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1、第10讲数列求和:并项求和法参考答案与试题解析一.选 择 题(共 7 小题)1.(2021春吉安县期中)数列 4 满足a用+(-1)%“=2-1 ,则 4 前 40项和为()A.940 B.820 C.1830 D.1880【解答】解：由=2-1,可得为奇数时，1=2 一 1 ；n 为 偶 数 时,a.+an=2/7-1.设 q=t，则 a2=1+1，6=2 t 4=7 t =t,%=9+f,%=2 t%=15-t ，所以 前 40 项和为(4+%+/+。4)+(5+4 +%+/)+(。37+%8+4 9 +。40)=10+26+42+.+154=x10 x(10+154)=820.故选：B.
2、2.(2 0 2 1 秋麒麟区校级月 考)已 知 数 列 的 前 项 和 S“=2-，数 列 满足2=q,s i n g ,记数列 2 的前，项和为北，则心=()A.2021 B.2021 C.2018 D.2021【解答】解：由数列“的前项和为5“=储-，当 =1 时，a,=St=1-1=()；当”.2 时，a=5-5_1=M2-M-(M-1)2-(H-1)J=2/2-2,上式对 =1 时也成立，/.%=2 -2,.n7i ，、nytb=an c o s=-l)cos,.函数y=cos”的周期T=二=4,.2 2*,-2017=(4 +4 +4 oi3)+(“2+/+”214)+(4 +伪
3、+2015)+(”4+4 +2016)+2017=0-2(1+5+.+2013)+0+2(3+7+2015)+4 0 3 2 c o s =4 x 504=2016.故选：A.3.(2021 未央区校级模拟)数列 a 满足 =1,nan+i=(+1)%+n(n+1),若=a“c o sg ,且数列电 的前项和为S，则 品=()A.64 B.80 C.-64 D.-80【解答】解：数列%满足q=1,nt*=(+l)a”+九(九+1),则 出 L=4 +1,7 2 4-1 n可得数列 组 是首项为1、公差为1 的等差数列,n即有组=，即为4=,n17n叫ijl b.=a cos-I-n-n-=n2
4、 cos-2-n-冗-,“3 3则 5n=(l2+22+42+52+72+82+102+ll2)+(32+62+92)=-(l2+22-32-3Z+42+52-62-62-72+82-92-92+102+ll2)=-g x(5 +23+41+59)=-64.故选：C.4.(2021秋南昌月考)已知数列 6 满足q+4,+2=2(e N ),则 的前20项 和%=()【解答】解：数列 4 满足4+a,*=2(w N*),则”“的前 20 项和 S20=(4+/+al9)+(a2+a4+.+a20)-(2 +25+.+2|7)+(22+25+.+218)2(24)5-1 22(24)5-l一 24
5、-l 24-l_221-25故选：D.5.(2 0 2 1 秋内蒙 古 期 末)已 知 数 列 4 是首项为4=2,公比q=2 的等比数列，且2=4+4 用 若 数列 2 的前项和为S,，贝依“=()A.3.2W-3 B.3.2,+l-3 C.32 D.3.2,+l-6【解答】解：数列 ,是首项为4=2,公比q=2 的等比数列，可得2=q+。用=2+2 e=3.2,7-,故选：D.6.(2 0 2 1 春 万 载 县 校 级 期 末)若 数 列%的 通 项 公 式 是 4=(-1)(3-2),则4 4-a2-F 46G 等于()A.60 B.-60 C.90 D.-90【解 答 解:由 4=(
6、-1)(3-2),可得%+%-60=(1 +4)+(-7+10)+(13+16)+.+(175+178)=3+3+.+3=3x30=90.故选：C.7.(2021春成都期末)已知数列 q 满足(-1)%=3+1,S 为%的前项和，则20=()A.300 B.320 C.340 D.360【解答】解：因 为.+(-1)4=3+1,所以当 为偶数时，有4川+4=3 +1,%+2-4向=3 +4，/.an+an+2=6 +5，.,.c+a4=6x2+5=17；4-(78=6x6+5=41,，/+。=6x 18+5=113,5x(17+1 1 3).a+/+a2。=-=325 当n为奇数时,有 +|-
7、a”=3 +1 ,二%+2+q+】=3+4，.4+2+4 =3，1 4+4=3,%+%=3,，%+4 9=3，/.4+%-F%=5x3=15,S?0=q +&+%+,.+%。=(4 +/+,+19)+(%+。4+。20)=3254-15=340.故选：C.二.解 答 题(共10小题)8.(2021山东)在等差数列 4 中,已知公差d=2,%是 4 与牝的等比中项.(I )求数列%的通项公式；(II)设3 记 7；=-4+4-+d-.+(-1)他,求 7；.2【解答】解：(I ).的 是4 与 4 的等比中项，在等差数列 4 中,公 差 d=2,?.(q+d)2=aA(4+3d),即(q+2)2
8、=q(q+3 x 2),化为24=22,解得q=2./.an=a1+(-l)d =2 +(-1)x 2 =2 .(I I )bn=all(n+l)=n(n+1),2Tn by+b?b、+d.+(1)/?=l x(l +l)+2 x(2 +l).+(1)()?+1).当几=2 k(k N)时，b2 k-b2 k7 =2 k(2 k+V)-(2 k 1)(2 4 1 +1)=4A味=(4-4)+(d 心)+(%D,、/k(k-F 1)八.、n(n+2)=4(1 +2 +A)=4 x-=2 k(k+1)=-2 2当 t t =2 k-l(k s T V*)时，T =(4-4)+(4一4)+(%-2
9、-4-3)-怎 T(一 1)(+1)=-n(n+1)=5+1)2 2-.7(+2)-,7?=2 k(k G N*)故7 J-5+),n=2 k KkeN*)2(也可以利用“错位相减法”)1 1 79.(2 0 2 1天津)已知 ,是等比数列，前项和为S,(e N*),且=三，$6=6 3.q a2 a3(1)求 4 的通项公式；(2)若对任意的 e N*,2是l o g,%和l o g2 的等差中项,求数列(-1)*；的前I n项和.1 1 7 1?【解答】解：(1)设伍 的公比为9，则上一_=二，BPI_I=4，4 q%q-q r解得q =2或4=-1 .若q =-l,则S 6=0，与$6=
10、6 3矛盾，不符合题意.4二？，(2)/b“是 l o g2 an 0 l o g2 a +1的等差中项，b“=g (l o g2 a+l o g,a+l)=(l o g,2 +l o g,2 )=-1.,也*b“=l.他J是以g为首项，以1为公差的等差数列.设(T)；的前2n项和为7；，则T=(-b；+片)+(-发+月)+成)=4+b2+&+&.+%+b2n=2/?.10.(2021秋东丽区校级月 考)已 知 数 列 的 各 项 均 为 正 数，其前八项和为S,且满足4；=2S 一%(1)求数列的通项公式；(I I)若b“=2”,数列匕,满足q,=4,.sin2皇-cos?拳，求数列 c“的
11、前2项和乙,；(III)数列&满足=足+(-1尸 4 2 4(eN*)(/l为 非 零 整 数),都 有 恒成立,求实数义的值.【解答】解：(I)1 i M=1 时，a：=2q =,得 4=1 或 6=0，(舍)，当”.2 时，媒=2S向 一%.则,ti an=2S.+-2sli+a=a+a+l,即(4,+i+4)(4+i-4,)=4 +4用 1.,0):.a,-an=,即数列他“是公差为1 的等差数列，则 “=1 +1 =,e N.(II)当 是奇数时,c“=an-sin2 -bn-cos2 a=a=及,当”是偶数时，c=-bn=-2,则数列%的前2 项和&=之 3+c2i=叩+尸-哼=2
12、_；.L:./=1/=i L 4 1 J J(III)4 用-4 =3n+,+(-l)U-T-3n-(-I)-X-r-=3+(-1)2-2,+,-3n-(-i r)4 2=2x3”+32(-2)4 恒成立,a.当”是 奇 数 时,2x3M+32(-2)0 2 x 3 -322 0,W 2(-)-1.从而。0得 2 x 3+3/l2 0,得力 _(m f 从而几为非零整数，./=-1.1 1 .设伍“是等比数列，b是递增的等差数列，也,的前n项和为5(e N*),q =2 ,伪=1 ,S 4=q +，a2=b+by.(I)求 4 与 的通项公式;猿 忧,=2 k 4(1)设4=(-1)*(2 4
13、+4),k w N,求充d(bn+1)(。+3)【解答】解：(1 )设等比数列/的公比为夕，递增的等差数列仍“的公差为d(d 0),由 4=2 ,4=1,S4=+a3。2=伪+4，可得4+6 d =2 +2 q ,2 q =l+l+2 d,解得 4=1，d=0(舍去)或 q =2,d=1,所以 a=2 ,bn=n；(I I )当=2 左(左 N+)时，dn=d2 k=(-T)kk2,k=1,2,.,2 n,设A=d2 4-r f4+.+r f4 M=(-l2+22)+(-32+42)+.+-(2 n-l)2+(2 n)2 =l +2 4-3 +4+.+(2 n-l)4-2 n网*=2/+;2当
14、”=2 Z-诉M)时，J 2 1+4)=53+T+D(%T+3)2 k(2 k+2)=(-1/T 4(-1)A(ri7T),设 B=&+&+.=-(-1-1 1-.H-1-)=(-1),1 3 4 X 2 2 2 3 2 n 2 n+2 2 +14 1 1所以 4 =A +3 =2/+-.占 4 +2 21 2.(2 0 2 1 春武清区校级期末)己知等比数列 ,的各项均为正数，2 a5,4，4 g 成等差数列，且满足%=4 域，数列 的前项和S“=WN，n w N*,且=1.(1)求数列 4 和也,的通项公式;(2)设 c.=学 二，w e N*,数列%的前项和为4“，求证：4 0,.,2%
15、，%，44,成等差数列，且满足%=4公，/.2 a4=2 a4q+a4q2,a3q=4a；=4 a3aq2,解得：q=,q =-2 1 2数列 包 的前项和S“=妇D,n w N*,且伉=1.2=S%2=-2可得bn=n.(2)证明：q2/2 +32 +31=或 比2=(+1)2(+2)2=(+1)2-5+2)2数歹U C 的前“项和为 4=44-y+.H-7-=-22 32 32 42(“+1)2 5 +2)2 4(n+2)2.4单调递增,e-A，4 v“.-.A 4 ）满足a=an cos 万+2,+|,求数列 2 的前2 项 和&.【解答】解：（1）设等差数列%的公差为d,q+2 d=8
16、则由题意可得 5x4，5q H -d=2（q+6d）解得 4=2,d=3,所以数列 an的通项公式为4 =2 +3（-1）=3 一 1,N；（2）因为=4 cosn冗+2 向=（1）4+2 向，所以 T 2 n=（4 4）+（%-6）+（2“%T）+（2“+2-，+2）=3+2）=3W+2-_4.1-216.（2021 秋 运 城 期 中）已 知 正 项 数 列 “的 前 项 和 为 S,，满 足=四 +77（”-2,%*），4=1.（1）求数列他“的通项公式；n(2)设=cos%6，求 数 列 电 的前2项 和&的 表 达 式.6 4+1【解答】解：(1)正项数列 4 的前八项和为5,，满足
17、4=点+6:(.2,/7*),所以 s“-s,i=#7+6 7，整理得：(后+瓦)(后 一 卮-1)=0,由于数列为正项数列，所以底-卮=1(常数)，所以 四 是 以1为首项，1为公差的等差数列，所以#7=1 +n-1=n,故 Sn=n2,所以q=S-S.T=2-1(首项符合通项).士工 1 L I 1、由于-=-(-),a“a“+i 2 2 n-1 2+1b.=cos-n-=cos nnXrn (z-1-1-)1,“2 2 n-l 2 n+l当为奇数时，CO S 7?7 F =-1,为偶数时，CO S 万=1,所以4=_；(i _ g),4=(；-：),4 =_ (；-：).4 J 乙 J
18、J 乙。I所以r.劭+4+&+%+J=+4+2XL2/_，L2+/X1+.+.(，-，)+，-L.)=_i!_2 r 笠 废 223232525272729 2 4n-3 4n-l 2 4n-l 4n+l 4n+l17.(2 0 2 1秋郸城县校级月考)已知S 为数列 叫前项和，an(24-sin-y)=n(2+cosnjv).(I)求心 和4-(A w Z)；(II)若邑=。2+6，求。一。的值.【解答】(I)解：由己知：an(24-s i n=n(2+cosn/r).aAk(2 +sin 2匕r)=4 k(2 +cos 4 k7 r)(k e Z),/.a4 k=6 k(k G Z)，又。软 _|2 +sin(2 2 7 F -攵=(4 攵-1)2 +cos(4 攵 -1)4,4“一|=4 k 1 .(II)又由已知:a软-2 12 +sin(2匕乃)=(4左 一2)2+8 5(4左-2)乃 3 4左得：%*-2=6%-3，%*_32+sin(2%-)=(4Z:-3)2+cos(4k-3)，得：a4t_3=y所以,S4=a+b=a+4+。3+。4=g+3+3+6Sg=4。+2b=q+w+.+/=+3+3+6+9+7+12解得：a=b=:.a b=5.3 3