《2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷（附答案详解）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷（附答案详解）.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.已知集合4=%|/一X一6式0,8=刈万一1 0,b 0)的右焦点为F,两渐近线分别为，i：y =,%：y=x,过 F作的垂线，垂 足 为 该 垂 线 交 于点M。为坐标原点，若 0 尸|=|F N|,则双曲线C 的离心率是（）A.V 2 B.这 C.V 3 D.2238.已知函数/。）=a（x+l）ex-x,若 存 在 唯 一 的 正 整 数 使 得/（&）。，则实数。的取值范围是（）A-一第，右）B.下，姿）C.,-）D.二、多 选 题（本大题共4小题，共 2 0.0 分）9.习近平总
2、书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业2 0 1 9 年 1 2 个月的收入与支A.该企业2 0 19年 1月至6月的总利润低于2 0 19年 7 月 至 12 月的总利润B.该企业2 0 19年第一季度的利润约是6 0 万元第2页，共24页C.该企业2 0 19年 4月至7月的月利润持续增长D.该企业2 0 19年 11月份的月利润最大1 0.下列命题为真命题的是()A.若e t c?b e2,则a bB.若a b,则2。-3C.若a 0,b 0,则 前2要a+bD.若a b 0,则联 111.如图，在正四棱柱Z
3、 B C D 4 B 1 G D 1 中，4 4 i =2 A B =2,点 2-K。：尸为线段4 久上一动点，则下列说法正确的是(),/；/，/A.直线P B i 平面B G D !/B.三棱锥P-BGD的体积为3 :/C.三棱锥4-B C 1D 外接球的表面积为学 卜、?D.直线P S】与平面BCG/所成角的正弦值的最大值为日1 2.已知数列 an 满足：an+1an=1+an.%=1,设%=l n an(n e N*),数列 4 的前”项和为的,则下列选项正确的是()(m 2 x 0.6 93,比3 x 1.0 99)A.数列 a 2 n-i 单调递增，数列 a 2 n 单调递减B.bn
4、+bn+1 6 93D.b2 n-i b 2n三、单空题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)13 .已知(2 +m x)(l +x)3 的展开式中式 的系数为5,则7 n=.14 .已知s i n(a -7)=-3 c o s(a -9，则t a n 2 a =.o o15 .已知奇函数/X x)在(0,+8)上单调递减，且/(4)=0,则不等式%/(x +1)0 的解集为.16 .已知直线/与抛物线C：y 2 =8久 相切于点尸，且与C的准线相交于点T,尸为C的焦点，连接P F 交 C于另一点。，则A P T Q 面 积 的 最 小 值 为 ；若 7 可=5,则|P Q|的值为.四、解答题
5、(本大题共6 小题，共 7 0.0分)17.在炉+V2ac=a2+c2 acosB=bsinA,(3)sinB+cosB=四这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ZMBC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,b=a,(1)求角B；(2)求 ABC的面积.18.已知数列 满足a1+2a2+3a3 4-t-nan=(n-1)-2n+1+2(n G N*).(1)求数列 即 的通项公式；(2)若%=1。9即2,则在数列 b 中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由.19.如图，已知四棱锥S-A
6、BCD的底面为直角梯形,且满足ABCD,BC=9,BC=CD=SD=6,SB=1 2,平面SCD 1平面SBC.M为线段SC的中点，N 为线段上的动点.(1)求证：平面SCO _L 平面ABCQ；(2)设4V=4 N B Q 0),当二面角C-D M-N 的大小为60。时，求4的值.第4页，共24页M2 0.在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法,从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布
7、表和频率分布直方图，图表如下：分数区间 频数50,60)360,70)370,80)1680,90)3890,10020男生评分结果的频数分布表为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如卜：分数50,60)6070)70,80)80,90)90,100满意度情况 不满意一般比较满意满意非常满意（I）求。的值；（口）为进一步改善食堂状况，从评分在 50,70）的男生中随机抽取3 人进行座谈，记这 3 人中对食堂“不满意”的人数为X,求 X 的分布列；(川)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率.2 1.已知椭
8、圆C：+3=l(a b 0)的离心率为争 点(旧,伪 在 椭圆C 上.A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线/交椭圆C于尸、。两点，满足4 P，4Q,A H 1PQ,垂足为从(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求A 面积的最大值.第6页，共24页2 2.已知函数/。)=一?+匕(1)讨论函数/Q)的单调性；(2)若a=l,证明/)一.答案和解析1.【答案】A【解析】解：丫集合4=x x2-x -6 0 =(x|-2%3,B=x|x -1 0=x x 1,4 U B =x|x =A（A D+-D C）+n（A B+-5 C）A 2 =4 4。+O C +B C2-3=A A D +-A B +n
9、A B +-A D,2 L 3故（1-1-）同=（A +y）D,（1-1 1 -0由平面向量基本定理可得 L,b+T=第8页，共24页所以4+4=：.故选：D.利用加为 C。的中点，点 N 满 足 前=2 N C，得 到 丽=IDC,BN=IBC,再将等式而=4祠+丽 转 化 成 四，万的关系，从而得到九的方程，求解即可.本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及了平面向量的数乘和线性运算，用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.4.【答案】C【解析】解：根据题意，分 3 步进行分析：在 4 名记者中任选2 人，在
10、3 名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有鬃玛=1 8 种情况，在剩下的外2 名记者中选出1人，在 2 名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有6 6 =4种情况，将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有 1种情况，则有18 x 4 =72种不同的安排方案，故选：C.根据题意，分 3 步进行分析：在 4 名记者中任选2 人，在 3 名摄影师中选出1人，安排 至“云采访”区域采访，在剩下的外2 名记者中选出1人，在 2 名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列
11、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.5.【答案】B【解析】解：因为f(%)=f(x),所以/(久)为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除C 与 D因为/短)=,：0,所以排除A,故 选:B.利用函数的奇偶性排除选项C 和。；通过特殊值排除选项A,即可推出结果.本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是常用方法，是基础题.6.【答案】A【解析】解：500m高空处的大气压强是700=760e-5 o o k,aPe_500k=,76当h=1000m时，有p=760e-loook=760-(e-5ook)2=7 6 0 x(g)2 6 4 5.故选：A.由题意知，700=7
12、60e-500fc,求出eT0k的值，再代入p=760e-W 00k,求得p 的值，即可.本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：由题意，F(c,0),FM L lx,kFM=-p 则直线 FM 的方程为y=-(x-c),(x=-2 h联 立 y=f(X _ C)解 得 y=得N(台，-黑)匕 v a2-b2v b2=c2-a2,IFNI=卜仔)2+总2 =J g g E,V|OF|=|F/V|.C =J：；：；詈,整理得4a2=3C2,即e=J也,a 3故选：D.由已知求得FM所在直线方程，进一步求得N 点坐标
13、，再由两点间的距离公式结合|。日=|FN|列式求解双曲线的离心率.本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.第10页，共24页8.【答案】C【解析】解：函数/(%)=a(x +l)ex%,因为存在唯一的正整数配，使得/(右)0，即存在唯一的正整数x,使得A%+1)刍令h(x)=a(x +1),g(x)=,问题即转化为存在唯一的正整数1 使得M x)/i(x)=a(x+1)过定点 C(-l,0),当a 0 时，有无穷多个x的值使得h(x)0时，函数h(x)单调递增，由图象可以分析得到只有正整数无=1 使得h(x)g(x),令 A(1,B(2,分12_贝 麟 4 c=-7 T =工 k
14、A B=-y =J A L 1-(-1)2e AB 2-(-1)3e2由图可知，实数的取值范围为总Wa V a.3e“2e故选：c.构造新函数八(x)=a(x +1),g(x)=将问题转化为存在唯一的正整数X,使得九(X)B1P=直线P B 与平面B C C】B i所成角的正弦的最大值为二-=叵，则。错；PB1 7 11故选：A B.根据平行平面判断A,用等体积法判断B,求外接球表面积判断C,求线面成角判断D本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何中线面平行判定，考查了面积与体积计算，属中档题.12.【答案】A B C【解析】解：因为的=1,an+1an=l+an,所以即+1=等1即即+2
15、=鬻，n ，所以g(*)单调递增，XT 1 I 人 T 1 4所 以/&0,所以8 2 n,都单调，又 因 为 4 所以。2?1-1 单调递增，2 单调递减，故 A正确；欲 证%+bn+1=lnan+lnan+1=也(0 九+1)Z n3,即0n an+1 3,即仁 九 +1 W 3,即an ,故a九 _i之1 成立，an-2所以原不等式成立，故 B正确，因为即 G 1,2,所以厮即+1 =M（1 +2）=即+1 e 2,3,所以b n+为+1 6 即2,仇3,S2 0 2 0 1 0 1 0 Z n2 6 9 3,故 C 正确；因为%=1 与，若d2n-l 则&2 n+l =2 az z+i
16、 与L 若a2 n 哼L 贝 I j a2 n+2 =2 嬴n 2-遍+1 =2 ，由数学归纳法，。2吁1 等 a 2 n，贝 必2 -1 a2”b2 n b2 n,故。不正确.故选：A B C.根据an+ia.=1 +即，可得叫+1 =等，从而可得即+2 =霁1，构造函数g(x)=尊，利用导数研究其单调性从而可判定选项A,利用分析法欲证“+bn+1 ln3,即证an 2,从而可判定8,根据斯 的范围可求出%+%+1的范围，从而可判定选项C,由数学归纳法可判定选项D本题主要考查了数列的递推关系，以及数学归纳的应用，解题的关键是构造函数，利用导数研究其单调性，同时考查了学生的运算求解的能力.13
17、.【答案】1【解析】解：当第一式子为2 时，第二个式子为二,当第一式子为WX时，第二个式子为则炉的系数为2 x 1+m=2+3m,二 的系数为5,2+3m=5,得 3nl=3,m =1,故答案为：1根据多项式乘积的关系进行讨论求解即可.本题主要考查二项式定理的应用，结合多项式乘法关系进行讨论是解决本题的关键.比较基础.14.【答案】-4V3【解析】【分析】第 14 页，共 24 页本题考查三角函数关系式的恒等变换，属于中档题.直接利用三角函数的关系式的变换和应用求出结果.【解答】解：由于s i n(a _ g =_ 3 co s(a _、,3O所以工 sina c osa c osa -sin
18、a,2 2 2 2整理得B co s a =-2s讥Q,所以t a n c二一必，2贝 亚a n 2a =l-ta=n2a 4 V 3,故答案为-15.【答案】(一5,-1)乂0,3)【解析】解：奇函数f(%)在(0,+8)上单调递减,且f(4)=0,/(%)在(一8,0)上单调递减，且/(-4)=一/(4)=0,当 0,当-4 x 4时，/(%)。等价于I fQ +1)0或/(X +1)0 俨。+1 -4 或 0 x +l 4 弋-4%+1 4 解得0 x 3或一5 x 0的解集为(5,-1)U (0,3).故答案为：(-5,-1)U (0,3).先确定函数/(x)在(-8,0)上单调递减，
19、且/(-4)=0,再将不等式等价变形，即可得到结论.本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生的计算能力，属于基础题.16.【答案】16 y【解析】解:设直线P Q的方程为 =ny+2(恒过定点产(2,0)与抛物线联立:蓝:?，可得y?8 ny-16 =0,所以=6 4 n2 4-6 4 0恒成立,设PQiM，。(%2而，则有力+力=8九,y1y2=-16,设抛物线在点P处的切线为x=my+t,与抛物线方程联立广2=T+t-(y ox可得 y 2 8 my 8 t =0,切线与抛物线只有一个公共点，所以A=6 4 m2+3 2t =0,解得t =-2m2方程可变为y 2 -Qmy+16 m2=
20、0,故 y =4 m,所以7n=左 =一 琏，4 8抛物线在点P处的切线为X =y -五，4 y 8同理抛物线在点Q处的切线方程为x=-理,将两条切线方程联立可得犬8-秃-8解得8=y =4n2所以两条切线的交点为(-2,4 n),在准线为=-2上，故该交点即为点7,设点T到直线P Q的距离为d,将直线P Q写成一般式即x-n y-2=0,故 d =!一 焉 二H=4 V n2+1,Vn2+1所以SATPQ=|-PQ-d =|x 8(n2+1)x 4 V n2+1=16(n2+1)5 所以当n =0时，S PQ有最小值16,点 T的坐标为(-2,4 n),F(2,0),所以 7F =V 16
21、n2+16 =5.所以 16 n 2+16 =25,即8 n 2=，故 P Q =PF+QF=(xt+2)+(x2+2)=(n y +4)+(ny2+4)=汕 +y2)+8 =8 n2+8,所以 P Q =8 n 2+8 =.故答案为：16；Y-设出直线产。的方程与抛物线联立，设抛物线在点尸处的切线方程与抛物线联立，利用切线与抛物线只有一个交点，得到得t =-2加2的关系，同理求出抛物线在点。处的切线方程，联立两条切线方程，两条切线的交点为(-2,4 n),在准线x=-2上，故该交点即为点T,然后利用点到直线的距离公式求出三角形的高，把三角形的面积表示出来求解最值即可，然后将尸。表示出来即可得
22、到答案.本题考查了抛物线的综合应用，涉及了直线与抛物线位置关系的应用、抛物线定义的应第16页，共24页用、点到直线距离公式的应用以及韦达定理的应用，综合性强，计算量大，对学生有较高的要求，属于中档题.1 7.【答案】解：（1）若选，由余弦定理得，co s B =a2+c2-b2 _ 2a c _ 2-,2a c 2a c 2因为8 6（0,兀），所以B=%若选，由正弦定理知，品=高=菽=2 几因为aco s B =b sinA,所以s E A co s B =sinB sinA,又A 6 （0,兀），所以s in4 0,所以co s B =sinB,又B G （O,T T）,所以tanB =1
23、,即8 =：若选，由s inB +c osB=&得，V 2 s in（+-）=V 2,所以 s in（B +：）=1,又B e（0,兀），所以B+（/,9）,4 4 4所以8 +3 =泉 解 得B=?4 2 4（2）由正弦定理得,a bsinA-sinB又A=p b =2,8=3，所以&=驾=二=遍，C =n-A-B=,sinB v2 122m后 二 以1”s uikC =s i.5n =s infZ7-F 4,-7 T）X =s.i nn-co s-n +.co s-ns i.n-7 1=V-6-+-V-212 v4 67 4 6 4 6 4所以|c ib sinC=|x V 3 x V 2
24、 x 声:泛=3 4.【解析】（1）若选，由余弦定理即可得解；若选，利用正弦定理将将aco s B =加讥4 中的边化为角，可求得l anB 的值，从而得解；若选，结合辅助角公式可推出s in（B +=l,再由8 6（0,兀），即可得解：（2）由正弦定理求出a 的值，由正弦的两角和公式求出s inC,根据S=：abs inC,即可得解.本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式与正弦的两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.1 8.【答案】解：（1）由题意，得%+2。2 +3。3 +九 M=（九1），2*1 +2,当 九 N
25、 2 时，为+2 a2 +3 a3 +（九l）an_i=（n-2）,27 1+2,两式相减,得九册=（n-1）-2n+1 一（九 2）2n,即a九=2n.当九=1时，的=2,也满足上式，所以数列 an 的通项公式an=2n.（2）bn n =logaa 九 2=-l-og-=-2an log22n n9法一：瓦=1,b2=p 显然不适合；b2=I，0 3=适合，即=?，=p b6 =:构成公差为一的勺等差数列；Zoo Ob3=I，b4-；适合，即坛坛=：构成公差为一9的等差数列；3 4b 1 Z当n 2 4 时，假设勾，bn+1,垢+晨人2 2）成等差数列，则 2 8n+i=+bn+k，即%+
26、k=2bn+1-bn=-=总 工，n-1而当n N 4 时，1史N*,n 1所以bn+k不是数列 b 中的项，所以当n N 4 时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列.综上，b2,星和&，号适合条件.法二：瓦=1,尻=3显然不适合；当n 2时,设以，bn+1,bn+k（k 2）成等差数列,则2%+i =bn+bn+k,即=工+白，解得k =2+二.n+1 n n+k n-1当n =2时，k =4,则与=3b3=,生=；构成公差为一：的等差数列；Zoo o当九=3 时，k =3,则Z?3=g b4=p 坛=：构成公差为一三的等差数列；o 4 o 1 Z当nN 4 时，上 史
27、N*,则kN*,所以+k 不是数列 b 中的项，所以当nN 4 时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列.第18页，共24页综 上,b2,坛和3，/适合条件.【解析】（1）直接利用数列的递推关系式和已知条件建立等量关系，进一步求出数列的通项公式；（2）直接利用尝试法进行判断.本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，验证法在数列中的尝试，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.19.【答案】证明：=CD.MSDC为等腰三角形.又rM 为 SC的中点，.0M 1SC.又.,平面SC。_L 平面S B C,平面SC。C 平面SBC=SC且D
28、M u 平面SC D,由平面与平面垂直的性质定理可知，D M _L 平面SB C.又；B C u 平面S B C,由直线与平面垂直的性质可知DM 1 B C,Xv B C 1 C D,D M C D C =D,DM u 平面 SCQ,CD u 平面 SCO.C D 1 平面 C D S,B C u 平面 SC D,又”B C u 平面A B C D,平面SCO J平面A B C D.(2)(方法一)由(1)可知，8。_ 1 _ 平面5。，:8。_ 15(：.在RtZCB中，SC =JSB2-B C2=V122-62=V108=6V3.在ASDC中，由余弦定理可知，coszSDC=sd 2+d
29、c 2-sc26 2+6 2-(6 6)22SDDC2x6x6i一,2v ZSDC G(0,180),乙 SD C=120.过点N 作NG _LCC于点G,G 为垂足，则NGBC,v B C 1平面 SC D,NG _L 平面 SC D,.。河（3平面5。，；.。时 1 2 6.过点6 作6/f 1。时于点乂 K 为垂足，连接 D M 1.GK,D M 1 NG,NGC tGK=G,二 DM _ L 平面 NGK.又；N K u 平面 NGK,D M 1 NK,4GKN即为二面角C-DM-N的平面角,在R tJ G K中4 NKG=60,tan60=券=2，GK=2=2 6,GK GK V3在
30、 RtJ)K G/KD G=60,sin600=胎=篙，-DG=三=4,2 GC=CD-DG=6-4 =2,NB=GC=2,AN=A B-N B =9-2 =7,C AN 7A A=NB 2(方法二)由(1)可知，B C L S D C,B C LSC.在Rt SCB中，SC y/SB2 BC2 V122 62=V108=6V5,在 SDC中，由余弦定理可知cos/SDC=sM+Pi-scz=_ i2SDDC 2X6X6 2:Z.SDC 6(0,180),乙SDC=120,过 s 点作线段CO的延长线的垂线，垂足为o,v ZSDC=120 ASDO=60,：OD=-SD=3,A OC=9,2.
31、四边形A8CO为矩形.由平面SCD _L 平面ABC。可知，SO 1平面ABCD以 OA所在直线为x 轴，OC所在直线为y 轴，OS所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.则。(0,3,0),5(0,0,3 V3),C(0,9,0),M(0,|,),设 4N=a(a 3),则 N(6,a,0),而=(6,a-3,0),DM=(0,|,?),设平面OWN的法向量有=(%,y,z),Cn DN=6%+(a 3)y-0由卜,D比=jy +#z=0令z=V5，得 =-3,工=亍,二 元=铝-3,回又.平面COM的法向量底=(1,0,0),第20页，共24页|cos 席 初=I而 而=同一,a-3,f=co
32、s600=J(等产+9+3(*2 =1(等下+12=1 4(等)2=(等)2+12 3()2=12,；()2=4,-ci-3 _v a 3,，=2,a=7,即 AN=7,N B =A B -A N =9 -7 =2,C AN 7A A=-NB 2【解析】（1）证明DM _ L SC.推出DM JL平面SBC.DM I B C,结合BC _ L C D,推出CD J_平面C D S,然后证明平面SC。_L 平面A B C D.（2）（方法一）求出ZSDC=120。.过点N 作NG 1 CD于点G,G 为垂足，则NGB C,点G作GKLDM于点K,K 为垂足，连接NK.说明4GKN即为二面角C D
33、 M-N 的平面角，通过求解三角形推出结果即可.（方法二）以 OA所在直线为x 轴，OC所在直线为y 轴，OS所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.求出平面。的法向量，平面CDM的法向量利用空间向量的数量积求解a,然后转化求解2 即可.本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力.2 0.【答案】解：(I)因为(0.005+a+0.020+0.040+0.020)x 10=1,所以 a=0.015.（n）依题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P(Y n、一 cJC i-0)-P(X=D=*/P(X=
34、2)=等=9P(X=3)=管4所以随机变量X 的分布列为:X0123P120920920120(H I)设事件A=随机抽取一名学生，对食堂 比较满意.因为样本人数20 0人，其中男生共有8 0人，所以样本中女生共有1 20人.由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有：1 2 0 X 0.0 2 0 X 1 0 =2 4A.由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有1 6人，嗡所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为P G 4)=q.【解析】(I)利用频率分布直方图列方程，能求出(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的
35、分布列.(m)设事件4=随机抽取一名学生，对食堂 比较满意.因为样本人数2 0 0人，其中男生共有8 0人，从而样本中女生共有1 2 0人.由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有2 4人.由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有1 6人，由此能求出随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率.本题考查频率、离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查频率分布直方图、超几何分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题._ V32 1 .【答案】解：(1)由题意可知，三+Z.=，解得Q=V 6,b =2,c=V 2,以2=62 4-C2所以椭圆C的标准方程为1+竺
36、=1；6 4(2)由题意知P Q的斜率存在，设直线P Q方程为y =/c%+zn,其中血工2,(yx2 =,I kyx2 -1m，消 y 得(3/+2)x2+6 kmx+3 m2-1 2 =0,=16 4设PQiM，Q(x2,y2),nui,610n 3m2-12则“1+久2=一 赤？6 2=诉 三，v A P 1 4Q,第22页，共24页 AP AQ=%i%2+(%2)(yz-2)=xxx2+(kx1+m 2)(kx2+m-2)=(fc2 4-1)%1%2+k(m 2)(%i+%2)+(m 2)2=0,即(/+1)者 一 k(nx-2)-+(m 2)2=0，即(I+l)(3m +6)-6k2
37、m+(m-2)(3fc2+2)=0,m H 2,：(k2+l)(3m2-12)-6k2m(m-2)+(m-2)2(3/c2 4-2)=0,3k2m+6k2+3nl 4-6 6k2m 4-3k2m 4-2m-6k2 4=0,2 m=-,满足(),设 PQ所过定点。，:/IH 1PQ,点 H 在以A。为直径的圆上，ZBH面积的最大值s=1 AB x 幽=%x 4 x 2=2 1 1 2 2 2 5fC _ y/3【解析】(1)由题意可知 0 在(0,+8)上恒成立，所以fQ)在(0,+8)上单调递增，当a 。时，x 6(0,a)时，fQ)单调递减，%(-氏+8)时，f(x)0,/(%)单调递增,综
38、上，当a)0 时,f (%)在(0,+8)上单调递增,当a 0 恒成立，所以 九(x)在(0,+8)上单调递增，因为九(；)=-3 +V e 0,所以存在唯一的&G (1,1),使得以 珀=1 专+。=0,即靖。=1+*，当x(0,x o)时，h(x)0,即g (x)0,即g (x)0,所以g(x)在(%o，+8)上单调递增,所以g(x)m i n =g(&)=0 一 m工 0 +靖。，把代入得g(%0)=-%0 -仇%0 +1 +3 XQ G设9(%)=-%一 m +1+，X (，1)，则/(%)=-1 (1 0(1)=1 0,因为殉 6(p l)，所以0(%o)O,即g(x()0，所以g(%)0,所以a =1 时，/(i)-ex.【解析】(1)/。)的定义域为(0,+8),对/(久)求导得/(%)=詈,分两种情况当a 0 时,当a 0,即可.本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于拔高题.第24页，共24页