《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第31讲 证明数列不等式：放缩法（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第31讲 证明数列不等式：放缩法（解析版）.pdf（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 31讲证明数列不等式：放缩法一、解答题1.(2021 四川 雅安市教育科学研究所高一期末)设数列 4 的前项和为S“，2S,=a“M-2+l,eN*,且4 出+5,4成等差数列.(1证明/+1)为等比数列，并求数列 为 的通项；T 1 1 1 1(2)设=1呜&+2 ),且 北=瀛 +遍+遍+而,证 明 骞 1.(3)在(2)小问的条件下，若对任意的“”，不等式d(1+)-加(4+2)-6 0 恒成立，试求实数入的取值范围.【答案】(1)；(2)见解析；(3)【解析】*7 S j试题分析：当2 2 时，由 二=”一、，作差可得2。“=4+4,-2,两边同时除以*即可构造新2 S,i=a“-
2、2 +1数列求解了；(2)由(1)有2=,即可采用裂项相消的方法求和得雹=1-一二即可证明n+(3)(1 +)加伍+2)6Vo恒成立时，即(1 丸)力 +(1 60(n e7V*)恒成立,令/(n)=(l-2)n2+(l-2 Z)n-6,讨论；I 求解即可.试题解析：(1)在 2s产 4+2叫1”“中令刀=1,得2S=出-2?+1,即=2q+3,令=2,得2s2 =%-2,+1,即 =6+13,(2)又2(%+5)=4+%,则由解得4=1,%=5当2 2 时，由 斐=向 一；：1,得到2%=4+4 2”,2s,i=%-2 +1则 餐+1 =斗 +12+|2(2)又%=5,则 我+1 =|怪+1
3、).数列 墨+11是以g 为首项，|为公比的等比数列，哮+l =|x图 ，即“=37(2)v Z?=l o g3(J+2,),则5 =l o g 3 3 =个111 1 .1111 1 1则 工，=+-+-+.+-=1+-+-.+-人 1 x 2 2 x 3 3 x 4 n x(n +l)2 2 3 3 n n+n+l(3)当包(1 +)一/1 (2 +2)6 0恒成立时，g p(l-2)n2+(l-2 2)n-6 0 (eN*)恒成立.i S/(n)=(l-A)n2+(l-2 A)r t-6 (eN*),当2 =1时，/()=一-6 0恒成立，则2 =1满足条件；当人 1时，由于对称轴x=-
4、宗30,则/()在 1,E)上单调递减，1 -A/()4/(1)=一3/1 4 1满足条件，综上所述，实数入的取值范围是口,”).2.(2 0 2 1 山东 嘉祥县第一中学高三期中)已知函数/(x)=l n x-x+l,x e(0,*),g(x)=s i n x-a r(a eR).(1)求 x)的最大值；(2)若对V X 1 0,4w),总存在(0,今，使得成立，求实数。的取值范围；(3)证明不等式s i n(1 +s i n(2 +s i n(4 0,考虑a 0 a l,0),x x当O v x v l时,/(x)0,当%时,/(x)0,所以/在(0,1)上递增，在(1,y)上递减，所以当
5、X=1时,“为取得最大值，即/“)ma x=/(l)=O.(2)jr对“e(0,+oo)，总存在(0,i)使得，(占)8(电)成立,JT等价于存在(0，使得/(X)1r ax 。，g(x)=s i nx-or,g(x)=c osx-a7T当工(0,一)时 COS X(0,1),27F当“2 1时，若x w(0,5),g(x)0,函数g(x)单调递减，g(x)g(0)=0,不符合题意;j r当0。0,函数单调递增；x e(x。令 时，g x)g(0)=。，贝月%(0,5),使得g(X 2)。，符合题意；T T当“V 0时，若x e(0,5),g(x)0,函数g(x)单调递增，g(x)g(0)=0
6、,则 叫%),使得8但)0,符合题意；综上可知，所求实数。的取值范围是(9)(3)由(2)可得当 a =l 时，若 x e(0,l,s i nx v x,令 x =1/V ,Z,”e N*),(A)e(0,l,有 s i n K)；k k k M再 由(1)可得：l n x x-l,贝i Jl nWt-1 =n n n即也即l n(&)k-n,.(A)0(-)M+(-)+(-)e-+e2-+e=-?2 上n n n 1-e e-1 e-1则s i n(i T+s i n f-T+.+s i n f-T f l Y+-T +.+f-T 【点睛】本题考查了利用导数求最值，根据函数不等式求参数范围，
7、利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，分类讨论求单调区间进而求最值是解题的关键，利用不等式放缩证明不等式是本题的难点.3.(2 02 1 四川射洪中学高三 月 考(文)已知函数/(x)=l nx-x+l,x c(O,+8),g(x)=e，-x(1)求 f(x)的最大值；(2)若对 w(0,+oo),总存在乙口,2 使得/(x JV gG)成立，求”的取值范围；(3)证明不等式:()+()4-1 ()0),x x当0 c x 0,当x l 时,/(x)0 时，由 g(x)=e*-ox,得 g(x)=e*-a,令 g(x)=0,得 x =l na,所以当 x l na 时，g(
8、x)l na 时，g(x)0,所以g(x)在(f,In a)上递减，在(In a,内)上递增，当I n a W l,即时,g(x)在 1,2 上单调递 增,则 g(x)1 1 m=g =/-2 a ,所以e 2-2 a N0,W-.所以2当l l n a K 2,即时，g(x)在上递减，在(I n a,2 上递增，因为g =e a 0,a 2,即时，g(x)在 1,2 上单调递减，则g(x)a =一。，所以e。之0,得不合题意，综上，口的取值范围为17,(3)由(1)得/。)工0,BPl n x 0),k k,k,k-n取工=一,则I n 1 =-,n n n n所 以 山 攵 一 ，即(A)
9、ekn,所以d)+(2)+(与n n nW-+-+-6 -广-6 e e e=-=-1-e e-e-1【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查放缩法证明不等式，解题的关键是由(1)的结果可得l n x 0),x =,5 1 l Jl n-l =-,n n n n从 而 可 得 然 后 给 上 取 值，结放缩法可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题4.(2 02 1全国高三专题练习)已知正项数列 4的前项和为5“，且S“=4等(1)计算、%、小，猜想数列 为 的通项公式；(2)用数学归纳法证明数列 4的通项公式；(3)证 明 不 等
10、式;+；+=?+；(】对任意wN*恒成立.a U2 U3 an -【答案】(1)4=1,=2,%=3,。=；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)可分别令 =1、=2、=3,通过S =-即可求出q、出、的值，并猜想出数列 q的通项公式；(2)首先可通过4=1得出当 =1时成立，然后假设当=上时成立，则 鼠=等 助，最后通过求出当=左+1时a1=%+1即可证得猜想;(3)本题首先可通过得出户然后通过/+0+户+/+齐+亨+/7-41-7-4=1-1-2+1-4=+I-)-(-+故 不 等 式 户+/+户+户%U2 U3 Un【点睛】G7-4恒成立.关键点点睛：本题考查数列的项的求法、
11、数学归纳法证明数列的通项公式以及不等式恒成立的证明，考查学生对数学归纳法的掌握程度，能 否 得 出 土 是 解 决 本 题 的 关 键，考查推理能力与计算能力，是难题.5.(2 02 1 全国高二单元测试)设数列 ,的前项和为S“，已知2 S“=a 向一 2 M+1(WN ),且%=5.(1)证明 全+1 为等比数列，并求数列 4 的通项公式；(2)设 匕“=1%(。”+2),且 =(+/+(，证明北 2；(3)在(2)的条件下，若对于任意的“eN 不等式包。+)-加色,+2)-6 0恒成立，求实数2的取值范围.【答案】(1)证明见解析，4=3-2；(2)证明见解析；(3)口,内).【分析】(
12、1)运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式即可得到所求；(2)求得或=l o g 式 q+2)=晦 3=，由放缩法和裂项相消求和，即可得证；(3)由题意可得(1-团/+(1-2-6 0 恒成立，/()=(1 -A)n2+(1 -22)n-6(ne A T*),讨论；1 =1,2 1,结合二次函数的单调性，即可得到所求范围.【详解】解：(1)在 2 S“=a“M-2 +l,e N*中，令 n=l f 得 2 sl=%2 +1 ,即 a 2 =2%+3 ,%=5 ,解得 q=l,(Q C-j _ QM+1.1。二二，得到2 S,i=a“-2 +1则 蔚+1 =|偿+1 又名=5,则 等+1 =
13、9(1+1)数列+1 是以 为首项，g 为公比的等比数歹！J，.,俊+1 =齐(|,，即4.=3 一 2,(2)2=1%(q +2),则2=1(3=，当九=1 时，1=J=1 2,h1 1 1 1当 N 2 时，-/_ 7 7 =-7一 一 ,n nyn-)n-n.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c l7=+d F =+H 1-7 -+1 1-1-1-=2b：忧 bj b；I2 22 32 n2 I2 2 2 3 n-1 n n综上，Tn2.(3)当我(1 +)-4 电+2)-6 0 恒成立时,即(l-/l)2+(l-2/l)-6 0(N)恒成立，/(n)=(l-2)M
14、2+(l-22)M-6(eN*),当4 =1 时，/()=一 一 6 0 恒成立，则4 =1 满足条件；当九 1 时，由于对称轴则/()在口,+0上单调递减，/()/(1)=一 3 几 一 4 1 满足条件，综上所述，实数人的取值范围是口,田).【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查构造数列法，以及数列不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和，考查数列的单调性的运用，以及转化思想和运算能力和推理能力，属于难题.6.(2 0 2 1 全国高三月考(理)设函数/(x)=x 2+0 1 n(x +l),其中2 Ho.(1)当b=2 时，求函数y=/(x)的图象在点(0,0)处的切线方程；(
15、2)讨论函数/*)的单调性；(3)当“GN，且 n N 2 时，证明不等式In 4+1)4 +1)-(-+1)+!+1+:一一二.2 3 n J 2 3 n 2 n+【答案】(1)y=2 x.(2)见 解 析(3)见解析【分析】(1)求导后求出斜率，点斜式即可求出答案；(2)求导得，,，、V +2 j+b 2,分匕和讨论，借助导数即可求出单调性；!M =-七-2 2X +1 当 5=-1 时,/(x)=x2-ln(x +l),4,g M=x3-f(x)=x3-x2 4-ln(x+1),利用导数可得函数/=g(x)在区间。田)上单调递增，得x e(O,m)时，/+侬*+1)/，对任意正整数，取
16、片,，有 二+1 1 1 0+14,n n n J n利用裂项相消法即可证明.【详解】2解：(1)当 b=2 时，/(x)=2 x H-,x +1r(0)=2,故切线的斜率为2,函数y=.f M的图象在点(0,0)处的切线方程为y=2 X ；(2)八 +之J i f ,i2 x+b I 2)2x +1U-1)当时，r(x)0,函数y(x)在区间(T,W)上单调递增，当。；时，f(x)=o,解 得 占=土 手 至，=土 手 羽当万 0 时，X,-1,令广(x)0,解得x x?,令/(x)0,解得或x x ,令/(x)0,解得芭 x 0),g(x)=3巧 二I在区间0,+c o)上恒为正，X+1函
17、数y=g M在区间 0,位)上单调递增，当x e 0,”)时，g(x)N g(0)=0,当 x (。,+)时，x3-x2+l n(x +1)0,即/+n(%+1)/,对任意正整数，取 工=,，有F+I n +1 ,n n n J n=l n 加+*+1 卜.+l n 加+#/+.+/=ln rT F+ln r r 河+方1 1 11 11-+-+-2 x 3 3 x 4 n x (n+1)1 1=2 +1【点睛】本题主要考查函数与导数的综合应用，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于难题.7.(2 02 1 全国高二课时练习)已知数歹支,，4=1,前项和为$“，对任意的正整数，都有2s+恒成立
18、.(1)求数列%的通项公式；(2)已 知 关 于 的 不 等 式 也 吆 幺 心 二 对 一 切 2 3,wN 恒成立，求实数”的取值范围；(.Y 2(3)已知C“=,数列%的前“项和为刀,，试比较I与;的大小并证明.U3【答案】(1)an=n.(2)也；(3)7；,2 时,2Sn.-nan.,两式相减 2。,产(n+1)an-nan-,可 得(n-1)an-ncin-(n 2),又防=1 知，贝所以=1%(2 2),an-a、2 a.3 a n可得一 二 一二5-=一 ,4 1 a2 2%n-,凡 2 3 累乘得论2时，-=-；=,4 1 2 7 7-1 二 1 时，4 1 =1 也满足上式
19、，所以数列 q 的通项公式为an=n(e N*).(2)设)=金 gg /工T,所以()在 e 3,“e M上单调递减,所以”3)=*，即 c“=E=（币）=77T-3；(3)证明见解析.【分析】(1)化简%“=2.+32+1 得到41M =2 a“+,构造。,用+1 =2(4+1),所以数列+1 是等比数列，进而求4+1出数列”的通项公式.(2)根据条件4=1，和%也 推 出 *1,所以数列 )为正数，解不等式4“a,化简得到.a 2-(4+1)2+1,结合二次函数的性质，当 n=l 时，m有最小值-3,即可求出m的 范 围.(3)1首先，由（2）可知，加2-3时，。,2 1.然后令。“=-
20、4,+12（/）工 一1，因为M对 J进行放缩，得到成立，最后对不等式左右两侧相加证明即可.【详解】(1)由 a“+i2“；+3”,+1 _(2q,+1)(“+1)=2%+1,+1%+1得。向+1 =2(q +1),：4+1*0,又4+1=2,数列 4+1是以2为首项以2等比数列,%+1 =(q+1)2 a，（2）由而2a2,+3a+m,-an,m _%-2an.4+1+1恒成工,a 1,m 22+1,Bp m 3；（3）由（2）得当一3 帆1时知1 2%,设 g =-4 7q+11q+i+l1诚+3为+m 1%+14,+12(a+1)+m-m 1,w-1 177?=3 -77=3%2(。“+
21、1)2 4 +1 21 1/.c.=-=1%+1 2 1 1 1 1 ,%/%级%-汨4=装(之2).当 n=l 时，G=,2当nN 2时，q+G+J+g 弓+/+/+/即-1-F.4-2 1-.4+1%+1 +1 2【点睛】本题考查数列的递推公式，等比数列的构造，考查变量分离以及函数的恒成立问题，考查利用放缩法证明不等式，同时考查了整体思想的运用，本题综合性较强，属于难题.9.(20 21吉林 乾安县第七中学高二 月 考(理)已知函数/(x)=e“(e 是自然对数的底数，2.71828).(I)证明：对VxeR,不等式/(x)x+l 恒成立；(I I)数列 等 卜”e N*)的前 项和为7.
22、，求证：(l 时,(x)0 函数(x)单调递增；当x l 时，h x)/?(1)=0,/J(X)=/(x)-x-l 0,/(x)x+l.Xy,i)1(1,4 0 0)hx)一0+h(x)递减极小值递增(I D 由(I)可知，对任意的实数,不等式e，N x +l 恒成立，设x+l=2所以J r/,n e ”21n 2,BP n2-l l n n2,1、In/r 21 n no -0 )2 n nIni In 2 In 3本题主要考查导数的应用，以及放缩法再不等式中的应用，熟记导数的方法求函数单调性，以及裂项相消法求和，即可求解，属于常考题型.2s i 91 6.(2022全国高三专题练习(理)设
23、数列%的前”项和为S”.已知4=1,U =an+i-n2-n-,(1)求生的值；(2)求数列 4 的通项公式；_ 1 1 1 7(3)证明:对一切正整数 ，有H 乙 7 不 7 二 一 二，再利用裂项求和法即可求解.atl n n-l)n n-n【详解】1 2(1)依题意，2s =。2-1 一，又S=q=1 ,，出=4；当时，25“2S_,=(/i-l)a -1(n-l)3-(n-l)2-|(n-l)i 2两式相减得2a“=w“+I _ (3 2-3”+l)-(2-l)_ 整理得(及 +1)。“=nall+i-n(n+1),即 也 _%=1,又 生-幺=1n+l n 2 1故数列 半 1 是
24、首 项 为;=1，公差为1 的等差数列,1 7(3)当=1 时，一=1 1；q 41 1,1 5 7当=2 时，+=1 +7=7 7；aA a2 4 4 41 1 1 1 1当九 23 时，=7 7-=7 一，an n n-)n n-n1 1 1111 1此 时 若+瓦+工 z+*+了+4 2 4 41 1 1 7综上，对一切正整数”，有一+一 0,放缩f i+r fi+二-，然后结合二项式定理证明结论；n+l+t J I n+）3（3）根 据（1）中的结论得到数列 2 的通项公式，求 出 卷 变 形 并 放 缩=，(+3)g，再由当，之2 时 Bkgk尿，fgkg=，/,=2(-f L=-放
25、缩裂项相消法求和证明结论.V r n -yk(Jk+4 k)1 4-1 -jk)【详解】(I).+4,-2,25,i=。3+*-2(2),两式相减，得24,=年一。3+七一。,1，即 4：-4-4 T =0，(a +an-)(fl an-l-1)=0,为正项数列，an-a_t=1(2),又由2m=；+q-2,解得4=2或a,=-l(舍去)，：.an=n+,(2)11+二-丫 ，即jl+，“，I an+t)I n+t)当 =1 时，(l+2)24,Q解得K r K 0 且/w -2,下面证明当-g s r w o且r w-2时，ji+二 对 任 意 正 整 数”都成立，3(n+t)当 M N 2
26、 时,7 7 4-1 +Z 0,又当=1时，上式显然成立，故只要证明（1 +高）*2 4对任意正整数”都成立即可，又（1 +二-1 +以二-+C /二-丫=1 +2+且2 4,实数f的取值范围为-*-2）。（-2,0.（3）证明：由题得仇=（+1）和-(n+l).b _(w+l)4h-5+3)2 (+3)4(+1)向 下(+3)2(+3)e1 _甘5+3)2 G.A_ 0).(1)当a =g时，讨论函数“X)的单调性，并证明：(1 +*)1 +(1+卜卜.(1+/)卜 曰,2 2)；(2)若函数丫=力 与 =-三+1 1 1 2 的图象恰有三个不同的交点，求实数。的取值范围.【答案】(1)/(
27、x)在(0,田)上是单调递减函数，证明见解析；(2)(0,().【分析】(1)将“=:代入函数得/(x)=l n x-+l.利用导数与函数单调性的关系即可求得函数的单调区间，证明见解答过程；(2)将两函数作差后构造新函数g(x)=l n x-依+也，在求导对。分情况讨论，结合单调性，极值和函数零X点存在性定理即可得到的范围.【详解】1V 1解：(1)当。二一时，/(x)=l n x 一 一 +.2 2 2x所以 r(x)=_ l _ _ L，x 2 2x2所以 x）在（0,+8）上是单调递减函数.又/(1)=0,所以当时，/（x）0,即l n x 2),则所以(1 +/1 +/(1 +/，1
28、1 +/卜4 (N*,N2).(2)令 g(x)=|In=l n-1-ar+(x 0),u r n 1 4 a-ax2+x-4 a,小所以 g，(x)=a-=-(x 0).g A:(x)=-ar2+x-4 a,则 =1-1 6/.当即时，g，(x)：,即0 U 4 2a 2a所以W X 0.又因为2(x)=-+x-4 开口向下，所以当0 x 芭 时,M x)0,即g，(x)0,所以g(x)在(0,%)上单调递减;当 一 0,即g，(x)0,所以g(x)在(芭,9)上单调递增;当x 与时，4(力 0,即g (x)0,所以g(x)在(,+8)上单调递减.4/7因为g(2)=l n l-2 a+彳=
29、0,且彳也=4,所以 2 七，所以 g(3)g =0 8().所以令M“)=-l n 2-2 1 n a-+4a3,m.i,(2 1 .2 12a42。+1贝=-+12a=-:a a ar所以，(a)在(o,；)单调递增，所以 w(a)v?(；)=-ln 2-21r一4+4(；)=31n2-4+十 0,即 (A),。，又工21v2-1-=-a-a2 2a a2 a2 0,所以/l-1 6 a2又 与 1 +J 1 -1 6。2 2a2a4所以。丁 内，“04所以g(x)在区间(0,百)上有唯一的一个零点一，xo14故当0a I 时，g(x)存在三个不同的零点一 2%.4故实数a 的取值范围是（
30、o，；1 0.（2 0 2 1 江苏 一模）数列 an 满 足=1 且。；1+1 =（1 +总与）%+表（r i N 1）.（1）用数学归纳法证明：册 2 2522）；（2）已知不等式l n（l +x）0成立，证明：即 2.这就是说，当n =k +1 时不等式成立.根据，可知：an 2 2对所有n 2 2成立.（2）当2时，由递推公式及（1）的结论有an+i=（1+-（1+杀 士+肃 i）n（n-2），两边取对数并利用已知不等式l n（l +x）x得I na +i W l n（l +/匕 +肃）+l nan I n%,+/匕 +高故l nan+i-I na./匕+蔡7（n N 2）,求和可得.
31、1,1,1,1,1,1 1、，八 1、，.f 1 1、，1 1-2l nan+1-l na2 +-+F+-+-+-）+F-=点-味.由 知，a2=2,故有I n小尸 j a n+i 2e Z（n Z 2）,而%=Ig =2均小于2e Z,故对任意正整数n,有即 2考点：（1）数学归纳法；（2）列项相消法；（3）对数函数的性质；（4）等比数列的求和；（5）不等式的缩放及有关性质.11.（20 11浙江嘉兴一模（文）已知函数/*）=-一乙X（1）若函数/（X）是（0,e）上的增函数，求&的取值范围；（2）证明：当女=2时，不等式/（x）0 恒成立；（3）证明：l n（l x2）+I n（2x3）+
32、l n n（n+1）2n-3【答案】（l）A-l；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求得导函数，然后由导函数恒非负即可确定实数&的取值范围；（2）将原问题进行恒等变形，构造新函数，求解新函数的最小值即可证得题中的不等式;（3）利用（2）中证得的不等式，令x=（x+l）然后进行放缩，结合裂项求和的方法即可证得题中的不等式.【详解】/八 1%+1 r/z Z+1(!),*/(%)=k-,/.f (%)=x xA+1 1）是 叱）上的增函数”回 丁.对 向 ,+8）恒成立。+l 0,得而仁-1 时/=。，段）=T 为常函数，不满足条件,3（2）证明：当时，/（x）=2-二
33、，x3不 等 式 对 任 意 x0恒成立，等价于lnx+2 0 对任意x0恒成立。x3r-3令 g(x)=lnx+_ _ 2,贝 lj/(x)=,X X g(x)在(0,3)上递减，在(3,+8)上递增，.g a)g(3)=加 3 T 0,3即lnx+2 0 对任意x0，恒成立。x不等式yu)o恒成立。3 3证明：由(2)知，lnx+-2 0 对任意x0恒成立，即lnx 2.X X*/n w N*,lnn(n+1)2-=2-3 一 一(+1)I n+)In(lx2)+ln(2 x 3)+In (+1)=2-3(1-)2n3.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中
34、数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下儿个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析儿何、微 积 分 相 联 系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参 数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优 化 问 题.（4）考查数形结合思想的应用.1 2.（2021.四川石室中学高一期末）已知函数/（司=惶 鲁 D（x 0）的图象上有一点列点匕在x 轴上的射影是Q(x“,o),且 工=3演_1+2(n2 JLweN*).演=2.(1)求证：%+1 是等比数列，并求出数列 玉 的通项公式；(2)对任意的正整数，当蚱-1,中时，不等式3 r-6 如+；”恒成
35、立，求实数f 的取值范围；I 1 1(3)设四边形工。“。“+上+1的面积是S“，求证：-+-+0恒成立，设 g(=-2加+产，根据题意可知关于实数/的不等式组，由此可解得实数1的取值范围；(3)求 得 山 进 而 可 求 得 S“=一,利用放缩法可得一二3，进而可证得所证不等式成立.【详解】x,+1 3x“1 +3.(1)当 N 2 月.N*时，xn 3x_ 1 +2,则 =3,且 +1 =3,Xn-l+1 Xn-l+1所以，数列 玉+1 是以3为首项，以3为公比的等比数列，.+l=3 x3 i=3 ，则%=3 7；笫=小)=黑弁=竽/，则 y向 f =景/=箭 yn,则36mt+,化简得产
36、-2,/0,当7MW-1,小时,不等式/一 2皿 0恒成立，/、=产+2/0设g(优)=-2/也+，,则(八、)。八，解得/一2或0 2.g=广-2 0因此，实数f 的取值范围是(y,-2)U(2,”)；(3)由(2)可得Q.|=|y,|=/,则|时旦/=需，所以，S“=；|x,一天|（由 Q,|+区+QM）=gx3_（4+1）11_ _nSn n（4n+l）3124n（4n+l）=,2 i因此,5,2s2%-3 1-一+-+-2 时，4S_l=-4(/i-l)-l(2)一得，4/-”j-4化简计算得：a+1=a+2(n2)所以2 2时;数列%是公差为2的等差数列,且通项可写为：a=a2+2n
37、-4又,.,6=外y14，化简计算得：4=3an=2 n-l（n2）由 4S“-4-1,77”可得：4鸟=a；-4 x l-l.q =1a“=2 n-l,n w N*,即 数 列%的通项公式为 4 =2 1,”e N*；,1 1 1 1 （2）由（1）可得：-=-j-一 v=-一-y 4“+（2-+2 V 2/7-1 2n+J1 1-1-F.+14%+i1 1-1-3 312 +1n2/?+1令 小 卜 肃 二 十 丝”n1 31/1 c-4 -x ,/?32-1 7 2 T1 1 1 1 1 4 f 1 1 1 A2,-1 22-1 23-1 2-1 3 7 U2 23 2-)an1 1 1
38、 1 4 2 1 A 4 2 3 4 3 5 52,-1 22-1 23-1 2 3 7 (2-2)3 7 2 1 2 1 3-b +伪+“|【点睛】思路点睛：在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩.1 5.(2 0 2 1 河北高三专题练习)设 数 列 的 前 项 和 为 S”，满足2 5 =，向-2“+l(e N*)，且q ,4+5 ,生成等差数列.(1)求q的值；(2)求 数 列 的 通 项 公 式；_ 1 1 1 1 3(3)证明：对一切正整数，有一+-+/.“a2 an
39、1。【答案】(1),=1;(2)4=3 -2 ；(3)证明见解析.【分析】(1)结合赋值法、等差中项的性质求得6，4.(2)结合a.=S,-S,_G N2)求 得%=3%+2 ,进 而 得 到.+2 向=3(4+2 ),由此证得口+2 是等比数列并求得其通项公式，进而求得凡.(3)结合放缩法以及等比数列前“项和公式证得不等式成立.【详解】(1)2 s“=向-2 向+1(e N*),可得=1 时，2 4 =2 S=a2 3,=2 时，2 弓 +2 a2 =2 s 2 =7 ,又,a2+5,4成等差数列，所以4+0,=2(%+5),由解得q=l,a2=5(2)2 5=a+l-2,+1+l(/i e
40、 N*),当“N 2 时，2S,=an-2n+1,又2 S“=%-2 向+1,两式相减可得 2q=2S-2 S,i =2+,+1 式“2 +1),化 为-=3%+2 ,所以/+2 同=3&+2)(N2),由于 q +2,=3,a,+2?=9,%+1r=3,q +2可得“+2 是以3 为首项，3 为公比的等比数列，则%+2 =3,即 4,=3-2.q=,g=5,%=1 9,4=6 5,以此类推,“5 3 Cl。3所以 _L+_L+.+J_4 i+L_L+_L+J_+.+_1T叨八6 a2 an 5 1 9 6 5 8 1 3,_,1 11.2 +1 9 6 58 1。一产)I-13 1 1 1八
41、 1、=1.2 H-1-1-(1-)1 9 6 5 5 4 3M-41 1 1 3 1.2+一 二 一一xnlnn n-n +1再利用裂项求和可证不等式.【详解】（1）因为/（x）=e*+eT-a,且/+/、N2,所 以 当 时，rwo,所以/（x）在R上为增函数，当。2 时,由/。）0,得 +二-0,所以（e*）2-ae +l 0,所以（d 一 切 d _1,所以靖_ 4叵 三 4或一 士 三，2 4 2 2 2 2所以/或,l n S 便 区 或 x l n”近1，2 2由/（x）0,得解得if ：亚Hx i n 蹲刁，2 2所以/（X）在 i n 纥 咚 m n 至亨4 上递减，在1-8
42、,l n -和1+呼二,+s 上递增.(2)由(1)知，当=2 时，/。)=/一/*一2%在 R上为增函数，所以晨工)=/(1 0 幻=M 一,一2 1 1 1%在(0,+(2)=2-2 1 n 2 =-l n 4=l n l 0,2 2 411 2 2 1 1即-2 1 n n 0 ,所以一j -=-=-,n nnn n (n l)(n +l)n n+1111所以 X -1-1-1-+21n2 31n3 41n41 _ 1_ J _ 1_ J _ 1_2T 2+1 3T 3+T 4-1 4+7nn n1 _ 1_n n+1 1 112 n n+l3/?2-n-22(+l)所以 _ L 芷士.
43、金 iln i 2n(n+l)【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了裂项求和方法，属于中档题.20.(2021云南模拟预测(文)已知函数/(x)=x-l-。lnx(1)讨论/*)的单调性；(2)证明:In 2 In 3 Inn,+-+23-2 3匚 3 4 0 时，/(X)在(0,4)内单调递减，在 3 e)内单调递 增.(2)证明见解析【分析】(1)求导得到尸(幻=1-4，再对。分类讨论，即得函数的单调性;XIn”n-1 1 1 1(2)先证明ln0),/(x)=l-.x若4,0,贝 lj/(x)。，/(x)在(0,+8)内单调递增；若“0,则 f(x)
44、在(0,+8)内单调递增，且/=0,.当 xe(0,a)时，fx)0,/(X)在(0,。)内单调递减，在(。,欣)内单调递增.综上所述，当出0时，f(x)在(0,y)内单调递增；当。0 时，/5)在(0,a)内单调递减，在 3,内)内单调递增.(2)证明：当 a=l 时，/(x)=x-l-ln x .由(1)知f(x)./(l)=0,当且仅当x=l 时，等号成立，令x=eN*,.2),;.nn n-,In n n-1 1 1-=-=-n3-n n3-n n(n+1)n +l从而:!，23-2 2 3-I-n -3-1-133-3 3 4In n 1 1：-n-n n +1累加可得In 2 In
45、 3In n23-2 +33-3 +，+n3-n1 1-2 +1J_ _1 _2-n+I2In 2 In 3 nn 1-;-1 r-1.H z-0时，/（x）i（x）的零点个数，并加以说明;（2）正 项 数 列 4 满 足 4 =1,判 断 数 列%的单调性并加以证明.证 明：兽 a,配 7,根 据（1）知成立；只要证?“多,即证即4,2-In 1 _ p一x 0），求导得到单调性得到证明.【详 解】(1 )当 X 0 时 x)-/7(x)=l-J(px)=ex-x-,s (x)=e*-l 0,(x)=e*-x-l在(0,y)是增函数.(x)e(0)=0,.,J(x)Z i(x)0,零点个数为
46、 0 个(2)数列 4 为减数列，证明如下：4=1,=/(%),二 a+l=-l n ,4,、-ea-要证 4 为减数列，只需证。向 。“，1 e-x/、只需证一 In 0),l-ex xeAx由 f(x)=C=1 -ex,:.e x xex=j e即 )=0 1=1一，才(*)=去，由(1)可知成立,要证明：&2-出，由4=1,只需 证.,只 要 证*，由于4=1,此时 吟 旨LL楞成立,1 p n Z7 1 _ px Y 1 _ 0-X _ x x所以即证一In-即 ine2,f 0),2x 2 x v 7令(x)=x(x 0)，加(x)=g，+”-l o,故加(x)在(0,)递增，./n
47、(x)/n(O)=O,于是次.e/x(x 0)成立，所以原不等式成立.【点睛】本题考查了函数零点问题，数列的单调性，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.(2021 全国高三专题 练 习(文)已知函数f(x)=alnx+a lX(1)讨论f(x)的单调性;(2)当“=1时，证明：(i)M。),x-1；(i i)证明:限限j【答案】(1)详见解析；(2)(i)证明见解析；(i i)证明见解析【分析】(1)求出导函数广。)=匕 华1 0),再令g(x)=l-a l n x进行二次求导.讨论。的取值范围，求出g(x)0和g(x)0的解集，也即求出X)的单调区间；(2)(i)将。
48、=1代入f(x),得“*)=史，利用作差法构造函数/7(x)=l n x x+1,根据导函数求出其最大X值为0,则原不等式得证；(i i)由 知即电；,1-1由此得吗1,1-二，则X X“(1一-.-),BP -0),X X令 g(x)=1-t z l n x,当a =0时，g(x)=l 0,/(x)在(0,+)上单调递增；当a 0时，若x e(0,H)，g(x)。，/单调递增,若x e(e；+o o)，g(x)，/(X)单调递减；当0时，若x e(o,/)，g(x)，(x)单调递增综上，当a =0时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当a 00寸，/(x)在 1)上调递增，在(*,+8)上单
49、调递减；当。0),x x若X (0,l),hx)09(幻单调递增；若x w-),(x)v o,(1)单调递减.“)m”x=(l)=l n l =0,即出兀,x-1,即 x-l.(i i)当a =l时,/(x)=-,-=x n n由(i)知 In 用,x 1,即-1 ,x x令x =2得 哗,1一4,即 当n n n n所以/()=In n n2幽+幽+,/()=l n 2,l n 3,+1 22 3 n 22 32 n2 1 (-D-(1-1 4-1+.+1L)2 23 3 4 n n+V=-（n-l）-（-1）2 2 n +1n 1 3=I-.2 2n+2 4【点睛】本题考查了导函数的应用，
50、求解含参数的函数的单调性，证明不等式，以及数列不等式的证明，裂项相消法求数列的和.考查了分类讨论思想，逻辑推理的能力，属于难度较大的题.3I223.（2 M.浙江嘉兴.一模）已知数列甩 满足4=5,矶=（1 +3），+拓 而（）.（I ）判断数列 4的单调性；1 2（H）证明：-一-1+7 7+o（,n（s 2）;an 3 3（+1）（H I）证明证明：a“。，即数列%卜单调递增；（2）由的结论易知22时华，故”（1+卦+就副+孙+岛 半 即 可 得 结 论;对（2）中的结论两边同时取对数得lnq,“-lna“W in1 +-7-根据ln(l+x)x得到3 3(+1)lna+1-lna +-，