下.,.当 i=35 元 时,w取最大值即每千克的平均销售价为35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7 26 0 元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透
35、题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润X销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.24.(13分)如 图 1,菱形A 8 C O 的顶点A,。在直线上，Z B A D=6 0 ,以点A为旋转中心将菱形A 8 C D 顺时针旋转a (0。a,求直线AO的函数表达式；(3)在过点2且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点尸，过点P作P E y轴，交直线A O于点E.若以P E为 半 径 的 与 直 线 相 交 于 另一点F.当E F=4加 时，求点P【分析】(D利用中点公式即可求解；(2)设：Z C A O=a,则N C A O=/O A=/P E =a,t
36、 a n/C A O t a n a,则_ 0A 2s i n a=4=,c o s a=-,AC=flQ,则 C =-.二=1 0,即可求解；V5 V5 sin/CDA sin a(3)Jffl c o s Z P E W=M;jV Lc o s C l 2；求出 PE=5,即可求解.P E P E 娓【解答】解：(1)点8(0,4),则点C(0,2),.点 A (4,0),则点 M(2,1)；(2)：G)P 与直线 4 0,则/。=9 0,设：ZC A O=a,则 N C A O=N O A =N P E H=a,tanZC A O=P 2.=.1.=t a n a,贝I s i n a=
37、-,c o s a=-,O A 2 V5 V5A C=V10 则 C D=A Csin/CDA sin a3 sL=10,则点 (0,-8),将点A、。的坐标代入一次函数表达式：y=,+并解得:直线AO的表达式为：y=2 x-8；(3)抛物线的表达式为:y=a(x-2)2+1,将点B坐标代入上式并解得：a=2,4故抛物线的表达式为：y=a，-3x+4,4解得：P E=5,设点 P(%,2-3X+4),则点 E (x,2%-8),4则 PE=2.3*+4 -2x+8=5,4解得x=四或2(舍去2),3则点 p（11,A l）.3 3【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能
38、力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.初中数学重要公式1、几何计数：当一条直线上有n个点时，在这条直线上存在 条线段.平面内有n个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在 条直线.（3）如果平面内有n条直线，最多存在 个交点.如果平面内有n条直线，最多可以将平面分成 部分.（5）、有公共端点的n条射线（两条射线的最大夹角小于平角），则存在.2、AB/CD,分别探讨下面四个图形中N 4 E与/必 氏/加9的关系。.个角.3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等（简记为）.b.两个角和它们的夹边对
39、应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那 么 位 似 图 形 对 应 点 的 坐 标 的 比 等 于.5、”边形的内角和等于；多 边 形 的 外 角 和 都 等 于.6、在四边形的四个内角中，最多能有3一 个钝角，最多能有3一个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加 180度.4.n边形有 条对角线.5、用、完
40、全相同的一种或几种 进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，就 是 平 面 图 形 的.注意要实现平面图形的镶嵌，必 须 保 证 每 个 拼 接 点 处 的 角 恰 好 能 拼 成。.总结平面图形的镶嵌的常见形式用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或 个正四边形或 个正六边形.用两种正多边形镶嵌用正三角形和正四边形镶嵌：个正三角形和 个正四边形；用正三角形和正六边形镶嵌：用 个正三角形和 个正六边形或者用个正三角形和 个正六边形；用正四边形和正八边形镶嵌：用 个正四边形和 个正八边形可以镶嵌.用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m 块正三角形
41、、。块正方形、k 块正六边形，则 有 60m+90n+120/c=3 6 0,整理得，因为m、n、k为整数，所以 m,k=,即用 块正方形，块正三角形和 块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法：7、如 图：中，Z A C B =90,于。，则 有：(1)、Z A C D=Z B Z D C B=Z A(2)由 RtA/BC s Rt/XACO 得到AC3=A D A B由 RtA4BC s Rt A CBD 得到B C =B D A B由 RtZXAC。R tA CBD W C D2=A D D B、由等积法得到AB XCD=AC X8C8、若 将 半 圆 换 成 正 三 角 形、正 方
42、形 或 任 意 的 相 似 形，S1+S2=S3都 成 立。9、在解直角三角形时常用词语：1.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视 线 在 水 平 线 上 方 的 叫 做,视线在水平线下方的叫做2.坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度I之比叫,用字母i 表示，BPi=,把坡 面 与 水 平 面 的 夹 角 叫 做，记作。，于是i=t a na ,显然，坡度越大，a 角越大，坡面就越陡.11、特殊锐角三角函数值10.正多边形的有关计算304560边长：a=1802 R n sinn周长：P n=n an边 心 距：rn=Sin aJ_22旦2Cos aV3T _21800=Rn cos
43、 n面积：S=-an r-n内 角：n-2 X180tan a.7331V3Cot a显1V3Vnn 360、外角：中心nn 360角：n12、某些数列前n项之和l+2+3+4+5+6+7+8+9+.+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+ll+13+15+.+(2n-l)=n22+4+6+8+10+12+14+.+(2n)=n(n+l)13、平行线段成比例定理(1)平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理：三 条 平 行 线 截 两 条 直 线，所得的对应线段成比例。如 图：abc,直 线/i与 分 别 与 直 线a、b、c相 交 与 点A、8、C和。、E、F,n,A B DE AB D
44、E BC EFBC EF AC DF AC DF(2)推 论：平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截 其 他 两 边(或 两 边 的 延 长 线)，所得的对应 线 段 成 比 例。如 图：A8C中，DEBC,0 E与48、AC相 交 与 点。、E,则有:AD _ A E AD _ A E DE DB _ EC14、极差、方差与标准差计算公式：极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；方差：数 据/、X2,X”的方差为$2,标准差：数据占、X2,X”的标准差S,则 =x j +-尤)+.+X”-x)一组数据的
45、方差越大，这组数据的波动越大。15、求 抛 物 线 的 顶 点、对称轴的方法 公 式法：y=ax1+bx+c=(i x +上 _ _ ,/.顶 点 是la)4a(一2,国S士)，对称轴是直线龙=-2。2a 4a la 配 方 法：运 用 配 方 的 方 法，将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为y=a(-)2+女 的 形 式，得 到 顶 点 为 对 称 轴 是 直 线x=。运 用 抛 物 线 的 对 称 性：由于 抛 物 线 是 以 对 称 轴 为 轴 的 轴 对 称 图 形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（M，y）、（x2，y）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：x=21
46、6、直线与抛物线的交点）轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为（0,c）。抛物线与x轴的交点。二次函数y=ax?+x+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X、x2,是对应一元二次方程ax2+hx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点=（A 0）=抛物线与x轴相交：b有 一 个 交 点（顶点在x轴上）o（A=0）o抛物线与x轴相切；c没有交点 0）o抛物线与x轴相离。平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k,则横坐标是ox?+bx+c=Z的两个实数根。一次函数y
47、=kx+n（k H 0）的图像/与二次函数y=ax2+bx+c（a N 0）的图y-kx+n像G的交声，由 方 程 组,的解的数目来确定：y=ax+bx+ca方程组 两组不同的解时o/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；c方程组无解时o/与G没有交点。抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为 A（X1,0）,B（X2,0）,则=图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的 相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 上.二、线段垂直平分线1 .性质：线 段 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 与 这 条 线 段 两
48、 个 端 点 的 距 离.2 .判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.点拨线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：1 .定义：有两 相等的三角形是等腰三角形.2 .性 质：等 腰 三 角 形 两 个 腰.等腰 三 角 形 的 两 个 底 角（简写成等边对等角）.等 腰 三 角 形 的 顶 角，底边上的,底边上的_ _ _ _ _ _ _互相重合.等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.注意】（1）等腰三角形两腰上的高相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.等腰
49、三角形顶角的外角平分线与底边平行.(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1 .定义法.2 .如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边“).注意(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形1 .等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等.等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于6 0 .等边三角形是轴对称图形，并且有 条对称
50、轴.注意等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2 .等边三角形的判定三条边相等的三角形叫做等边三角形.三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角等于6 0 的 三角形是等边三角形五、直角三角形1 .定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2 .直角三角形的性质 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角.直 角 三 角 形 的 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的.在直角三角形中，3 0 的 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是3 0度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么/+