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1、第29讲 证明数列不等式:通项法参考答案与试题解析一.解 答 题（共10小题）1.（2 0 2 1秋邛睐市月考）已知函数八力=功1（1+尤）一a（x+l）（x 0）,其中。为实常数.O V（1）若函数g（x）=r（x）-3.0定义域内恒成立，求的取值范围；1 +X（2）证明：当。=0时，室,1；X（3 ）求证：F F.H-ln（+J 7）0)，h x)=-1 =-,0 +x +x.*）在0,+o o）上单调递减,/z(x)/i(0)=0,Zn(l+x)x,xe 0 ,+o o)；Y(3)利用一一领)(1+x)x,xe 0 ,+o o),x+令x=J，得：n-ln(l+)-Inn ，n+-n一
2、Inn ln(n-1)-,n n-ln2-/1 1 ,2累 力 口 得：1-F H-V/?(1 +A 2)2 3 n+1 2 3 n.,.当 a=0 时，华,1：2.（2 0 2 1 广州二模）已知数列 凡 和 包 满足卬=4，且对任意 e N*都有4+d=1,(I)求数列 ,和 也,的通项公式;(2)证明：+ln(+n)+.瓦&b&%4 b2 b 3 b【解答】(1)解：.对 任 意 都 有 4+4=1,=4,1 -a；an l-an 1+4,-=-F 1，即-=1 .数歹心是首项为 上，公差为1 的等差数列.目.4 +乙=1,=*!=-(2)证明：4 b=,n+n+l bn n：.所证不等
3、式4+3+刍+.+-妨(i+)幺+空+殳4%晨%伉 h2 h.h 1 1 1 1 ，八、，1 1 1即一+-+.+-加(1 +九)1 +.2 3 4 +1 2 3 n先证右边不等式：/n(l+n)o 时，r(x)0 时，/(x)/(0)=0 ,即/(1 +x)x.i i2 n分别取x=1,f l /(1+1)+ln(l H )+/n(l H)+.+ln(H )1 +i-F.+一2 3 n 2 3 nB|l/4(1 +1)-(1+1)-(l+1).(l+-)l+1 +1 +.+-川 口H,八 3 4 +l 1 1 1也 l、l(2 X X X.X-)0时，r(x)0,所以函数f(x)在 0,+0
4、 0)上单调递增.Y二.当 x 0 时，/(x)/(0)=0 ,即/n(l+x)-.1 +x分别取I-(I /n(l+1)+ln(y H )+Zz?(l H)+.+ln()i-F.H-2 3 n 2 3 1 +/22 3 n 2 3 +n也即打（2 x 14 +l、1 1 1X-X.X-)1-h.H-3 n 23 1+n即/(1 +)-+-+.+.2 3 +n.&+与+2+.+%1 /“(1 +”)2 3 n 23 33/2 +1,2(x H )+b【解答】解：(1)f(x)=2x+-=-2-X+1 X+1当匕g时，0，/(%)在x -l上递增；当/I 偶 双 珥 -17 1 -2b+2b：1
5、 b ，f（x）0 ,wP RJ f x.-,x）-，2 2 2当 v O时，不-1 fr（x）0 ,W x x2,f x）0 得一Iv x v w，当 0 b 一1 ,9 一1，/（X）0，得%/，一1 v%v 菁，f x）v 0，得石 v%v%；综上可得，当时，/&）的增区间为（T,+o o）;当6 0时，f（x）的增区间为（士手至，+0 0）,减区间为（7，土手至）；当0人 0时,h(x)h(0)=0,即当x 0时,x3-x2+/n(x+l)0 ,即/（x+l）+Fx 2,对任意的“为正整数，取犬=1,有/（1 +1）+二 二,n n n n则/（+o（+1）（片+D i +级+下+不1
6、.H-r-n=优(1 +3)+加(1 +!)+.+加(1 +3)+最+/+=Z/7(l+-)4-7 +/n(l 4-)+-4 +.4-Z/2(l+2 23 3 33 n H31 1 1 r H +4.-22 32 n21 1 1-1-F .H-2 x3 3 x 4 (+l)1 1 1 1 1 1=-1-1-4-2 3 3 4“n n+1-1=-.2 n+14.(2 0 2 1成都模拟)已知函数f(x)=o x+-+-2a-livc a e R .x（/）若。=一1,求函数/（x）的单调区间；（I I ）若/（x）.O在X l ,+0 0）上恒成立，求正数4的取值范围;(I I I)证明：1+,
7、+/(+l)4-(n e N).2 3 n 2(+1)7【解答】解：（/）当。=一1时，f（x）=-x-l w c-3,则函数f（x）的定义域为 x|x0 ,X则 r（X）=一 厂 J +2=_（x _曰+2）,则当（0,1）时，r（x）0,则X）单调递增；x X则当X（l,+o o）时，r（x）0,则/（x）单调递减；所以f（x）单调递增区间为（0,1）,单调递减区间为（1,转）(I I )因 为 /(x)=cix+-4-1 -Inx，x e l ,+o o),则/(1 )=0 x了,、一 1 ux-x (tz 1)a/八/一 、f(x)=a 2-=-2-=-(x-l)(x-).xx x x
8、 a当时，此时匕 且 1,2 a当则/(x)0,f(x)在 1，匕四 上是减函数，所以在(1,三 与 上存在X。，a a a使得/(%)/(l)0,/(x).O在 1，+l 时，-x-)lnx,2 x人 左+1令汽=-k有/“丁k+（51 （万k+一 万k7、）=l/r z l+1 /八（1 一万1 T、）】即/伏+1),k=,2,3,2 k k+1，将上述个不等式依次相加得:2 2 3 n 2(+1)整理得 1 +，+,+.+!/(+1)+-(/?.1).2 3 n 2(+1)5.(2 02 1 广元模拟)已知函数/(x)=/n x,g(x)=go r +/?.(I)若f(x)与g(x)在X
9、=1处相切,试求g(x)的表达式;(I I)若夕(x)=(x7)-/(x)在 1,+8)上是减函数，求 实 数 的 取 值 范 围；x+(i l l)证明不等式：一!一-+1+-+-+.+-.In2 Ini ln4 ln(n+1)2 2 3 n【解答】解：(I )由于/*)与g(x)在=1处相切I I.f x)=f(y)=a z a=2-(2 分)x2又g(l)=O=a +b:.b=-lg(x)=x-(3 分)(I I)以工):皿匕1-f(x)=型七-加:在口,+o o)上是减函数，X+l X+1“*)=-2+(2)上恒成立，由 2?-2 x+,X G 1,-H XI)x又x+e 2,+o o
10、)2m-2,2 得肛，2x(7分)(I I I)由(I I )可得：当%=2时:(x)=2 d)-/X 在 1 ,+00)上是减函数,X+1.,.当 X 1 时：0(X)0 (1 )=0 即-Inx 0 x+所以mo至 a从而得到:1 1 x+1 -Inx 2 x-(1 0 分)当x=2时:1 1 3-一历3 2 2当x=4时:1 1 5.v 一 历4 2 3当x=+1 时：?L+2,ne N ,n.2ln(n+1)2 n上述不等式相加得:1 十 1 +1+-1 -一1 (z3 +4 +5 +-+-2)、ln2/3/4 ln(n+1)2 1 2 3 n=-l(z +2-+2-4-2-+.+2-
11、)、=2 1 2 3 n2 2 3n即 工 +_ 1 _ +_1+.+_ _ 4 +1 +1 +1+.+_1.i,n.2)ln2 ln3 ln4 ln(n+1)2 2 3 n-(1 2 分)6.证明:1 1 3 5 2n-1-.-2 n +l 2 4 6 2n-J 2 +1(其中 w N ).【解答】证明：下面用数学归纳法来证明:(1)先证明：1-2/z +l 2 4 62 n-l2n当=1时，命即显然成立;假设当=攵(2)时，有 2 4+1 2 4 62 k-12kl 7 I l l1 3 5 2&-1 2 Z +1 1 2 Z +1 12 4 6 2k 2(A +1)21c+2(&+1)2
12、伏+1)即当“=A +1时，命题也成立;由、可知 一2n+11 3 5 2 4 62 n 12n(2)再证明:1 1 3 5 2n-1-.32/?+1 2 4 6 2n-，2几 十 1当 =1时，命题显然成立;I 2 5假设当=叙左.2)时，有2 4 62 1 12k J 2 Z +1m i l1 3 5 2 k 1 2 Z +1 1 2k+则一 -2 4 6 2k 2()1+1)V 2 I+I 2(4+1)J 2 Z +1 2 k+2以+1-2 Z +11即当=左+1时，命题也成立;由、可知,二二.2 4 62/7-1 1-:2n J 2 +1综上所述，3 52,7+1 2 4 62n2n+
13、7.设EN,求证:(i)V n+T-i1 11-F 尸+4 2 2 V2 24nG；(2)-X X.X-2H 4-1 2 4 2n J 2n+【解答】证明：(1)时，结论成立；假设=女时，结论成立，即灰1斤一1 1+7=+-+=4,2 2 V2 2 a =%+1 时，Y k+T _ 1 H-/-1-尸+.H-7=H-/yflc H-/，2V m 2 2 V2 2 2yfk+2vm1 1 1 1 rr?J k(k+1)+1 攵+Z +1 +1 r-一+产+-7=7 4-=+=7 r r T-i+=.=ii-i vr7 2-i)2 2 V2 14k 2V m 2 VT+1 2-J k+.当 =%+
14、l时，不等式也成立.由可知，不等式成立；(2)即(2 +1)(2-1)-X X.X-=-2 4 2n 3 5 2几 +1 2 +1-/(+1)都成立.4 9 n1 21 3 2-1、2 1 3 2 n-l 2 4 In-X-X.X-)0，于是f(x)在(一 1,0)上单调递增;当X(0,+oo)时，f(x)v 0,于是/1(X)在(0,加0)上单调递减.(2)法一：由(1)得：f(0)是 f(x)在(-l,+oo)上的最大值,./U)/(0),故/(x+l)-Y-x,0,(当且仅当x=0 时，“=”成立),对任意正整数，取工=0 得：/(-+1)-+-,n n n n./+1 +1 (),2.
15、+I.n3 FI.n4 .n+.z 、F.+In-=ln(n+1);4 9/2 3 n(方法二)数学归纳法证明:当 =1时，左边=2,右边=山(1+1)=勿2,显然2/2,不等式成立.彳 的设.M(Z w N“、2.1)时，2+。+/(2+1)成立,4 9 K贝 U =Z.s +1 n时 ，/Y J 八2 3 4 k+1 k+2 k+2.H-1-F.H-；I-7+ln(k+1)；4 9 k2(A+1)2(A+1作差比较：IMk+2)-In*+l)-=lna+i)2k+2 k+2k+1 d +1)2/n(l H-)-(-1-rA+l k+i 0t+l)2构建函数 F(x)=/W(1+X)-X-X
16、2(X(0)，贝|JF(幻=x(2x+3)0,.尸(幻在(0/)，x+l单调递减，.F(x)F(0)=0,取1=!(%.,/n(l+)-(+?)F(0)=0,Z+l 女+1 女+1 (攵 +1)后+2即 ln(k+2)-ln(k+1)-7=In()1+1)2k+2 k+27+T-(Jt+l)2bi(k+2),(k+1)故 =A +1 时，有 2+3 +&+4-ln k+1)lnk+2),4 9 k1(2+1-(Z +l)2不等式成立，综上可知，对任意的正整数，不等式2+。+3 +要 /5+1)都成立；4 9 n士什一 3 4 7?+1 r +1 x+1 .方 法二 2 H-1-1-I z dx
17、4 9 2 J1%2=ln(n 4-1)-Ini-!-+-3 5 +1)3 37/1、1 1=ln(n+1)-+-3(+1 3例(+1).9.(2021 河北模拟)已知函数/(x)=x2+x-加(工+。)+3匕在x=O处取得极值0.(I )求实数。，匕的值；(I I )若关于x的方程/(x)=|x +?在区间 0,2上恰有两个不同的实数根，求实数机的取值范围；(I I I)证明：对任意的正整数 /,不等式1+,+匚 历 四 都 成立.2 3 n-2【解答】解：(/)由已知 得/(x)=2x+l-.x+a 在x=0处取得极值0,.1(0)=0,r(o)=o,解得：。=1,b=0 .()由(/)知
18、 f(x)=x2+x-ln(+x).则方程/(x)=9工 +机即 x2+x-ln(l+x)-x-m =0 ,人 5令 H(X)=X +X-/n(l +X)-X-7 7 2 则方程H(x)=0在区间 0,2上恰有两个不同的实数根,.当 xw(0,l)时,H(x)0,故(x)在(1,2)上是增函数;(0)=m.0从而有：,/(I)=ln2 /n 0,2H(2)=l-/n 3-m.O-M 2 f i t),1 -加3 (/)由(/)知 f(x)=x2+x-/(l +x)的定义域为(-1,+00),且 f(x)=x(2 x+3),X+1当x e(-1,0)时,f(x)0 ,故(x)在(-1,0)上是减
19、函数；当X(0,+8)时，f(x)/(+1)=ln(n+1)-Inn n n n n-F ln(n+1)-Inn,一1)n从而有：-ln(n+1)-Inn 分别取 =2,3 .n,得至U：n-1 4 1 F.H-ln3 /2+.+/(+1)Inn=In.-2 3 n 2故 1 +,+成立.2 3 n-l 210.(2021 江 西 二 模)已 知 函 数/+加，(1 )若 曲 线y=f(x)在x=处 的 切 线 与 直 线x+2y=0垂 直，求j+ln(x-1)-f(x-Y)dx 的值;(2)若 函 数/(x)在d，e)内有两个零点，求 实 数。的取值范围；e(3)证明：对任意的正整数，不等式
20、4+2+更+港 里)2-2/(+1)都成立.4 9 n【解答】解：(1)由题意得，f x)=ax+,且%0,x 曲线y =f(x)在x=l处的切线与直线x+2y =0垂直，/.f（1）=a +l =2,解得 a =l,则/（X）=+/.，：J；+/d f（x T）公=J J；-三。=曰 J：y（X-）2dx J 1-（X-1）2公的几何意义表示以（1,0）为 圆 心,以 1为半径的圆的面积的四分之一,.-1）2办=交,2万=叵,2 J r 2 4 8故 J：+/心-1）-1）=；(2)f(x)=ax+-Xax1+1x2 当a.O 时，丝 上 0,则广。）0,函数x）在（0,田）单调递增,X函数
21、f（x）在 d，e）内有两个零点不成立;e当a v O 时，由/。）=0 得，x=x=0舍去,.,.当X 时，f（x）0,则函数f（x）在区间（0,旧）上递增,当X（J-/,+oo）时，r（x）0,则函数/（X）在区间4-oo）匕递减,当工二时，函数f（x）取到极大值，也是最大值，（旧）=-：+历 旧,.函数/X x）在 己，e）内有两个零点,e2 V/(-)0e/(e)0a 0)，g(x)=+2x 0 x贝g0)=2lwc+Y 一 i 在(0,+co)上是增函数，双 工)=2/.+工2-1在(i,+oo)上是增函数，则g(x)g(1)=0 ,令片四1(为正整数)，代入g(x)=2/n r +x2 1得，n+1、n+/?+1、2 4 Cg(-)=2 M-卜(-)1 0,n n n/+1、2./?+1 ./八,/.(-)1 -2/1-=1 -2 ln(n+1)Innn n分别取=1,2,3,，得：9 164l-2(/z2-/nl),一1-2(妨3-历2),1-2(妨4一 例3),4 97 7 +1.()2 +,n以上 n 个式子相加得：4+-+.+()2 n-2/(+1),4 9 n综上可得，对任意的正整数 ，不等式4+2 +3+(32 一2/”(+1)都成立.4 9 n