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1、2022年江苏省南京第五高级中学高考数学一模试卷1.已知复数Z满足(l+i)Z=(1-。2,则 Z的实部为()A.1 B.1 C.2 D.-22.已知集合4=x C N|%2-2x-3 W 0,b xy-log2(3 x),贝 ijAUB=()A.(-oo,3 B.0,1,2,3 C.(0,1,2 D.R4.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3 个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（）A.事 件“该家庭3 个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3 个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件B.事 件“该家庭3 个孩子都是男孩”和 事 件“该家庭3 个孩子都是女孩”是对立事件C.该家庭
2、3 个小孩中只有1个男孩的概率为OD.当已知该家庭3 个小孩中有男孩的条件下,3 个小孩中至少有2 个男孩的概率为475.区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为5 1 2 8,则密码一共有2512种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行2512次运算.现在有一台计算机，每秒能进行1.25X1013次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（）（参考数据：lg2 x 0.3,V10 3.16）A.6.32 x 10141s B.6.32 x 10140s C.3.16 x 10141s D.3.16 x 10140s6.已知si
3、nG a）=j,则 若 幺的值为（）4 45 1-tanaA.-越 B.逅 C.-型 D.型60 60 30 307.已知椭圆C:+，=l（a b 0）的左、右焦点分别为居，尸2,点A在椭圆上且位于第一象限,满足丽 丽=024&尸2的平分线与”2相交于点8,若 荏=:福，则椭圆的离心率为（）A.-B.-C.-D.-7 7 7 78.若存在两个不相等的正实数x,y,使得-x）+-e*=0成立，则实数加的取值范围是（）A.m 1 B.m 1 C.m 1 D.m -19.某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为y=第X年1234
4、5利润y/亿元234571.2x+a,则下列说法正确的是（）A.a=0.6B.变量y与x之间的线性相关系数r 0）在 0,兀 上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（）A.在（0,兀）上存在与，&，使得IfQi）/（右）1 =2B.3的取值范围为已 争C./（x）在（01）上单调递增D.f（x）在（0,兀）上有且只有一个最大值点11.设动直线/：瓶-丫-26+3=0（7?1/?）交圆。：（x-4）2+（y-5）2=12 于 A,B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）A.直线/过定点（2,3）B.当|4B|取得最大值时，m=lC.当乙4cB最小时，其余弦值为乙 D.四 前 的 最 大 值
5、 为24412.如图，已知直四棱柱4BCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，CG=m,点M为CG的中点，点P为底面EFG”上的动点，则（）A.当m=4时，存在点P满足PA+PM=8B.当m=4时，存在唯一的点P满足人1PM=；C.当m=4时，满足B PI AM的点尸的轨迹长度为2夜第2页，共17页D.当m=竽 时，满足乙4 P M =的点P的轨迹长度为竽兀1 3 .在新冠疫情防控期间，某单位2男 2女被安排到A、8、C三个社区去协助防控工作，其中A社区要求安排1 男 1 女，3、C社区各安排1 人，则不同的方案数是1 4 .已知等比数列 5 的公比为一 1，前项和为,若 S n-l 也是等比
6、数列，贝 U%=-1 5 .若(l +x)n(7 i eN*)的展开式中第7 项的二项式系数最大，则的所有可能取值集合为.1 6 .早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等.如图，汽 正二十面体是由2 0 个等边三角形组成的正多面体，共 有 1 2 八个顶点，3 0 条棱，2 0 个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把 7s i n 3 6。按|计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外 接 球 表 面 积 之 比 等 于.1 7 .如图，己知AABC的内角4,B,C所对的边分别
7、是a,b,c,b(l +co s C)=Vcs i n 乙4 B C.(团)求角C；(团)若a=5,c=7,延长C B 至 使 得 co s 乙4 M C =芋，求B M.1 8 .已知等比数列 an 的前“项和为又，且S3 =7,a4+a5+a6=5 6.(1)求数列 an 的通项公式；(2)在数列 斯 中的和心+1。6 N*)之间插入i 个数6 1，m2 m3,，小”使m1,m2 m3,mi t%+i 成等差数列，这样得到一个新数列，J,设数列%的前 项和为，求7 2 1.1 9 .乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以1 1 分为
8、一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得1 1 分的选手为胜方；如果比赛一旦出现1 0 平，先连续多得2分的选手为胜方.(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为|在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8 比 8 平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率;(2)假设甲选手每局获胜的概率为在前三局甲获胜的前提下，记 X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求 X 的分布列及数学期望.2 0.已知。为坐标原点，抛物线E：x2=2py(p 0),过点C(0,2)作直线/交抛物线E于点4、8(其中点A在第一象限)，就 布=-4 且 冠=a 而(2 0).(1)求抛物线E 的方程；(2)当4=2时，过点4
9、、B 的圆与抛物线E 在点4 处有共同的切线，求该圆的方程.21.图 1 是由矩形A C G 4、等边ABC和 平 行 四 边 形 组 成 的 一 个 平 面 图 形，其中4B=2,AAr=AA2=1,N 为4 1Gl的中点.将其沿AC,AB折起使得力&与44?重合，连结B iG，B N,如图2.(1)证明：在图2 中，AC 1 B N,且 8,C,Ci，Bi四点共面；(2)在图2 中，若二面角公一 AC-B的大小为。，且tan8=-|,求直线4B 与平面BCGB 所成角的正弦值.22.已知函数/(x)=|%3 m x2+m2x(m G R)的导函数为f(x).(1)若函数g(x)=/(x)-
10、/(x)存在极值，求机的取值范围；(2)设函数=/(e*)+f(lnx)(其中e 为自然对数的底数)，对任意m R,若关于 x 的不等式八(x)m2+/在(0,+8)上恒成立，求正整数k 的取值集合.第4页，共17页答案和解析1.【答 案】B【解 析】解：(1+i)z=(1-i)2=-2 i,l+i(l+i)(l-i)z的实部为一 1.故选：B.根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部的定义，即可求解.本题主要考查复数的四则运算，以及实部的定义，属于基础题.2.【答 案】A【解 析】解：集合a=xE Nx2-2x-3 0=x 6/V|-1 x 3=0,1,2,3,h=xy=log2(3-%)
11、=xx 0,排除 C,当0时，/(x)t 0,排除 8,故 选：D.根据题意，求出f(l)、/(e)的值，排 除A C,再分析函数的变换趋势，排 除B,即可得答案.本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域和函数的变化趋势，属于基础题.4.【答 案】D【解 析】解：对 于4事 件“该 家 庭3个 小 孩 中 至 少 有1个女孩”和 事 件“该 家 庭3个小 孩 中 至 少 有1个 男 孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错 误；对 于3,事 件“该 家 庭3个孩子都是男孩”和 事 件“该 家 庭3个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生，是互斥但不对立事件，故B错误；对 于C,有3个小孩的家庭包
12、含的基本事件有8个，分别为：(男男男)，(男男女)，(男女男)，(女男男)，(男女女)，(女男女)，(女女男)，(女女女)，该家庭3个小孩中只有1个男孩包含的基本事件有3个，二 该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为P=故C错误；对于 ,已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，基本事件有7个，分别为：（男男男），（男男女），（男女男），（女男男），（男女女），（女男女），（女女男），3个小孩中至少有2个男孩包含的基本事件有4个，二3个小孩中至少有2个男孩的概率为:，故。正确.故选：D.利用互斥事件的定义判断A;利用对立事件的定义判断以利用古典概型、列举法判断C D.本题考查命题真假的判断，考查互斥事
13、件、对立事件、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.【答案】D【解析】解：设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为x秒，则x=两边取对数可得，Igx=lg2512-lgl.25 x 1013,故Igx=5121g2-（lgl.25+13）=5121g2-（31g5+11）=5121g2-lg5+21g2-13=5121g2-（IglO-lg2）+21g2-13=5151g2-14 140.5,所以x=IO1405=IO140 x IO05 3.16 x IO140.故选：D.设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为尤秒，则x W 再结合L N 5 X J.
14、U对数函数的公式，即可求解.本题主要考查函数的性质，考查对数函数的公式，属于中档题.6.【答案】B【解析】解：由sin（Ea）=|,得?（cosa-sina）=I，所以cosa-sina=言，所以1 2sinacosa=,所以 sinacoa=一，507-rr 1%i sina _ sina _ sinacosa _ _ 7V21-tana 1_sina cosa-sina 型？60 cosa 5故选：B.由已知可求cosa-sina=雪，进而可求sinacoa=5，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解.本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用,第 6
15、 页，共 17页考查了转化思想，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：设|4 居|=n,H F 2 I =8m,由 而=三 都 2 得M S I =3 m，I B F 2 I =5 m,因为丽瓯=0,所以NFIA F 2=在R M A a F?中，由勾股定理，得(8 m)2 +M=(2 旬,由椭圆的定义得8 nl+n=2 a，因为F】B 平分乙4 F I F z，所 以 耨=措，即 为=鬻=|，联立并化简得7 c 2 +3 0ac-2 5 a 2 =0,则7 e 2 +3 0e-2 5 =0,得e =三.7故选：D.首先设|4&|=九，AF2 =8 mf再利用椭圆定义，角平分线定理，以及勾股定
16、理，分布列式，化简为关于m c 的齐次式子，即可求解离心率.本题考查了椭圆的性质，属于中档题.8.【答案】D【解析】解：因为zn(y-)+“一 e”=0,令/(t)=mt+(0),则存在两个不相等 的 正 实 数 心 y,使得f(%)=/(y),即存在垂直于y 轴的直线与函数/()的图象有两个公共点，又因为t 0,/(t)=7 7 1 +8,而 1,当m 2 1 时，/()0,函数/)在(0,+8)上单调递增，则垂直于y 轴的直线与函数f(t)的图象最多只有1 个公共点，不符合要求，当租 1 时，由f (t)=。得t=ln(-m),当0 x ln(m)时，/(t)ln(m)时,(t)0,即函数
17、/(t)在(01 n(-7 n)上单调递减，在(I n(-m),+8)上单调递增，所以f (t)mi n=/(ln(-m)=mln(-m)-m,令g()=-t2(t 1),g h(l)=e 2 0,即g(t)0,g(t)在(L+8)上单调递增，则有当t 1 时,el t2,+mt t2+m 3而函数/+7 nt在(-,+8)上单调递增，取t=m +1,则e +mt t2+mt=m +1 1,而/(0)=1，因此，存在垂直于y 轴的直线y=a(ni ln(-ni)-m a 1),与函数/(t)的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是T n 0),由函数f(t)的图象与垂直于y 轴的直线有两个公
18、共点推理作答.本题考查了利用导数判断函数的单调性从而达到求函数的最值的目的，多次构造函数，属于难题.9 .【答案】AC【解析】解：由表中数据可得,x =1|x(l+2 +3 +4 +5)=3,y=gx(2 +3 +4 +5 +217)=不 ,回归直线方程y=1.2 x +a必过样本中心(I/),即1.2 x 3 +a,解得a =0.6,故A正确，回归直线方程为y=1.2 x +0.6,1.2 0,则 x 与 y 成正相关，即相关系数r 0,故 B错误，当x =6时，y =1 2 x 6 +0.6=7.8,即该人工智能公司第6 年的利润约为7.8亿元，故C正确，该人工智能公司这5 年的利润的方差
19、为：X (2 -m +(3-Y)2+(4-m +(5-Y)2+(7-y)2=g2,故。错误.故选：AC.根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及方差公式，即可求解.本题主要考查线性回归方程的性质，以及方差公式的应用，属于中档题.1 0 .【答案】ABC【解析】【分析】做正弦型函数题型，一定要整体换元，即 将 当 作 一 个 整 体，根据正弦函数y =si n x的相关性质判断.本题考查三角函数的周期性，单调性，以及图象的对称性.属于基础题型.【解答】解:A：函 数/(%)=s in3%*)3 0)在 0 上有且只有三个零点,/(0)=si n(-)0,/(%)的最小正周期T 使%1)=1，/
20、(无2)=-1，使得/(%1)-/。2)=2,故 A 对;第8页，共17页&.丫 =5(-9在 轴右侧最小的4个零点，横坐标分别为土?，?，亭，O O J J J.f(x)=sin(5：今在y轴右侧最小的4个零点,横坐标分别为三,篝,誓，詈,3 3 3 3 3 360 3 3 /Q)在 0,扪上有且只有三个零点，77r/1 0 7 T 一：-W 71,-71,3 c o 3 c o解得:4 3 ，故5对；3 3C：当工6(0,9时,3%一m (,等一名)，7,100)3 3在该区间上函数单调递增，故C对；故选：ABC.11.【答案】ABD【解析】解：对于选项A,由动直线/：m x-y-2 m+
21、3=0,可得：m(x-2)-(y-3)=0,由C二:二;，即 即 直 线/过 定 点(2,3),即选项A正确；对于选项B,当|AB|取得最大值时，直线/过点(4,5),即 巾=宅=1,即选项B正确;对于选项C,当44cB最小时，此时|4B|最小，当|4B|最小时，直线/与过点(4,5)和(2,3)的直线垂直，则 空=J12(4-2 q _(5 3尸=2,即|4 B|=4,由余弦定理可得cos乙4cB=B c c f BZ=工，选 项 错 误2XBCXAC 3对于选项。，AB-AC =|希|正|cos=喈4如 磐=2 4,即 荏 前 的最大值为2 4,即选项。正确，故选：ABD.由直线与圆的位置
22、关系，结合余弦定理及斜率公式逐一判断即可得解.本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了余弦定理及运算能力，属基础题.12.【答案】BC D【解析】解：以。为坐标原点，DA,DC,“所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，Zi.对于 A：当m=4时，M(0,4,2),4(4,0,0),设点A关于平面E F G H 的对称点为4,则4(4,0,8),则|4 M|=,1 6+1 6+36=V 68 8,所以P A +P M =PA+P M AM 8,故不存在点尸满足2 4+P M =8,故 A不正确；对于 8：当m=4时，设P(x,y,4),则 而=(x -4,y,4),M 户=(x
23、,y -4,2),由 加-M P=0 得/4x +y2-4y +8=0,即(x 2)2+(y -2)2 0,解得x =y=2,所 以 存 在 唯 一 的 点 尸 满 足 故 8 正确；对于 C：8(4,4,0),设P(x,y,4),则 祠=(-4,4,2),BP=(x-4,y-4,4),由 福 前=0,得x y -2 =0,在平面E F G”中，建立平面直角坐标系，如图，则产的轨迹方程x-y-2=0 表示的轨迹就是线段NQ,而|N Q|=2 或,故 C正确;对于。：当 巾=竽 时，M（0,4,手），设P（x,y,竽），则 而=0 4,%竽），而=。一4,卓），由丽得 4 x +y 2 4 y+
24、g =0,B P（x 2）2+（y 2）2 y,在平面E F G H 中，建立平面直角坐标系，如图，记(x 2)2 +(y 2)2 =当的圆心为O,与 GF交于S,T,令y =4,可得 1 =2+4,%2=2 -而%-所以N s o r =g 其对应的圆弧长度为警；3 9第10页，共17页根据对称性可知点P的轨迹长度为2兀X?-4乂 号=号，故。正确.故选：BC D.建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A；利用垂直求出P可以判断B；求出点尸轨迹长度可以判断C,D.本题考查把立体几何问题转化为平面几何问题，结合解析几何的相关知识进行求解，属中档题.1 3.【答案】8【解析】【
25、分析】本题考查了排列组合的综合问题，属于基础题.先让A社区挑人，余下的全排列即可.【解答】解：单位2男2女被安排到A、8、C三个社区去协助防控工作，A社区要求安排1男1女，故有 =4种可能，余下两人全排列即可，故不同的方案数是：4 掰=8种，故答案为：8.1 4.【答案】2【解析】解：Sn -1 也是等比数列，(S2 -I)2=(Si -1)(S3-1),又；S2 =%+0 2 =一 =0,S3 =%+口3 =%-&+%=%,1 =(1 -1)(1 -1)，解得为=0或2,又an H 0,%=2,故答案为：2.由题意可知(S2 -I)2=(1一 1)(S3-1),再结合等比数列的通项公式即可求
26、出结果.本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题.1 5.【答案】1 1,1 2,1 3【解析】解：因为展开式中第7项的二项式系数最大，如果只有第7项的二项式系数最大，贝 旧=1 2,如果是第7项和第8项的二项式系数最大，贝加=1 3,如果是第6项与第7项的二项式系数最大，则n =l l,故 n =1 1,1 2 或 1 3,故答案为:1 1,1 2,1 3).根据二项式系数的性质对已知分类讨论，即只有第7 项或第7 项和第8 项或第6 项与第7 项的二项式系数最大，即可求解.本题考查了二项式定理的应用，涉及到分类讨论，属于基础题.1 6.【答案】等【解析】【分析】本题考查球的表面积的求法
27、，考查空间想象能力，考查数学运算和直观想象的核心素养,属于中档题.设正二十面体的棱长为/,可以把正五边形的外接圆半径为r用/表示，正五棱锥的顶点到底面的距离力也用/表示，再由勾股定理建立关于R 的方程，把 R 也用/表示，从而求出正二十面体的外接球表面积用/表示，正二十面体的表面积即2 0 个等边三角形的面积之后，求出来用/表示，从而作商得到答案.【解答】解：由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为，正二十面体的棱长为/,则工=si n36 =得r=,r 5 6所以正五棱锥的顶点到底面的距离是九=2_=争,所以 R2 =r2+(/?-/i)2,即R
28、2 =G)2 +(R 一 千/)2,解得R=警.所以该正二十面体的外接球表面积为S 成=4 兀/?2 =47 rx(誓，/=等 12,而该正二十面体的表面积是S 厉 二 小 曲 体=2 0 x 1 x/x Z x sin 6 00=5y/3 l2,所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于红#=答、球 367r故答案为：竽.1 7 .【答案】解：(国)因为b(l+c osC)=V 5 c si n乙4 B C,由正弦定理有，si n乙4 B C(1 +c osC)=K si nC si n乙4 B C,因为乙4 B C G (0,T T),所以si nz/B C 40,第12
29、页，共17页所以1 +c osC =V 3si nC,B|J V 3si nC -c osC =1,所以si n(C -g)=I，o L又因为0 C T T,所以一 c-，%2 4(1,0,0),B(0,V3,0),C(1,0,0),W(0,cos0,sin0),C1(一 1,cosa sin。)，CB=(1,V3,0),CC；=(0,cos。,sin。),设平面BCGBi的一个法向量为元=(x.y,z),则尼.鱼=0,即 尸 f y =0 令y=l,则 尤=旧，z=U，(n-CC=0 lycosO+zsn0=0 tan6 平面B C G/的一个法向量为元=(百,一1,熹)，由tan。=-g,
30、元=(8,-1,2),AB=(-1,/3,0),设直线AB与平面B C G/所成的角为a,：sina=|cos|=|:丁|=,管=,11 I 同X I京I 1 2V2X2 4二直线A 8与平面BCGB 所成角的正弦值彳.【解析】(1)取 AC的中点M,证明4C J平面8MN及B B/C C I,即可推理得结论;(2)在平面BMN内作M z lM B,建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.本题考查点共面的证明，以及线面角的正弦值的求法，属中档题.22.【答案】解：(1)(%)=2/一 27nx+62,g(x)=|%3 m x2+m2x 2x2 2mx+M =|x3 (m+2)x2+(m2+2
31、m)x m2,“(%)=2x2 2(m+2)x+m2 4-2m,当?n 0时，=4(m+2)2 8(m2+2m)0恒成立，即函数g(x)在 R 上单调递增，故函数g(x)无极值，当一 2 m 0,设gQ)=o两个根为i，不，/v不，当%6 gr(x)0,g(x)单调递增，当%G(%力%2)，“(%)0,g(%)单调递增，故函数在=牝 取得极大值，故函数在 取得极小值，第16页，共17页综上所述，机的取值范围为(一 2,2).(2)v/i(x)=(2e2x 2mex+m2)+(21n2x 2mnx+m2),，对任意nt 6 R,(2e2x 2mex+m2)+(21n2x 2mnx+m2)m2 4
32、-fc2 在(0,+8)上恒成立，即对任意zn W R,m2 2(e*+lnx)m+(2e2x+21n2x /c2)0在(0,+8)上恒成立，:4(ex+In%)2-4(2e2x+21n2x-k2)0在(0,+8)上恒成立，即U 0恒成立，设m(X)=ex lnx(x 0),=ex v=e”+妥 0,：加(%)在(0,+8)上单调递增且为连续，v=2 0,二函数m Q)在(0,+8)存在唯一零 点&6 G，l),当 G(O,%o)时，mz(x)0,m(x)单调递增，:.%=%0为函数m(x)的极小值，.rn(x)m in=m(x0)=。-In%。，靖。-J =0,而 W 弓，1),XQ N：x
33、0=lnx0,a(x)min=巾(&)=eX(,-ln xo=X0+-e(2,|),V k 0,二即1。恒成立，1 k 4+&e(2 5),k eN*,k=1,2,即正整数改的取值集合为1,2.【解析】(1)对函数g(x)求导，通过导数研究g(x)的单调性，进而确定相的取值范围，(2)将原问题转化为即对任意m ER,m2 2(e*+lnx)m+(2e2x+2n2x fc2)0在(0,+8)上恒成立，即 2 0恒成立，设m(x)=ex-lnx(x 0),求k W mGOmin=%0+*即可求解.xo本题主要考查函数极值的判断，以及利用导数研究函数恒成立问题，需要学生有很强的知识，计算量打，属于难题.